1 η Ενότητα Κλασική Μηχανική

Εικόνα: Η κίνηση μπορεί να είναι αναζωογονητική και όμορφη. Αυτά τα σκάφη ανταποκρίνονται σε δυνάμεις αέρα, νερού, και του βάρους του πληρώματος όσο προσπαθούν να ισορροπήσουν στην άκρη του. 1 η Ενότητα Κλασική Μηχανική

Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Στους αγώνες drag, ο οδηγός θέλει να επιτύχει όσο γίνεται μεγαλύτερη επιτάχυνση. Σε απόσταση περίπου μισού χιλιομέτρου, το όχημα αναπτύσσει ταχύτητες κοντά στα 515 km/h, καλύπτοντας την απαιτούμενη απόσταση σε λιγότερο από 5 sec. (George Lepp/Stone/Getty Images) Κίνηση σε Μια Διάσταση

Κίνηση σώματος σε μια ευθεία γραμμή Κίνηση σε έναν οριζόντιο/κατακόρυφο άξονα αλλά σε κάθε περίπτωση σε ευθεία γραμμή! Σώμα == σωματίδιο Θεωρούμε απειροστά μικρό το μέγεθός του Θα γνωρίσουμε τους βασικούς ορισμούς της κινητικής αρχικά σε μια διάσταση και μετά σε δυο διαστάσεις Αυτοί είναι: Η Θέση Η Ταχύτητα Η Επιτάχυνση ενός σώματος

Θέση x : διάνυσμα που ορίζει την τοποθεσία του σώματος σε σχέση με ένα σημείο αναφοράς (συχνά το 0) Διανυσματικό μέγεθος Δε θα το χειριζόμαστε πρακτικά ως τέτοιο (ακόμα) Θα θεωρήσουμε έναν βαθμονομημένο άξονα στον οποίο γίνεται η κίνηση Το πρόσημο μας δηλώνει τη φορά του διανύσματος Η θέση μπορεί να είναι θετική ή αρνητική - ως τιμή Θετική τιμή : το διάνυσμα ξεκινά από ένα σημείο αναφοράς και καταλήγει σε κάποια θετική τιμή του άξονα Αντίθετα για αρνητική τιμή Παράδειγμα:

Μετατόπιση Δx: η αλλαγή στη θέση ενός σωματιδίου Ορισμός: Δ x x τελ x αρχ με x τελ, x αρχ την τελική και την αρχική θέση του σωματιδίου Θα χρησιμοποιούμε το συμβολισμό: x τελ x f, x αρχ x i Προσοχή: απόσταση d μετατόπιση Δ x! Παράδειγμα: Η απόσταση που διανύει ένας αθλητής μπάσκετ, αν απλουστευμένα υποθέσουμε ότι κινείται σε ευθεία γραμμή, είναι μερικά χιλιόμετρα, αλλά η μετατόπιση από την αρχική θέση του (κέντρο γηπέδου) ως την τελική (ξανά στην ίδια περίπου θέση) είναι πολύ μικρότερη (ως μέτρο)!

Μετατόπιση Δx : διανυσματικό μέγεθος! Έχει μέτρο, διεύθυνση, φορά Ξανά, δε θα τη χρησιμοποιούμε ως διάνυσμα Θα κάνουμε κι εδώ μια «σύμβαση» για τα πρόσημά της Αν: Δx = x f x i > 0 κίνηση προς τα δεξιά Δx = x f x i < 0 κίνηση προς τα αριστερά Παράδειγμα:

Μέση ταχύτητα: u avg x f x i = Δ x t f t i Δt Διάνυσμα: έχει επίσης μέτρο, διεύθυνση και φορά! Απαιτούνται δυο σημεία (αρχικό & τελικό) Ίδιο πρόσημο με Δ x - γιατί? Μέση αριθμητική ταχύτητα: s avg d Δt, όπου d η απόσταση Βαθμωτό μέγεθος όχι διάνυσμα! Προσοχή στη διαφορά τους!

Στιγμιαία Ταχύτητα Διάνυσμα: έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά Η μέση ταχύτητα όταν μετριέται σε Δt 0 Δ x d x u x lim = Δt 0 Δt dt Παράδειγμα: Κλίση εφαπτομένης σε σημείο = στιγμιαία ταχύτητα Κλίση ευθείας ΑF (ή AB) = μέση ταχύτητα Κλίση ευθείας μεταξύ δυο σημείων = μέση ταχύτητα

Παράδειγμα: Σωματίδιο κινείται στον οριζόντιο άξονα, με τη θέση του να ορίζεται από τη σχέση x = 4t + 2t 2 όπου x είναι η θέση σε m, και t είναι ο χρόνος σε sec, όπως στο Σχήμα (α). Α. Βρείτε τη μετατόπιση του σωματιδίου στα χρονικά διαστήματα t = 0 ως t = 1 και από t = 1 έως t = 3 s. B. Υπολογίστε τη μέση ταχύτητα σε αυτά τα δυο διαστήματα. C. Βρείτε τη στιγμιαία ταχύτητα του σωματιδίου τη χρονική στιγμή t = 2.5 s.

Λύση: x = 4t + 2t 2 Α. Βρείτε τη μετατόπιση του σωματιδίου στα χρονικά διαστήματα t = 0 ως t = 1 και από t = 1 έως t = 3 s.

Λύση: x = 4t + 2t 2 B. Υπολογίστε τη μέση ταχύτητα σε αυτά τα δυο διαστήματα.

Λύση: x = 4t + 2t 2 C. Βρείτε τη στιγμιαία ταχύτητα του σωματιδίου τη χρονική στιγμή t = 2.5 s.

Θέση σωματιδίου υπό σταθερή ταχύτητα u x = Δx Δt Άρα Δx = u x Δt x f x i = u x Δt x f = x i + u x Δt Επίσης, το μέτρο της ταχύτητας είναι σταθερό και ίσο με u = d Δt όπου d το μήκος της απόστασης που διανύθηκε

Επιτάχυνση όταν η ταχύτητα αλλάζει συναρτήσει του χρόνου Μέση επιτάχυνση a x,avg Δu x Δt = u xf u xi t f t i Στιγμιαία επιτάχυνση Αφού όμως είναι Δu x a x lim Δt 0 Δt = du x dt d dt u x = d dt a x = d2 x dt 2 dx dt

Quiz 1: Βρείτε τα ζεύγη ταχύτητας-επιτάχυνσης Hint: Η ταχύτητα και η επιτάχυνση έχουν σχέση παραγώγουπαράγουσας

Quiz 2: Η θέση ενός σωματιδίου δίνεται από τη σχέση x = 4 27t + t 3 A) Βρείτε τη συνάρτηση ταχύτητας ως προς το χρόνο B) Βρείτε τη συνάρτηση επιτάχυνσης ως προς το χρόνο Γ) Υπάρχει κάποια χρονική στιγμή που το σωματίδιο είχε u = 0?

Επιτάχυνση όταν η ταχύτητα αλλάζει με το χρόνο σταθερή ταχύτητα μηδενική επιτάχυνση Ταχύτητα και επιτάχυνση: διανύσματα Θετική και αρνητική ταχύτητα Θετική και αρνητική επιτάχυνση Τα πρόσημα υποδηλώνουν φορά! Παράδειγμα

Ειδική περίπτωση : a x σταθερή Άρα, η ταχύτητα μεταβάλλεται με την πάροδο του χρόνου Εν αντιθέσει με την περίπτωση της σταθερής ταχύτητας, οι εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση είναι αρκετές Ας τις δούμε μια-μια.

Απόδειξη u xf = u xi + a x t:

Απόδειξη u x,avg = u xi + u xf : 2

Απόδειξη x f = x i + 1 2 u xi + u xf t:

Απόδειξη x f = x i + u x,avg t:

Απόδειξη x f = x i + u xi t + 1 2 a xt 2 :

Απόδειξη u 2 xf = u 2 xi + 2a x (x f x i ):

Ειδική περίπτωση : a x σταθερή Εξισώσεις Ευθύγραμμης Κίνησης υπό σταθερή επιτάχυνση: 1. u xf = u xi + a x t 2. u x,avg = u xi + u xf 2 3. x f = x i + 1 2 u xi + u xf t 4. x f = x i + u x,avg t 5. x f = x i + u xi t + 1 2 a xt 2 6. u 2 xf = u 2 xi + 2a x (x f x i )

Δεν είναι απαραίτητη η χρήση διανυσμάτων στην κίνηση αυτή Είδατε ότι το τυπολόγιο της κίνησης ήταν χωρίς διανύσματα Προσοχή στην ερμηνεία των αρνητικών μεγεθών! Υπενθυμίζεται η σύμβαση ότι : ορίζουμε ως θετική φορά αυτή προς τα δεξιά Αντίστοιχα, αρνητική προς τα αριστερά Μην ξεχνάτε να ορίζετε το σημείο αναφοράς σας (t = 0)! Ελεύθερη πτώση (κίνηση σε μια διάσταση κατακόρυφη) Επιτάχυνση βαρύτητας g = 9.8 m/s 2 Ίδια μεθοδολογία και εξισώσεις (x y) Συνήθως ορίζουμε θετική φορά προς τα επάνω

Ειδική περίπτωση : a y σταθερή Εξισώσεις Ευθύγραμμης Κίνησης υπό σταθερή επιτάχυνση: 1. u yf = u yi + a y t 2. u y,avg = u yi + u yf 2 3. y f = y i + 1 2 u yi + u yf t 4. y f = y i + u y,avg t 5. y f = y i + u yi t + 1 2 a yt 2 6. u 2 yf = u 2 yi + 2a y (y f y i )

Παράδειγμα: Πετάμε μια μπάλα από την κορυφή ενός κτηρίου με αρχική ταχύτητα 20 m/s και φορά κατακόρυφα προς τα επάνω. Το ύψος του κτηρίου είναι 50 m. Α) Θεωρώντας ότι αρχίζουμε να μετράμε όταν η μπάλα φεύγει από τα χέρια μας, βρείτε το χρόνο που απαιτείται για να φτάσει στο μέγιστο ύψος. Β) Βρείτε αυτό το μέγιστο ύψος. Γ) Βρείτε την ταχύτητα της μπάλας όταν επιστρέφει στο ύψος που έφυγε από τα χέρια μας. Δ) Βρείτε την ταχύτητα και τη θέση της μπάλας όταν t = 5 s.

Παράδειγμα Λύση: Πετάμε μια μπάλα από την κορυφή ενός κτηρίου με αρχική ταχύτητα 20 m/s και φορά κατακόρυφα προς τα επάνω. Το ύψος του κτηρίου είναι 50 m. Α) Θεωρώντας ότι αρχίζουμε να μετράμε όταν η μπάλα φεύγει από τα χέρια μας, βρείτε το χρόνο που απαιτείται για να φτάσει στο μέγιστο ύψος.

Παράδειγμα Λύση: Πετάμε μια μπάλα από την κορυφή ενός κτηρίου με αρχική ταχύτητα 20 m/s και φορά κατακόρυφα προς τα επάνω. Το ύψος του κτηρίου είναι 50 m. Β) Βρείτε αυτό το μέγιστο ύψος.

Παράδειγμα Λύση: Πετάμε μια μπάλα από την κορυφή ενός κτηρίου με αρχική ταχύτητα 20 m/s και φορά κατακόρυφα προς τα επάνω. Το ύψος του κτηρίου είναι 50 m. Γ) Βρείτε την ταχύτητα της μπάλας όταν επιστρέφει στο ύψος που έφυγε από τα χέρια μας.

Παράδειγμα Λύση: Πετάμε μια μπάλα από την κορυφή ενός κτηρίου με αρχική ταχύτητα 20 m/s και φορά κατακόρυφα προς τα επάνω. Το ύψος του κτηρίου είναι 50 m. Δ) Βρείτε την ταχύτητα και τη θέση της μπάλας όταν t = 5 s.

Παράδειγμα: Πετάμε μια μπάλα από την κορυφή ενός κτηρίου με αρχική ταχύτητα 20 m/s και φορά κατακόρυφα προς τα άνω. Το ύψος του κτηρίου είναι 50 m. Α) Θεωρώντας ότι αρχίζουμε να μετράμε όταν η μπάλα φεύγει από τα χέρια μας, βρείτε το χρόνο που απαιτείται για να φτάσει στο μέγιστο ύψος. Β) Βρείτε αυτό το μέγιστο ύψος. Γ) Βρείτε την ταχύτητα της μπάλας όταν επιστρέφει στο ύψος που έφυγε από τα χέρια μας. Δ) Βρείτε την ταχύτητα και τη θέση της μπάλας όταν t = 5 s. Εξάσκηση: α) Λύστε τα Γ, Δ, με διαφορετικές αρχικές θέσεις. β) Λύστε ξανά τα ερωτήματα Γ, Δ, υποθέτοντας ότι t = 0 όταν το σώμα βρίσκεται στη θέση Β! (πρέπει να βρείτε τα ίδια αποτελέσματα)!

Τέλος Διάλεξης