Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i) 1.ii) 1.iii) 1.iv) Ποιο είναι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x) = ln(1.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i) 1.ii) 1.iii) 1.iv) Ποιο είναι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x) = ln(1."

Χρύσανθος Φωκάς Παχής
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 .. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας.i) Ποιο είναι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης () + 3+ Οι ρίζες του τριωνύµου 3 + είναι και. Πρέπει και Άρα D (, ) (, ) (, + ).ii) Ποιο είναι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης () 3 + Πρέπει 0 και 0 και Άρα D [, ].iii) Ποιο είναι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης () Πρέπει 0 και 0 Άρα D [, 0) (0, ] 0.iv) Ποιο είναι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης () ln( Πρέπει e > 0 e < e < Άρα D (, 0) e ) 0 e < 0

2 .i) Για ποιες τιµές του R η γραφική παράσταση της συνάρτησης () βρίσκεται πάνω από τον άξονα. Πρέπει () > > 0 ο εκτός των ριζών του τριωνύµου, δηλαδή < ή 3 < (, ) (3, + ) ii) Για ποιες τιµές του R η γραφική παράσταση της συνάρτησης () + βρίσκεται πάνω από τον άξονα. Πρέπει () > 0 + > 0 ( + )( ) > 0 < <.iii) Για ποιες τιµές του R η γραφική παράσταση της συνάρτησης () βρίσκεται πάνω από τον άξονα. Πρέπει () > 0 3.i) e > 0 e > e > 0 e > 0 Για ποιες τιµές του R η γραφική παράσταση της συνάρτησης () βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης () +. Πρέπει () > () > > 0 ( + ) > 0 > 0 e 3 + +

3 3 3.ii) 3 Για ποιες τιµές του R η γραφική παράσταση της συνάρτησης () + βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης () +. 3 Πρέπει () > () + > +. 3 > 0 ( ) > 0 > 0 > 4. Οι ανθρωπολόγοι εκτιµούν ότι το ύψος του ανθρώπου δίνεται από τις συναρτήσεις : Α(), ,64 (για τους άνδρες) και Γ(),75 + 7,48 (για τις γυναίκες) όπου σε εκατοστά το µήκος του βραχίονα. Σε µία ανασκαφή βρέθηκε ένα οστό από βραχίονα µήκους 0,45 m. α) Αν προέρχεται από άνδρα, ποιο ήταν το ύψος του; β) Αν προέρχεται από γυναίκα, ποιο ήταν το ύψος της; α) Α(45), ,6 00,69 cm β) Γ(45), ,48 95,3 cm. 5. Σύρµα µήκους l 0 cm κόβεται σε δύο κοµµάτια µε µήκη και (0 ) cm. Mε το πρώτο κοµµάτι σχηµατίζουµε τετράγωνο και µε το δεύτερο ισόπλευρο τρίγωνο. Να βρείτε το άθροισµα των εµβαδών των δύο σχηµάτων. Η πλευρά του τετραγώνου είναι 4, άρα το εµβαδόν του είναι 6. Η πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου είναι 0, άρα, από τον τύπο Ε το εµβαδόν του είναι 3 (0 ) (0 ) Εποµένως το άθροισµά τους είναι Σ() 6 + (0 ) 3 µε 0 < < α,

4 4 6.i) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση () + D (, 0) (0, + ) y () +, όταν > 0 +, όταν < 0 +, όταν > 0 +, όταν < 0, όταν > 0 0, όταν < 0 Ο y το σύνολο τιµών είναι το (Α) {0, } 6.ii) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση D R ()., όταν 0 ( ), όταν < 0, όταν 0, όταν < 0 () y O - Σύνολο τιµών είναι το (A) R 6.iii) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση () y 4 + 3, όταν < +, όταν O Σύνολο τιµών είναι το (A) [, + )

5 5 6.iv) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση D (0, + ) y () ln () ln, όταν < ln, όταν O 5 Σύνολο τιµών είναι το (A) [0, + )

6 6 7. Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι. Στις περιπτώσεις που είναι να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R, στο οποίο ισχύει () (). i) () ii) () iii) () i) D R, και () ( ) + και D [0, + ) () και () + Άρα Το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R, στο οποίο ισχύει () () είναι το [0, + ), αφού για κάθε [0, + ) ισχύει () ii) Για το Για το Άρα () iii) Για το ( ) () D : Πρέπει + 0 D : Πρέπει 0 0 D D + + ( )( + ) ( + ) + 0 ( + ) () για κάθε R D : Πρέπει 0 και 0 0 και 0 και Άρα D [0, ) (, + ) D [0, + ) Άρα Για κάθε [0, ) (, + ) είναι ( () ) ( )( + ) + (). Εποµένως, το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R, στο οποίο ισχύει () () είναι το [0, ) (, + ).

7 7 8. ίνονται οι συναρτήσεις () + και () Να βρείτε τις συναρτήσεις +,, και D R και D R {} Κοινό πεδίο ορισµού το D R { 0, } Για κάθε D είναι ( + )() () + () + + ( ) + + ( ) + + ( ) Για κάθε D είναι ( )() () () + ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) Για κάθε D είναι (.)() () () ( + ) +. + Για κάθε D είναι () () () + + Αφού για κάθε D είναι () 0

8 8 9. ίνονται οι συναρτήσεις () + και () Να βρείτε τις συναρτήσεις +,, και D D (0, + ) D, () +, () Για κάθε D είναι ( + )() () + () + + Για κάθε D είναι ( )() () () + Για κάθε D είναι ( )() ().() + Για να ορίζεται η συνάρτηση Για κάθε D {} είναι πρέπει () 0 () () () i) Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση o, αν () D R, D [0, + ) D o { D µε () D} (o)() ( ) και () R R { µε [0, + ) } ( ) ( )

9 9 0.ii) Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση o, αν () ηµ και () D R Για το Άρα D, πρέπει D [, ] 0 D o { D µε () D} (o)() ( ) { µε ηµ [, ] } ( ) (ηµ) ηµ R R συν συν. 0.iii) Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση o, αν () 4 π D R, D R { k π+ π, k Z } D o { D µε () D} (o)() ( ( )) και { µε π kπ+ π 4 } ( π ) εφ π 4 4 R R () εφ.. ίνονται οι συναρτήσεις () συναρτήσεις o και o. D R, D [, + ) D o { D µε () D} (o)() ( ( )) + και (). Να προσδιορίσετε τις { R µε + } { R µε } ( + ) D o { D µε () D} { R µε ή } (, ] [, + ) + { [, + ) µε R } [, + ) (o)() ( ( )) ( ) + +

10 0. Να εκφράσετε τη συνάρτηση ως σύνθεση δύο ή περισσοτέρων συναρτήσεων, αν i) () ηµ( + ), ii) () ηµ 3 + iii) () ln( e ), iv) () ηµ (3) i) Θεωρούµε τη συνάρτηση () + και τη συνάρτηση h() ηµ. h( + ) ηµ( + ) () ( ) Τότε (ho)() h ( ) ii) Θεωρούµε τις συναρτήσεις () 3, h() ηµ και φ() +. ( ( )) ( ) Τότε (φοho)() φ h ( ) φ ( ) iii) Θεωρούµε τις συναρτήσεις (), h() ( ( )) Τότε (φοho)() φ h ( ) φ ( ) Για να ορίζεται ο ln( e ) πρέπει h 3 φ(ηµ3) ηµ 3 + () ( ) e h φ( e e > 0 e > e > 0 e > 0 > 0 και φ() ln.. ) ln( e ) iv) Θεωρούµε τις συναρτήσεις () 3, h() ηµ και φ() ( ( )) ( ) Τότε (φοho)() φ h ( ) φ ( ) h 3 φ(ηµ3) ηµ 3 ()

11 Β Οµάδας. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση, της οποίας η γραφική παράσταση είναι: i) y ii) y iii) y O O Ο 3 4 i) Έστω τα σηµεία Α(0, ), Β(, 0), Γ(, ) και (, 0) Είναι λ ΑΒ λ Γ Εξίσωση της ευθείας ΑΒ: y ( 0) y + Εξίσωση της ευθείας Γ : y ( ) y + +, 0 < () +, < ii) Έστω τα σηµεία E(, ) και Ζ(, 0) Είναι λ OE και λ EZ Εξίσωση της ευθείας ΟΕ: y Εξίσωση της ευθείας ΕZ: y ( ) y + 4 (), 0 + 4, iii), 0 < ή < 3 () 0, < ή 3 < 4

12 . 3 Ένα κουτί κυλινδρικού σχήµατος έχει ακτίνα βάσης cm και όγκο 68 cm. Το υλικό των βάσεων κοστίζει 4 λεπτά του ευρώ, ανά cm, ενώ το υλικό της κυλινδρικής επιφάνειας,5 λεπτά του ευρώ, ανά cm. Να εκφράσετε το συνολικό κόστος ως συνάρτηση του. Πόσο κοστίζει ένα κουτί µε ακτίνα βάσης 5 cm και ύψος 8 cm; Εµβαδόν των δύο βάσεων π Ο όγκος 68 του κυλίνδρου εµβαδόν βάσης επί ύψος h 68 π h h π Εµβαδόν της κυλινδρικής επιφάνειας µήκος κύκλου βάσης επί ύψος πh π π Συνολικό κόστος Κ() π π,5 8 π + 500, > 0 π Για τον κύλινδρο µε ακτίνα βάσης 5 cm και ύψος 8 cm, θα έχουµε Εµβαδόν των δύο βάσεων π π 5 50π Εµβαδόν της κυλινδρικής επιφάνειας πh π π Συνολικό κόστος 50π π,5 00π + 00π 300π 94 λεπτά 9,4 ευρώ

13 3 3. Στο διπλανό σχήµα είναι ΑΒ, ΑΓ 3 και Γ. Να εκφράσετε το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου χωρίου ως συνάρτηση του ΑΜ, όταν το Μ διαγράφει το ευθύγραµµο τµήµα ΑΓ. Όταν 0 < Το τρίγωνο ΑΜΝ είναι όµοιο µε το ΑΒΕ Τότε Ε() (AM)(MN) Α MN Ε Ν Μ Β Γ ΜΝ Όταν < 3 Ε() (ABE) + (BMNE) Ε Ν (AB)(BE) + (BM)(MN) + ( ) Α Β Μ Γ + Ε(), 0 <, < 3 4. Ένα ορθογώνιο ΚΛΜΝ ύψους cm είναι εγγεγραµµένο σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ A βάσης ΒΓ 0 cm και ύψους Α 5 cm. Να εκφράσετε το εµβαδόν Ε και την Ν E Μ περίµετρο Ρ του ορθογωνίου ως συνάρτηση του. B Κ Λ Γ Τρίγωνο ΑΝΜ όµοιο του ΑΒΓ NM ΒΓ ΑΕ NM Α ΝΜ 0(5 ) NM (5 ) E() (5 ) 0, 0 < < A 5 P() (5 ) , 0 < < A 5

14 4 5.i) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση () + + Από τη γραφική παράσταση της, να προσδιορίσετε το σύνολο τιµών της. Όταν < y () + Όταν < () Όταν, () + + Το σύνολο τιµών της συνάρτησης είναι το διάστηµα [, + ) 5.ii) ηµ + ηµ Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση (), [0, π] Από τη γραφική παράσταση της, να προσδιορίσετε το σύνολο τιµών της. y Όταν 0 < π ηµ +ηµ () ηµ Ο Όταν π π π ηµ ηµ () 0 Το σύνολο τιµών της συνάρτησης είναι το διάστηµα [0, ] 5

15 5 6. Να βρείτε συνάρτηση τέτοια ώστε : i) (o)() + +, αν () + ii) (o)() +, αν () iii) (o)() συν, αν () i) D o R, D R Θέτουµε y () +, οπότε y µε y R. (o)() + + (()) (y ) + (y ) + ii) D o R, D R Θέτουµε y () 0, (o)() (y) (y) οπότε + (()) y y y + + y + y +, y R y µε y (, 0]. (y) y, µε y (, 0] iii) D o R, D [, ] αφού πρέπει 0 Στον τύπο () (()) θέτουµε όπου, () µε R και βέβαια µε () [, ]. (), αλλά δίνεται (o)() συν, άρα συν [ ()] συν [() ] [() ] συν [() ] () ηµ ηµ, R αφού για κάθε R ικανοποιείται ο περιορισµός () [, ].

16 6 7. ίνονται οι συναρτήσεις () + και () α +. Για ποια τιµή του α R ισχύει o o. D R, D R D o { D µε () D} D o { D µε () D} { R µε () } { R µε () } o o (()) (()) για κάθε R (α + ) ( + ) α + + α( + ) + α + 3 α + α + α R R R R

17 7 8. ίνονται οι συναρτήσεις () Να αποδείξετε ότι α) (()), για κάθε R { α } β) (()), για κάθε [0, ] α) α, D R { } D { D µε () D } o α +β α, µε β α και () +. και α+β { α µε α α } { α µε α+β α α } { α µε β α } R { α } α +β α () +β α +β (()) () α α α +αβ+β αβ α +β α α +β α +α α α +β ( α +β) β+α β+α β) D [0, + ) και () ( ) + ( ) D o { D µε () D} { [0, + ) µε + [0, + )} { 0 µε + 0} { 0 µε ( ) 0} [0, + ) (()) ( () ) ( ( ( ) ) ) [ ( ) ] ( + ) αφού [0, ] 0 0 0

18 8 9. Οι πολεοδόµοι µιας πόλης εκτιµούν ότι, όταν ο πληθυσµός Ρ της πόλης είναι εκατοντάδες χιλιάδες άτοµα, θα υπάρχουν στην πόλη Ν 0 ( + ) χιλιάδες αυτοκίνητα. Έρευνες δείχνουν ότι σε t έτη από σήµερα ο πληθυσµός της πόλης θα είναι t + 4 εκατοντάδες χιλιάδες άτοµα. i) Να εκφράσετε τον αριθµό Ν των αυτοκινήτων της πόλης ως συνάρτηση του t. ii) Πότε θα υπάρχουν στην πόλη 0 χιλιάδες αυτοκίνητα; i) Έστω N Ν() 0 και (t) t + 4, t 0. ( + ) 0 Η σύνθεση Ν(t) N((t)) 0 ii) Θα λύσουµε την εξίσωση Ν(t) 0 +, 0 ( t+ 4) + t+ 4 0 t+ 8 t+ 6+ t+ 4 0 t+ 9 t+ 0 εκφράζει αριθµό Ν των αυτοκινήτων της πόλης ως συνάρτηση του t. 0 t+ 9 t+ 0 0 t+ 9 t+ 0 (t + 9 t + 0) 44 t + 9 t ( t ) + 9 t , t Άρα t 6. 9± 89 9± 7 4 ή 3 απορρίπτεται.

Σχετικά έγγραφα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου- Μαθηματικός Περιηγητής ΕΝΟΤΗΤΑ