ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Σελίδα από ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ του Ατώη Κυριακόπουλου Θεώρηµα Για κάθε πραγµατικού αριθµού α υπάρχει έας µοαδικός ακέραιος αριθµός κ, για το οποίο ισχύου: κ α < κ + Ορισµός οθέτος εός πραγµατικού αριθµού α, ο µοαδικός ακέραιος κ κ α κ για το οποίο ισχύου : < +, οοµάζεται ακέραιο µέρος του α και συµολίζεται µε [α] Έτσι έχουµε: α R, [α] α<[α]+ Ισοδύαµα: α R, α-<[α] α Με άλλα λόγια, το σύµολο [α], όπου α R, παριστάει το µεγαλύτερο ακέραιο αριθµό, ο οποίος δε υπεραίει το α Για παράδειγµα: [,7]=, [,7]=, [ 4 ]= 4 []=, [0]=0 ιδιότητες Θεώρηµα Για κάθε α R ισχύου: α) [ α] = α α Z ) Υπάρχει θ R µε 0 θ < και α=[α]+θ Απόδειξη Έστω έας αριθµός α R α) Έστω ότι [α]=α Τότε επειδή [ α ] Z, έπεται ότι α Z Ατιστρόφως Έστω ότια Z Τότε επειδή α α < α +,έπεται ότι [α]=α ) Έχουµε: [α] α<[α]+και συεπώς: 0 α [ α] < Έτσι, θέτοτες: α [α]=θ, έχουµε: 0 θ < και α=[α]+θ Θεώρηµα α) Για δύο οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς α και, ισχύου: i) α< [ α] [ ] ii) [α]<[] α < ) Για κάθε κ Z και για κάθε α R ισχύει: κ>α κ>[α] ( κ [ α] + ) Απόδειξη α) i) Έστω ότι α< Τότε: [ α] α < < [ ] + [ α] < [ ] + [ α] [ ] ii) Έστω ότι [α]<[]τότε:[ α] + [ ]Έτσι έχουµε: α < [ α] + [ ] και συεπώς α< ) Έστω ότι κ>α Τότε: κ > α [ α] και συεπώς κ>[α] Ατιστρόφως Έστω ότι κ>[α] Τότε: κ [ α] + > ακαι συεπώς κ>α Θεώρηµα α) Για κάθε κ Zκαι για κάθε α R, ισχύει: [α+κ]=[α]+κ 0, α α Z ) Για κάθε α R,ισχύει: [ α ] + [ α] =, α α Z Απόδειξη α) Έχουµε: [ α] α < [ α] + [ α] + κ α + κ < [ α] + κ + [ α + κ] = [ α] + κ γιατί ο αριθµός [α]+κ είαι ακέραιος ) Έστω ότι α Z Τότε α Z και συεπώς:[ α ] + [ α] = α α = 0

Σελίδα από Έστω ότι α Z Τότε: α=[α]+θ µε 0<θ< Όµοια, επειδή α Z, έχουµε: α = [ α] + θ µε 0<θ < Έτσι έχουµε: α + ( α) = [ α] + [ α] + θ + θ [ α] + [ α] = ( θ + θ ) () Από τη () έπεται ότι ( θ + θ ) Z και επειδή: 0<θ+θ <, έπεται ότι θ+θ = Ατικαθιστώτας στη (), ρίσκουµε: [ α] + [ α] = Θεώρηµα 4 α) Για κάθε, α Rισχύου:[ α] + [ ] [ α + ] [ α] + [ ] + (Εποµέως: [α+]=[α]+[] ή [α+]=[α]+[]+) ) Για κάθε α, R µε α,ισχύει: [α]=[] (δε υπάρχει κ Z µε α < κ ) Απόδειξη α) Έχουµε: α=[α]+θ µε 0 θ < και =[]+θ µε 0 θ < Προσθέτοτας κατά µέλη ρίσκουµε: α+=[α]+[]+θ+θ [α+]=[ [ α] + [ ] + θ + θ ] =[α]+[]+[θ+θ ] [α+]=[α]+[]+[θ+ θ] () Επειδή:0 θ+θ <, έχουµε: [θ+θ ]=0 ή Έτσι από τη () έπεται ότι: [α]+[] [α+]= [α]+[]+[θ+ θ] [α]+[]+ ) θεωρούµε δύο αριθµούς α, R µε α i) Έστω ότι [α]=[] Έστω τώρα ότι υπάρχει ακέραιος αριθµός κ µε α<κ Τότε: [α]<κ [] και συεπώς:[α]<[], άτοπο ii) Aτιστρόφως Έστω ότι δε υπάρχει ακέραιος k µε α<κ Έχουµε:[α] α<[α]+ Α [α]+, τότε θα έχουµε: α<[α]+, ατίθετο προς τη υπόθεση Άρα :<[α]+ Εξάλλου έχουµε:[α] α και συεπώς:[α] <[α]+, οπότε []=[α] ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ Να αποδείξετε ότι, για κάθε α Rκαι για κάθε α = α Λύση Θέτουµε: = κ, οπότε κ Z Έτσι έχουµε: α κ < κ + κ α < κ + [ α] { κ, κ +,, κ + } κ [ α] κ + < κ + κ [ α] < κ + [ α] [ ] N,ισχύει: α [ α] α κ < κ + = κ = Άλλη λύση Έχουµε: [ α] α Έτσι, αρκεί α δείξουµε ότι δε υπάρχει ακέραιος κ µε: [ α] < κ α ( θεώρηµα 4 ) Έστω ότι υπάρχει τέτοιος ακέραιος κ Τότε θα είχαµε: [α]<κ α και επειδή: α<[α]+, θα είχαµε: [α]<κ<[α]+, άτοπο ( γιατί:)

Σελίδα από Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγµατικό θετικό αριθµό α και για κάθε φυσικό θετικό αριθµό, ισχύει: [ a] = α Λύση Θέτουµε: α= κ, οπότε κ N, γιατί α>0 Έτσι, έχουµε: κ α < κ + κ α < ( κ + ) [ α] κ, κ +,,( κ + ) { } κ [ α] ( κ + ) < ( κ + ) κ [ α] < ( κ + ) κ [ α] < κ + [ α] = κ = α Να αποδείξετε ότι για κάθε α, R µε, ισχύει: α α > () Λύση Έχουµε: α α α α > > Έτσι, για α αποδείξουµε τη (), αρκεί α αποδείξουµε ότι: α α, αρκεί α α, αρκεί, ισχύει 4 Να αποδείξετε ότι για κάθε α, Z, ισχύει: α + α + + = α Λύσηi) Έστω ότι: α+=λ, όπου λ Z Τότε: α +=λ + Συεπώς: Α ο µέλο ς= [ λ] + λ + = λ+ λ + Εξάλλου έχουµε: λ λ λ < + < + λ λ + = Συεπώς: Α ο µέλος = λ+λ = λ = α+-=α ii) Έστω ότι α+=λ+, όπου λ Z Τότε: α +=λ + Συεπώς: Α ο µέλος= λ+ + [ λ + ] = λ+ λ + = λ+ = α + = α (γιατί: λ< λ+ < λ+ και άρα: λ λ + = ) 5 ίεται έας φυσικός θετικός αριθµός Να ρείτε το ακέραιο µέρος του αριθµού: Α= ( + )( + )( + ) Λύση Είαι γωστό ότι, για κάθε α, Rµε α, ισχύει: α + α < () Έχουµε: (+)(+)(+)>(+) Εξάλλου έχουµε, λόγω της (): (+)(+)<(+) και συεπώς(+)(+)(+)<(+) Έτσι έχουµε: (+) <Α <(+) +<Α<+ [Α]=+

Σελίδα 4 από 6 Για κάθε φυσικό θετικό αριθµό, α αποδείξετε ότι: i) O αριθµός: ( + ) είαι περιττός ii) Ο αριθµός: ( ) + + είαι πολλαπλάσιο του + Λύση i) Επαγωγικά αποδεικύουµε εύκολα ότι, για κάθε φυσικό θετικό αριθµό, υπάρχου ακέραιοι αριθµοί α και, για τους οποίους ισχύου: ( + ) = α + και ( ) Προσθέτοτας κατά µέλη, ρίσκουµε: = α ( ) ( ) α () ( ) α ( ) ( + ) = α ( ) = α + ( ) () + + = + = Εξάλλου έχουµε: 0< < 0< ( ) < < ( ) < 0 ( ) = Έτσι, από τη () έχουµε: ( + ) = α ( περιττός) ii) Όπως και παραπάω ρίσκουµε ότι για κάθε θετικό φυσικό αριθµό, υπάρχου ακέραιοι αριθµοί και y, για τους οποίους ισχύου: ( ) + = + y και ( ) Προσθέτοτας κατά µέλη, ρίσκουµε: = y ( ) ( ) () ( ) ( ) ( + ) = ( ) = + ( ) + + = + = (4) Εξάλλου έχουµε: ( ) ( ) ( ) < < 0 0< < < < 0 = Έτσι, από τη (4), έχουµε: () ( ) ( ) ( ) ( ) + = + + = = + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () + + α α πολ = 4+ + 4 = + + = = = 7 Να λυθεί η εξίσωση: + + = ( + ) () Λύση Το σύολο ορισµού της εξίσωσης είαι το R Με R, έχουµε: () + = ()

Σελίδα 5 από Έστω ότι R είαι µια λύση τις εξίσωσης αυτής Τότε, από τη () έπεται ότι k+ Z Θέτουµε: = k, οπότε k Z και = Ατικαθιστώτας στη k+ () ρίσκουµε ότι: = k Έτσι έχουµε: k+ k+ k+ k+ k+ < k k 0 < < (k= ή k= ) Με k= ρίσκουµε: = 5 και µε k= ρίσκουµε: = Ατιστρόφως Όπως ρίσκουµε εύκολα,οι τιµές = 5 και =, που ρήκαµε, επαληθεύου τη δοσµέη εξίσωση Άρα, οι ζητούµεες λύσεις είαι: = 5 και = 8 Να λυθεί η εξίσωση: + + + = () Λύση Το σύολο ορισµού της εξίσωσης είαι το R Έστω ότι R είαι µια λύση τις εξίσωσης αυτής Τότε, από τη () έπεται ότι + + Z Θέτουµε: = k, οπότε k Z και = k Ατικαθιστώτας στη () ρίσκουµε ( µετά από λίγες πράξεις): 6k 7 4k 7 + = k () Εξάλλου έχουµε: 6k 7 6k 7 6k 7 < και 4 k 7 4 k 7 4 k < 7 Προσθέτοτας κατά µέλη και λόγω της (), ρίσκουµε: 6k 9 4k 0 6k 7 4k 7 + < k + 75 k < 5 k= Άρα = Ατιστρόφως Όπως ρίσκουµε εύκολα, ο αριθµός =, που ρήκαµε, επαληθεύει τη δοσµέη εξίσωση Άρα, η δοσµέη εξίσωση έχει τη µοαδική λύση = 9 ) Για οποιουσδήποτε φυσικούς θετικούς αριθµούς α και, α αποδείξετε ότι: α α + 0 () ) θεωρούµε έα φυσικό θετικό αριθµό α και τη συάτηση: * f α : N R µε fα ( ) =, για κάθε N * α α +

Σελίδα 6 από α) Να αποδείξετε ότι:, α διαιρεί α fα ( ) = 0, α δε διαιρεί α ) Να αποδείξετε ότι το άθροισµα: fα () + fα () + + fα ( α) είαι ίσο µε το πλήθος τω θετικώ διαιρετώ του α Λύση) Έστω ότι για δύο φυσικούς θετικούς αριθµούς α και ισχύει: α α α α α α + = 0 Τότε: + = 0, άτοπο γιατί 0 και 0 > Άρα η () ισχύει α α α α) Έστω ότι διαιρεί α Τότε N * και συεπώς: = Έτσι έχουµε: fα ( ) = [] α = = α + α a Έστω ότι δε διαιρεί α Θέτουµε: = θ +, όπου 0<θ< Έτσι α έχουµε: α = + θ και συεπώς: α α + = + θ () Εξάλλου, επειδή θ>0, έχουµε: θ > 0 + θ > 0< < = 0 + θ + θ () Από τις () και (), έπεται εύκολα ότι fα ( ) = 0 ) Το άθροισµα: fα () + fα () + + fα ( α) έχει τόσους όρους ίσους µε το όσοι είαι οι θετικοί διαιρέτες του α Επειδή δε καθέας από τους υπόλοιπους όρους του αθροίσµατος αυτού είαι 0, έπεται ότι το άθροισµα αυτό: fα () + fα () + + fα ( α) είαι ίσο µε το πλήθος τω θετικώ διαιρετώ του α 0 Έστω η συάρτηση: 9 + f :, R µε f ( ) = + + Να γράψετε το τύπο της f χώρες τα σύµολα του ακεραίου µέρους και της απόλυτης τιµής Λύση Έχουµε: + + + 0 < <, < < και < < 5 + α) Έστω ότι: < Τότε: 0 < και < 0 και συεπώς: f ( ) = 0+ ( + ) + = 5+ 7 + ) Έστω ότι: < Τότε: < και < 0 και συεπώς:

Σελίδα 7 από f ( ) = + ( + ) + = 4+ 7 9 + γ) Έστω ότι: Τότε: < και 0 και συεπώς: f ( ) = + ( ) + = 5 Συοπτικά: 5+ 7, α - < f ( ) = 4+ 7, α < 5, α χ 9 / Να αποδείξετε ότι είαι γησίως αύξουσα η συάτηση: [ ] ( ) f ( ) = + [ ] Λύση Tο σύολο ορισµού τη συάρτησης f είαι το R Θεωρούµε δύο αριθµούς α, R µε α < Θα αποδείξουµε ότι: f(α)<f() Θέτουµε: [α]=λ, οπότε λ Z και λ α < λ+ () ) Έστω ότι:<λ+ Τότε: λ α < < λ+ και συεπώς: []=λ Έτσι, για α αποδείξουµε ότι f(α)<f(), αρκεί α αποδείξουµε ότι: λ+ ( α λ) < λ+ ( λ), αρκεί ( α λ) < ( λ), αληθής γιατί: λ α < < λ+ 0 α λ< λ ( α λ) < ( λ) ) Έστω ότι: λ+ Θέτουµε: []=µ, οπότεµ Z και µ λ+ Έτσι, για α αποδείξουµε ότι f(α)<f(), αρκεί α αποδείξουµε ότι: λ+ ( α λ ) < µ + ( µ ) () Έχουµε: 0 α λ< καιλ + µ, οπότε: λ+ ( α λ) < + λ µ µ + ( µ ) () Να αποδείξετε ότι για κάθε λ (,0), η παρακάτω συάρτηση είαι -: f()=+λ[] Λύση Tο σύολο ορισµού τη συάρτησης f είαι το R Για κάθε R, έχουµε: f ( ) = [ ] + [ ] + λ[ ] = ( λ+ )[ ] + [ ] ( ) Θέτουµε: θ()= [], οπότε: 0 θ ( ) < και f()=(λ+)[]+θ() Θεωρούµε δύο αριθµούς α, R και υποθέτουµε ότι:f(α)=f() Έχουµε: f(α)=f() (λ+)[α]+θ(α)= (λ+)[]+θ() (λ+)([ α] [ ]) =θ()-θ(α) λ+ [ α] [ ] = θ()-θ(α) () Έχουµε: λ 0 ή λ, οπότε: λ+ ή λ+ και άρα: λ+ Λόγω αυτού και επειδή, όπως ρίσκου εύκολα: θ() θ(α) <, έχουµε: () λ+ [ α] [ ] < [ α] [ ] < [ α] [ ] < λ+ < [ α] [ ] < [ α] [ ] = 0 [ α] = [ ] () Έτσι, από τη (), έχουµε: θ(α)=θ() α [α]= [] () α= Άρα, η συάρτηση f είαι - Να αποδείξετε ότι το ακέραιο µέρος εός πραγµατικού θετικού αριθµού α έχει + το πλήθος ψηφία ( στο δεκαδικό σύστηµα ρύθµισης) α, και µόο α:

Σελίδα 8 από + α < () 0 0 Λύση ) Έστω ότι ο αριθµός [α] έχει + το πλήθος ψηφία, οπότε: [ α] = y 0 + y 0 + + y 0+ y, όπου y, y,, y, y { 0,,,,9} µε 0 0 α 0 0 y Έτσι, έχουµε: = y + y + + y + y + θ,όπου 0 θ < Προφαώς: α y 0 0 Εξάλλου, έχουµε: + 0 + + α < 9 0 + 9 0 + + 9 0+ 9+ = 9 + = 0 α < 0 0 Αποδείξαµε λοιπό ότι οι σχέσεις () ισχύου ) Ατιστρόφως Έστω ότι οι σχέσεις () ισχύου Έστω τώρα ότι ο αριθµός [α] έχει λ+ το πλήθος ψηφία Τότε, όπως αποδείξαµε προηγουµέως, ισχύου: λ λ+ 0 α < 0 () Από τις () και () έπεται ότι: λ+ λ+ 0 α < 0 0 < 0 < λ+ λ Επίσης, από τις () και () έπεται ότι: λ + λ + 0 α < 0 0 < 0 λ< + ƛ Άρα: λ= και συεπώς ο αριθµός [α] έχει + το πλήθος ψηφία 0 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Για τους ακέραιος αριθµούς κ και λ και το πραγµατικό αριθµό α, ισχύει: [λα]=[µα] Να αποδείξετε ότι λ = µ * Να αποδείξετε ότι, για κάθε α R και για κάθε N, ισχύει: [ α] = [ α] Να αποδείξετε ότι, για κάθε α, R,ισχύει: [α]-[]- [α-] [α]-[] 4 Να αποδείξετε ότι, για κάθε α R και για κάθε N,ισχύει: 0, α α-[α]< [ α] [ α] =, α α-[α] 5 Θεωρούµε δύο πραγµατικούς αριθµούς α και µε α> Θέτουµε: ξ = + α και η=[ξ]+ η Να αποδείξετε ότι: < < α ξ 6 Να αποδείξετε ότι, για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς α, α, α ισχύου: [ α ] + [ α ] + + [ α ] [ α + α + + α ] [ α ] + [ α ] + + [ α ] + ( ) *

Σελίδα 9 από 7 Να αποδείξετε ότι, για κάθε α R,ισχύει: [α]=[α]+ α + 8 Να αποδείξετε ότι, για κάθε α, R,ισχύει: [α]+[] [α]+[]+[α+] 9 Να αποδείξετε ότι, για κάθε α, R µε,ισχύει: α α > * 0 Να αποδείξετε ότι, για κάθε α,, N, ισχύου: α i) α = α ii) α ίεται έας φυσικός θετικός αριθµός Να ρείτε το ακέραιο µέρος τω παρακάτω αριθµώ: Α= ( + )( + ) Β= 4 ( + )( + )( + )( ω+ 4) Γ= 5 ( + )( + )( + )( + 4)( + 5) ίεται έας φυσικός θετικός αριθµός Να ρείτε το ακέραιο µέρος του αριθµού: Α= + 4 + 6 + 8 + i) Να αποδείξετε ότι, για κάθε α, R, ισχύει: α < ( κ Z, α < κ ) [ α] [ ] ii) Να αποδείξετε ότι, για κάθε N, ισχύει: + + + = 4 + 4 Να αποδείξετε ότι δε υπάρχει αριθµός α R µε: [α]+[α]=λ+, όπου λ Z 5 Να λυθεί η εξίσωση: 4+ = 6 Να λυθεί η εξίσωση: [ ] = 7 Να λυθεί η εξίσωση: + + = ( + )

Σελίδα 0 από 8 Να λυθεί η εξίσωση: + + = 6 9 Να λυθεί η εξίσωση: =, µε σύολο ααφοράς το σύολο: Α=(0,+ ) 0 Θεωρούµε έα φυσικό θετικό αριθµό και τη συάρτηση: f ( ) = Να αποδείξετε ότι, για κάθε R, ισχύου: α) f(+)=f() ) 0 f()< Έστω η συάρτηση: f :, R µε f ( ) = [ ] + Nα γράψετε το τύπο της f χωρίς τα σύµολα του ακεραίου µέρους και της απόλυτης τιµής Να αποδείξετε ότι είαι γησίως αύξουσα η συάτηση: f ( ) = [ ] + [ ] θεωρούµε έα άρρητο αριθµό α και τη συάρτηση: f : Q R µε f()=α [α] Να αποδείξετε ότι: i) H συάρτηση f είαι - ii) Για κάθε y, y f ( Q ), ισχύει: y y f ( Q ) 4 Θεωρούµε δύο φυσικούς θετικούς ρυθµούς και δ Να αποδείξετε ότι, το πλήθος τω φυσικώ αριθµώ που αήκου στο σύολο {,,,} και διαιρούται µε το δ είαι: δ 5 Θεωρούµε έα φυσικό θετικό αριθµό και θέτουµε: Α= ( + 5) + Οοµάζουµε Β το δεκαδικό µέρος του Α, δηλαδή: Β = Α [Α] Να αποδείξετε ότι: Α Β= + 6 Θεωρούµε έα φυσικό θετικό αριθµό Να ρείτε τη µεγαλύτερη δύαµη του, η οποία διαιρεί το ακέραιο µέρος του αριθµού:( + ) 7 Θεωρούµε έα φυσικό θετικό αριθµό κ και έα πραγµατικό θετικό αριθµό α < κ Να αποδείξετε ότι: κ α + α + α+ 4 α+ κ [ α] + + + + = 4 8

Σελίδα από 8 ύο φυσικοί αριθµοί α και,µεγαλύτεροι από το, είαι πρώτοι µεταξύ τους Να αποδείξετε ότι: α α ( ) α ( α ) + + + = + + + α α α * 9 Να αποδείξετε ότι, για κάθε α R και για κάθε N,ισχύει: [ α] + α + α α [ α] + + + + + = 0 Θεωρούµε δύο πραγµατικούς θετικούς αριθµούς α και, εκ τω οποίω ο α είαι άρρητος, για τους οποίους ισχύει: + = Να αποδείξετε ότι από τις α παραστάσεις: [ακ] και [λ] µε: κ=,,, και λ=,,, προκύπτου όλοι οι φυσικοί θετικοί αριθµοί και µάλιστα χώρες επααλήψεις