ΑΚΡΙΒΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ. u,υ / A ονομάζεται ακριβές διαφορικό όταν υπάρχει. df u x,y dx υ x,y dy. f u και. f y. 3 f. και

Transcript

1 Το άθροισμα u,d διαφορίσιμη συνάρτηση f / A Παράδειγμα υ, d, με με Το άθροισμα ΑΚΡΙΒΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ u,υ / A ονομάζεται ακριβές διαφορικό όταν υπάρχει df u,d υ,d f u f υ 6 d 9 d είναι ακριβές διαφορικό, διότι αν f, / τότε ισχύει ότι f f 6 9 Στην επόμενη πρόταση δίδεται μια ικανή αναγκαία συνθήκη για να είναι ένα άθροισμα ακριβές Πρόταση 1 Για δύο συναρτήσεις είναι ακριβές αν μόνο αν Εφαρμογή Να αποδειχθεί ότι το άθροισμα u,υ / A με συνεχείς μερικές παραγώγους u υ u, d υ, d sin d cos d είναι ακριβές, να ευρεθεί μια διαφορίσιμη συνάρτηση f/ με df sin d cos d u υ, το άθροισμα Λύση Αν τεθούν τότε ισχύει με u υ cos u, sin υ, cos οπότε, σύμφωνα με την πρόταση 1, θα υπάρχει μια διαφορίσιμη συνάρτηση f f sin f cos () Επομένως, ολοκληρώνοντας τα δύο μέλη της σχέσης ως προς προκύπτει ότι

2 όπου c f, sin c () είναι η σταθερά της ολοκλήρωσης, η οποία θα είναι μια συνάρτηση του Στη συνέχεια, παραγωγίζοντας τα δύο μέλη της σχέσης () ως προς προκύπτει ότι f cos c () οπότε από τις σχέσεις () () θα είναι c Άρα κάθε συνάρτηση f της μορφής όπου κ, είναι λύση του προβλήματος τελικά f, sin κ c κ, όπου κ Ακριβής διαφορική εξίσωση Κάθε διαφορική εξίσωση της μορφής u,d υ,d 0 της οποίας το πρώτο μέλος είναι ένα ακριβές διαφορικό ονομάζεται ακριβής ή πλήρης Για να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης, αρκεί να βρεθεί μια διαφορίσιμη συνάρτηση f με df u,d υ,d Τότε η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα df 0 f, c η λύση της δίνεται στην παραπάνω πεπλεγμένη μορφή f, Παράδειγμα Για τη διαφορική εξίσωση έχουμε c sin d cos d 0 f, sin df sin d cos d Συνεπώς, η αρχική διαφορική εξίσωση δίνει για την οποία ισχύει ισοδύναμα, όπου c df 0 sin c Διαφορικές εξισώσεις που ανάγονται σε ακριβείς Υπάρχουν περιπτώσεις διαφορικών εξισώσεων της μορφής u,d υ,d 0 οι οποίες αν δεν είναι ακριβείς, ανάγονται σε ακριβείς διαφορικές εξισώσεις Συγκεκριμένα, επιλέγεται κατάλληλη θετική συνάρτηση I,, η οποία ονομάζεται ολοκληρωτικός παράγοντας, ώστε η ισοδύναμη εξίσωση

3 να είναι ακριβής I,u,d I,υ,d 0 Λυμένες ασκήσεις Άσκηση 1 Να αποδειχθεί ότι το άθροισμα e e d e e d είναι ακριβές διαφορικό, στη συνέχεια να βρεθεί μια διαφορίσιμη συνάρτηση που το διαφορικό της να είναι ίσο με το δοσμένο άθροισμα Λύση Αν τεθεί, u, e e υ, e e τότε θα είναι u e e υ e e, u υ οπότε, σύμφωνα με την πρόταση 1, έπεται ότι θα υπάρχει διαφορίσιμη συνάρτηση f/ για την οποία ισχύει df u,d υ,d f e e f e e Ολοκληρώνοντας τη σχέση ως προς, προκύπτει ότι f, e e c () c είναι η σταθερά ολοκλήρωσης όπου Από τη σχέση () προκύπτει ότι f e e c () e e c () c 0, οπότε c Από τις σχέσεις () () έπεται ότι k, με k Άρα, από τη σχέση (), προκύπτει ότι το διαφορικό κάθε συνάρτησης της μορφής f, e e, k είναι ίσο με το δοσμένο άθροισμα

4 Άσκηση Να αποδειχθεί ότι η διαφορική εξίσωση cos sin d cos sin d 0 είναι ακριβής, να βρεθεί η γενική λύση της Λύση Αν τεθούν u, cos sin υ, cos sin τότε θα είναι u υ sin sin, οπότε η δοσμένη διαφορική εξίσωση είναι ακριβής Έτσι, θα υπάρχει μια διαφορισίμη συνάρτηση για την οποία ισχύει η σχέση f/ df cos sin d cos sin d f cos sin () f cos sin () Ολοκληρώνοντας τα δύο μέλη της σχέσης () ως προς, προκύπτει ότι f, cos cos c () όπου c είναι η σταθερά ολοκλήρωσης Από τη σχέση () προκύπτει ότι f sin cos c Από τις σχέσεις () (5) προκύπτει ότι Έτσι, κάθε συνάρτηση της μορφής (5) c 0 επομένως, η συνάρτηση f, cos cos k όπου k είναι μια πραγματική σταθερά, ικανοποιεί την εξίσωση c είναι σταθερή Τότε όμως, η δοσμένη διαφορική εξίσωση γίνεται df 0 f : σταθερή συνάρτηση Έτσι, η γενική λύση της δοσμένης διαφορικής εξίσωσης δίνεται σε πεπλεγμένη μορφή από την εξίσωση cos cos c όπου c Άσκηση Να λυθεί η διαφορική εξίσωση όταν d d 0

5 Λύση Αν τεθούν u, υ, θα είναι u 6 υ, οπότε η δοσμένη διαφορική εξίσωση θα είναι ακριβής Έτσι, θα υπάρχει μια διαφορίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι df d d f () f () Ολοκληρώνοντας τα δύο μέλη της σχέσης () ως προς, προκύπτει f, c () όπου c είναι η σταθερά ολοκλήρωσης Από τη σχέση () προκύπτει ότι f c (5) Από τις σχέσεις () (5) προκύπτει ότι 1 1 c επομένως, c k, όπου k Έτσι, κάθε συνάρτηση της μορφής 1 f, k ικανοποιεί την εξίσωση Επομένως, η δοσμένη διαφορική εξίσωση γίνεται 1 df 0 d 0 1 c (6) f/

6 όπου c Επιπλέον, επειδή 1 όταν 1, προκύπτει ότι c 0 οπότε η σχέση (6) δίνει Τέλος, επειδή 0, προκύπτει ότι η ζητούμενη λύση είναι η συνάρτηση Άσκηση Δίνεται η διαφορική εξίσωση d 1 d 0 α) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση αυτή δεν είναι ακριβής β) Να αναχθεί η δοσμένη διαφορική εξίσωση σε ακριβή, με τη βοήθεια του ολοκληρωτικού παράγοντα I, γ) Να βρεθεί η γενική λύση της δοσμένης διαφορικής εξίσωσης Λύση α) Επειδή 9 1, προκύπτει ότι η δοσμένη διαφορική εξίσωση δεν είναι ακριβής β) Αν υποτεθεί ότι 0, πολλαπλασιάσουμε τα δύο μέλη της δοσμένης διαφορικής εξίσωσης με, προκύπτει η διαφορική εξίσωση d d 0 Αν τεθεί u, υ, τότε θα είναι u υ επομένως, η διαφορική εξίσωση είναι ακριβής γ) Επειδή η διαφορική εξίσωση είναι ακριβής, θα υπάρχει μια διαφορίσιμη συνάρτηση f/ για την οποία ισχύουν f f Ολοκληρώνοντας ως προς τα δύο μέλη της πρώτης από τις παραπάνω σχέσεις, προκύπτει ότι f, c όπου c είναι η σταθερά ολοκλήρωσης Τότε, θα είναι επομένως, για κάποιο k f c 1 c c k

7 1 Άρα f, k, η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης δίνεται σε πεπλεγμένη μορφή από τη σχέση 1 c όπου c Τέλος, η γενική λύση της δοσμένης διαφορικής εξίσωσης αποτελείται από την παραπάνω γενική λύση της, καθώς από τη λύση 0, που εξαιρέθηκε λόγω του περιορισμού 0 στο β)