Μην ξεχάσετε να προσθέσετε μόνοι σας τα Session του Minitab! Δηλαδή την ημερομηνία και ώρα που κάνατε κάθε άσκηση! ΘΕΜΑ ο [Μονάδες 20] Ερώτημα i (4 μονάδες). Για να κάνουμε τους υπολογισμούς που χρειάζονται για το Θέμα ο χρησιμοποιήσουμε το Minitab. θα. Εισάγουμε αρχικά στις στήλες C C3 ενός φύλλου εργασίας τα δεδομένα για τις μετρήσεις του χειριστή Α. Ονομάζουμε τις στήλες Α, Α2, Α3 για να αποφύγουμε σύγχυση αργότερα με τις αντίστοιχες στήλες του Β. Προσέχουμε ότι κατά την εισαγωγή των δεδομένων, το Minitab αγνοεί την υποδιαστολή, αν δεν έχουμε πρώτα φροντίσει να την αλλάξουμε από τελεία σε κόμμα στο αρχικό έγγραφο Word με τα δεδομένα. (Αυτό γίνεται γρήγορα, επιλέγοντας: Αντικατάσταση > Εύρεση του:. > Αντικατάσταση με:,) 2. Υπολογισμός μέσης τιμής και εύρους κάθε δείγματος: Ονομάζουμε την στήλη C4 A_Xbar και την στήλη C A_Range. Στην συνέχεια επιλέγουμε από το κεντρικό μενού: Calc > Row Statistics και στο πλαίσιο διαλόγου που ανοίγει ενεργοποιούμε πρώτα την ένδειξη Mean. Στο πλαίσιο Input Variables βάζουμε τις μεταβλητές Α, Α2, Α3 και στο πλαίσιο Store result in επιλέγουμε: A_Xbar. Πατάμε ΟΚ. (η στήλη C4 θα πρέπει να συμπληρωθεί τώρα αυτόματα.) Έπειτα επαναλαμβάνουμε την διαδοχή: Calc > Row Statistics και στο πλαίσιο διαλόγου που ανοίγει ενεργοποιούμε τώρα την ένδειξη Range. Αλλάζουμε την ένδειξη του πλαισίου Store result in από Α_Xbar σε A_Range και πατάμε OK. Το αποτέλεσμα έχει την μορφή:
3. Υπολογισμός των ποσοτήτων, : Συνεχίζοντας από εκεί που έχουμε μείνει, επιλέγουμε αυτήν την φορά την διαδοχή: Calc > Column Statistics και στο πλαίσιο διαλόγου που ανοίγει ενεργοποιούμε την ένδειξη Mean. Στο πλαίσιο Input Variables βάζουμε την μεταβλητή Α_Xbar και πατάμε OK. Στην συνέχεια επαναλαμβάνουμε την διαδικασία: Calc > Column Statistics και στο πλαίσιο διαλόγου που ανοίγει ενεργοποιούμε την ένδειξη Mean. Στο πλαίσιο Input Variables βάζουμε την μεταβλητή Α_Range και πατάμε OK. Το αποτέλεσμα που παίρνουμε είναι το ακόλουθο: 4. Υπολογισμός της ολικής τυπικής απόκλισης : Επιλέγουμε τα δεδομένα των στηλών Α2 και Α3 και τα επικολλούμε κάτω από τα δεδομένα της στήλης Α, ώστε τώρα στην στήλη με τίτλο Α να υπάρχουν και οι 36 μετρήσεις του χειριστή Α. Στην συνέχεια επιλέγουμε πάλι: Calc > Column Statistics και στο πλαίσιο διαλόγου που ανοίγει ενεργοποιούμε την ένδειξη Standard deviation. Στο πλαίσιο Input Variables βάζουμε την μεταβλητή A (που τώρα όμως αποτελείται και από τις 36 παρατηρήσεις) και πατάμε OK. Το αποτέλεσμα που παίρνουμε είναι το ακόλουθο:
Αν θέλουμε, όταν τελειώσουμε επαναφέρουμε την στήλη με τίτλο Α στην αρχική της μορφή, δηλαδή ξανασβήνουμε τα δεδομένα των στηλών Α2 και Α3 που είχαμε αντιγράψει. Ερώτημα ii (3 μονάδες). Επαναλαμβάνουμε την παραπάνω διαδικασία για τον χειριστή Β. Ερώτημα iii (8 μονάδες). Το μόνο που χρειάζεται να κάνουμε το Minitab είναι να υπολογίσουμε την ολική τυπική απόκλιση και των 72 παρατηρήσεων. Ο πιο απλός τρόπος για να γίνει αυτό είναι να αντιγράψουμε και τις 72 παρατηρήσεις σε μία στήλη και να επιλέξουμε την διαδοχή Calc > Column Statistics > Standard deviation που περιγράψαμε στο προηγούμενο ερώτημα. Ερώτημα iv ( μονάδες). Αρχικά κατασκευάζουμε τα διαγράμματα για τον χειριστή Α. Επιλέγουμε την διαδικασία: Stat > Control Charts > Variables Charts for Subgroups και στο πλαίσιο διαλόγου που ανοίγει αλλάζουμε την ένδειξη All observations for a chart are in one column σε Observations for a subgroup are in one row of columns. Στο κενό πλαίσιο που βρίσκεται από κάτω εισάγουμε τις μεταβλητές Α- Α3 και στην συνέχεια επιλέγουμε: Xbar-R Options > Estimate και αλλάζουμε την ένδειξη Pooled standard deviation σε Rbar. Πατάμε δύο φορές OK και παίρνουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα: Xbar-R Chart of A;...; A3 Sample Mean 2,0 2,2 2,00,7,0 UC L=2,424 _ X=,99 LC L=,8 2 3 4 6 7 Sample 8 9 0 2,2 UC L=,090 Sample Range 0,9 0,6 0,3 _ R=0,423 0,0 LC L=0 2 3 4 6 7 Sample 8 9 0 2
Όπως είπαμε και στο φύλλο απαντήσεων, το γεγονός ότι τα περισσότερα σημεία βρίσκονται εντός των ορίων δεν είναι θετικό. Αντίθετο σημαίνει ότι η μεταβλητότητα που οφείλεται στο προϊόν είναι σχετικά μικρή σε σχέση με την μεταβλητότητα που οφείλεται στο μετρητικό σύστημα. Θυμίζουμε, ότι τα όρια έχουν καθοριστεί σύμφωνα με την ικανότητα του οργάνου και όχι του προϊόντος. Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία για τις μετρήσεις του χειριστή Β. Το αποτέλεσμα που παίρνουμε είναι το εξής: Xbar-R Chart of B;...; B3 2,0 Sample Mean 2,2 2,00,7 _ U C L=2,232 X=2,66 LC L=2,099,0 2 3 4 6 7 Sample 8 9 0 2 0,6 U C L=0,67 Sample Range 0,2 0,08 0,04 _ R=0,06 0,00 LC L=0 2 3 4 6 7 Sample 8 9 0 2 Όλα τα σημεία στο διάγραμμα του μέσου βρίσκονται εκτός των ορίων ελέγχου. Αυτό οφείλεται στο ότι η μεταβλητότητα του μετρητικού συστήματος είναι πολύ μικρή σε σχέση με την μεταβλητότητα του προϊόντος (περιεκτικότητα του μούστου σε σάκχαρα). Συνεπώς το γεγονός αυτό δεν ερμηνεύεται αρνητικά. ΘΕΜΑ 6ο [Μονάδες 20] Εισάγουμε τα δεδομένα στις 2 πρώτες στήλες σε ένα φύλλο εργασίας του Minitab. (Στην η στήλη C εισάγουμε τον αριθμό του δείγματος και στην 2 η στήλη C2 την Οξύτητα και ονομάζουμε τις στήλες ανάλογα: Deigma και Oxitita) Ερώτημα i (2 μονάδες). Για να ελεγχθεί κατά πόσο μπορούμε να θεωρήσουμε ότι τα δεδομένα ακολουθούν κανονική κατανομή, ακολουθούμε την διαδοχή: Stat > Basic Statistics > Normality Test, Στο πλαίσιο διαλόγου που ανοίγει, τοποθετούμε την μεταβλητή Oxitita στο πεδίο με όνομα Variable και επιλέγουμε το τεστ κανονικότητας που προτιμούμε στο πλαίσιο με ονομασία Test for Normality. Εδώ μπορούμε είτε να κρατήσουμε το τεστ των
Anderson Darling που είναι προεπιλεγμένο είτε να επιλέξουμε το τεστ Kolmogorov Smirnov. Επιλέγουμε το τεστ Kolmogorov Smirnov και πατάμε ΟΚ. Το αποτέλεσμα που παίρνουμε είναι το εξής: Probability Plot of Oxitita Normal Percent 99 9 90 80 70 60 0 40 30 20 Mean 0,982 StDev 0,09086 N 40 KS 0,08 P-Value >0,0 0 0,7 0,8 0,9,0 Oxitita,,2 Γραφικός Έλεγχος: Παρατηρούμε ότι τα σημεία είναι συγκεντρωμένα αρκετά κοντά στην ευθεία που αντιστοιχεί στην κανονική κατανομή, οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε ότι τα δεδομένα ακολουθούν κατά προσέγγιση την κανονική κατανομή. Στατιστικός Έλεγχος: Ο στατιστικός έλεγχος μπορεί να γίνει με χρήση του παρατηρούμενου επιπέδου σημαντικότητας για την στατιστική συνάρτηση Kolmogorov Smirnov. Σύμφωνα με το αποτέλεσμα που πήραμε, το p value είναι μεγαλύτερο από % οπότε θα πρέπει να αποδεχτούμε την μηδενική υπόθεση (της κανονικότητας των δεδομένων). Αν είχαμε επιλέξει το τεστ Anderson Darling, θα βρίσκαμε το παρατηρούμενο επίπεδο σημαντικότητας ίσο με 0.73 ή 73%, το οποίο είναι εξαιρετικά μεγάλο οπότε και πάλι θα είχαμε αποδεχθεί την μηδενική υπόθεση σε κάθε ένα από τα συνηθισμένα επίπεδα σημαντικότητας (α = % ή % ή 0%). Ερώτημα ii (3 μονάδες). Αφού παίρνουμε μεμονωμένες παρατηρήσεις (δείγματα μεγέθους n = ) ο κατάλληλος συνδυασμός διαγραμμάτων είναι τα I MR. Επιλέγουμε στο Minitab την ακόλουθη διαδοχή: Stat > Control Charts > Variable Charts for Individuals > I MR. Στην συνέχεια, επιλέγουμε την μεταβλητή Oxitita και την τοποθετούμε στο πλαίσιο Variables και πατάμε OK. Το αποτέλεσμα είναι το εξής:
I-MR Chart of Oxitita,20 U C L=,2364 Individual Value,0 0,90 0,7 _ X=0,982 LC L=0,6800 0,60 9 3 7 2 Observation 2 29 33 37 U C L=0,347 0,3 Moving Range 0,2 0, M R=0,046 0,0 LC L=0 9 3 7 2 Observation 2 29 33 37 Από τα δύο διαγράμματα προκύπτει ότι η διαδικασία είναι εντός ελέγχου (αν και ορισμένα σημεία του διαγράμματος Κινούμενου Εύρους έχουν πλησιάσει στα όρια του ΔΕ). Ιδιαίτερα, στο διάγραμμα των Μεμονωμένων Τιμών οι τιμές κατανέμονται με τυχαίο τρόπο (έλλειψη μοτίβου) και σε ικανοποιητική απόσταση από τα όρια ελέγχου. Ερώτημα iii (4 μονάδες). Για να επαναλάβουμε τους υπολογισμούς με την χρήση του Minitab, ακολουθούμε την διαδοχή: Stat > Quality Tools > Capability Analysis > Normal Στο πλαίσιο διαλόγου που εμφανίζεται εισάγουμε τα στοιχεία:. Single Column: C2 2. Subgroup Size: 3. Lower Spec: 0,8 4. Upper Spec: 2. Historical standard deviation: 0,09086 (αν δεν δοθεί η τιμή αυτή μπορούμε να επιλέξουμε το πλαίσιο διαλόγου Estimate και να επιλέξουμε εμείς την μέθοδο με την οποία θέλουμε να εκτιμήσει το Minitab την διασπορά. Για τον μέσο η εκτίμηση είναι μοναδική.) 6. Τέλος, στο πλαίσιο διαλόγου της επιλογής Options ενεργοποιούμε την επιλογή Include confidence intervals αφήνοντας το προεπιλεγμένο επίπεδο εμπιστοσύνης 9%. (το βήμα 6. χρειάζεται για το ερώτημα v.) και πατάμε ΟΚ. Το αποτέλεσμα που παίρνουμε είναι το εξής:
Process Capability of Oxitita (using 9,0% confidence) Process Data LSL 0,8 Target * USL 2 Sample Mean 0,982 Sample N 40 StDev (Within) 0,09086 StDev (O v erall) 0,0908634 O bserv ed Performance PPM < LSL 0000,00 PPM > USL 0,00 PPM Total 0000,00 LSL 0,8,0 Exp. Within Performance PPM < LSL 436,64 PPM > USL 0,00 PPM Total 436,64,2,4,6 Exp. O v erall Performance PPM < LSL 443, PPM > USL 0,00 PPM Total 443,,8 USL 2,0 Within Overall Potential (Within) C apability C p 2,8 Low er C L * Upper C L * C PL 0,4 C PU 3,82 C pk 0,4 Lower C L 0,44 Upper C L 0,6 O v erall C apability Pp 2,8 Lower C L,70 Upper C L 2,66 PPL 0,4 PPU 3,82 Ppk 0,4 Lower C L 0,38 Upper C L 0,70 C pm * Low er C L * Οι δείκτες που μας ενδιαφέρουν βρίσκονται στο πάνω δεξιά παράθυρο. Επιβεβαιώνουμε ότι: = 2.8, = 0.4 (εδώ εμφανίζεται ως CPL) = 3.82 (εδώ εμφανίζεται ως CPU) και = min, = 0.4. Το σχήμα που δίνεται, επιβεβαιώνει γραφικά τόσο την καλή προσαρμογή της κανονικής κατανομής στα δεδομένα όσο και το γεγονός ότι ενώ η διαδικασία είναι πολύ ικανή στην παραγωγή προϊόντων που πληρούν το άνω όριο προδιαγραφών, είναι τελικά ανεπαρκής ως προς την παραγωγή προϊόντων που πληρούν το κάτω όριο προδιαγραφών.
ΘΕΜΑ 7 ο [Μονάδες 20] Ερώτημα ii (3 μονάδες). Ακολουθούμε την διαδικασία που περιγράφεται στην σελίδα 3 του Τόμου Β.. Στην στήλη C του φύλλου εργασίας του Minitab εισάγουμε με τίτλο Factor 8 φορές το γράμμα Α, από κάτω 8 φορές το γράμμα Β, από κάτω 8 φορές το γράμμα C και από κάτω 8 φορές το γράμμα D. (τα γράμματα αντιστοιχούν στις θεραπείες Α έως D.) 2. Στην στήλη C2 εισάγουμε με τίτλο Response πρώτα τις 8 παρατηρήσεις που αντιστοιχούν στην σύνθεση Α, μετά τις 8 παρατηρήσεις που αντιστοιχούν στην σύνθεση Β και στην συνέχεια το ίδιο για τις θεραπείες Γ και Δ. 3. Επιλέγουμε την διαδοχή: Graph > Individual Value Plot > With Groups Στο πλαίσιο διαλόγου που ανοίγει ενεργοποιούμε το πεδίο Graph Variables και επιλέγουμε την μεταβλητή Response. Στην συνέχεια ενεργοποιούμε το από κάτω πεδίο με τίτλο Categorical variables for grouping και τοποθετούμε εκεί την μεταβλητή Factor. 4. Πατάμε OK και παίρνουμε το εξής αποτέλεσμα: 7,0 Individual Value Plot of Response 6, 6,0 Response,,0 4, 4,0 A B Treatment C D Τα συμπεράσματα που βγαίνουν από το γράφημα είναι τα εξής:. Η σύνθεση της βενζίνης φαίνεται να επηρεάζει σημαντικά την μέση κατανάλωση. Για παράδειγμα με την σύνθεση Β επιτυγχάνεται κατά κανόνα (ή κατά μέσο όρο)
χαμηλότερη κατανάλωση σε λίτρα ανά 00 χιλιόμετρα από ότι με τις συνθέσεις C και D. Σε γενικές γραμμές φαίνεται ότι οι νέες συνθέσεις διατάσσονται ως εξής: < < από την οικονομικότερη (Β) μέχρι τις λιγότερο οικονομικές (C και D). Βέβαια, από την γραφική παράσταση και μόνο δεν μπορούμε να αποφανθούμε αν οι διαφορές αυτές είναι στατιστικά σημαντικές. 2. Η μεταβλητότητα που υπάρχει στην μέση κατανάλωση βενζίνης είναι περίπου ίδια μέσα σε κάθε μέθοδο σύνθεσης της βενζίνης. Αυτό είναι πολύ σημαντικό, διότι ενισχύει την ορθότητα της υπόθεση της ομοσκεδαστικότητας, δηλαδή της ισότητας των διασπορών μεταξύ των διαφόρων θεραπειών. (Η υπόθεση αυτή είναι απαραίτητη για την εφαρμογή του στατιστικού ελέγχου που θα κάνουμε για το αν οι διαφορές στους μέσους μεταξύ των θεραπειών είναι στατιστικά σημαντικές.) Ερώτημα iii (3μονάδες). Προαιρετικά κάνουμε έλεγχο ομοσκεδαστικότητας (αν και από το σχήμα φαίνεται να ισχύει και δεν ζητείται και από την άσκηση). Επιλέγουμε την διαδοχή: Stat > ANOVA > One-way Στο πλαίσιο διαλόγου που ανοίγει εισάγουμε την μεταβλητή Response στο πεδίο Response και την μεταβλητή Factor στo πεδίο Factors και πατάμε OK. Παίρνουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα: Test for Equal Variances for Response Treatment A B C Bartlett's Test Test Statistic 0,70 P-Value 0,874 Levene's Test Test Statistic 0,4 P-Value 0,69 D 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2,4,6 9% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs,8
Τα πολύ υψηλά παρατηρούμενα επίπεδα σημαντικότητας (p-value) και των δύο ελέγχων που δίνονται αποτελούν ισχυρή ένδειξη ότι ισχύει η μηδενική υπόθεση της ισότητας των διασπορών και άρα μπορούμε να προχωρήσουμε κανονικά στην ανάλυση διασποράς. Δημιουργούμε στο Minitab έναν πίνακα ανάλυσης διασποράς με την εξής διαδοχή: Stat > ANOVA > One-way Στο πλαίσιο διαλόγου που ανοίγει εισάγουμε την μεταβλητή Response στο πεδίο Response και την μεταβλητή Factor στo πεδίο Factor και πατάμε OK. Από το output που δίνει το Minitab κρατάμε μόνο τον ακόλουθο πίνακα ανάλυσης διασποράς: One-way ANOVA: Response versus Factor Source DF SS MS F P Factor 3 8,49 2,832 8,0 0,000 Error 28 9,33 0,333 Total 3 7,826 S = 0,773 R-Sq = 47,6% R-Sq(adj) = 42,04% Από αυτόν βλέπουμε ότι η τιμή του στατιστικού F είναι ίση με 8,0 και ότι το παρατηρούμενο επίπεδο σημαντικότητας είναι ίσο με 0,000. Άρα, θα απορρίψουμε την (σε α=0.0, αλλά και σε μικρότερα ε.σ.) κάτι που σημαίνει ότι υπάρχουν στατιστικά σημαντικές διαφορές μεταξύ της μέσης κατανάλωσης που αντιστοιχεί στις διαφορετικές συνθέσεις βενζίνης, δηλαδή στα διαφορετικά επίπεδα του παράγοντα. (Στο φυλλάδιο απαντήσεων παίρνουμε μόνο την τιμή του F και εκτελούμε τον έλεγχο κανονικά). Ερώτημα iv (4 μονάδες). Τώρα θέλουμε να συγκρίνουμε τους μέσους ανά δύο, ώστε να αποφασίσουμε ποια μέθοδος επιτυγχάνει την χαμηλότερη μέση κατανάλωση. Κατάλληλη μέθοδος είναι η μέθοδος πολλαπλών συγκρίσεων ή ταυτόχρονων διαστημάτων εμπιστοσύνης του Tukey. Οι συγκρίσεις θα γίνουν με χρήση του Minitab, επιλέγοντας την διαδοχή: Stat > ANOVA > One way, Στην συνέχεια επιλέγουμε το πλαίσιο Comparisons και ενεργοποιούμε την επιλογή Tukey s, family error rate. Πατάμε OK και παίρνουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα:
Tukey 9% Simultaneous Confidence Intervals All Pairwise Comparisons among Levels of Factor Individual confidence level = 98,92% Factor = A subtracted from: Factor Lower Center Upper -------+---------+---------+---------+-- B -,360-0,77 0,207 (-----*------) C -0,0873 0,700,4883 (------*-----) D -0,773 0,60,3983 (-----*------) -------+---------+---------+---------+-- -,2 0,0,2 2,4 Factor = B subtracted from: Factor Lower Center Upper -------+---------+---------+---------+-- C 0,4898,2776 2,06 (------*-----) D 0,3998,876,97 (------*-----) -------+---------+---------+---------+-- -,2 0,0,2 2,4 Factor = C subtracted from: Factor Lower Center Upper -------+---------+---------+---------+-- D -0,8778-0,0900 0,6978 (-----*------) -------+---------+---------+---------+-- -,2 0,0,2 2,4 Συνοψίζοντας, έχουμε τα ακόλουθα διαστήματα: = (.36, 0.207), = ( 0.0873,.4883), = ( 0.773,.3983), = (0.4898, 2.06), από όπου έπεται ότι <, = (0.3998,.97), από όπου έπεται ότι <, = ( 0.8778, 0.6978), από όπου συμπεραίνουμε ότι σε επίπεδο σημαντικότητας % ισχύει ότι: < <. Το διάστημα της διαφοράς αφήνει ανοιχτό το ενδεχόμενο να ισχύει = σε ε.σ. %, ωστόσο λαμβάνοντας υπόψη και τις υπόλοιπες συγκρίσεις φαίνεται ότι η σύνθεση Β οδηγεί στην χαμηλότερη κατανάλωση καυσίμου. Εναλλακτικά, το αποτέλεσμα, ότι η πιο αποτελεσματική σύνθεση καυσίμου είναι η Β επιβεβαιώνεται και με την μέθοδο του Dunnett. Έχοντας ήδη την ένδειξη από το διάγραμμα κουκίδων ότι η σύνθεση Β δίνει τις χαμηλότερες τιμές δηλαδή τα καλύτερα αποτελέσματα επιλέγουμε την θεραπεία Β ως δοκιμασία ελέγχου και συγκρίνουμε τους υπόλοιπους μέσους μόνο με αυτήν δοκιμασία. Έτσι, μειώνονται κατά πολύ οι συγκρίσεις και αυξάνεται η αξιοπιστία των διαστημάτων
εμπιστοσύνης. Οι συγκρίσεις θα γίνουν με χρήση του Minitab, επιλέγοντας την διαδοχή: Stat > ANOVA > One way, Στην συνέχεια επιλέγουμε το πλαίσιο Comparisons και ενεργοποιούμε την επιλογή Dunnett s, family error rate, control group level: B. Πατάμε OK και παίρνουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα: Dunnett's comparisons with a control Family error rate = 0,0 Individual error rate = 0,093 Critical value = 2,48 Control = level (B) of Factor Intervals for treatment mean minus control mean Level Lower Center Upper --+---------+---------+---------+------- A -0,396 0,77,2939 (-----------*-----------) C 0,609,2776,9944 (-----------*-----------) D 0,4709,876,9044 (-----------*-----------) --+---------+---------+---------+------- 0,00 0,60,20,80 Παρατηρούμε ότι με αυτήν την μέθοδο τα διαστήματα εμπιστοσύνης είναι στενότερα, ενώ το γενικό επίπεδο σημαντικότητας έχει παραμείνει ίδιο. Επιβεβαιώνεται ότι: < < ενώ εφόσον το «0» συνεχίζει να βρίσκεται στο δ.ε. της διαφοράς δεν μπορούμε να αποκλείσουμε (σε ε.σ. %) το ενδεχόμενο να ισχύει =. Παρόλα αυτά η ασυμμετρία του διαστήματος ως προς το «0» προς όφελος της σύνθεσης Β, μας οδηγεί και πάλι στο συμπέρασμα ότι η σύνθεση Β είναι η πιο αποτελεσματική. Ερώτημα v (8 μονάδες). Εισάγουμε στις στήλες C C3 του φύλλου εργασίας τα δεδομένα ως εξής:. Ονομάζουμε την στήλη C Treatment και γράφουμε 8 φορές Α, 8 φορές Β κ.ο.κ. όπως πριν. 2. Ονομάζουμε την στήλη C2 Response και τοποθετούμε τις τιμές που μας δίνονται με την σωστή σειρά σύμφωνα με την στήλη C. 3. Ονομάζουμε την στήλη C3 Blocks και γράφουμε δίπλα σε όσες τιμές της στήλης C2 αντιστοιχούν σε κινητήρες τύπου, 2 δίπλα σε όσες τιμές της στήλης C2
αντιστοιχούν σε κινητήρες τύπου κ.ο.κ. (Σε αυτό το βήμα είμαστε ιδιαίτερα προσεκτικοί.) Στην συνέχεια ακολουθούμε την διαδικασία: Stat > ANOVA > Two way Στο πλαίσιο διαλόγου που ανοίγει τοποθετούμε την μεταβλητή Response στην ένδειξη Response, την μεταβλητή Blocks στην ένδειξη Row factor και την μεταβλητή Treatment στην ένδειξη Column factor και ενεργοποιούμε την ένδειξη Display Means δίπλα από το Treatment και στο Blocks. Επίσης, στο πλαίσιο Graphs ενεργοποιούμε την ένδειξη Individual Value Plot. Πατάμε OK και παίρνουμε τον ακόλουθο πίνακα ανάλυσης διασποράς: Two-way ANOVA: Response versus Blocks; Treatment Source DF SS MS F P Blocks 3 74,7 24,9037 47,07 0,000 Treatment 3 4,749 4,963 9,29 0,000 Error 2 3,228 0,29 Total 3 02,688 S = 0,7274 R-Sq = 87,2% R-Sq(adj) = 84,03% Individual 9% CIs For Mean Based on Pooled StDev Treatment Mean ---+---------+---------+---------+------ A 6,970 (-------*------) B,9838 (-------*------) C 7,7900 (------*-------) D 7,862 (------*-------) ---+---------+---------+---------+------,60 6,30 7,00 7,70 καθώς και το ακόλουθο διάγραμμα κουκίδων: Individual Value Plot of Response vs Blocks; Treatment 0 9 Response 8 7 6 4 Treatment Blocks A B C D A B C 2 D A B C 3 D A B C 4 D
Αυτό που μας ενδιαφέρει από τον παραπάνω Πίνακα Ανάλυσης Διασποράς είναι αν υπάρχει σημαντική διαφορά ανάμεσα στην μέση κατανάλωση μεταξύ των 4 τύπων καυσίμου, δηλαδή μεταξύ των θεραπειών. Η τιμή του στατιστικού που αφορά τον έλεγχο ισότητας των μέσων μεταξύ των θεραπειών είναι 9.29 και το αντίστοιχο p- value είναι 0.000 που σημαίνει ότι σε επίπεδο α=0.0 (και ακόμα μικρότερο) απορρίπτουμε την. Δηλαδή, υπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ των μέσων κάποιων θεραπειών. Αξιοσημείωτο είναι ότι η μεταβλητότητα στην κατανάλωση βενζίνης ερμηνεύεται σε μεγάλο ποσοστό από την μεταβλητή «τύπος κινητήρα» που επιλέχθηκε για την ομαδοποίηση (blocks). (p-value = 0.000) Συνεπώς η ομαδοποίηση είχε νόημα και βοηθάει στο να απομονωθεί η επίδραση του καυσίμου στην μέση κατανάλωση! Άρα και με τον σχεδιασμό αυτό καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι υπάρχουν διαφορετικοί τύποι καυσίμου με μη μηδενικές επιδράσεις στην μέση κατανάλωση. Για να προσδιορίσουμε τον τύπο που είναι πιο αποτελεσματικός σύμφωνα και με αυτόν τον σχεδιασμό εξετάζουμε πρώτα το διάγραμμα κουκίδων. Από το τελευταίο είναι σαφές ότι το καύσιμο Β είναι πιο οικονομικό σε κάθε έναν από τους 4 τύπους κινητήρα. Αυτό επιβεβαιώνεται και από τους μέσους και τα αντίστοιχα διαστήματα εμπιστοσύνης που υπολογίσουμε κατά της ανάλυση διασποράς: Individual 9% CIs For Mean Based on Pooled StDev Treatment Mean ---+---------+---------+---------+------ A 6,970 (-------*------) B,9838 (-------*------) C 7,7900 (------*-------) D 7,862 (------*-------) ---+---------+---------+---------+------,60 6,30 7,00 7,70 Το 9% διάστημα εμπιστοσύνης για την μέση απόκριση του τύπου Β είναι μικρότερο από τα υπόλοιπα διαστήματα που δίνονται για τους άλλους τύπους, και μάλιστα δεν έχει καθόλου κοινά σημεία με αυτά. Συνεπώς με τον δεύτερο αυτό σχεδιασμό με τον οποίο γίνεται πιο σωστή ανάλυση των δεδομένων, η στατιστική συμπερασματολογία είναι πιο σαφής και αποτελεσματική. Οδηγεί στα ίδια αποτελέσματα, αλλά χωρίς την αμφιβολία αν το Α καύσιμο μπορεί να είναι το ίδιο αποτελεσματικό με το Β. Σύμφωνα λοιπόν, και με τα αποτελέσματα αυτά, η πρότασή μας προς την εταιρία είναι να προωθήσει στην αγορά τον τύπο καυσίμου Β. Ελέγξτε και επιβεβαιώστε και μόνοι σας τα αποτελέσματα και στα 7 Θέματα, για την αποφυγή και διόρθωση λαθών. Αν διαφωνείτε με κάποια απάντηση, επιλέξτε αυτήν που προτιμάτε εσείς, αρκεί να την δικαιολογήσετε με επιχειρήματα! ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!