6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. Λόγος οµοειδών µεγεθών : Ονοµάζουµε λόγο δύο οµοιειδών µεγεθών, που εκφράζονται µε την ίδια µονάδα µέτρησης, το πηλίκο των µέτρων τους. 2. Αναλογία: Η ισότητα δύο λόγων (κλασµάτων) ονοµάζεται αναλογία. 3. Όµοια σχήµατα: Ονοµάζονται δύο σχήµατα που το ένα είναι σµίκρυνση ή µεγέθυνση του άλλου. 4. Κλίµακα εικόνας ή σχεδίου: Ο λόγος της απόστασης δύο σηµείων µιας εικόνας ή ενός σχεδίου, προς την πραγµατική τους απόσταση ονοµάζεται κλίµακα της εικόνας ή του σχεδίου αντίστοιχα. 5. Λόγοι πλευρών λόγοι περιµέτρων : Αν σε δύο παραλληλόγραµµα οι λόγοι των αντιστοίχων πλευρών είναι ίσοι, τότε αυτοί θα είναι ίσοι και µε τον λόγο των περιµέτρων τους. 6. Μία ισοδυναµία : Η αναλογία α β = γ δ είναι ισοδύναµη µε την ισότητα αδ = βγ (θυµήσου ότι αν δύο κλάσµατα είναι ίσα τότε είναι ίσα και τα «χιαστί» γινόµενα των όρων τους ). Επίσης η αναλογία α β = γ δ είναι ισοδύναµη µε την α γ = β δ
2 ΣΧΟΛΙΑ. Κάτι για προσοχή : Μιλάµε µόνο για λόγο οµοιεδών µεγεθών και µε την προϋπόθεση ότι αυτά έχουν µετρηθεί µε την ίδια µονάδα. 2. Επεξήγηση του 5 της θεωρίας : Αν στα διπλανά παραλληλόγραµµα ΑΒΓ ΑΒ ΒΓ και ΚΛΜΝ ισχύει =, τότε ΚΛ ΛΜ ΑΒ ΒΓ ΑΒ+ΒΓ+Γ + Α = = ΚΛ ΛΜ ΚΛ+ΛΜ+ΜΝ+ΝΚ Γενίκευση του παραπάνω Αν ισχύει α β = γ δ, τότε α β = γ δ = α + γ β + δ Α Κ Ν Λ Μ Β Γ 3. Κάτι χρήσιµο: απόσταση σχεδίου πραγµατική απόσταση = κλίµακα ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ύο ευθύγραµµα τµήµατα ΑΒ και Γ έχουν µέτρα 5cm και 2dm αντίστοιχα. ΑΒ Να βρείτε τον λόγο Γ Θεωρία Σχόλιο Γ = 2dm = 2 0cm = 20cm, οπότε ΑΒ 5 3 = = Γ 20 4 2. Ένα τετράγωνο ΑΒΓ έχει πλευρά ίση µε α και ένα άλλο τετράγωνο ΚΛΜΝ έχει πλευρά ίση µε 4α. Να υπολογίσετε τον λόγο της περιµέτρου του ΑΒΓ προς την περίµετρο του ΚΛΜΝ. Η περίµετρος του ΑΒΓ είναι ίση µε Π = 4α και του ΚΛΜΝ είναι Π 2 = 6α. Π 4α Οπότε = Π 6α = 4 Θεωρία 2
3 3. Ένα τρίγωνο έχει µήκη πλευρών x, x + 3 και x + 4 µέτρα και ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο διαστάσεις 5 και 8 µέτρα. α) Να γράψετε τη σχέση που συνδέει την περίµετρο του τριγώνου µε το x. β) Αν ο λόγος της περιµέτρου του τριγώνου προς την περίµετρο του ορθογωνίου είναι 2, να υπολογίσετε τα µήκη των πλευρών του τριγώνου. α) Η περίµετρος του τριγώνου είναι Π τ = x + x +3 + x+ 4 = 3x + 7 β) Η περίµετρος του ορθογωνίου είναι Π ορ = 2 5 + 2 8= 0 + 6 = 26 Πτ Λόγω της υπόθεσης έχουµε Π = 2 άρα 3x+ 7 = 2 Θεωρία -6 26 ορ 3x + 7 =52 άρα 3x = 52 7 3x = 45 x = 45 : 3 = 5 Εποµένως οι πλευρές του τριγώνου έχουν µήκη 5, 8 και 9 µέτρα 4. Για δύο ποσά α και β ισχύει α 4 = β. Αν γνωρίζετε ότι α + β = 20, να υπολογίσετε 6 τα α και β. α 4 = β 6 = α + β 4+ 6 = 20 α = 2 οπότε = 2 άρα α = 2 4 = 8 0 4 β και = 2 άρα β = 2 6 = 2 6 Θεωρία 5 Σχόλιο 2 5. Σε έναν πίνακα το ύψος ενός ανθρώπου είναι 0cm, ενώ το πραγµατικό του ύψος είναι,80m. Να βρείτε πόσο µικρότερα είναι τα αντικείµενα του πίνακα σε σχέση µε το πραγµατικό τους µέγεθος. Το πραγµατικό ύψος του ανθρώπου είναι,80m =,80 00 = 80cm Ο λόγος του ύψους στον πίνακα προς το πραγµατικό ύψος, δηλαδή η κλίµακα του 0 πίνακα είναι = = :8 Θεωρία 4 80 8 Εποµένως τα αντικείµενα στον πίνακα είναι 8 φορές µικρότερα
4 6. Σε έναν χάρτη µε κλίµακα : 700000, µία απόσταση ΑΒ έχει µήκος 25cm. Να βρείτε την πραγµατική απόσταση ΑΒ. Αν x είναι η πραγµατική απόσταση, ισχύει = 25 700000 x άρα x = 25 700000 = 7500000 Εποµένως η πραγµατική απόσταση είναι x = 7500000 cm = = (7500000 : 00000) km = = 75km Θεωρία 4 Σχόλιο 3 7. Ένα οικόπεδο σχήµατος ορθογωνίου έχει διαστάσεις 0 και 5 cm σε σχέδιο µε κλίµακα : 200. Να βρείτε τις πραγµατικές διαστάσεις του οικοπέδου. Αν x και y είναι οι πραγµατικές διαστάσεις, τότε = 0 άρα 200 x x = 0 200 = 2000 και = 5 200 y άρα y = 5 200 = 3000 ηλαδή οι πραγµατικές διαστάσεις του οικοπέδου είναι x = 2000cm = (2000 : 00) m = 20 m y = 3000cm = (3000 : 00) m = 30 m
5 8. Να συµπληρώσετε τον πίνακα Κλίµακα :2 :50 Μήκος σχεδίου 5cm 8cm Πραγµατικό µήκος 40m 20m η στήλη Αν x είναι το πραγµατικό µήκος, τότε 2 η στήλη 5 = 2 x Αν y είναι το µήκος στο σχέδιο, τότε 50 = y 40 άρα x = 2 5 = 0 cm άρα 50y = 40 οπότε y = 40 : 50 = 0,8 ηλαδή το µήκος στο σχέδιο είναι y = 0,8m 3 η στήλη Είναι 20m = 2000cm οπότε, αν x είναι η κλίµακα τότε x = 8 2000 Εποµένως η κλίµακα είναι 250 άρα 8x = 2000 x = 2000:8 = 250 Ο πίνακας συµπληρωµένος Κλίµακα :2 :50 :250 Μήκος σχεδίου 5cm 0,8m 8cm Πραγµατικό µήκος 0cm 40m 20m 9. Η πλευρά ενός τετραγώνου σε ένα σχέδιο µε κλίµακα 3 : 20 είναι 2 cm. Να υπολογίστε την πραγµατική περίµετρο του τετραγώνου. 3 2 Αν x είναι το πραγµατικό µήκος της πλευράς, τότε = 20 x 3x = 2 20 x = 440 : 3 = 480 Συνεπώς το πραγµατικό µήκος της πλευράς είναι 480cm και εποµένως η περίµετρος Π είναι Π= 4 480 = 920 cm
6 0. Μία αίθουσα ενός σχολείου έχει διαστάσεις 8m και 0m. Ένας µαθητής, θέλοντας να σχεδιάσει µία σµύκρινση της αίθουσας, σχεδίασε ορθογώνιο µε διαστάσεις,5 cm και 2,5 cm. Είναι το σχέδιο του µαθητή σµίκρυνση της αίθουσας;,5 3 2,5 Είναι = και = 8 6 0 4 Επειδή 6 3 4, η κλίµακα µε την οποία έγινε η σµίκρυνση των πλευρών δε είναι ίδια εποµένως το σχέδιο δεν αποτελεί σµίκρυνση της αίθουσας.