Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o<< ω συνεχής και φθίνουσα όταν ω s() Όπου ω είναι η εσχάτη ή οριακή ηλικία και παριστάνει την ηλικία στην οποία δεν θα υπάρχει επιζών από την αρχική οµάδα. Παραδείγµατα: s() όταν α) s( ) - όταν o<< s() όταν β) s( ) Πίνακας θνησιµότητας ή βιοµετρικός πίνακας: Το δηλώνει τον αριθµό των ατόµων που βρίσκονται εν ζωή στην αρχή της ηλικίας. To d δηλώνει τον αριθµό των ατόµων που βρίσκονται εν ζωή στην αρχή της ηλικίας αλλά δεν βρίσκονται εν ζωή στην αρχή της ηλικίας. k s( ) και d όπου το k είναι µια σταθερά ονοµαζόµενη ρίζα ή βάση του πίνακα θνησιµότητας. Ο παρακάτω πίνακας προέκυψε από το προηγούµενο β) παράδειγµα µε βάση το k και για τιµές του,,2 Ηλικία d 5 99499 54 2 98995 56
Πιθανότητες : Η πιθανότητα άτοµο ηλικίας να γίνει : όταν γράφεται συνήθως p. p Η πιθανότητα άτοµο ηλικίας να µην γίνει : q p όταν γράφεται συνήθως q. Η πιθανότητα άτοµο ηλικίας να γίνει και να πεθάνει µεταξύ των ηλικιών και : q Όταν είναι: d q p q / Ένταση θνησιµότητας: µ d( ) d( s( )) s'( ) d d s( ) d s( ) d( ) µ. d είναι επίσης Από όπου και έχουµε e µ dψ ψ µ d ψ ψ e, s( ) e οπότε p e µ ψd ψ καθώς και µ dψ Με τον µετασχηµατισµό ψ µε έχουµε p e Κλασµατικές ηλικίες : ψ. µ Α. Υπόθεση ότι έχουµε οµοιόµορφη κατανοµή θανόντων κατά την διάρκεια του έτους της ηλικίας. d µε οπότε έχουµε p q, q q ( ) q q q, µ q q d.
Β. Υπόθεση Baducci. ( ) µε οπότε έχουµε q q q, q ( ) q, µ q. ( ) q ( ) Νόµοι θνησιµότητας:. Νόµος του e Moivre µ ( ω ) οπότε s( ) µε < ω ω 2. Νόµος του Goperz οπότε µ B c B c ( c ) ( ) e µε B>, c>,, s 3. Νόµος του Makeha οπότε µ B c ( c ) ( ) e µε B>, -B, c>,, s B c
Βασικά προγράµµατα ασφαλίσεων ζωής Από τις Ασφαλίσεις ζωής Ασφάλιση µελλοντικού κεφαλαίου (προικοδότησης). Περιγραφή: Άτοµο ηλικίας ετών ασφαλίζεται έτσι ώστε εάν βρίσκεται εν ζωή στην ηλικία να εισπράξει νοµισµατική µονάδα (εν περιπτώσει θανάτου του, πριν γίνει ετών, δεν γίνεται καµιά καταβολή κανενός ποσού). Ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο : : υ Ράντες ζωής: υ Παρούσα αξία ράντας ζωής ισόβιας ληξιπρόθεσµης όρου ν.µ. για άτοµο ηλικίας. α ω 2 ω : υ, ω όπου 2 Παρούσα αξία ράντας ζωής πρόσκαιρης ετών ληξιπρόθεσµης όρου ν.µ. για άτοµο ηλικίας. α : : Παρούσα αξία ράντας ζωής µέλλουσας ετών ισόβιας ληξιπρόθεσµης όρου ν.µ. για άτοµο ηλικίας. α α α : Παρούσα αξία ράντας ζωής µέλλουσας ετών πρόσκαιρης ετών ληξιπρόθεσµης όρου ν.µ. για άτοµο ηλικίας. α α α : : :
Προκαταβλητέες ράντες ζωής: Ισόβια: Πρόσκαιρη ετών : Μέλλουσα ισόβια: Μέλλουσα ετών και πρόσκαιρη ετών: : Σχέσεις µεταξύ των ραντών α, α, α, : : : : α, α α : : : : Για την εύρεση της αξίας ενός οιοδήποτε ποσού σε µια άλλη χρονική στιγµή διαφορετική από αυτήν στην οποία αναφέρεται και λαµβάνεται υπ όψιν πέραν του σχετικού επιτοκίου και η επιβίωσης θα πρέπει να χρησιµοποιείται µε τα κατάλληλα, ο χρηµατοοικονοµικός συντελεστής Παράδειγµα: Να βρεθεί η τελική αξία της Έχουµε µια ράντα που η παρούσα της αξία. : α. : α αναφέρεται στην ηλικία είναι ληξιπρόθεσµη πρόσκαιρη µε όρους, και θέλουµε να βρούµε την αξία της την χρονική στιγµή. s α : : : : Γενικός τρόπος υπολογισµού των εκφράσεων του ενιαίου καθαρού ασφαλίστρου (της παρούσας αξίας) στις ράντες ζωής (ληξιπρόθεσµες ή προκαταβλητέες). ψ ψ Όπου ψ είναι η ηλικία στην οποία γίνεται η καταβολή του πρώτου όρου της ράντας. είναι το πλήθος όλων των πληρωµών και είναι η ηλικία στην οποία ζητείται η αξία όλων των πληρωµών της ράντας.
Παράδειγµα: Ζητείται η αξία της ράντας ζωής 5 στην ηλικία 38. 3:2 Ο πρώτος όρος της ράντας καταβάλλεται στην ηλικία 35 ( 35 Το πλήθος των όρων της ράντας είναι 2 ( 2 ) Η ηλικία στη οποία ζητείται η αξία είναι 38 ( 38) Οπότε έχουµε : 35 47 38 ψ ) ως αξία της ράντας στην ηλικία 38. Το ίδιο αποτέλεσµα θα είχαµε εάν χρησιµοποιούσαµε τον κατάλληλο χρηµατοοικονοµικό συντελεστή : 5 3:2 3:8 3 38 38 Ασφάλιση σε περίπτωση θανάτου 3 5 3 5 2 35 47 3 Περιγραφή: Άτοµο ηλικίας ασφαλίζεται έτσι ώστε οποτεδήποτε συµβεί ο θάνατός του να εισπράξουν οι δικαιούχοι του ν. µ. στο τέλος του έτους. Το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο (ή παρούσα αξία της ασφάλισης) που πληρώνει ο ασφαλισµένος µε την έναρξη της ασφάλισης στην ηλικία συµβολίζεται µε. d υ d υ d υ 2 C d υ M C C C 2 d υ d υ d υ Εάν θέσουµε και 2 θα έχουµε d υ d υ d υ 2 υ C C C M Περιγραφή: Άτοµο ηλικίας ασφαλίζεται έτσι ώστε οποτεδήποτε συµβεί ο θάνατός του µέσα στα επόµενα έτη να εισπράξουν οι δικαιούχοι του ν. µ. στο τέλος του έτους. Το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο (ή παρούσα αξία της ασφάλισης) που πληρώνει ο ασφαλισµένος µε την έναρξη της ασφάλισης στην ηλικία συµβολίζεται µε Το σύµβολο κεφαλαίου : :. : είναι διαφορετικό από το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο µελλοντικού που αναφέρθηκε προηγούµενα. Η θέση του στο σύµβολο δηλώνει την διαφορετική σηµασία του καθενός.
d υ d υ d υ 2 : d υ d υ d υ 2 : d υ d υ d υ 2 : υ C C C M M : Περιγραφή: Άτοµο ηλικίας ασφαλίζεται έτσι ώστε οποτεδήποτε συµβεί ο θάνατός του σε ηλικία µεγαλύτερη από την να εισπράξουν οι δικαιούχοι του ν. µ. στο τέλος του έτους. Έχουµε δηλαδή µια ισόβια ασφάλιση σε περίπτωση θανάτου µέλλουσα ετών. Το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο (ή παρούσα αξία της ασφάλισης) που πληρώνει ο ασφαλισµένος στην έναρξη της ασφάλισης στην ηλικία συµβολίζεται µε. M M M M : Μικτή Ασφάλιση Περιγραφή: Άτοµο ηλικίας ασφαλίζεται έτσι ώστε οποτεδήποτε συµβεί ο θάνατός του µέσα στα επόµενα έτη να εισπράξουν οι δικαιούχοι του ν. µ. στο τέλος του έτους ενώ εάν επιζήσει και γίνει ετών να εισπράξει ο ίδιος τη ν. µ. Το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο (ή παρούσα αξία της ασφάλισης) που πληρώνει ο ασφαλισµένος µε την έναρξη της ασφάλισης στην ηλικία συµβολίζεται µε. M M M M : : : Έχουµε δηλαδή τον συνδυασµό της ασφάλισης µελλοντικού κεφαλαίου και της πρόσκαιρης ασφάλισης σε περίπτωση θανάτου. Το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο σε αυτήν την περίπτωση είναι το άθροισµα των επιµέρους ασφαλίστρων των δύο ασφαλίσεων. Χρήση του συµβόλου προϋποθέτει ότι το ασφαλισµένο ποσό είναι το ίδιο : είτε πεθάνει ο ασφαλισµένος είτε επιζήσει. Περιοδικά Ασφάλιστρα Για να βρούµε το περιοδικό ασφάλιστρο µιας ασφάλισης βασιζόµαστε στην οικονοµική ισοδυναµία: Η παρούσα αξία των περιοδικών πληρωµών πρέπει να ισούται µε την παρούσα αξία της ασφάλισης. Η οικονοµική αρχή µπορεί να γραφεί και ως εξής: a ɺɺ Όπου είναι το καθαρό ετήσιο ασφάλιστρο. Το είναι η παρούσα αξία της κατάλληλης προκαταβλητέας ράντας ζωής. Το είναι το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο της θεωρούµενης µορφής ασφάλισης. :
Ασφάλιση µελλοντικού κεφαλαίου για άτοµο ηλικίας και για περιόδους : Στην περίπτωση των περιοδικών πληρωµών θα έχουµε προκαταβλητέα ράντα. ɺɺ a όπου το είναι ο όρος της προκαταβλητέας ράντας. : : : : Θεωρούµε ότι η πληρωµή γίνεται στην αρχή κάθε περιόδου και για όλη την διάρκεια της ασφάλισης, Εάν το πλήθος των πληρωµών είναι µικρότερο από την διάρκεια της ασφάλισης τότε το σύµβολο και η εξίσωση τροποποιείται αναλόγως. Π.χ. Άτοµο ηλικίας 3 ετών ασφαλίζεται έτσι ώστε εάν γίνει 6 ετών να εισπράξει ν.µ. ενώ θα πληρώνει ετήσια ασφάλιστρα τα 2 πρώτα έτη της ασφάλισης. : Με ασφαλισµένο ποσό ν.µ. η εξίσωση θα είναι οποία έχουµε 3 ɺɺ a από την 3:3 3:2 6 3:3 3 6 624.974.69988 3:2 3 5 3 5 52488.327 5722.552 στην συνέχεια πολλαπλασιάζοντας µε θα έχουµε το ζητούµενο περιοδικό ασφάλιστρο για τα 2 πρώτα έτη της ασφάλισης που είναι 7 ν.µ. περίπου. Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται ορισµένα περιοδικά ασφάλιστρα. Ισόβια ασφάλιση θανάτου Πρόσκαιρη ασφάλιση θανάτου ετών Μικτή ασφάλιση ( ετών) Ασφάλιση µελλοντικού κεφαλαίου ετών Ισόβια ασφάλιση θανάτου µε τα ασφάλιστρα να πληρώνονται τα πρώτα έτη Πρόσκαιρη ασφάλιση θανάτου και πρόσκαιρη πληρωµή ασφαλίστρων, <. Μικτή ασφάλιση ετών µε πρόσκαιρη πληρωµή ασφαλίστρων, <. M : : : : M M M M : : a : : ɺɺ : : M M M : : : : M M : :
Με την ίδια οικονοµική αρχή υπολογίζονται και ετήσια ασφάλιστρα που δεν είναι σταθερά. Σαν παράδειγµα θεωρείστε µια ισόβια ασφάλιση σε περίπτωση θανάτου όπου το ετήσιο ασφάλιστρο των τριών πρώτων ετών είναι το µισό από το ετήσιο ασφάλιστρο των υπολοίπων ετών. Εάν πάρουµε ως Ρ το ασφάλιστρο των τριών πρώτων ετών θα έχουµε: 2 :3 3 M M 2 :3 2 3 3 3 3 Εµπορικά Ασφάλιστρα Τα καθαρά ή µαθηµατικά ασφάλιστρα επιβαρύνονται εν γένει µε i) τα έξοδα διαχείρισης, ιι) τα έξοδα κτήσεως και iii) τα έξοδα εισπράξεως. Τα εµπορικά ασφάλιστρα υπολογίζονται µε την εξίσωση των παρουσών αξιών των εµπορικών ασφαλίστρων και του αθροίσµατος των παρουσών αξιών των ασφαλιζοµένων κεφαλαίων και των παρουσών αξιών των εξόδων. Εάν τα έξοδα εισπράξεως εκφράζονται σαν ποσοστόγ επί του εµπορικού ασφαλίστρου, τα έξοδα διαχείρισης σαν ποσοστό α επί του ασφαλιζοµένου κεφαλαίου και τα έξοδα κτήσεως είναι β τότε θα έχουµε : γ α β Όπου το ασφαλιζόµενο κεφάλαιο είναι ν.µ. και το εµπορικό ασφάλιστρο είναι. Εάν αντικαταστήσουµε προκύπτει β ( α) γ a ɺɺ Η διαφορά είναι η επιβάρυνση του ασφαλιστηρίου συµβολαίου. Ράντες ζωής µε µεταβλητούς όρους. Ισόβια προκαταβλητέα ράντα ζωής της οποίας οι όροι διαφέρουν µεταξύ τους και είναι,2,3,4, καταβαλλόµενοι στην αρχή κάθε περιόδου (προκαταβλητέα). Η περιγραφόµενη παραπάνω ράντα ονοµάζεται Αυξανόµενη Ράντα Ζωής. Την παρούσα αξία (ή το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο ) αυτής της ράντας την δηλώνει το σύµβολο ( I. S ( Ia) ) ɺɺ όπου S ( ) Εάν είναι αυξανόµενη ληξιπρόθεσµη τότε οι όροι,2,3,4, καταβάλλονται στο τέλος κάθε περιόδου και το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο αυτής είναι : S ( Ia) όπου S ( )
Το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο µιας αυξανόµενης προκαταβλητέας ράντας ζωής πρόσκαιρης ετών είναι : S S ( I ) : Το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο µιας ελαττούµενης προκαταβλητέας ράντας ζωής πρόσκαιρης ετών όπου ο πρώτος όρος είναι ν.µ. ο δεύτερος ν.µ. ο τρίτος 2 ν.µ. ο τελευταίος ν.µ. είναι: S S ( ) : Ασφαλίσεις σε περίπτωση θανάτου µε µεταβλητά τα ασφαλιζόµενα ποσά. Εάν έχουµε µια αυξανόµενη ισόβια ασφάλιση σε περίπτωση θανάτου όπου το ασφαλιζόµενο ποσό είναι ν.µ. για το πρώτο έτος, 2 ν.µ. για το δεύτερο έτος, 3 ν.µ. για το τρίτο έτος κ.λ.π. τότε το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο στην ηλικία για αυτήν την ασφάλιση είναι : Όπου. R M ( ) C R ( I) Εάν η προηγούµενη ασφάλιση είναι πρόσκαιρη ασφάλιση ετών και όχι ισόβια τότε έχουµε : R R M ( I) : Εάν η πρόσκαιρη ασφάλιση ετών σε περίπτωση θανάτου είναι ελαττούµενη δηλαδή αρχίζει µε ασφαλισµένο ποσό νοµισµατικών µονάδων στην ηλικία και µετά τα ασφαλισµένα ποσά ελαττώνονται κατά ν.µ. κάθε έτος µέχρι του -στου έτους τότε το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο στην ηλικία είναι : M R R ( ) :
Σχέσεις µεταξύ των ασφαλίστρων Υπενθυµίζονται τα σύµβολα (συναρτήσεις) µετατροπής.,, S υ 2 2 dυ 2 2 C, M C C C, R M M M Με χρήση της d η C dυ µας δίνει C υ ή C d όπου M M i d -υ iυ i ( d ) C d d a ɺɺ d Από όπου έχουµε : Με ανάλογο τρόπο d ɺɺ a M M C d ( ) d ( ) ( ) M M d d ɺɺ a d ɺɺ a d ɺɺ a : : : : : : d d ɺɺ a ɺɺ a a : : ɺɺ : : : : : Από την ( ) ιαιρώντας µε M M R d d d S R S έχουµε d ( I) ɺɺ a d( I ɺɺ a)
Κλασµατικές ράντες ζωής Εάν το ποσό της ν.µ. πληρώνεται τµηµατικά φορές το έτος τότε έχουµε καταβολή 2 3 ν.µ. στις ηλικίες,,, Η παρούσα αξία αυτής της ισόβιας ληξιπρόθεσµης κλασµατικής ράντας ζωής συµβολίζεται µε a. Η προσεγγιστική σχέση που συνδέει την κλασµατική a µε την ετήσια aείναι: a a 2 Η αντίστοιχη προσεγγιστική σχέση που συνδέει την κλασµατική προκαταβλητέα ράντα ζωής µε την ετήσια είναι: ɺɺ a ɺɺ a 2 Εάν έχουµε ράντες πρόσκαιρες τότε οι ανάλογες σχέσεις είναι: a a : : : για την ληξιπρόθεσµη και 2 ɺɺ a ɺɺ a : για την προκαταβλητέα 2 Ασφαλίσεις σε περίπτωση θανάτου και πληρωµής του ασφαλισµένου ποσού µόλις συµβεί ο θάνατος. Με την υπόθεση ότι κατά την διάρκεια κάθε έτους ηλικίας ισχύει η οµοιόµορφη κατανοµή τότε στην ισόβια ασφάλιση θανάτου έχουµε την σχέση : i δ Όπου είναι το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο για ισόβια ασφάλιση όπου το ασφαλισµένο ποσό πληρώνεται αµέσως µετά τον θάνατο του ασφαλισµένου. Το είναι το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο για ισόβια ασφάλιση όπου το ασφαλισµένο ποσό πληρώνεται στο τέλος του έτους του θανάτου. Το ( i) δ και i το επιτόκιο. Με την υπόθεση ότι κατά την διάρκεια κάθε έτους ηλικίας ισχύει η οµοιόµορφη κατανοµή τότε στην πρόσκαιρη ασφάλιση θανάτου έχουµε την σχέση : i δ : : Όπου είναι το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο για πρόσκαιρη ασφάλιση όπου το : ασφαλισµένο ποσό πληρώνεται αµέσως µετά τον θάνατο του ασφαλισµένου.
Το είναι το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο για πρόσκαιρη ασφάλιση όπου το : ασφαλισµένο ποσό πληρώνεται στο τέλος του έτους του θανάτου. Μια άλλη υπόθεση είναι να θεωρήσουµε ότι όλες οι πληρωµές γίνονται στο µέσον κάθε έτους οπότε θα έχουµε : ( ) /2 i : : Ή προσεγγίζοντας ( i) /2 µε i 2 : : i 2 Παράδειγµα: Άτοµο ηλικίας 35 ετών ασφαλίζεται έτσι ώστε αν µέσα στα επόµενα 3 έτη πεθάνει να πάρουν οι δικαιούχοι του (αµέσως µετά τον θάνατό του)ν.µ. ενώ αν επιζήσει να εισπράξει ο ίδιος αυτό το ποσό. Ζητείται το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο που θα πρέπει να πληρώσει. ίνοντας ιδιαίτερη προσοχή στον διαχωρισµό µεταξύ της ασφάλισης λόγω θανάτου και της ασφάλισης µελλοντικού κεφαλαίου και µε χρήση του πίνακα ΡΜ 6/64 ΜΚΗ όπου το επιτόκιο είναι i.425 έχουµε: i.425 35:3 35:3 35:3 δ 35:3 35:3 (.425) 35:3 35:3.23.2876.2454.335962.335962 3359.62 Χρησιµοποιώντας και τις άλλες προσεγγίσεις έχουµε: 3359.53 και 3359.8 Τέλος η συνάρτηση µετατροπής συνηθισµένη προσέγγιση ( ) 2 Αν µε C στην πράξη υπολογίζεται αναλογικά µε την i i C C i C C δ 2. Περιοδικά κλασµατικά ασφάλιστρα συµβολίζεται το συνολικό ποσό του ετήσιου ασφαλίστρου που πληρώνεται σε δόσεις, τότε το κλασµατικό ασφάλιστρο αντιπροσωπεύει το του ετήσιου (δηλ. ( ) ) και πληρώνεται στην αρχή κάθε περιόδου που αντιστοιχεί στο Συµβολικά θα έχουµε του έτους. όπου είναι η παρούσα αξία της ασφάλισης ɺɺ a η παρούσα αξία της προκαταβλητέας κλασµατικής ράντας ζωής και υπολογίζεται προσεγγιστικά από την ɺɺ a ɺɺ a. 2
Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει δύο περιοδικά κλασµατικά ασφάλιστρα. Ισόβια ασφάλιση θανάτου ( ) M ή 2 2 ( ) ( ) ( ) Πρόσκαιρη ασφάλιση θανάτου ετών ή : : : : ( ) : : : : : : : : ( d) 2 2 Παράδειγµα: Άτοµο ηλικίας 3 ετών ασφαλίζεται µε ένα πρόγραµµα ράντα ζωής, βάσει του οποίου η µηνιαία πληρωµή είναι ίση µε 2ν.µ. Αν η πρώτη πληρωµή θα καταβληθεί στην αρχή της ηλικίας των 4 ετών και µετά στην αρχή κάθε µήνα για χρόνια, να υπολογισθεί το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο αυτού του προγράµµατος ασφάλισης σε σύµβολα µετατροπής προσεγγιστικά. Εδώ έχουµε µια ράντα ζωής προκαταβλητέα πρόσκαιρη µέλλουσα µε τις πληρωµές να γίνονται 2 φορές το χρόνο. Η παρούσα αξία αυτής της ράντας είναι: ( ) ( ) ( ) ɺɺ a ɺɺ a ɺɺ a ɺɺ a ɺɺ a / : : : : : 2 2 ɺɺ ɺɺ ( 2) 4 5 ɺɺ / a ɺɺ 3: / a 3: 24 3 a a, 2, 3,, : : 2 ( 2) 4 5 4 5 ɺɺ / a 3: 3 24 3 Εδώ έχουµε ως ετήσιο ποσό 2 2 24 οπότε είναι : ( 2) 4 5 4 5 24 ɺɺ / a 24 3: 3 24 3
ΑΠΟΘΕΜΑΤΙΚΑ ΑΣΦΑΛΙΣΕΩΝ Θεωρούµε οµάδα ατόµων, όλα ηλικίας 6 ετών, που ασφαλίζονται µε πρόγραµµα µικτής ασφάλισης 5 ετών και για ποσό ν.µ. που καταβάλλεται στο τέλος του έτους του θανάτου κάθε ασφαλισµένου. Τα ασφάλιστρα πληρώνονται κάθε χρόνο. Στον παρακάτω πίνακα παρακολουθείται η εξέλιξη της ασφάλισης από την έναρξη µέχρι και την λήξη της. () (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) Έτος Εισπρακτέα ασφάλιστρα Τόκος που προστίθεται Εν ζωή άτοµα Κεφάλαια στην αρχή του έτους (2)(6) Πληρωµές ικαιούχων θανόντων Κεφάλαιο στο τέλος του έτους (3)(4)-(5) Κεφάλαιο ανά επιζώντα (6)/(7) 86 86 795425 2 7285425 9789 7654 2 828589 354964 583276 225 34748389 9564 36333 3 77899964 525383854 2232884 24 52372668 9324 5668 4 73435724 69748392 2962887 255 727799 969 77327 5 68692469 869969668 369737 27 879843379 8798 5 Η τελευταία στήλη (8) παρουσιάζει τι ποσό είναι διαθέσιµο για κάθε ευρισκόµενο εν ζωή ασφαλισµένο. Τα ποσά είναι στρογγυλοποιηµένα οπότε υπάρχει και η διαφορά των 5 µονάδων στο τελικό ποσό που θεωρητικά είναι ν.µ., ποσό που παίρνουν οι επιζώντες µε το τέλος της ασφαλιστικής περιόδου. Τα ποσά αυτά µπορούν να υπολογισθούν άµεσα µε τους παρακάτω τρόπους. Και στις δύο περιπτώσεις θα είναι ίσα για την ίδια ασφάλιση και για την ίδια χρονική στιγµή. Προοπτικό Αποθεµατικό Παρούσα αξία µελλοντικών υποχρεώσεων ασφαλιστικής εταιρείας Παρούσα αξία µελλοντικών υποχρεώσεων ασφαλισµένου Αναδροµικό Αποθεµατικό Παρούσα αξία υποχρεώσεων που έχει εκπληρώσει ο ασφαλισµένος Παρούσα αξία υποχρεώσεων που έχει εκπληρώσει η ασφαλιστική εταιρεία Παράδειγµα: Να υπολογισθεί το αποθεµατικό στο τέλος του 3 ου έτους στην παραπάνω ασφάλιση. ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ M M V ɺɺ a 63 65 65 63 65 3 6:5 63:2 6:5 63:2 6:5 63 63 M M M M 63 65 65 6 65 65 63 65 ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΟ 63 6 65 63 V ɺɺ a 3 6:5 6:5 6:3 6:3 6:3 6:3 M6 M65 65 6 63 M6 M63 6 65 6 63 6 63 6 6 M M M M 6 65 65 6 63 6 63 6 65 63 63 5664.5 5664.5
Γενικότερα από τις δύο παρακάτω εκφράσεις µε, 2,3, 4,5 µπορούµε να έχουµε την στήλη 8 του παραπάνω πίνακα αν πολλαπλασιάσουµε τα αποτελέσµατα µε διότι ότι προκύπτει είναι για ασφαλισµένο ποσό ν.µ. ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ V ɺɺ a 6:5 6 :5 6:5 6 :5 7653.2 36329.3 5664.5 77322.3. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΟ V ɺɺ a 6:5 6:5 6: 6: 6: 6: 7653.2 36329.3 5664.5 77322.3. Υπενθυµίζετε ότι οι αποκλίσεις στα αποτελέσµατα οφείλονται στις στρογγυλοποιήσεις που έγιναν κατά την κατάστρωση του πίνακα. Όπως π.χ. το ετήσιο ασφάλιστρο ενώ είναι 86.95 λαµβάνεται 86. ΙΑ ΟΧΙΚΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΙΚΑ Έχοντας υπ όψιν ότι V η σχέση δύο διαδοχικών αποθεµατικών είναι V ( i) q p V ( ) Το iείναι το επιτόκιο, είναι το ασφαλισµένο κεφάλαιο δηλαδή µία νοµισµατική µονάδα που καταβάλλεται στο τέλος του έτους σε περίπτωση θανάτου, η ηλικία του ασφαλισµένου που στην έναρξη της ασφάλισης ήταν, q, p οι πιθανότητες ο ασφαλισµένος να µην γίνει ή να γίνει V είναι το αποθεµατικό της ασφάλισης στο τέλος του έτους και V το αποθεµατικό της ασφάλισης στο τέλος του έτους. Το είναι το ασφάλιστρο που πληρώνεται στην αρχή του έτους Εάν σε περίπτωση θανάτου υπάρχει ασφαλισµένο ποσό S που δίνεται στο τέλος του έτους του θανάτου ενώ αν υπάρχει και ποσό W που δίνεται στο τέλος του έτους λόγω επιβίωσης τότε η σχέση των αποθεµατικών είναι V ( i) S q p ( V W) ( ) όπου το είναι το ετήσιο ασφάλιστρο για αυτήν την ασφάλιση και V, V αντίστοιχα αποθεµατικά στο τέλος του και έτους τα Παράδειγµα: Άτοµο ηλικίας 75 ετών ασφαλίζεται έτσι ώστε εάν βρίσκεται εν ζωή στην ηλικία των 78 ετών να εισπράξει ν.µ. οπότε και λήγει η ασφάλιση. Εάν πεθάνει πριν γίνει 78 ετών τότε ο δικαιούχος του θα πάρει ν.µ. καθώς και το αντίστοιχο αποθεµατικό υπολογιζόµενο στο τέλος του έτους του θανάτου. Για αυτήν την ασφάλιση θα πληρώνει ασφάλιστρο π στην αρχή κάθε έτους. Η θνησιµότητα ακολουθεί τον πίνακα ΡΜ 6/64 µε επιτόκιο i.425 Να υπολογισθεί το π. Θα γίνει χρήση της ( ) V ( i) S q p ( V W)
Όπου S V,,2,3 ( V ), π, W για όλα τα. V π ( i) ( V) q ( q ) V Και είναι: ( ) ( ) ( ) V π ( i) q V V V π ( i) q Με 75 V.425 π q 75 2 V.425 ( V π) q 76 2 3 V.425 ( 2 V π) q 77 Με V, 3 V q.7692, q.83742, q.94, 75 76 77 Έχουµε το σύστηµα V.425 π q 75 V.425 ( V π) q 2 76 V.425 ( V π) q 3 2 77 Η λύση του οποίου µας δίνει π 386.85 Από την σχέση ( ) ( ) V ( i) S q p V έχουµε V ( i) S q ( q ) V V q (S V) Η διαφορά S Vονοµάζεται «κεφάλαιο υπό κίνδυνο». S είναι το ασφαλισµένο ποσό που καταβάλλεται εν περιπτώσει θανάτου και V το αποθεµατικό στο τέλος του έτους Το «αναµενόµενο κόστος ασφάλισης βάσει του κεφαλαίου υπό κίνδυνο» είναι το γινόµενο q ( S V) όπου είναι ο αριθµός των εν ζωή ασφαλισµένων στην αρχή του έτους q η πιθανότητα µη επιβίωσης (από τον χρησιµοποιούµενο πίνακα) S το ασφαλισµένο ποσό σε περίπτωση θανάτου V το αποθεµατικό στο τέλος του έτους Το «πραγµατικό κόστος ασφάλισης βάσει του κεφαλαίου υπό κίνδυνο» είναι το γινόµενο ( S V) d όπου d είναι ο πραγµατικός αριθµός των θανόντων από τους ασφαλισµένους στην διάρκεια όλου του έτους. S το ασφαλισµένο ποσό σε περίπτωση θανάτου V το αποθεµατικό στο τέλος του έτους Ως «κέρδος» ονοµάζεται η διαφορά «αναµενόµενο κόστος ασφάλισης βάσει του κεφαλαίου υπό κίνδυνο» «πραγµατικό κόστος ασφάλισης βάσει του κεφαλαίου υπό κίνδυνο» Το «κέρδος» µπορεί να θετικός ή αρνητικός αριθµός.
Οι όροι «κεφάλαιο υπό κίνδυνο», «αναµενόµενο κόστος ασφάλισης βάσει του κεφαλαίου υπό κίνδυνο», «πραγµατικό κόστος ασφάλισης βάσει του κεφαλαίου υπό κίνδυνο» Συµβολίζονται, εν γένει, στην βιβλιογραφία µε SR, ES, S αντίστοιχα. SR (eah Srai Risk) ES (Epeced eah Srai) S (cua eah Srai) Παράδειγµα: Στην /Ιαν/99 ένας µεγάλος αριθµός ατόµων ηλικίας 25 ετών ασφαλίσθηκε µε απλή µικτή ασφάλιση για 4 έτη και µε ασφαλισµένο ποσό ν.µ. Στις 3/ εκ/27 υπήρχαν εν ζωή 8567 ασφαλισµένοι. Σε όλη την διάρκεια του 28 έφυγαν από την ζωή 3 ασφαλισµένοι. Να βρεθούν για το έτος 28: α) το «αναµενόµενο κόστος ασφάλισης βάσει του κεφαλαίου υπό κίνδυνο» β) το «πραγµατικό κόστος ασφάλισης βάσει του κεφαλαίου υπό κίνδυνο» γ) το κέρδος (ή ζηµιά) της ασφαλιστικής εταιρείας. Μπορεί να χρησιµοποιηθεί η σχέση a V ɺɺ : ɺɺ a : είναι και απαραίτητη. Πίνακας θνησιµότητας ΡΜ 6/64 ΜΚΗ Εύρεσης του αποθεµατικού στο τέλος του 28. Με χρήση της a V ɺɺ : ɺɺ a : : : έχουµε το αποθεµατικό: ɺɺ a 3.6228 χωρίς να σηµαίνει ότι 43:22 8 V 279.397 25:4 ɺɺ a 8.87625 25:4 a : Χωρίς την χρήση της V ɺɺ : ɺɺ a : V ɺɺ a 8 25:4 43:22 43:22 έχουµε το αποθεµατικό : 25:4 ɺɺ a 279.4 43:22 43:22 a ɺɺ 25:4 Οπότε 279.4 72.6 είναι το κεφάλαιο υπό κίνδυνο. Το αναµενόµενο κόστος ασφάλισης είναι 8567 q42 72.6 28328 Το πραγµατικό κόστος είναι 3 72.6 9367.8 Η διαφορά είναι θετική 28328 9367.8 896.2 Άρα για το έτος 28 υπάρχει «κέρδος» για την εταιρεία.