Διαφοριϰές Εξισώσεις ΜΕΜ 71 Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 19 Εστω η μη γραμμιϰή διαφοριϰή εξίσωση ρώτης τάξης Α 1. Δείξτε ότι η διαφοριϰή εξίσωση δεν είναι αϰριβής. Λύση. Η αντίστοιχη διαφοριϰή μορφή είναι η Ζήτημα Α 3x y x y + 5xy y =. 5xy y dx + 3x y x dy =: P x, y dx + Qx, y dy η οοία δεν είναι αϰριβής αφού P y x, y = 1xy Q x x, y = 6xy 1, οότε η διαφοριϰή εξίσωση δεν είναι αϰριβής. Α. Αναζητήστε ολοϰληρωτιϰό αράγοντα ο οοίος ϰαϑιστά τη διαφοριϰή εξίσωση αϰριβή, της ειδιϰής μορφής µx, y = µx 3 y, όου µ μη τετριμμένη ϰαι διαφορίσιμη σε ϰάοιο διάστημα. Λύση. Το ϰριτήριο ύαρξης ολοϰληρωτιϰού αράγοντα µx, y ου ϰαϑιστά τη διαφοριϰή μορφή αϰριβή, ϰαι άρα τη διαφοριϰή εξίσωση λήρη, είναι η ύαρξη λύσης της μεριϰής διαφοριϰής εξίσωσης Qx, y µ x P x, y µ y + Q x x, y P y x, y µ =. Το ϰριτήριο ύαρξης ολοϰληρωτιϰού αράγοντα της ειδιϰής μορφής µx, y = µx 3 y είναι η αναγωγή της αραάνω μεριϰής διαφοριϰής εξίσωσης σε συνήϑη διαφοριϰή εξίσωση ως ρος τη μεταβλητή z = x 3 y. Ισοδύναμα, με χρήση ϰανόνα της αλυσίδας, το δεξί μέλος της αραϰάτω διαφοριϰής εξίσωσης µ x 3 y µx 3 y = Q xx, y P y x, y z x Qx, y z y P x, y να εξαρτάται αό τα x, y μόνο μέσω του συνδυασμού x 3 y, δηλαδή, το δεξί μέλος να εϰφράζεται σα συνάρτηση του z. Εχουμε Q x x, y P y x, y z y P x, y z x Qx, y = 1 x 3 y = 1 z δηλαδή υάρχει ολοϰληρωτιϰός αράγοντας ου εξαρτάται αό το z, λύση της συνήϑους διαφοριϰής εξίσωσης µ µ = 1 µ z z dz µz dz = log µz = C + log z µz = k z, k R. z Ειλέγοντας μια ειδιϰή λύση της αραάνω, έχουμε ολοϰληρωτιϰό αράγοντα µx, y = x 3 y. Α 3. Προσδιορίστε τη λύση της διαφοριϰής εξίσωσης η οοία ιϰανοοιεί την αρχιϰή συνϑήϰη y1 = 1 στη μορφή y = yx, ϰαϑώς ϰαι το ευρύτερο διάστημα ορισμού της, I R. Λύση. Ο ολοϰληρωτιϰός αράγοντας ϰαϑιστά τη διαφοριϰή μορφή αϰριβή, δηλαδή, υάρχει διαφορίσιμη συνάρτηση f : R R ώστε µp dx + µq dy = df f f x, y = µx, yp x, y, x x, y = µx, yqx, y. y Η λύση της διαφοριϰής εξίσωσης δίνεται σε ελεγμένη μορφή αό την εξίσωση fx, y = c για αυϑαίρετο c R. Ολοϰληρώνοντας τις δύο τελετυταίες ως ρος τις αντίστοιχες μεταβλητές, αίρνουμε fx, y = x 5 y 3 1 x4 y + h 1 y, fx, y = x 5 y 3 1 x4 y + h x
όου h 1, h αυϑαίρετες συναρτήσεις. Εξισώνοντας τις αραάνω για ϰάϑε x, y έχουμε fx, y = x 5 y 3 1 x4 y + h όου h R αυϑαίρετη σταϑερά. Η λύση της αρχιϰής διαφοριϰής εξίσωσης δίνεται σε ελεγμένη μορφή αό την εξίσωση x 5 y 3 1 x4 y = c. Η σταϑερά c ροσδιορίζεται αό την αρχιϰή συνϑήϰη y1 = 1, δηλαδή c = f1, 1 =, ϰαι άρα η λύση του ροβλήματος αρχιϰών τιμών είναι η x 5 y 3 1 x4 y = y = 1 x με ευρύτερο διάστημα ορισμού το I = ], + [, εσωτεριϰό σημείο του οοίου είναι η αρχιϰή τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής x = 1. Ζήτημα Β Προσδιορίστε τη λύση του ροβλήματος αρχιϰών τιμών στη μορφή x = xt ẍ + ẋ + x = cos t, t > x =. ẋ = 1 Λύση. Το χαραϰτηριστιϰό ολυώνυμο της αντίστοιχης ομογενούς διαφοριϰής εξίσωσης είναι το P λ = λ + λ + 1, με διλή ρίζα το 1. Συνεώς, η γενιϰή λύση της ομογενούς διαφοριϰής εξίσωσης είναι x h t = c 1 e t + c t e t. Αναζητούμε ειδιϰή λύση της μη ομογενούς διαφοριϰής εξίσωσης με τη μέϑοδο ροσδιορισμού συντελεστών x p t = A cos t + B sin t όου οι σταϑερές A, B R μένει να ροσδιοριστούν. Αντιϰαϑιστώντας την x p στη διαφοριϰή εξίσωση, έχουμε d dt A cos t + B sin t + d A cos t + B sin t + A cos t + B sin t = cos t dt A cos t + B sin t + A sin t + B cos t + A cos t + B sin t = cos t A sin t + B cos t = cos t ϰαι άρα A, B =, 1, οότε η γενιϰή λύση της μη ομογενούς διαφοριϰής εξίσωσης δίνεται αό το άϑροισμα της γενιϰής λύσης της ομογενούς διαφοριϰής εξίσωσης ϰαι της ειδιϰής λύσης της μη ομογενούς διαφοριϰής εξίσωσης x g t = x h t + x p t = c 1 e t + c t e t + 1 sin t ενώ ẋ g t = c 1 e t + c e t c t e t + 1 cos t Η λύση του ροβλήματος αρχιϰών τιμών ροϰύτει αό την ειβολή των αρχιϰών συνϑηϰών στην αραάνω, οότε συνάγουμε τις τιμές των σταϑερών c 1, c, x g = c 1 1 =, ẋ g = 1 c 1 + c = 1 ϰαι άρα x g t = 1 t e t + sin t, t R.
Ζήτημα Γ Προσδιορίστε τη λύση του μη ομογενούς ροβλήματος Cauchy για την εξίσωση ϰύματος u tt u xx = sin t t, x R R u, x = e x x R. u t, x = x R Λύση. Χρησιμοοιούμε τον τύο του d Alembert ut, x = ϕx t + ϕx + t + 1 x+t x t ψζ dζ + 1 όου ϕx = u, x = e x, ψx = u t, x = ϰαι ft, x = sin t. Εχουμε, x+t τ x t+τ fτ, ζ dζdτ ut, x = e x t + e x+t + 1 x+t τ sin τ dζdτ x t+τ ϰαι άρα = e x t + e x+t + t τ sin τ dτ = e x t + e x+t ut, x = e x t + e x+t + t + t sin t. sin τ dτ τ sin τ dτ Ζήτημα Δ Προσδιορίστε τη λύση του ροβλήματος συνοριαϰών τιμών για την εξίσωση aplace u xx + u yy = x, y [, 1] [, 1] ux, = ux, 1 = x [, 1]. u, y = y [, 1] u1, y = sin y y [, 1] Λύση. Αναζητούμε μη τετριμμένες λύσεις της εξίσωσης aplace της χωριζόμενης μορφής δηλαδή, ux, y = XxY y X xy y + XxY y = X x Xx = Y y Y y = λ για λ R. Οι αοδεϰτές τιμές των ιδιοτιμών είναι λ = k με k N ϰαι οι ιδιοσυναρτήσεις ου ιϰανοοιούν τις συνοριαϰές συνϑήϰες Dirichlet Y = Y 1 = Y k y = sin ky, y 1 ενώ ο άλλος αράγοντας ο οοίος ιϰανοοιεί τη συνοριαϰή συνϑήϰη X = X k x = A k e kx e kx, x 1 όου A k αυϑαίρετες σταϑερές. Η λύση του ροβλήματος συνοριαϰών τιμών έχει τη μορφή ux, y = A k e kx e kx sin ky, x, y [, 1] [, 1].
Προσδιορίζουμε τους συντελεστές A k αό τη μη ομογενή συνοριαϰή συνϑήϰη u1, y = A k e k e k sin ky = sin y ϰαι άρα A 1 e e 1 = 1 ϰαι A k = αν k 1. Αρα, η λύση του ροβλήματος είναι ux, y = ex e x e e 1 sin ky, x, y [, 1] [, 1]. Ζήτημα Ε Σε ϰάοιο στάδιο της αραγωγής σε εργοστάσιο χαλυβουργίας, ομογενείς χαλύβδινες βίδες υραϰτώνονται σε υψιϰάμινο μέχρι να αοϰτήσουν ομοιόμορφη ϑερμοϰρασία 7 o C. Πριν την αραέρα εεξεργασία τους ψύχονται σε λουτρό ψυϰτιϰού υγρού ϑερμοϰρασίας o C. Υοϑέτουμε ότι ϰατά τη ψύξη η ϑερμοϰρασία της βίδας μεταβάλλεται χωριϰά μόνο ϰατά μήϰος της, ϰαϑώς ϰαι ότι η ϑερμοϰρασία του λουτρού αραμένει σταϑερή. Ε 1. Διατυώστε το ρόβλημα ψύξης ως ρόβλημα Cauchy για την εξίσωση ϑερμότητας u t a u xx = με ϰατάλληλες αρχιϰές - συνοριαϰές συνϑήϰες, όου t ο χρόνος ου έχει αρέλϑει αό την εμβάτιση στο λουτρό, το μήϰος της βίδας ϰαι x [, ] η συντεταγμένη ϰατά μήϰος της, a η ϑερμιϰή διαχυτιϰότητα του χάλυβα. Λύση. Το αντίστοιχο ρόβλημα αρχιϰών - συνοριαϰών τιμών είναι u t au xx = t, x [, T ] [, ] u, x = θ ut, = ut, = για οοιαδήοτε σταϑερά T >, όου θ = 7 o C. Ε. Προσδιορίστε τη λύση του ροβλήματος Cauchy ως ϰατάλληλη σειρά Fourier Λύση. Αναζητούμε τη λύση του ροβλήματος Dirichlet - Cauchy στη μορφή σειράς Fourier ημιτόνων ut, x = u k t sin kx. Αντιϰαϑιστώντας στην εξίσωση ϑερμότητας την ομοιόμορφα συγϰλίνουσα σειρά Fourier, έχουμε ü k t sin kx a k= ü k t k sin kx = k= ü k t + a k Η αραάνω είναι ισοδύναμη με το σύστημα των ροβλημάτων αρχιϰών τιμών, για k N, {ü k t + a k u k t =, t u k = a k όου τα {a k } είναι δοσμένα, συγϰεϰριμένα u k sin kx = u, x a k sin kx = θ δηλαδή, οι συντελεστές {a k } είναι οι συντελεστές Fourier ημιτόνου της σταϑερής συνάρτησης θ, a k = θ sin kx dx = θ k cos kx ϰαι άρα η λύση του ροβλήματος αρχιϰών τιμών, για ϰάϑε k N, είναι u k t = a k e ak t = θ 1 1 k k = θ 1 1 k k e ak t, t u kt sin kx =.
ϰαι άρα η λύση του ροβλήματος Dirichlet - Cauchy είναι ut, x = θ 1 1 k e ak k t sin kx = 4θ l=1 1 al+1 l + 1 e t sin l + 1x. Τίϑεται το ρόβλημα της ελαχιστοοίησης του χρονιϰού διαστήματος ψύξης ου ααιτείται ώστε το μέσο της βίδας να αοϰτήσει δοσμένη ϑερμοϰρασία ασφαλείας. Σημειώνουμε ως με την άροδο του χρόνου, ραϰτιϰά για t > a, η λύση του ροβλήματος Cauchy ροσεγγίζεται αό τον ρώτο όρο της σειράς Fourier λόγω εϰϑετιϰής αόσβεσης των εόμενων όρων. Ε 3. Στα λαίσια της αραάνω ροσέγγισης ροσδιορίστε τη ϑερμοϰρασία στο μέσο της βίδας, θt. Είσης, εϰφράστε το χρονιϰό διάστημα ασφαλείας t σα συνάρτηση της ϑερμοϰρασίας ασφάλειας θ ϰαι των αραμέτρων του ροβλήματος. Λύση. Στα λαίσια της αραάνω ροσέγγισης, για t αρϰετά μεγάλο, ροσεγγίζουμε τη λύση του ροβλήματος με τη συνάρτηση u t, x = 4θ a e t sin x ου αντιστοιχεί στον ρώτο όρο k = 1 της σειράς Fourier. Στα λαίσια της αραάνω ροσέγγισης, η ϑερμοϰρασία στο μέσο της βίδας δίνεται σα συνάρτηση του χρόνου ϑέτοντας όου x = στην u, θt = 4θ a e t η οοία είναι φϑίνουσα συνάρτηση του χρόνου. Αν θ η ϑερμοϰρασία ασφαλείας, το αντίστοιχο χρονιϰό διάστημα ασφαλείας είναι λύση της εξίσωσης θt = θ, θ = 4θ a e t log 4 θ = a θ t t = a log 4 θ. θ Ε 4. Εϰτιμήστε το t με αϰρίβεια δευτερολέτου για τις αριϑμητιϰές τιμές θ = 7 o C, a = 1 5 m /s ϰαι = 1 m. Δίνεται ότι log4/ =.577... Λύση. t 1 s. 5 Ιούνη 19, Πάνος Καραγιώργος