Επαναληπτικό πρόβλημα στη συμβολή κυμάτων.

Επαναληπτικό πρόβλημα στη συμβολή κυμάτων. ύο σύγχρονες πηγές Π 1 και Π 2 που απέχουν απόσταση d=8m, παράγουν στην επιφάνεια ενός υγρού αρµονικά κύµατα που έχουν ταχύτητα διάδοσης υ=2m/s. Η εξίσωση της αποµάκρυνσης των πηγών σε συνάρτηση µε το χρόνο δίνεται από τη σχέση y=,4ηµ2πt (S.I.). 1. Σε ένα σηµείο Σ της επιφάνειας του υγρού που απέχει απόσταση r 1 =4m από την πηγή Π 1 και απόσταση r 2 από την πηγή Π 2 µε r 2 > r 1, τα δύο κύµατα φτάνουν µε χρονική καθυστέρηση t=,2s. α) Να διερευνήσετε αν στο σηµείο Σ έχουµε ενισχυτική ή αποσβεστική συµβολή. β) Να βρεθεί η απόσταση r 2. γ) Να βρεθεί η υπερβολή ενίσχυσης ή απόσβεσης στην οποία βρίσκεται το σηµείο Σ. δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της αποµάκρυνσης του σηµείου Σ σε συνάρτηση µε το χρόνο για t. ε) Να υπολογίσετε την ταχύτητα ταλάντωσης του Σ τη χρονική στιγµή t=,45s. ζ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της δύναµης επαναφοράς που δέχεται το υλικό σηµείο Σ σε συνάρτηση µε το χρόνο για t αν θεωρήσουµε ότι η στοιχειώδης µάζα του υλικού σηµείου Σ είναι m=51-3 Kg. η) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση του πλάτους ταλάντωσης του σηµείου Σ σε συνάρτηση µε το χρόνο για t. 2. Για ένα σηµείο Ρ που βρίσκεται πάνω στο ευθύγραµµο τµήµα Π 1 Π 2 και απέχει x 1 και x 2 (x 1 >x 2 ) από τις πηγές Π 1 και Π 2 αντίστοιχα, η γραφική παράσταση της ταχύτητας ταλάντωσής του σε συνάρτηση µε το χρόνο δίνεται στο παρακάτω σχήµα: υ (m/s) 8π,25-8π,375 α) Να διερευνήσετε αν στο σηµείο Ρ έχουµε ενισχυτική ή αποσβεστική συµβολή. β) Να βρεθούν οι αποστάσεις x 1 και x 2. Σε ποια υπερβολή ενίσχυσης ή απόσβεσης βρίσκεται το σηµείο Ρ; γ) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις της αποµάκρυνσης του σηµείου Ρ σε συνάρτηση µε το χρόνο, για κάθε κύµα ξεχωριστά. Ποια αρχή επιβεβαιώνεται από τις γραφικές παραστάσεις; 3. Να βρείτε ποια σηµεία µεταξύ των Π 1 και Π 2 ταλαντώνονται µε ενέργεια ταλάντωσης ίση µε την ενέργεια ταλάντωσης του σηµείου Σ και ποια σηµεία µεταξύ των Π 1 και Π 2 ταλαντώνονται µε ενέργεια ταλάντωσης ίση µε την ενέργεια ταλάντωσης του σηµείου Ρ αν θεωρήσουµε ότι όλα τα υλικά σηµεία µεταξύ των πηγών έχουν την ίδια στοιχειώδη µάζα µε το Σ. 4. Να σχεδιάσετε τις υπερβολές ενίσχυσης και απόσβεσης µεταξύ των πηγών Π 1 και Π 2. 1

5. Να βρείτε τη διαφορά των αποστάσεων από τις δύο πηγές για ένα σηµείο Λ που ανήκει στην 2 η υπερβολή αποσβεστικής συµβολής δεξιά της µεσοκαθέτου του Π 1 Π 2. 6. Ένα σηµείο Κ της επιφάνειας του υγρού που ανήκει στην 5 η υπερβολή ενισχυτικής συµβολής δεξιά της υπερβολής του Σ, µετά τη συµβολή των δύο κυµάτων σε αυτό ταλαντώνεται µε εξίσωση y=,8ηµ(2πt-5π) (S.I.). Να βρείτε τις αποστάσεις d 1 και d 2 του σηµείου Κ από τις πηγές Π 1 και Π 2. ίνεται: π 2 =1. Απάντηση: 1. Από την εξίσωση ταλάντωσης των πηγών y=aηµωt και τη δοθείσα έχω: Α=,4m, ω=2π rad/s οπότε Τ=2π/ω T=,1s, f=1 hz και υ=λf ή λ=υ/f ή λ=2/1 ή λ=2m. α) Μετά τη συµβολή των δύο κυµάτων στο Σ αυτό ταλαντώνεται µε πλάτος r r υt υt υ Α Σ = 2Α συν2π 1 2 Α Σ = 2Α συν2π 1 2 Α Σ = 2Α συνπ ( t1 t2) λ Α Σ = 2Α συνπf t Α Σ = 2Α συνπ1,2 Α Σ = 2Α συν2π Α Σ = 2Α. Άρα στο Σ έχουµε ενισχυτική συµβολή. r1 4 β) Το κύµα της πηγής Π 1 φτάνει στο Σ την t 1 = υ = 2 t 1 =,2s ενώ το κύµα της Π 2 φτάνει στο Σ την t 2 =t 1 + t=,2+,2 t 2 =,4s αφού r 2 > r 1. Άρα r 2 =υt 2 r 2 =2,4 r 2 = 8m. γ) Αφού στο Σ έχουµε ενισχυτική συµβολή ισχύει r 1 -r 2 =Nλ 4-8=Ν2-4 = Ν2 Ν = -2. ηλαδή το Σ ανήκει στη δεύτερη υπερβολή ενίσχυσης αριστερά της µεσοκαθέτου του Π 1 Π 2. δ) Για t <,2 s y Σ = (1) αφού κανένα κύµα δεν έχει φτάσει στο Σ. t r1 Για,2 t <,4 s έχω: y Σ = Αηµ2π ( ) y Σ =,4ηµ2π(1t 2) (S.I.) (2) αφού το Σ T λ ταλαντώνεται λόγω του κύµατος της Π 1. r r t r Για t,4 s έχω: y Σ = 2Α συν2π 1 2 1+ r2 ηµ2π( ) y Σ =,8ηµ2π(1t 3) (S.I.) (3) T αφού στο Σ τώρα έχουν φτάσει και τα δύο κύµατα. Οπότε η γραφική παράσταση της y Σ = f(t) είναι η παρακάτω: y Σ,8,4 t =,45 s -.4,1,2,3,4,5,6 -,8 2

ε) 1 ος Τρόπος: Τη χρονική στιγµή t =,45 s στο Σ έχουµε συµβολή, άρα ταλαντώνεται σύµφωνα µε την εξίσωση (3) οπότε υ Σ =ω(+α Σ)συν2π(1t 3) και αντικαθιστώντας έχουµε : υ Σ = 2π,8συν(2π,45 6π) υ Σ = 16πσυν(9π 6π) υ Σ = 16πσυν(3π) υ Σ = -16π m/s. 2 ος Τρόπος: Τη χρονική στιγµή t =,45 s το σηµείο Σ βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του κινούµενο προς τα αρνητικά, όπως προκύπτει από την προηγούµενη γραφική παράσταση άρα υ Σ = - υ max(σ) = - ω Α Σ = - 2π,8 υ Σ = -16π m/s. ζ) Για τη δύναµη επαναφοράς ισχύει: F επαν = -mω 2 y Σ F επαν = -51-3 2 2 π 2 y Σ F επαν = -21-3 1 +3 y Σ F επαν = -2y Σ οπότε από τις σχέσεις (1), (2), (3) του ερωτήµατος δ έχω: Για t <,2 s F επαν = αφού κανένα κύµα δεν έχει φτάσει στο Σ. Για,2 t <,4 s F επαν = - 8ηµ2π(1t 2) (S.I.) Για t,4 s F επαν = - 16ηµ2π(1t 3) (S.I.) και η αντίστοιχη γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. F επαν 16 8 (Ν) -8,1,2,3,4,5,6-16 η) Για το πλάτος ταλάντωσης του Σ έχω: Για t <,2 s Α Σ = Για,2 t <,4 s Α Σ =,4m Για t,4 s Α Σ =,8m A Σ,8,4 -.4,1,2,3,4,5,6 -,8 3

2. α) Από τη γραφική παράσταση ταχύτητας χρόνου παρατηρούµε ότι µετά τη χρονική στιγµή t 2 =,375 s το σηµείο Ρ δεν ταλαντώνεται, άρα το σηµείο Ρ είναι σηµείο αποσβεστικής συµβολής. β) Από τη γραφική παράσταση ταχύτητας χρόνου παρατηρούµε ότι το κύµα της πιο κοντινής πηγής Π 2 (x 2 <x 1 ) φτάνει στο Ρ την t 1 =,25 s άρα x 2 = υt 1 ή x 2 = 2,25 ή x 2 =,5m. Από τη γραφική παράσταση ταχύτητας χρόνου παρατηρούµε ότι το κύµα της πιο µακρινής πηγής Π 1 (x 2 <x 1 ) φτάνει στο Ρ την t 2 =,375 s άρα x 1 = υt 2 ή x 1 = 2,375 ή x 1 = 7,5m. Αφού το Ρ είναι σηµείο αποσβεστικής συµβολής έχω: x 1 x 2 = (2Ν+1)λ/2 άρα 7,5-,5 = (2Ν+1)1 άρα 7 = 2Ν+1 Ν = 3, άρα το σηµείο Ρ είναι σηµείο της τέταρτης!!! υπερβολής αποσβεστικής συµβολής δεξιά της µεσοκαθέτου του Π 1 Π 2. (Ν=, 1, 2, 3). γ) Το κύµα της Π 2 για το Ρ δίνει y 2 =Αηµ2π(t/T- x 2 /λ) άρα y 2 =,4ηµ2π(1t-,5/2) άρα y 2 =,4ηµ(2πt-,5π) για t,25 s. Το κύµα της Π 1 για το Ρ δίνει y 1 =Αηµ2π(t/T- x 1 /λ) άρα y 1 =,4ηµ2π(1t- 7,5/2) άρα y 1 =,4ηµ(2πt- 7,5π) για t,375 s. Με τις εξής γραφικές παραστάσεις: y 2,4,375s -.4,25 y 1,4 -.4,375s (Παρατηρείστε ότι σε χρόνο t =,375-,25 =,35s =,3+,5=3T+T/2 το σηµείο Ρ έχει εκτελέσει 3,5 ταλαντώσεις). Παρατηρούµε ότι επιβεβαιώνεται η αρχή της επαλληλίας. Ειδικά µετά την t =,375s όταν λόγου του κύµατος της Π 1 το σηµείο Ρ είναι στη θέση +Α, λόγω του κύµατος της Π 2 είναι στη θέση -Α οπότε µετά την t =,375s, y 1 = -y 2 άρα y 1 +y 2 =. Άρα αποσβεστική συµβολή. 4

3. Ίδια ενέργεια ταλάντωσης µε το Σ έχουν τα σηµεία του Π 1 Π 2 που ταλαντώνονται µε πλάτος 2Α αφού έχουν την ίδια µάζα µε το Σ. ηλαδή ζητούνται τα σηµεία ενισχυτικής συµβολής. Για τα σηµεία ενισχυτικής συµβολής του Π 1 Π 2 έχω: r 1 r 2 = Νλ r 1 + r 2 = d 2r 1 = Nλ + d 2r 1 = N2+8 r 1 = N+4. Όµως <Ν+4<8-4 < Ν < 4 άρα Ν= -3, -2, -1,, 1, 2, 3 ηλαδή έχουµε 7 σηµεία ενισχυτικής συµβολής µεταξύ των Π 1 Π 2 στις θέσεις: Ν=-3 r 1 =1m Ν=-2 r 1 =2m Ν=-1, r 1 =3m Ν= r 1 =4m Ν=1 r 1 =5m Ν=2 r 1 =6m Ν=3 r 1 =7m Ίδια ενέργεια ταλάντωσης µε το Ρ έχουν τα σηµεία του Π 1 Π 2 που ταλαντώνονται µε πλάτος αφού έχουν την ίδια µάζα µε το Ρ. Για τα σηµεία αποσβεστικής συµβολής του Π 1 Π 2 έχω: r 1 r 2 = (2Ν+1)λ/2 r 1 + r 2 = d άρα 2r 1 = (2N+1)λ/2 + d r 1 = (2Ν+1)/2+4. Όµως < (2Ν+1)/2+4 <8-4 < (2Ν+1)/2 < 4-8 < 2Ν+1 < 8-9 < 2Ν < 7-4,5 < Ν < 3,5 άρα Ν= -4, -3, -2, -1,, 1, 2, 3. ηλαδή έχουµε 8 σηµεία αποσβεστικής συµβολής (µαζί µε το Ρ) µεταξύ των Π 1 Π 2 στις θέσεις: Ν=-4 r 1 =,5m Ν=-3 r 1 =1,5m Ν=-2 r 1 =2,5m Ν=-1 r 1 =3,5m Ν= r 1 =4,5m Ν=1 r 1 =5,5m Ν=2 r 1 =6,5m Ν=3 r 1 =7,5m (το Ρ) Άρα άλλα 7 σηµεία µεταξύ των Π 1 Π 2 έχουν ενέργεια ταλάντωσης ίση µε την ενέργεια ταλάντωσης του σηµείου Ρ. 5

4. Εποµένως οι αντίστοιχες υπερβολές φαίνονται στο παρακάτω σχήµα: Ν=-3 Ν=-2 Ν=-1 Ν= Ν=1 Ν=2 Ν=3 Π 1 Π 2 Ν= -4 Ν = -3 Σ Ν= -2 Ν= -1 Ν= Ν=1 Ν=2 Ρ Ν=3 απόσβεση και ενίσχυση 5. Το σηµείο Λ που ανήκει στη 2 η υπερβολή αποσβεστικής συµβολής αντιστοιχεί στο Ν=1 άρα x 1 - x 2 = (2N+1)λ/2 x 1 - x 2 = (2+1)2/2 x 1 - x 2 = 3m. 6. Βρήκαµε στο ερώτηµα 1γ ότι το σηµείο Σ ανήκει στην υπερβολή ενισχυτικής συµβολής µε Ν= -2 εποµένως το σηµείο Κ αφού είναι στην 5 η υπερβολή δεξιά του Σ θα έχει Ν=3 άρα: d 1 - d 2 = 3λ d 1 - d 2 = 6m (4). Από την εκφώνηση για την ταλάντωση του Κ έχω: y Κ =,8ηµ(2πt-5π) (5) (S.I.) d d d όµως y Κ = 2Ασυνπ 1 2 1+ d2 d1+ d2 ηµ2π(1t- ) ή y Κ = 2Ασυν(3π)ηµ2π(1t- ) ή λ d + d y Κ = -,8ηµ (2πt- 2π 1 2 d + d ) ή y Κ =,8ηµ(2πt- π 1 2 λ d1+ d2 d + d δύο σχέσεις (5) και (6) έχω: -π +π = -5π π 1 2 λ λ Λύνοντας το σύστηµα των (4) και (7) έχω d 1 = 9m και d 2 = 3m. +π) (6) οπότε συγκρίνοντας τις = 5π+π d 1 + d 2 = 12 m (7). Επιµέλεια Μαρούσης Βαγγέλης 6