Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης.

Transcript

1

2 Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σύρος Πανούσης Γιώργος Πααθανάση Κέλλυ Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος -1-01

3 18808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να εαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y, 1 είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αοδείξετε ότι το, 1 δεν είναι λύση του συστήματος α) Αντικαθιστούμε στην εξίσωση το ζεύγος αριθμών ου δίνεται ου ισχύει Άρα το ζεύγος x, y, 1 είναι μια λύση της εξίσωσης β) Αντικαθιστούμε και στις δυο εξισώσεις τα x, y 1 οότε x y 7 x y 8 (Μονάδες 1) x y Παρατηρούμε ότι η δεύτερη ισότητα δεν x y αληθεύει άρα το ζεύγος, 1 δεν είναι λύση του συστήματος 1881Δίνεται η εξίσωση x y 8 α) Να εαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y 1, β) Να αοδείξετε ότι το 1, δεν είναι λύση του συστήματος α) Αντικαθιστούμε στην εξίσωση το ζεύγος αριθμών ου δίνεται ου ισχύει x, y 1, είναι μια λύση της εξίσωσης Άρα το ζεύγος β) Αντικαθιστούμε και στις δυο εξισώσεις τα x 1, y οότε είναι μια λύση της εξίσωσης x y 8 x y 1 (Μονάδες 1) x y Παρατηρούμε ότι η δεύτερη ισότητα δεν x y αληθεύει άρα το ζεύγος 1, δεν είναι λύση του συστήματος 1881Δίνεται η εξίσωση x y 10 1 α) Ποια αό τα ζεύγη,,,7,, είναι λύση της εξίσωσης (1); β) Ποιο αό τα αραάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος x y 10 x y (Μονάδες 1) (Μονάδες 1) α) Για x, y έχουμε δηλαδή το ζεύγος (,) είναι 1

4 λύση της εξίσωσης (1) Για x, y 7 έχουμε δηλαδή το ζεύγος (-,7) είναι λύση της εξίσωσης (1) Για x, y έχουμε δηλαδή το ζεύγος (,) είναι λύση της εξίσωσης (1) β) Παρατηρούμε ότι η μια εξίσωση του συστήματος είναι η εξίσωση (1) και αό το,,,7,, Εξετάζουμε αν κάοια ερώτημα α) έχουμε ότι οι λύσεις αυτής είναι αό αυτές είναι λύσεις και της εξίσωσης x y Για x, y έχουμε 6 δηλαδή το ζεύγος (,) είναι λύση της εξίσωσης άρα είναι λύση και του συστήματος Για x, y 7 έχουμε δηλαδή το ζεύγος,7 δεν είναι λύση της εξίσωσης άρα ούτε του συστήματος Για x, y έχουμε 1 9 δηλαδή το ζεύγος, δεν είναι λύση της εξίσωσης άρα ούτε του συστήματος Δίνεται η εξίσωση x y 11 (1) α) Ποια αό τα ζεύγη (, ),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1); (Μονάδες 1) x y 11 β) Είναι κάοιο αό τα αραάνω ζεύγη λύση του συστήματος ; x y 7 (Μονάδες 1) α) Αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες των σημείων στις θέσεις των x και y στην εξίσωση (1) και ελέγχουμε αν την εαληθεύουν Για το (, ) έχουμε: , ισχύει, άρα το σημείο ανήκει στην ευθεία Για το (0, 11) έχουμε: , ισχύει, άρα το σημείο ανήκει στην ευθεία Για το (1, 8) έχουμε: , άτοο, άρα το σημείο δεν ανήκει στην ευθεία Για το (7, 0) έχουμε: , άτοο, άρα το σημείο δεν ανήκει στην ευθεία β) Για να δούμε αν κάοιο αό τα σημεία αυτά είναι λύση του συστήματος αρκεί να ελέγξουμε αν οι συντεταγμένες του σημείου εαληθεύουν τις εξισώσεις του συστήματος ή διαφορετικά μορούμε να λύσουμε το σύστημα και να δούμε αν η λύση του είναι κάοιο αό τα σημεία Αφαιρώντας τις εξισώσεις του συστήματος κατά μέλη έχουμε: x x Αντικαθιστώντας στην δεύτερη εξίσωση έχουμε: 1 17 y 7 y 7 y y Η λύση του συστήματος είναι: 17 x, y, Άρα κανένα αό τα ζεύγη δεν είναι λύση του συστήματος

5 1881 Δίνονται οι εξισώσεις x y (1) και x y 9 () α) Ποια αό τα ζεύγη 1,,, 1, 0, και 9,0 είναι λύσεις της εξίσωσης (1) και οια της (); (Μονάδες 16) β) Να βρείτε μια λύση του συστήματος x + y = x + y = 9 (Μονάδες 9) α) Για το (1,) : 1 και , άρα είναι λύση των εξισώσεων (1) και () Για το (, - 1): ( 1) 6 1 και 1 9, άρα είναι λύση της εξίσωσης (1) Για το (0,): 0 0 και 0 0 9, άρα είναι λύση της εξίσωσης (1) Για το (9,0): , άρα είναι λύση της () και εειδή δεν είναι λύση της εξίσωσης () β) Η λύση του συστήματος αρατηρούμε αό το α) ερώτημα ότι είναι το ζεύγος : (1, ) γιατί εαληθεύει και τις δύο εξισώσεις του συστήματος 1 188α) Να αοδείξετε ότι: 1, 10 1, β)να λύσετε το σύστημα εξισώσεων x + y = 10 x + y = (Μονάδες 1) α) , , β) Εειδή D, Dx, Dy 1, το σύστημα έχει μοναδική 1 1 Dx Dy 1 λύση x 1 και y D D Άρα το ζεύγος 1, είναι λύση του συστήματος α) Να αοδείξετε ότι: 9 1, , x y 9 β)να λύσετε το σύστημα εξισώσεων x y 9 9 (Μονάδες 1) α) , ,

6 β) Εειδή D 9, Dx 6, Dy 9 το σύστημα έχει μοναδική Dx 6 Dy 9 λύση x y 1 D 9 D 9 Άρα το ζεύγος,1 είναι λύση του συστήματος α) Να αοδείξετε ότι: 0, 7 1 0, 1 x y 7 β)να λύσετε το σύστημα εξισώσεων : x y (Μονάδες 9) (Μονάδες 16) α) 1 ( ) ( 1) , 7( ) 1( 1) , β) x y 7 x y 7 x 7 y, το σύστημα έχει άειρες λύσεις ου x y 1 : x y 7 είναι μορφής x, y x,x 7, x α) Να αοδείξετε ότι: 1, 11, x y 11 β)να λύσετε το σύστημα εξισώσεων x y 1 (Μονάδες 9) (Μονάδες 16) α) , 1( ) 8 1 β) Εειδή D 1 11 D, x 11 D το σύστημα έχει 1, y Dx Dy μοναδική λύση x 7, y 1 D D Άρα το ζεύγος 7,1 είναι λύση του συστήματος

7 α) Να αοδείξετε ότι: 0, 8, (Μονάδες 9) β) Να λύσετε το σύστημα εξισώσεων: x y 8 6x y 8 α) , , (Μονάδες 16) x y 8 x y 8 β) Οι δύο εξισώσεις έχουν τα ρώτα τους μέλη ίσα, άρα 6x y 8 : x y θα είναι και 8 ου είναι αδύνατο x y α) Να λύσετε το σύστημα (Μονάδες 1) x y 17 β) Να εξετάσετε αν η λύση του συστήματος του ερωτήματος (α) εαληθεύει την εξίσωση x y 16 x y 8 α),ροσθέτοντας κατά μέλη έχουμε: x y 17 x y x y 8 17 x x x Αντικαθιστώντας την τιμή αυτή στην εξίσωση x y 8 έχουμε : y 8 10 y 8 y 10 8 y, το ζεύγος β) Εειδή 0 16 άρα αοτελεί λύση του συστήματος, εαληθεύει την εξίσωση x y 16, x y 7 188α) Να λύσετε το σύστημα (Μονάδες 1) x y 10 β) Να εξετάσετε αν η λύση του συστήματος του ερωτήματος (α) εαληθεύει την εξίσωση x y 1 x y 7 x y 7 7 α) 9x 7 x x y 10 8x y 0 9 Για x η εξίσωση x y 7 γίνεται: y 7 y 7 y y του συστήματος είναι το ζεύγος, β) Το ζεύγος, εαληθεύει την εξίσωση x y 1, αν και μόνο αν ου ισχύει

8 x y 1 188α) Να λύσετε το σύστημα (Μονάδες 1) x 6y 10 β) Να εξετάσετε αν η λύση του συστήματος του ερωτήματος (α) εαληθεύει την εξίσωση 6x y 1 9x 6y x y 1 (1) α) x 6y 10 x 6y 10 () Προσθέτοντας τις (1) και () έχουμε: 1x 1 x 1 Αντικαθιστούμε την τιμή του x σε μία αό τις αρχικές εξισώσεις και έχουμε: 1y 1y 1 y 1 y y 1 Άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος 1,1 β) Το ζεύγος 1,1 δεν εαληθεύει την εξίσωση 6x y 1, αφού: α) Να εξετάσετε αν το ζεύγος των αριθμών x 1και y είναι λύση κάθε μιας αό τις αρακάτω εξισώσεις: i) x y 6 ii) x y 7 (Μονάδες 1) β) Δίνεται το σύστημα x y 6 x y 7 Είναι το ζεύγος (1,) λύση του αραάνω συστήματος; (Μονάδες 1) α) Για να είναι το ζεύγος x, y 1, λύση των εξισώσεων θα ρέει να τις εαληθεύει, δηλαδή: i) ου ισχύει ii) ου ισχύει x, y 1, είναι λύση κάθε μιας αό τις εξισώσεις Άρα το ζεύγος β) Αό το (α) ερώτημα έχουμε ότι το ζεύγος x, y 1, εαληθεύει κάθε μία αό τις εξισώσεις του συστήματος, άρα το ζεύγος x, y 1, είναι λύση του συστήματος 188α) Να εξετάσετε αν το ζεύγος αριθμών x = και y = 1 είναι λύση κάθε μιας αό τις αρακάτω εξισώσεις: i) x y 19 ii) x 6y 10 (Μονάδες 1) x y 19 β) Δίνεται το σύστημα x 6y 10 Είναι το ζεύγος (,1) λύση του αραάνω συστήματος; (Μονάδες 1) α) Για να είναι το ζεύγος x, y,1 λύση των εξισώσεων θα ρέει να τις εαληθεύει, δηλαδή: i) ου ισχύει ii) ου ισχύει x, y,1 είναι λύση κάθε μιας αό τις εξισώσεις Άρα το ζεύγος 6

9 β) Αό το (α) ερώτημα έχουμε ότι το ζεύγος x, y,1 εξισώσεις του συστήματος, άρα είναι λύση του συστήματος εαληθεύει κάθε μία αό τις 1886α) Να εξετάσετε αν το ζεύγος αριθμών x και y είναι λύση κάθε μιας αό τις αρακάτω εξισώσεις: i) x y 1 ii) x y 10 (Μονάδες 1) x y 1 β) Δίνεται το σύστημα x y 10 Είναι το ζεύγος (,) λύση του αραάνω συστήματος; (Μονάδες 1) α) Για να είναι το ζεύγος x, y, λύση των εξισώσεων θα ρέει να τις εαληθεύει, δηλαδή: i) ου ισχύει ii) αδύνατο Άρα το ζεύγος, είναι λύση μόνο της εξίσωσης x y 1 β) Αό το (α) ερώτημα έχουμε ότι το ζεύγος x, y, εξισώσεις του συστήματος, άρα δεν είναι λύση του συστήματος εαληθεύει μόνο μία αό τις δύο x y α) Να λύσετε το σύστημα (Μονάδες 1) 6x y β) Να εξετάσετε αν το ζεύγος, εαληθεύει και τις δύο αό τις αρακάτω εξισώσεις: x y 1 και 6x y 1 6x y (1) x y 1 α) 6x y 1 6x y 1() Προσθέτοντας τις (1) και () κατά μέλη ροκύτει η εξίσωση: 0x 0y 1 ου είναι αδύνατη Άρα το σύστημα είναι αδύνατο β) Αό το (α) ερώτημα ροκύτει ότι δεν υάρχει κοινό ζεύγος λύσεων και για τις δύο 1 1 εξισώσεις του σιτέματος, οότε το ζεύγος x, y, δεν μορεί να εαληθεύει και τις δύο εξισώσεις x y 1886α) Να λύσετε το σύστημα (Μονάδες 1) 6x y β) Να εξετάσετε αν το ζεύγος, εαληθεύει τις αρακάτω εξισώσεις: x y και 6x y 6 7

10 6x y 9(1) x y α) 6x y 6 6x y 6() Προσθέτοντας τις (1) και () κατά μέλη ροκύτει η εξίσωση: 0x 0y ου είναι αδύνατη Άρα το σύστημα είναι αδύνατο 1 β) Για x και 1 1 x,y 1 y έχουμε: x y αδύνατο x,y x y αδύνατο Άρα το ζεύγος x, y, δεν εαληθεύει καμία αό τις εξισώσεις x y 1886α) Να λύσετε το σύστημα (Μονάδες 1) x 6y β) Να εξετάσετε αν το ζεύγος, εαληθεύει τις αρακάτω εξισώσεις: 7 x y και x 6y 1 x 6y (1) x y α) x 6y 1 x 6y 1() Προσθέτοντας τις (1) και () κατά μέλη ροκύτει η εξίσωση: 0x 0y ου είναι αδύνατη Άρα το σύστημα είναι αδύνατο 1 1 β) Για x και y έχουμε: x,y x y αδύνατο x,y x 6y αδύνατο Άρα το ζεύγος x, y, δεν εαληθεύει καμία αό τις εξισώσεις Δίνεται το σύστημα x y 7 x y x, y, α) Να εξετάσετε αν το ζεύγος είναι λύση του αραάνω συστήματος β) Να λύσετε το αραάνω σύστημα (Μονάδες 1) 8

11 α) Για να είναι το ζεύγος x, y, αό τις εξισώσεις του συστήματος ισχύει Για x = και y = έχουμε: αδύνατο δεν είναι λύση του συστήματος Άρα το ζεύγος x, y, λύση του συστήματος ρέει να εαληθεύει κάθε μία x y 7(1) β) x y () 1 Προσθέτοντας τις (1) και () κατά μέλη έχουμε: x 1 x x Τότε: x x y 7 y 7 y 7 y Άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος, 1910 Δίνεται το σύστημα x y x y 1 α) Να εξετάσετε αν το ζεύγος (7, ) είναι λύση του αραάνω συστήματος β) Να λύσετε το αραάνω σύστημα (Μονάδες 1) α) Αντικαθιστώντας τις τιμές του ζεύγους σε κάθε μια αό τις εξισώσεις του συστήματος έχουμε: 7 και 7 1 Παρατηρούμε ότι τις εαληθεύει άρα το ζεύγος αοτελεί λύση του συστήματος β) Αφαιρώντας τις δύο εξισώσεις του συστήματος κατά μέλη ροκύτει: y και αντικαθιστώντας στην ρώτη εξίσωση έχουμε: x άρα x 7 x, y 7, Άρα η λύση είναι x y 191 Δίνεται το σύστημα: x y 6 α) Να εξετάσετε αν το ζεύγος (10, 7) είναι λύση του αραάνω συστήματος β) Να λύσετε το αραάνω σύστημα (Μονάδες 1) α) Είναι: 10 7 και , δηλαδή αντικαθιστώντας όου x το 10 και όου y το 7 εαληθεύεται και η ρώτη και η δεύτερη εξίσωση του συστήματος άρα το ζεύγος είναι λύση του συστήματος x y x y β) Είναι x y x y, το σύστημα έχει άειρες x y 6(: ) x y x, y k,k, όου k λύσεις της μορφής: 9

12 191 Δίνεται το σύστημα x y x y 6 α) Να εξετάσετε αν το ζεύγος (, 1) είναι λύση του αραάνω συστήματος β) Να λύσετε το αραάνω σύστημα (Μονάδες 1) α) Είναι 1 και δηλαδή αντικαθιστώντας τις τιμές του ζεύγους στις εξισώσεις του συστήματος αρατηρούμε ότι εαληθεύει την ρώτη εξίσωση ενώ δεν εαληθεύει την δεύτερη, άρα δεν είναι λύση του συστήματος β) x y x y 0x 0y 0 ου είναι αδύνατο x y 6(: ) x y 1901Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 7 χρόνια, και ο Μάρκος είναι μεγαλύτερος αό το Βασίλη α) Μορείτε να υολογίσετε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την αάντησή σας (Μονάδες 1) β) Δίνεται ειλέον η ληροφορία ότι η διαφορά των ηλικιών τους είναι χρόνια Με οιο τρόο θα χρησιμοοιούσατε την ληροφορία αυτή για να υολογίσετε την ηλικία του καθενός; (Μονάδες 1) α) Όχι δεν μορούμε να βρούμε την ηλικία καθενός διότι αν θεωρήσουμε x,y τις ηλικίες των Μάρκου και Βασίλη αντίστοιχα τότε ισχύει x y 7 και σε αυτή την εξίσωση έχουμε δυο αγνώστους β) Η διαφορά των ηλικιών τους είναι χρόνια Αυτό μας δίνει μια δεύτερη εξίσωση η οοία είναι x y και λέον μορούμε να δημιουργήσουμε ένα σύστημα εξισώσεων αό το οοίο θα βρούμε τις ηλικίες x y 7 Είναι x x 16, άρα ο Μάρκος είναι 16 ετών και ο Βασίλης είναι x y 16 11ετών x y 190Δίνεται το σύστημα 1, με αράμετρο λ λx y α) Να λύσετε το σύστημα για λ 1 (Μονάδες 1) β) Να δώσετε μια τιμή στο λ, ώστε το σύστημα 1 να είναι αδύνατο και να εαληθεύσετε την αάντησή σας λύνοντάς το (Μονάδες 1) α) Για λ 1το σύστημα 1 γίνεται x y x y x y x y x 7 λx y x y 1 Αό την (1) για x 7 έχουμε: 7 y y 7 1 του συστήματος είναι το ζεύγος x, y 7, 1 10

13 β) Θεωρούμε την τιμή λ και λύνουμε το σύστημα x y x y x y x y 0 7 λx y x y είναι αδύνατο αδύνατη, άρα το σύστημα 190Δίνεται ένα ορθογώνιο αραλληλόγραμμο με μήκος x cm, λάτος y cm, ερίμετρο ίση με 8 cm και με την ακόλουθη ιδιότητα: Αν διλασιάσουμε το μήκος του και διατηρήσουμε το λάτος του ίδιο τότε, το νέο ορθογώνιο ου ροκύτει έχει ερίμετρο ίση με 8 cm α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους β) Να βρείτε τις τιμές των διαστάσεων x, y του αρχικού ορθογωνίου (Μονάδες 1) α) Το αρχικό αραλληλόγραμμο έχει μήκος x cm, λάτος y cm και ερίμετρο: Π x y 8 x y Αν διλασιάσουμε το μήκος του και διατηρήσουμε το λάτος του ίδιο, τότε το νέο Π x y 8 x y ορθογώνιο θα έχει ερίμετρο: Άρα έχουμε το σύστημα: x y 8 x y 8 x y 8(1) β) Λύνουμε το σύστημα του (α) ερωτήματος και έχουμε: x y 8() 0 Αφαιρώντας τις (1) και () κατά μέλη έχουμε x 0 x x 10 και 10 x10 x y 8 10 y 8 0 y 8 y 8 0 y 8 y Άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος 10, Εομένως το αρχικό ορθογώνιο αραλληλόγραμμο έχει μήκος 10cm και λάτος cm 1906Αό ένα σταθμό διοδίων έρασαν συνολικά 70 οχήματα (αυτοκίνητα και μοτοσικλέτες) και εισράχθηκαν 176 ευρώ Ο οδηγός κάθε αυτοκινήτου λήρωσε ευρώ, ενώ ο οδηγός κάθε μοτοσικλέτας λήρωσε 1, ευρώ α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους β) Να βρείτε όσα ήταν τα αυτοκίνητα και όσες οι μοτοσυκλέτες (Μονάδες 1) α) Έστω x τα αυτοκίνητα και y οι μοτοσικλέτες Εειδή αό το σταθμό διοδίων έρασαν συνολικά 70 οχήματα, ισχύει ότι x y 70 Εειδή ο οδηγός κάθε αυτοκινήτου λήρωσε ευρώ, ενώ ο οδηγός κάθε μοτοσικλέτας λήρωσε 1, ευρώ, ισχύει ότι x 1,y 176 x y 70 Το σύστημα των δύο εξισώσεων είναι: x 1, y

14 x y 70 x y β) 0,8y 8 y 10 x 1, y 176 x 1, y 176 0,8 Για y 10, η εξίσωση x y 70 γίνεται: x x Δηλαδή τα αυτοκίνητα ήταν 6 και οι μοτοσυκλέτες Ο Βαγγέλης θέλει να κλείσει την όρτα του συνεργείου του με αλυσίδα Μετρώντας είδε ότι θα χρειαστεί 8 μέτρα αλυσίδας Όταν ήγε να την αγοράσει, χρειάστηκε να άρει δύο κομμάτια αλυσίδας για να φτάσει τα 8 μέτρα Μόνο ου τα δύο κομμάτια αυτά δεν κόστιζαν το ίδιο Το ένα κόστιζε ευρώ το μέτρο και το άλλο ευρώ το μέτρο Συνολικά λήρωσε ευρώ α) Αν x και y είναι τα μήκη των δύο κομματιών ώς μορείτε με μια εξίσωση να εκφράσετε το συνολικό μήκος της αλυσίδας; (Μονάδες10) β) Πόσα μέτρα αό το κάθε κομμάτι αγόρασε ο Βαγγέλης; (Μονάδες 1) α) Εειδή όλη η αλυσίδα έχει μήκος 8 m, είναι x y 8 β) Τα x μέτρα αό το ρώτο κομμάτι αλυσίδας κόστιζαν x ευρώ και τα y μέτρα αό το δεύτερο κομμάτι αλυσίδας κόστιζαν y ευρώ Εειδή συνολικά λήρωσε ευρώ, έχουμε την εξίσωση x y Κατασκευάζουμε το σύστημα : x y 8 x 8 y x 8 y x 8 y x y (8 y) y 16 y y y 16 x 8 y x 8 y 6 y Δηλαδή αγόρασε μετρά αό το ρώτο κομμάτι και μέτρα αό το δεύτερο κομμάτι αλυσίδας 191Στον ίνακα της τάξης υάρχουν γραμμένα δύο συστήματα x y x y (Σ 1 ) και (Σ ) x 6y 10 x y α) Ποιο αό τα δύο συστήματα είναι αδύνατο; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας (Μονάδες 1) β) Στον ίνακα της τάξης δίλα στα συστήματα αυτά υάρχουν και οι διλανές γραφικές αραστάσεις δύο ευθειών σε σύστημα αξόνων Ο Κώστας θυμάται ότι όταν ο καθηγητής σχεδίασε αυτές τις δύο ευθείες είε ότι είναι οι ευθείες ενός αό τα δύο αραάνω συστήματα Δε θυμάται όμως αν ήταν του (Σ 1 ) ή του (Σ ) Σε οιο αό τα δύο συστήματα αντιστοιχούν οι ευθείες αυτές; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας (Μονάδες 1) 1 α) Για το Σ έχουμε: D 1 0, δηλαδή το σύστημα είναι αδύνατο ή αόριστο Είναι: 1

15 x y x y, οότε το σύστημα είναι αδύνατο x y : x y β) Οι ευθείες αυτές είναι τεμνόμενες και αντιστοιχούν στο Σ 1 ου έχει λύση Το Σ ου είναι αδύνατο αντιροσωεύει δύο ευθείες ου είναι αράλληλες 191 Δίνεται η ευθεία (ε 1 ) με εξίσωση: x 8y 0 α) Να βρείτε το κοινό σημείο της ευθείας (ε 1 ) με την (ε ) ου έχει εξίσωση x y (Μονάδες 1) β) Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας (ε ) ου να μην έχει κανένα κοινό σημείο με την ευθεία (ε 1 ) και να αιτιολογήσετε την αάντησή σας α) Για να βρούμε το κοινό σημείο των δύο ευθειών θα λύσουμε το σύστημα των εξισώσεών τους Είναι x 8y 0 ( y) 8y 0 1 y 8y 0 y 1 y x y x y x y x y x Άρα η λύση είναι: x, y, β) Αφού η ευθεία ε δεν έχει κανένα κοινό σημείο με την ε 1 θα είναι αράλληλη με αυτήν, οότε η εξίσωση της θα είναι της μορφής x 8y k με k 0 γιατί αν k 0 οι δύο ευθείες θα ταυτίζονταν Μια τέτοια εξίσωση είναι η x 8y 0 191Δίνεται η ευθεία (ε 1 ) με εξίσωση: x 8y α) Να βρείτε το κοινό σημείο της ευθείας (ε 1 ) με την (ε ) ου έχει εξίσωση 1 x y (Μονάδες 1) β) Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας (ε ) ου να μην έχει κανένα κοινό σημείο με την ευθεία (ε 1 ) και να αιτιολογήσετε την αάντησή σας α) Για να βρούμε το κοινό σημείο των δύο ευθειών θα λύσουμε το σύστημα των δύο εξισώσεων Είναι x 8y x 8y (10 y) 8y 0 10y 8y 1 x y x y 10 x 10 y x 10 y 18y 0 18y 18 y 1 y 1 x 10 y x 10 y x 10 x 8 x, y 8,1 Άρα η λύση είναι: β) Αφού η εξίσωση ε δεν έχει κανένα κοινό σημείο με την ε 1 θα είναι αράλληλη με αυτήν, άρα θα έχει εξίσωση της μορφής x 8y k με k γιατί αν k οι δύο ευθείες θα ταυτίζονταν Μια τέτοια εξίσωση είναι η x 8y 0 1

16 1916Δίνεται η ευθεία (ε 1 ) με εξίσωση: x y 10 1 α) Να βρείτε το κοινό σημείο της ευθείας (ε 1 ) με την (ε ) ου έχει εξίσωση x y (Μονάδες 1) 9 β) Να δώσετε μια τιμή στον αριθμό λ ώστε η εξίσωση της ευθείας (ε ) : 1x y λ να μην έχει κανένα κοινό σημείο με την ευθεία (ε 1 ) και να αιτιολογήσετε την αάντησή σας α) Για να βρούμε το κοινό σημείο των δύο ευθειών θα λύσουμε το σύστημα των εξισώσεών τους x y 10 8x y 0 8x (0 x) 0 8x 60 1x 0 1 x y 0 y 0 x y 0 x x y 8x 1x x 80 x x y 0 x y 0 x y 0 y Άρα η λύση είναι: x, y, β) Το σύστημα των ε 1 και ε έχει ορίζουσα 9 D= , οότε θα είναι αδύνατο ή θα έχει 1 x y 10 x y 10 άειρες λύσεις Είναι 9 λ 1x y λ : x y Είναι φανερό ως αν λ 10 λ 0 το σύστημα θα έχει άειρες λύσεις, άρα για να είναι 9 αδύνατο ρέει λ 0 Έστω λ 0, τότε η ευθεία (ε ) έχει εξίσωση 1x y 0 x y Δίνεται το σύστημα x y λ με αράμετρο λ α) Να λύσετε το σύστημα για λ 10 (Μονάδες 1) β) Να δώσετε μια τιμή στην αράμετρο λ ώστε το σύστημα ου θα ροκύψει να έχει άειρες λύσεις (Μονάδες ) γ) Να δώσετε μια τιμή στην αράμετρο λ ώστε η ευθεία x y λ ου θα ροκύψει να είναι αράλληλη με την ευθεία x y 11 (Μονάδες ) α) Για λ 10 το σύστημα γίνεται x y 11 x y 10 x y 11 και εειδή τα ρώτα x y 1

17 μέλη είναι ίσα θα ρέει 11 ου είναι άτοο άρα το σύστημα είναι αδύνατο β) (Για να έχει το σύστημα άειρες λύσεις θα ρέει οι ευθείες ου αντιστοιχούν στις δυο εξισώσεις του συστήματος να ταυτίζονται δηλαδή οι συντελεστές των δυο εξισώσεων να είναι ανάλογοι) x y 11 x y 11 Για λ το σύστημα γίνεται x y 11 οότε το x y x y 11 σύστημα έχει άειρες λύσεις ου οι εικόνες τους είναι τα σημεία της ευθείας x y 11 γ) Για λ 10 δείξαμε στο ρώτο ερώτημα ότι το σύστημα είναι αδύνατο δηλαδή οι ευθείες είναι αράλληλες αφού δεν έχουν κανένα κοινό σημείο 190Στο διλανό σύστημα αξόνων έχουν σχεδιαστεί οι ευθείες x y 1 και x y 6 ου τέμνονται στο σημείο Α x y 1 α) Πόσες λύσεις έχει το σύστημα ; x y 6 (Μονάδες ) β) Να λύσετε το αραάνω σύστημα (Μονάδες 1) γ) Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α; (Μονάδες ) α) 1ος τρόος: Αό τη γραφική αράσταση ροκύτει ότι οι δύο ευθείες έχουν ένα σημείο τομής, άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση ος τρόος:η ορίζουσα του συστήματος είναι D άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση 1 1 β) Dx , Dy Εειδή D, η μοναδική λύση του συστήματος είναι Dx 6 Dy 6 x και y D D γ) Οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι Α(,) ου είναι η λύση του συστήματος 1

18 191Δίνεται το σύστημα α) Να λύσετε το 1 β) Είναι το σημείο A1, 1 1 ; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας (Μονάδες ) γ) Στο διλανό σύστημα αξόνων έχουν σχεδιαστεί οι ευθείες (ε) με τύο x y και (ζ) ου τέμνονται στο σημείο Α Μορεί ο τύος της (ζ) να είναι x y 6 ; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας x y x y x y x y α) x y 6 x x 6 x x ισχύει Το σύστημα έχει άειρες λύσεις ου είναι της μορφής x,x, x β) Το σημείο A1, 1 y x Είναι x y x y 6 μια λύση του συστήματος είναι μια λύση του συστήματος αν εαληθεύει την εξίσωση ισχύει, άρα το Α είναι μια λύση του γ) Εειδή οι ευθείες (ζ) και (ε) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, ενώ η (ε) με την x y 6 έχουν άειρα κοινά σημεία, δεν μορεί η (ζ) να έχει εξίσωση x y Δίνεται το σύστημα α) Να λύσετε το 1 β) Είναι το σημείο σας γ) Μορείτε να βρείτε άλλη A,1 μια λύση του συστήματος x y 9 y 9 x y 9 x y 9 x α) 1x y 7 1x 9 x 7 1x 7 1x ισχύει Άρα το σύστημα έχει άειρο λήθος λύσεων της μορφής κ,9 κ, κ β) Το σημείο A,1 είναι μια λύση του συστήματος αν εαληθεύει την εξίσωση y 9 x Είναι 1 9 κ,9 κ, κ για ροκύτει 1,9 1 1,, άρα μια λύση του συστήματος είναι το γ) Εειδή οι λύσεις του συστήματος είναι της μορφής 1 x y 9 1x y 7 λύση του συστήματος 1 ; 1 ισχύει, άρα το Α είναι μια λύση του ; Να αιτιολογήσετεε την αάντησή 1 1 (Μονάδες ) κ 1 1, 198 Δίνεται το σύστημα 1 x y 1, με αράμετρο λ x λy 16

19 α) Να λύσετε το 1 για λ (Μονάδες 1) β) Να δώσετε μια τιμή στο λ, ώστε το σύστημα 1 να είναι αδύνατο και να εαληθεύσετε την αάντησή σας λύνοντάς το (Μονάδες 1) α) Για λ το 1 γίνεται: x y 1 x 1y x 1y x 1y x 1 11 x y 1 y y y 1 y y x, y 11, του συστήματος είναι το ζεύγος 1 β) Το σύστημα έχει ορίζουσα D λ 1 λ Αν D 0 λ το σύστημα είναι αδύνατο ή έχει άειρες λύσεις x y 1 Για λ το 1 γίνεται: Οι δύο εξισώσεις έχουν τα ρώτα τους μέλη ίσα, x y οότε και τα δεύτερα μέλη τους είναι ίσα, δηλαδή 1 ου είναι αδύνατο 199 Δίνεται το σύστημα 1 α) Να λύσετε το 1 για λ x y, με αράμετρο λ λx y 10 (Μονάδες 1) β) Να δώσετε μια τιμή στο λ, ώστε το σύστημα 1 να έχει άειρο λήθος λύσεων και να εαληθεύσετε την αάντησή σας λύνοντάς το (Μονάδες 1) x y y x α) Για λ το 1 γίνεται: x y 10 x x 10 y x y x y 0 x 10 8x 10 x 0 x 0 x, y 0, του συστήματος είναι το ζεύγος 1 β) Το σύστημα έχει ορίζουσα D 8 λ λ Αν D 0 λ 8 το σύστημα είναι αδύνατο ή έχει άειρες λύσεις x y x y Για λ 8 το 1 γίνεται: x y y x 8x y 10 : x y x,y x, x, x Το σύστημα έχει άειρες λύσεις ου είναι της μορφής Δίνεται ένα ισοσκελές τρίγωνο με βάση μήκους x cm, ενώ η κάθε μια αό τις ίσες λευρές του έχει μήκος y cm Η ερίμετρος του τριγώνου είναι ίση με 19 cm Αν διλασιάσουμε τα μήκη κάθε μιας αό τις ίσες λευρές του και διατηρήσουμε το μήκος της βάσης του τότε ροκύτει νέο τρίγωνο ου έχει ερίμετρο ίση με cm α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους β) Να βρείτε τις τιμές των μηκών x, y του αρχικού τριγώνου (Μονάδες 1) 17

20 α) Εειδή η ερίμετρος του τριγώνου είναι ίση με 19 cm, ισχύει ότι: x y 19 (1) Το νέο τρίγωνο έχει βάση με μήκος x cm και ίσες λευρές με μήκος y cm η κάθε μία, άρα η ερίμετρός του είναι: x y y x y, οότε x y () x y 19 Αό (1),() ροκύτει το σύστημα x y β) Λύνουμε το σύστημα του (α) ερωτήματος και έχουμε: x y 19 x 19 y x 19 y x 19 y x y x y 19 y y y 19 x 19 7 x 19 y 1 y 1 y 7 Άρα το αρχικό τρίγωνο έχει βάση cm και κάθε μία αό τις ίσες λευρές του 7cm 19 Για έναν αγώνα οδοσφαίρου υήρχαν δύο είδη εισιτηρίων Τα φτηνά των ευρώ και αυτά των 10 ευρώ ου είναι σε λίγο καλύτερη θέση Συνολικά κόηκαν 97 εισιτήρια και οι συνολικές εισράξεις ήταν 610 ευρώ α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους β) Να βρείτε όσα εισιτήρια των και όσα των 10 ευρώ κόηκαν στον αγώνα (Μονάδες 1) α) Έστω x τα εισιτήρια των ευρώ και y τα εισιτήρια των 10 ευρώ Εειδή τα συνολικά εισιτήρια ου κόηκαν είναι 97 τότε έχουμε την εξίσωση x y 97 Είσης οι συνολικές εισράξεις ήταν 610 ευρώ οότε έχουμε την εξίσωση x 10y 610 x y 97 Συνεώς ροκύτει το σύστημα () : x 10y 610 β) Αό την είλυση του συστήματος έχουμε : x y 97 y 97 x y 97 x x 10y 610 x 1097 x 610 x x 610 y 97 x y 97 x y 97 6 y 1 x 10x x 160 x 6 x 6 Άρα κόηκαν 6 εισιτήρια των ευρώ και 1 εισιτήρια των 10 ευρώ 18

21 Μονοτονία - ακρότατα Ιδιότητες Συναρτήσεων Στο διλανό σχήμα δίνεται η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f με εδίο ορισμού το Με τη βοήθεια της γραφικής αράστασης να ααντήσετε τα αρακάτω ερωτήματα: α) Ποιο είναι το μέγιστο της f; (Μονάδες ) β) Ένας αό τους αρακάτω είναι ο τύος της f Ποιος είναι; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας f x x, f x x, f x x γ) Να βρείτε τις τιμές f και f 0 α) Με τη βοήθεια της γραφικής αράστασης αρατηρούμε ως η μέγιστη τιμή ου αίρνει η f είναι η στο x 0 0, δηλαδή f x f 0 για κάθε x Άρα η f αρουσιάζει f x μέγιστο στο x 0 0 το β) Αρχικά η f δεν μορεί να να διέρχεται αό την αρχή των αξόνων Η γραφική αράσταση της f ροκύτει αό κατακόρυφη μετατόιση της y x κατά ρος τα άνω, οότε f x x γ) Είναι f 0 κ f x x έχει τύο f 0 0 και γιατί θα έρεε 1916 Στο διλανό σχήμα δίνεται η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f με εδίο ορισμού το Με τη βοήθεια της γραφικής αράστασης να ααντήσετε τα αρακάτω ερωτήματα: α) Ποιο είναι το ελάχιστο της f; (Μονάδες ) β) Ένας αό τους αρακάτω είναι ο τύος της f Ποιος είναι; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας f x x, f x x 9, f x x 9 γ) Να βρείτε τις τιμές f και f 0 α) Η f έχει ελάχιστο το 9 για x 0 β) Η γραφική αράσταση της f ροκύτει αό κατακόρυφη μετατόιση της y x κατά 9 θέσης κάτω, άρα f x x 9 19

22 γ) Είναι f f και 1908 Στο διλανό σχήμα δίνεται η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f με εδίο ορισμού το α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α (Μονάδες ) β) Ποιο είναι το ελάχιστο της f ; (Μονάδες 7) γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οοία η f είναι i) γνησίως αύξουσα ii) γνησίως φθίνουσα (Μονάδες 1) α) Είναι A1, β) Η f έχει ελάχιστο το για x 1 γ) i) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 1, ii) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, Στο διλανό σχήμα δίνεται η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f με εδίο ορισμού το Με τη βοήθεια της γραφικής αράστασης να ααντήσετε τα αρακάτω ε ρωτήματα: α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α (Μονάδες ) β) Ποιο είναι το ελάχιστο της f ; (Μονάδες 7) γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οοία η f είναι i) γνησίως αύξουσα ii) γνησίως φθίνουσα (Μονάδες 1) α) Είναι A, β) Η f έχει ελάχιστο το για x γ) i) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, ii) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, 0

23 1918 Στο διλανό σχήμα δίνεται η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f με εδίο ορισμού το Με τη βοήθεια της γραφικής αράστασης να ααντήσετε τα αρακάτω ερωτήματα: α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β (Μονάδες ) β) Ποιο είναι το μέγιστο της f ; (Μονάδες 7) στα οοία η f είναι γ) Να βρείτε τα διαστήματα i) γνησίως αύξουσα ii) γνησίως φθίνουσα α) Είναι B1, (Μονάδες 1) β) Η f έχει μέγιστο το για x 1 γ) i) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,1 ii) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 1, 1918 Στο αρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f με εδίο ορισμού το α) Να διατάξετε αό το μικρ f, f, f 7 αφού τους ρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς εντοίσετε στο γράφημα β) Ένας συμμαθητής σας ισχυρίζεται ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο εδίο ορισμού της (το ) Συμφωνείτε μαζί του; Αιτιολογήστε την αάντησή σας γ) Είναι το x θέση μεγίστου της συνάρτησης f ; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας (Μονάδες ) 1

24 α) Eίναι f f 7 f αφού στον y y άξονα όσο ιο άνω είναι η εικόνα ενός αριθμού τόσο μεγαλύτερος είναι β) Όχι, γιατί αν ήταν γνησίω ως αύξουσα θα έρεε f f 7 αφού 7 γ) Όχι, γιατί το f(6) είναι μεγαλύτερο αό το f() συνεώς υάρχουν τιμές της f ου είναι μεγαλύτερες αό το f() 1919Στο αρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f με εδίο ορισμού το Με τη βοήθεια του σχήματος να ααντήσετε τα εξής f α) Να διατάξετε αό το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς f (α), f (β), f () αφού τους εντοίσετε στο γράφημα β) Παρουσιάζει η συνάρτησηη f ελάχιστο στο β; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας γ) Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση f x 0 Να βρείτε μια λύση της (Μονάδες ) 0 α β α) Είναι f α 0,f f 0,f f β 0 άρα κατά αύξουσα σειρά είναι : f β f f α β) Η συνάρτηση f δεν αρουσιάζει ελάχιστο στο β αφού όταν το x αίρνει τιμές θετικές και κοντά στο μηδέν οι τιμές του f x είναι μικρότερες του f β γ) Η εξίσωση έχει τρείς λύσεις αφού η γραφική αράσταση τέμνει τον x x σε τρία σημεία και μια λύση αυτής είναι η x 19-19Δίνεται η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f με εδίο ορισμού το Με τη βοήθεια της γραφικής αράστασης να ααντήσετε στα ακόλουθα: α) Ποιο είναι το ελάχιστο της f και για οια τιμή του x το αρουσιάζει; (Μονάδες 6) β) Αν η ευθεία (ε) είναι αράλληλη στον άξονα x x να αοδείξετε ότι ο τύος της είναι y 1 (Μονάδες ) γ) Με τη βοήθεια της γραφικής αράστασης να λύσετε την εξίσωση f x 1 (Μονάδες ) δ) Να δώσετε μια τιμή στον ραγματικό αριθμό κ ώστε η εξίσωση f x κ να έχει δύο λύσεις (Μονάδες 9) α) Με τη βοήθεια της γραφικής αράστασης αρατηρούμε ότι η ελάχιστη τιμή της f είναι η τιμή 1 και την αρουσιάζειι στο x 0 : f x 1 f x f Άρα η f αρουσιάζει ελάχιστο στο x 0 το 1 β) Εειδή η ευθεία ε είναι αράλληλη στον άξονα x x, έχει συντελεστή διεύθυνσης

25 λ εφ0 0, οότε η εξίσωσή της είναι της μορφής y 0 x β y β Εειδή η (ε) διέρχεται αό το σημείο Α ου έχει γ) Οι λύσεις της εξίσωσης f αράστασης της f με την ευθεία (ε) Εειδή μοναδικό κοινό τους σημείο είναι το Α, ισχύει f x 1 x x ότι: A δ) Για να έχει η εξίσωση f x κ δύο λύσεις ρέει η ευθεία (ζ): y κ να τέμνει τη Cf και αυτό συμβαίνει όταν η (ζ) βρίσκεται άνω αό την (ε), άρα όταν κ 1 Έστω κ Η εξίσωση f x έχει δύο λύσεις ya 1, η (ε) έχει εξίσωση y 1 x 1 είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων της γραφικής 196 Δίνεται η γραφική αράσταση της συνάρτησης f με εδίο ορισμού το ου αρουσιάζει μέγιστο στο x α) Με τη βοήθεια της γραφικής αράστασης να βρείτε οιο είναι το μέγιστο της f; (Μονάδες 6) β) Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α; (Μονάδες ) γ) Ποιος είναι ο τύος της ευθείας (ε); (Μονάδες 7) δ) Αν η ευθεία (ζ) είναι αράλληλη στην (ε) και έχει τύο y κ όου κ, να αοδείξετε ότι η εξίσωση f x κ είναι αδύνατη α) Μέγιστο της f είναι το 1 γιατί το σημείο της γραφικής αράστασης της f στο οοίο αρουσιάζεται το μέγιστο είναι το Α και η τεταγμένη του είναι y 1 β) Εειδή στο Α αρουσιάζε γ) Η ευθεία (ε) είναι αράλληλη ληλη στον άξονα x x, οότε έχει συντελεστή διεύθυνσης λ εφ0 0, και εειδή διέ A,1, έχει εξίσωση y 1 δ) Εειδή η ευθεία (ζ) δεν έχει κανένα κοινό σημείο με τη γραφική αράσταση της f, η εξίσωση f x κ είναι αδύνατη (Μονάδες 7 ) εται το μέγιστο της f είναι A,1, και εειδή διέρχεται αό το 197 Δίνεται η γραφική αράσταση της συνάρτησης f με εδίο ορισμού το ου αρουσιάζει μέγιστο το στο x α) Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α; β) Δίνεται ότι η ευθεία (ε) είναι αράλληλη στον άξονα x x Να βρείτε τον τύο της (Μονάδες ) γ) Αν μια ευθεία (ζ) έχει τύο της μορφής y κ και έχει δύο κοινά σημεία με τη γραφική αράσταση της f, τι γνωρίζετε για τον ραγματικό αριθμό κ;

26 α) Εειδή στο σημείο Α η f αρουσιάζει μέγιστο, το Α έχει συντεταγμένες, β) Η ευθεία (ε) είναι αράλληλη στον άξονα x x, οότε έχει συντελεστή διεύθυνσης λ εφ0 0, και εειδή διέ A,, έχει εξίσωση y γ) Αν κ, τότε η (ζ) βρίσκεται άνω αό την (ε) και δεν έχει κανένα κοινό σημείο με τη γραφική αράσταση της f Αν κ, τότε η (ζ) ταυτίζεται με την (ε) και έχει ένα κοινό σημείο με τη γραφική αράσταση της f Τέλος αν κ τότε η (ζ) βρίσκεται κάτω αό την (ε) και τέμνει τη γραφική αράσταση της f, δηλαδή έχει κοινά σημεία με αυτήν Άρα η ευθεία (ζ) έχει δύο κοινά σημεία με τη γραφική αράσταση της f όταν κ Κατακόρυφη Οριζόντια μετατόιση καμύλης 1916 Στο διλανό σχήμα δίνεται η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f με εδίο ορισμού το Με τη βοήθεια της γραφικής αράστασης να ααντήσετε τα αρακάτω ερωτήματα: α) Ποιο είναι το ελάχιστο της f; (Μονάδες ) β) Ένας αό τους αρακάτω είναι ο τύος της f Ποιος είναι; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας x, f x x f x γ) Να βρείτε τις τιμές f α) Η f έχει ελάχιστο το 0 για x g x x β) Εειδή η μετατοίζεται κατά ρος τα δεξιά αράλληλα με τον x x τότε ο τύος της f είναι f x x γ) Αό τη γραφική αράσταση της f διαιστώνουμε ότι f 0 f 0 και έρχεται αό το f x x και f 0 Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο Τριγωνομετρία 1880 Δίνεται ότι συνφ με 0 φ α) Να υολογίσετε το ημφ (Μονάδες 1) β) Αν η γωνία ω είναι συμληρωματική της φ, να βρείτε το ημω, το συνω και την εφω (Μονάδες 1)

27 16 16 α) Έχουμε ότι ημ φ συν φ 1 ημ φ 1 ημ φ 1 ημ φ 1 9 ημ φ ημφ Εειδή 0 φ, είναι ημφ 0 άρα ημφ β) Έχουμε ότι ω 90 φ με 0 ω Για τις συμληρωματικές γωνίες ισχύει ότι το ημίτονο της μίας είναι ίσο το συνημίτονο της άλλης, δηλαδή ημω ημω ημ 90 φ συνφ, συνω συν 90 φ ημφ και εφω συνω 18810Δίνεται ότι συνφ, με 0 φ α) Να υολογίσετε το ημφ (Μονάδες 1) β) Αν η γωνία ω είναι αραληρωματική της φ, να βρείτε το ημω, το συνω και την εφω (Μονάδες 1) α) ημ φ συν φ 1 ημ φ 1 ημ φ 1 ημ φ 1 ημ φ 9 ημφ ημφ Εειδή 0 φ δηλαδή είμαστε στο 1 ο τεταρτημόριο με ημφ 0, άρα 0 β) Αφού ω είναι αραληρωματική της φ τότε ω 180 φ άρα, ημω ημ 180 φ ημφ συνω συν 180 φ συνφ και ημω εφω συνω 0 0 ημφ 1886 Δίνεται ότι συνφ, με φ α) Να υολογίσετε το ημφ (Μονάδες 1) β) Αν η γωνία ω είναι αραληρωματική της φ, να βρείτε το ημω, το συνω και την εφω (Μονάδες 1) α) Είναι 9 9 ημ φ συν φ 1 ημ φ 1 ημ φ 1 ημ φ

28 7 7 7 ημ φ ημφ Εειδή φ είναι ημφ 0, άρα ημφ 7 β) Είναι ω φ, άρα ημω ημ 180 φ ημφ, 7 ημω συνω συν180 φ συνφ και εφω συνω Δίνεται ότι ημφ με φ α) Να υολογίσετε το συνφ (Μονάδες 1) β) Αν η γωνία ω είναι αραληρωματική της φ, να βρείτε το ημω, το συνω και την εφω (Μονάδες 1) α) Έχουμε ότι συν φ 1 συν φ 9 ημ φ συν φ 1 συν φ 1 συν φ συνφ Εειδή φ, είναι συνφ 0 άρα συνφ β) Έχουμε ότι ω 180 φ, άρα 0 ω Οι αραληρωματικές γωνίες έχουν ίδια ημίτονα και αντίθετους τους υόλοιους τριγωνομετρικούς αριθμούς, δηλαδή 7 ημω ημω ημφ, συνω συνφ και εφω σ υνω Στο διλανό σχήμα δίνεται η ευθεία (ε) και οι γωνίες φ και θ α) Ισχύει ότι το συνφ είναι θετικό και το συνθ είναι αρνητικό; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας β) Σας δίνεται ότι το συνημίτονο μιας αό τις γωνίες φ και θ είναι ίσο με i Ποια εκ των γωνιών φ και θ έχει συνημίτονο ίσο με ; ii Να βρείτε το συνημίτονο ο της άλλης γωνίας (Μονάδες 1) 6

29 α) Εειδή η γωνία φ είναι οξεία ( 0 φ ) τότε συνφ 0 και η γωνία θ είναι αμβλεία ( θ ) τότε συνθ 0 β) i) Αφού συνφ 0 τότε συνφ ii) Είναι θ φ οότε συνθ συν φ συνφ 1911Στο διλανό σχήμα δίνεται η γωνία θ α) Το συνθ είναι θετικό ή αρνητικό; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας 1 β) Αν ημθ να βρείτε το συνθ (Μονάδες 1) α) Εειδή θ τότε συνθ 0 β) Αό τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα γνωρίζουμε ότι ημ θ συν θ συν θ 1 συν θ 1 συν θ συν θ συνθ,όμως συνθ 0 άρα συνθ Στο διλανό σχήμα δίνεται η ορθή γωνία ΒΑΓ και οι γωνίες ω με συνω και φ α) Να αοδείξετε ότι ημω β) Να βρείτε τα ημφ, συνφ (Μονάδες 7) (Μονάδες 18) α) Είναι ημ ω 1 ημ ω 1 9 ημ ω συν ω 1 ημω, όμως 9 9 ημ ω 1 ημ ω 0 ω οότε ημω 0 άρα ημω β) Εειδή φ ω τότε ημφ ημ ω συνω και συνφ συν ω ημω 7

30 191 Στο διλανό σχήμα δίνεται η ευθεία (ε) και οι γωνίες φ με ημφ και θ α) Να υολογίσετε το συνφ (Μονάδες 1) β) Να υολογίσετε ημθ, συνθ 9 9 α) Είναι ημ φ συν φ 1 συν φ 1 συν φ 1 συν φ 1 16 συν φ συνφ,όμως 0 φ οότε συνφ 0 άρα συνφ β) Είναι θ φ οότε ημθ ημ φ ημφ κ συνθ συν φ συνφ και 190 Στο διλανό σχήμα δίνεται η ευθεία (ε) και οι γωνίες φ και θ Σας δίνεται ότι το συνημίτονο μιας αό τις γωνίες φ και θ είναι ίσο με α) Ποια εκ των γωνιών φ και θ έχει συνημίτονο και γιατί; β) Να βρείτε το συνημίτονο της άλλης γωνίας (Μονάδες 1) α) Η γωνία φ είναι οξεία και το συνημίτονό της είναι θετικός αριθμός, ενώ η θ είναι αμβλεία και το συνημίτονό της είναι αρνητικός αριθμός, άρα συνθ β) Εειδή οι γωνίες φ και θ είναι αραληρωματικές, ισχύει ότι: Είναι συνφ συν180 θ συνθ 191Στο διλανό σχήμα δίνεται η ευθεία ε και οι γωνίες θ και φ με συνφ α) Να υολογίσετε το ημφ (Μονάδες 1) β) Να υολογίσετε τα ημθ, συνθ α) 16 ημ φ συν φ 1 ημ φ 1 ημ φ ημφ ημφ ημ φ 1 ημ φ 8

31 Εειδή συνφ 0 είναι φ 0, άρα ημφ 0, οότε ημφ 0 β) Η γωνία θ είναι αραληρωματική της γωνίας φ δηλαδή θ 180 φ, άρα 0 ημθ ημ 180 φ ημφ και συνθ συν 180 φ συνφ Στο διλανό σχήμα δίνεται η ευθεία (ε) και οι γωνίες θ με ημθ και φ α) Να αοδείξετε ότι συνθ (Μονάδες 1) β) Να υολογίσετε τα ημφ, συνφ (Μονάδες 1) α) Είναι συν θ 1 συν θ 1 συν θ 1 ημ θ συν θ 1 16 συνθ Όμως η γωνία θ είναι αμβλεία, άρα συνθ 0, οότε συνθ β) Εειδή οι γωνίες φ και θ είναι αραληρωματικές, ισχύει ότι: συνφ συν180 θ συνθ και ημφ ημ 180 θ ημθ 19 Στο αρακάτω σχήμα δίνεται η ορθή γωνία ΒΑΓ και οι γωνίες ω με ημω και φ α) Να αοδείξετε ότι συνω β) Να βρείτε τα ημφ, συνφ (Μονάδες 7) (Μονάδες 18) β) Εειδή οι γωνίες ω και φ είναι συμληρωματικές, ισχύει ότι φ 90 ω, άρα ημφ ημ 90 ω συνω α) ημ ω συν ω 1 συν ω 1 συν ω 1 συν ω συνω Εειδή 0 ω 90, είναι συνω 0, άρα συνω και συνφ συν 90 ω ημω 9

32 Δίνεται η εξίσωση: ημx 1 ημx 0 α) Να βρείτε το ημx β) Αν x 0,, να υολογίσετε: i το συνx (Μονάδες 8) ii την εφx (Μονάδες 9) (Μονάδες 8) ημx 1 ημx 0 ημx 1 ή ημx α) β) i) Αν Είναι συνx x 0, τότε ημx 0, οότε συν x 1 συν x 1 συν x ημ x συν x 1 ημx Εειδή x 0, είναι συνx 0, άρα συνx ii) ημx εφx συνx 1907Στον διλανό κύκλο, οι γωνίες ω και φ είναι είκεντρες, με συνφ 0,8 α) Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας ω β) Αν ο κύκλος έχει διάμετρο ΑΒ = 0cm και το τόξο ΑΜ έχει μήκος cm, τότε: i) Να αοδείξετε ότι η γωνία ω είναι ίση με, rad (ακτίνια) ii) Nα βρείτε το συνημίτονοο της γωνίας ου έχει μέτρο ίσο με, rad (ακτίνια) (Μονάδες ) α) Είναι: τότε : (180) 0,8 β) i)γνωρίζουμε ότι το μήκος του τόξου ΑΜ είναι : R, α= είκεντρη γωνία σε ακτίνια, R= ακτίνα του κύκλου R 10, 10 rad ii) Η γωνία ου έχει μέτρο ίσο με, rad είναι η ω και έχει συνημίτονο: 0,8 190 Δίνεται η εξίσωση α) Να βρείτε το συνx 1 συνx συνx 0 (Μονάδες 9) 0

33 β) Αν x, να υολογίσετε: i το ημx (Μονάδες 8) ii την εφx (Μονάδες 8) α) συνx συνx 0 συνx 0 συνx ή συνx 0 συνx β) Αν x,, τότε συνx 0, οότε συνx i Είναι ημ x συν x 1 ημ x 1 ημ x 1 ημ x 1 ημx Εειδή x,, είναι ημx 0 άρα ημx ημx ii εφx συνx 191 Δίνεται η εξίσωση ημx ημx 0 α) Να βρείτε το ημx (Μονάδες 1) β) Αν x, να υολογίσετε: i το συνx (Μονάδες 6) ii την εφx (Μονάδες 6) ημx ημx 0 ημx 0 ημx αδύνατο ή ημx 0 ημx α) 9 β) i Είναι ημ x συν x 1 συν x 1 συν x συν x 1 συνx Εειδή x,, είναι συνx 0 άρα συνx ημx ii εφx συνx 1 19 Δίνεται η εξίσωση συνx συνx 0 α) Να βρείτε το συνx (Μονάδες 1) x 0, να υολογίσετε: β) Αν i το ημx (Μονάδες 6) ii την εφx (Μονάδες 6) 1

34 α) συνx συνx 0 συνx 0 συνx ή συνx 0 συνx αδύνατο β) i Είναι ημ x συν x 1 ημ x 1 ημ x 1 ημ x ημx 1 Εειδή x 0,, είναι ημx 0 άρα 1 ημx ii εφx συνx 1 1 Τριγωνoμετρικές συναρτήσεις 1917 Δίνεται η συνάρτηση f x 1 ημx ημx με εδίο ορισμού το α) Ποια είναι η ερίοδος της συνάρτησης; (Μονάδες ) β) Ποια είναι η μέγιστη και οια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; f 0 f 8 γ) Να αοδείξετε ότι α) Είναι = = ω 1 β) Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι το και την αίρνει όταν ημx 1, δηλαδή όταν x κ και το ελάχιστο είναι το και το αίρνει όταν x κ, κ γ) Ισχύει: f 0 ημ0 0 και f 8 ημ8 ημ 0 Άρα f 0 f Δίνεται η συνάρτηση f x ημx με εδίο ορισμού το α) Ποια είναι η ερίοδος της συνάρτησης; (Μονάδες ) β) Ποια είναι η μέγιστη και οια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; f 0 f 6 γ) Να αοδείξετε ότι α) Είναι = = ω 1 β) Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι το και την αίρνει όταν ημx 1, δηλαδή όταν x κ και το ελάχιστο είναι το και το αίρνει όταν x κ, κ γ) Είναι f 0 ημ0 0 και f 6 ημ6 ημ 0, άρα f 0 f 6

35 1919Δίνεται η συνάρτηση f x συνx με εδίο ορισμού το α) Ποια είναι η ερίοδος της συνάρτησης; (Μονάδες ) β) Ποια είναι η μέγιστη και οια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; f 0 f γ) Να αοδείξετε ότι α) Είναι = = ω 1 β) Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι το και τη αίρνει όταν συνx 1 δηλαδή όταν x κ και το ελάχιστο είναι το x κ 1, κ Z και το αίρνει όταν γ) Ισχύει: f 0 συν0 1 και f συν 1, άρα f 0 f 1910 Δίνεται η συνάρτηση f x συνx με εδίο ορισμού το α) Ποια είναι η ερίοδος της συνάρτησης; (Μονάδες ) β) Ποια είναι η μέγιστη και οια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; f 0 f γ) Να αοδείξετε ότι α) Είναι = = ω 1 β) Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι το και το αίρνει όταν συνx 1 δηλαδή όταν x κ, και το ελάχιστο είναι το x κ 1, κ και το αίρνει όταν γ) Ισχύει: f 0 συν0 1 και f συν 1, άρα f 0 f 1911Δίνεται η συνάρτηση 1 f ( x) ημx με εδίο ορισμού το α) Ποια είναι η ερίοδος της συνάρτησης; (Μονάδες ) β) Ποια είναι η μέγιστη και οια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; f 0 f γ) Να αοδείξετε ότι: Η συνάρτηση 1 f ( x) ημx είναι της μορφής f ( x) ρημ ωx με ρ= 1 α) Η ερίοδος Τ της f δίνεται αό τον τύο Τ= ω συνεώς Τ= 1 1 β) Η μέγιστη τιμή της f είναι ρ (ρ 0 ) 1 Η ελάχιστη τιμή της f είναι ρ ( ρ 0 ) και ω=1

36 γ) Είναι 1 1 f ( 0 ημ ), f ημ ημ0 0 άρα f 0 f 191Δίνεται η συνάρτηση f x 0,ημx με εδίο ορισμού το α) Ποια είναι η ερίοδος της συνάρτησης; (Μονάδες ) β) Ποια είναι η μέγιστη και οια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; f f γ) Να αοδείξετε ότι Η συνάρτηση f x 0,ημx είναι της μορφής f ( x) ρημ ωx με ρ 0, και ω 1 α) Η ερίοδος Τ της f δίνεται αό τον τύο T συνεώς Τ= ω 1 β) Η μέγιστη τιμή της f είναι ρ 0, (ρ 0 ) Η ελάχιστη τιμή της f είναι ρ 0, ( ρ 0 ) γ) Είναιf 0,ημ 0,ημ0 0,0 0, άρα f f f 0,ημ 0,ημ Δίνεται η συνάρτηση f x ημx με εδίο ορισμού το α) Ποια είναι η ερίοδος της συνάρτησης; (Μονάδες ) β) Ποια είναι η μέγιστη και οια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; f f γ) Να αοδείξετε ότι Η συνάρτηση f x ημx είναι της μορφής f x ρημ ωx με ρ και ω 1 α) Η ερίοδος Τ της f δίνεται αό τον τύο Τ= ω συνεώς Τ= 1 β) Η μέγιστη τιμή της f είναι ρ (ρ 0 ) Η ελάχιστη τιμή της f είναι ρ ( ρ 0 ) γ) Είναι f ημ 0 0, f ημ ημ ημ 0,άρα f f 1918Δίνεται η συνάρτηση f x συνx με εδίο ορισμού το α) Ποια είναι η ερίοδος της συνάρτησης; (Μονάδες ) β) Ποια είναι η μέγιστη και οια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; f 0 f γ) Να αοδείξετε ότι Η συνάρτηση f x συνx είναι της μορφής f x ρσυν ωx με ρ και ω 1

37 α) Η ερίοδος Τ της f δίνεται αό τον τύο Τ= ω β) Η μέγιστη τιμή της f είναι ρ (ρ 0 ) Η ελάχιστη τιμή της f είναι ρ ( ρ 0 ) συνεώς Τ= 1 γ) Είναι f 0 συν0 1, f συν συν(0),άρ ρα f 0 f 1910Δίνεται η συνάρτηση α) Ποια είναι η ερίοδος της συνάρτησης; β) Να υολογίσετε τις τιμές f 0,f,f γ) Να αοδείξετε ότι: Η συνάρτηση f x f 0 f 0 συνx f x α) Η ερίοδος Τ της f δίνεται αό τον τύο Τ= ω συνx με εδίο ορισμού το είναι της μορφής f x ρσυν ωx με ρ και συνεώς Τ= 1 (Μονάδες ) ω 1 β) f 0 συν0, γ) f 0 f 0 f συν, f συν συν0 1909Οι μαθητές της Β Λυκείου ενός ΕΠΑΛ μαίνοντας στο εργαστήριο ηλεκτρονικών εφαρμογών είδαν σε μια οθόνη ροβολών σχεδιασμένη αυτή τη γραφική αράσταση και σε ένα ίνακα δίλα γραμμένη τη φράση «συνάρτηση ημίτονο» α) Χρησιμοοιώντας το σχήμα να βρείτε οια είναι η ερίοδος της συνάρτησης αυτής (Μονάδες 7) β) Ποιο είναι το μέγιστο και οιο το ελάχιστο αυτής της συνάρτησης; γ) i) Να γράψετε τον τύο της συνάρτησης (Μονάδες 8) ii) Να γράψετε τον τύο μιας ημιτονοειδούς συνάρτησης ου η ερίοδός της να είναι ίση με τη μισή ερίοδο της συνάρτησης του σχήματος α) Αό το σχήμα αρατηρούμε ότι η ερίοδος της συνάρτησης είναι: T β) Το μέγιστο είναι ymax και το ελάχιστο είναι y min

38 γ) i) Ο τύος της συνάρτηση ης είναι της μορφής y ρημ ωx T ω ω ω, άρα είναι η y ημx με ρ και ii) Εειδή έχει τη μισή ερίοδο της συνάρτησης του σχήματος, είναι ω, άρα μια τέτοια συνάρτηση έχει τύο y ημx ω Τότε 1910Ένας μαθητής του τμήματος Βηλ ενός ΕΠΑΛ σχεδίασε στο τετράδιό του το αρακάτω σχήμα, αντιγράφοντας αό τον ίνακα στην ώρα των μαθηματικών Δεν ρόλαβε να σχεδιάσει όλο το σχήμα Θυμόταν όμως ότι ρόκειται για τη συνάρτηση ημίτονο α) Ποια είναι η ερίοδος της συνάρτησης και οιο είναι το μέγιστο αυτής; β) Nα γράψετε τον τύο της συνάρτησης (Μονάδες ) γ) Να γράψετε την τετμημένη x του σημείου Α και το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ α) Αό τη γραφική αράσταση αρατηρούμε ότι έχει ερίοδο και μέγιστο το β) Η γραφική αράσταση είναι της μορφής: y ρ ημωx, με ρ = και Τ ω 1 ω ω Άρα ο τύος της συνάρτησης είναι: y ημx γ) α τρόος (γραφικά) Παρατηρούμε ότι στο σημείο Γ η συνάρτηση αρουσιάζει μέγιστο Τ Άρα yγ ΑΓ και x Γ β τρόος (αλγεβρικά) Παρατηρούμε ότι το σημείο Γ έχει τεταγμένη, δηλαδή y( Γ ΑΓ) και x 0, Αντικαθιστώντας στον τύο της συνάρτησης, αό το (β) ερώτημα ροκύτει: y y ημx x [0,] ημx 1 ημx x 6

39 1911 Στο αρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική αράσταση μιας συνημιτονοειδούς συνάρτησης Είσης δίνονται οι τύοι δύο οριζόντιων ευθειών και οι συντεταγμένες του σημείου Β α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α (Μονάδες ) β) Να βρείτε την ερίοδο και το μέγιστο της συνάρτησης Να βρείτε και μια τιμή του x για την οοία η αραάνω συνάρτηση αρουσιάζει μέγιστο (Μονάδες 1) γ) Να γράψετε τον τύο της συνάρτησης (Μονάδες ) α) Παρατηρούμε ότι το σημείο Α βρίσκεται άνω στον άξονα x x, άρα οι συντεταγμένες του θα είναι x,0 Ειλέον αρατηρούμε το Α και το Β έχουν την ίδια τετμημένη Οότε και έτσι οι συντεταγμένες του Α είναι (,0) xa β) Αό τη γραφική αράσταση αρατηρούμε ότι η συνάρτηση έχει ερίοδο, και αρουσιάζει μέγιστο στο σημείο Β Άρα το μέγιστο της συνάρτησης θα είναι το y Β Αφού το Β έχει συντεταγμένες (,) άρα για x η συνάρτηση αρουσιάζει μέγιστο γ) Η γραφική αράσταση είναι της μορφής: y ρσυνωx, με ρ και ω ω ω ω Άρα ο τύος της συνάρτησης είναι: y συνx 191α) Αν θεωρήσουμε ένα κύκλο ακτίνας 1cm, τότε όσο μήκος (σε cm) αντιστοιχεί σε ένα τόξο: i) 1 ακτινίου (rad); (Μονάδες ) ii) ακτινίων (rad); (Μονάδες ) β) Στο διλανό σχήμα έχει σχεδιαστεί η γραφική αράσταση μιας ημιτονοειδούς συνάρτησης f Το μήκος του ΑΒ είναι 1 εκατοστό και το μήκος του ΟΓ είναι 6 εκατοστά i) Ποια είναι η τετμημένη (το x) του σημείου Γ; (Μονάδες ) ii) Πόσο μήκος σε εκατοστά έχει το τμήμα ΟΔ; 7

40 (Μονάδες ) ii) Ποια είναι η ερίοδος της συνάρτησης f; Μορεί ο τύος της f να είναι ο f(x) ημx ; (Μονάδες 8) α) Γνωρίζουμε ότι το τόξο ενός ακτινίου είναι το τόξο ου έχει μήκος ίσο με την ακτίνα του κύκλου Οότε: i) το μήκος ου αντιστοιχεί σε τόξο 1rad είναι 1cm (αφού ο κύκλος έχει ακτίνα 1cm) ii) το μήκος ου αντιστοιχεί σε τόξο rad είναι cm,1 cm 6,8 cm β) i) Το σημείο Γ βρίσκεται άνω στον άξονα x x, και εειδή (ΟΓ) = 6 εκατοστά, το σημείο Γ θα έχει τετμημένη 6 ii) Εειδή ισχύει (ΟΔ) (ΟΓ) ΟΔ 6 cm 1 cm, άρα iii) Η συνάρτηση f έχει ερίοδο Τ(ΟΔ) 1 cm και λάτος (ΑΒ) 1 α τρόος (γραφικά) Ο τύος της συνάρτησης δεν μορεί να είναι ο f(x) ημx Θα έρεε τότε η ερίοδος της συνάρτησης να είναι Αό τη γραφική αράσταση όμως ροκύτει ότι η ερίοδος της συνάρτησης είναι ΟΔ 1 β τρόος (αλγεβρικά) Η γραφική αράσταση είναι της μορφής: f(x) ρ ημωx, με ρ = 1 και Τ 1 1ω ω ω ω 1 6 x Άρα ο τύος της συνάρτησης είναι: f x 1 ημ x ημ και όχι f(x) ημx 6 6 Τριγωνομετρικές εξισώσεις 1 191α) Να λύσετε την εξίσωση ημx στο διάστημα, (Μονάδες 1) β) Ποια είναι η τιμή του συνημίτονου του x του ροηγούμενου ερωτήματος (Μονάδες 1) α) 1 ος τρόος: Η f x Η εξίσωση γράφεται ος τρόος: Είναι cm ημx είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, ημx, ημx ημ x ημ 6, εομένως η εξίσωση γράφεται ημx ημ 6, οότε οι λύσεις x κ 6 δίνονται αό τους τύους κ Όμως x, x κ, άρα: 6 Αν x κ, τότε η τελική λευρά της γωνίας θα είναι στο ρώτο τεταρτημόριο οότε 6 αορρίτεται 8

41 Αν x κ τότε κ κ κ κ Όμως κ ακέραιος άρα κ 0 οότε x β) Αφού x 6 τότε συνx συν συν συν α) Να λύσετε την εξίσωση ημx στο διάστημα 0, (Μονάδες 1) β) Ποια είναι η τιμή του συνημίτονου του x του ροηγούμενου ερωτήματος (Μονάδες 1) α) 1 ος τρόος: Η συνάρτηση f x ημx είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ημx 10, 0, Είναι ημx ημx ημ x ος τρόος: ημx ημx ημ x κ ή x κ, κ Αν x κ, τότε x 0, 0 κ 1 1 κ κ όμως κ ακέραιος άρα κ 0 οότε x Αν x κ, τότε η τελική λευρά της γωνίας θα είναι στο δεύτερο τεταρτημόριο οότε αορρίτεται β) Αφού x,είναι 1 συνx συν α) Να λύσετε την εξίσωση συνx στο διάστημα 0, (Μονάδες 1) β) Ποια είναι η τιμή του ημιτόνου του x του ροηγούμενου ερωτήματος (Μονάδες 1) α) 1 ος τρόος: Η συνάρτηση f x συνx είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα συνx 0, 1 Είναι συνx συνx συν x ος 1 τρόος: συνx συνx συν x κ κ 0, 9

42 Αν x κ, τότε x 0, 0 κ 1 1 κ κ όμως κ ακέραιος άρα κ 0 οότε x Αν x κ, τότε η τελική λευρά της γωνίας θα είναι στο ο τεταρτημόριο οότε αορρίτεται β) Αφού x,είναι ημx ημ 1916α) Αν για x, ισχύει ότι 1 συνx να αοδείξετε ότι ημx (Μονάδες 1) β) Να βρείτε την τιμή του x του ροηγουμένου ερωτήματος (Μονάδες 1) 1 1 α) x x 1 x 1 x 1 Εειδή x,, είναι x 0, άρα x 1 x 1 x 1 β)1ος τρόος: συνx συνx συν συνx συν x x Αν x, τότε 1 1 x Εειδή ο κ είναι ακέραιος, θα είναι 0, άρα x Αν x, τότε ου είναι αδύνατο αφού ο κ είναι ακέραιος 1 6 ος τρόος: Θεωρούμε συνάρτηση f x ημx με εδίο ορισμού Df για την οοία ισχύει f με, Άρα η λύση x είναι μια ροφανής λύση της εξίσωσης ημx στο, Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, άρα η λύση 0

43 x είναι μοναδική 1917α) Να λύσετε την εξίσωση ημx στο διάστημα 0, (Μονάδες 1) β) Ποια είναι η τιμή του ημιτόνου της αραληρωματικής γωνίας της x του ροηγούμενου ερωτήματος (Μονάδες 1) α) 1ος τρόος: ημx ημx ημ x κ ή x κ κ, κ Αν x, τότε Εειδή ο κ είναι 8 8 ακέραιος, είναι 0, άρα x Αν x, τότε η τελική λευρά της γωνίας βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο και αορρίτεται αφού x 0, ος τρόος: Θεωρούμε τη συνάρτηση f x ημx με εδίο ορισμού Df για την οοία ισχύει f με 0, Άρα η λύση x είναι μια ροφανής λύση της εξίσωσης ημx στο 0, Η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, άρα η λύση x είναι μοναδική β) Η αραληρωματική γωνία της είναι η και εειδή οι αραληρωματικές γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο, ισχύει ότι: 19160α) Να λύσετε την εξίσωση ημx στο διάστημα 0, (Μονάδες 1) β) Ποια είναι η τιμή του συνημίτονου της συμληρωματικής γωνίας της x ου βρήκατε στο ροηγούμενο ερώτημα (Μονάδες 1) α) 1ος τρόος: ημx ημx ημ x κ ή x κ κ, κ 1

44 Αν x, τότε 0 Εειδή ο κ είναι ακέραιος, είναι 0, άρα Αν x x , τότε η τελική λευρά της γωνίας βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο και αορρίτεται αφού x 0, ος τρόος: Θεωρούμε τη συνάρτηση f x ημx με εδίο ορισμού Df για την οοία ισχύει f με 0, Άρα η λύση x είναι μια ροφανής λύση της εξίσωσης ημx στο 0, Η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, άρα η λύση x είναι μοναδική β) Η συμληρωματική της γωνίας είναι η 6 6 και το συνημίτονό της είναι: 1 19α) Να λύσετε την εξίσωση ημx, αν x 0, (Μονάδες 1) 1 β) Αν ημx και x,0 οια είναι η τιμή του x; 1 α) 1ος τρόος: ημx ημx ημ x κ ή x κ κ, κ Αν x 6, τότε Εειδή ο κ είναι ακέραιος, είναι 0, άρα x 6 Αν x 6, τότε Εειδή ο κ είναι ακέραιος, είναι 0, άρα x 6 ος τρόος: Θεωρούμε τη συνάρτηση f x ημx με εδίο ορισμού Df για την οοία

45 1 1 ισχύει f και f με 0, και, 6 Η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, άρα η x είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης 6 1 f x στο διάστημα 0, Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο,, άρα η λύση x είναι η μοναδική λύση της 6 εξίσωσης στο διάστημα, 1 Άρα οι λύσεις της εξίσωσης ημx στο διάστημα 0, είναι x και x 6 6 β) Αό τις ροηγούμενες λύσεις, η x βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο και η συμμετρική 6 της ως ρος τον άξονα x x, η x βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο και έχει : 6 1 Εειδή η 6 6 f x x είναι γνησίως αύξουσα στο,0, η x 6 είναι η μοναδική λύση της 1 ημx στο διάστημα αυτό