4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Επίλυση Γραμμικής Διοφαντικής Εξίσωσης Έστω η εξίσωση x y, όπου,, ακέραιοι με και Αν αναζητούμε ακέραιες λύσεις της εξίσωσης αυτής, ηλαή ζεύγη ακεραίων ( x, y ) που την επαληθεύουν, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε μια γραμμική ιοφαντική εξίσωση Το θεώρημα που ακολουθεί ίνει απάντηση στο ερώτημα πότε μια ιοφαντική εξίσωση έχει λύση, και αν έχει, πόσες είναι αυτές οι λύσεις ΘΕΩΡΗΜΑ Η γραμμική ιοφαντική εξίσωση x y έχει λύση, αν και μόνο αν ο μέγιστος κοινός ιαιρέτης των, ιαιρεί το Αν η εξίσωση αυτή έχει μια λύση ( x0, y0 ), τότε έχει άπειρες λύσεις ( x, y ), που ίνονται από τους τύπους x x0 t, y y0 t, όπου t Ζ Στην περίπτωση που είναι (, ), οι παραπάνω τύποι παίρνουν τη μορφή: x x 0 βt, y y αt, t Ζ 0 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Κάποιος οηγός που χρειάζεται κέρματα, για να ρίξει στο μηχάνημα στάθμευσης (parking), ζητάει από τον περιπτερά να του ανταλλάξει ένα χιλιάρικο με κέρματα των 00 ραχμών και των 50 ραχμών Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει η ανταλλαγή, αν ο οηγός θέλει οπωσήποτε και κατοστάρικα και πενηντάρικα; ΛΥΣΗ Αν η ανταλλαγή μπορεί να γίνει με x κατοστάρικα και y πενηντάρικα, τότε 00x 50 y 000 ή x y 0 () Αναζητούμε προφανώς τις ακέραιες και θετικές λύσεις της () Επειή (, ) και 0, η εξίσωση έχει ακέραιες λύσεις Για να βρούμε το σύνολο των λύσεών της, πρέπει να βρούμε μια μερική λύση ( x0, y0 ) της εξίσωσης ή, όπως λέμε, μια ε ι ι κ ή λ ύ σ η της εξίσωσης
Εκφράζουμε γραμμικά το ΜΚΔ των και και έχουμε ( ) ( ) () Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της () με 0 και έχουμε ( 0) ( 0) 0, που σημαίνει ότι ( x0, y0 ) ( 0, 0) Επομένως, οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης () ίνονται από τους τύπους: x 0 t, y 0 t Από τις λύσεις αυτές πρέπει να βρούμε εκείνες για τις οποίες ισχύει x και y, ηλαή πρέπει να βρούμε πού συναληθεύουν οι ανισώσεις 0 t και 0 t Από την επίλυση του συστήματος των ανισώσεων προκύπτει ότι 0 t 0 Επομένως, t 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3,, και οι αντίστοιχες τιμές των x και y φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: x 3 4 5 6 7 8 9 y 8 6 4 0 8 6 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ποιες από τις παρακάτω εξισώσεις έχουν ακέραιες λύσεις; (i) 4x 6y5 (ii) 4x6y (iii) 3 x5yκ, κ Z (iv) κx ( κ ) y λ, κ,λz (v) κ x4yλ, κ, λz Να βρείτε τις ακέραιες λύσεις των εξισώσεων (i) x 3y5, (ii) 6x 4y 8 (iii) 7x 5y 9, (iv) 5x 3y 7 3 Να βρείτε τις θετικές ακέραιες λύσεις των εξισώσεων (i) x 78y 300, (ii) 47x 3y 78 4 Να αποείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις εν έχουν θετικές ακέραιες λύσεις: (i) 3x 5y 5, (ii) x 78y50, (iii) 5x 7 y5 5 Με ποιους τρόπους μπορούμε να αλλάξουμε ένα νόμισμα 0000 ραχμών με νομίσματα των 000 και 500 ραχμών; B ΟΜΑΔΑΣ Ένας καταστηματάρχης παραγγέλνει 9 μεγάλα και 3 μικρά πακέτα συσκευασίας με σαπούνια του ίιου τύπου Όταν όμως πήρε την παραγγελία, είε έκπληκτος ότι η συσκευασία είχε καταστραφεί και τα σαπούνια ήταν σκόρπια στο κοντέινερ Μπορείτε να τον βοηθήσετε να τα τακτοποιήσει με τον τρόπο που ήταν αρχικά συσκευασμένα, αν ξέρετε ότι το πλήθος των σαπουνιών είναι 4; Να γράψετε τον αριθμό 00 ως άθροισμα ύο προσθετέων, έτσι ώστε ο ένας να είναι πολλαπλάσιο του 7 και ο άλλος πολλαπλάσιο του (Euler 770) 3 Να βρείτε την ελάχιστη υνατή απόσταση ανάμεσα σε ύο σημεία, με ακέραιες συντεταγμένες, της ευθείας με εξίσωση αx βy γ, όταν α, β, γz με ( α, β) γ * 4 Έστω α, βn με ( α, β) Να αποείξετε ότι (i) Η εξίσωση αx βy αβ εν έχει θετικές ακέραιες λύσεις (ii) Η εξίσωση αx βyαβ έχει μία μόνο θετική ακέραια λύση
33 5 Να βρείτε ύο κλάσματα με παρονομαστές 7 και 3 και με άθροισμα 9 Α ΟΜΑΔΑΣ Λ Υ Σ Ε Ι Σ (i) Είναι (4,6)=, οπότε ( 4,6) 5 Άρα η εξίσωση 4x 6y5 εν έχει ακέραιες λύσεις (ii) Είναι ( 4, 6), οπότε ( 4, 6) Άρα η εξίσωση 4x 6y έχει ακέραιες λύσεις (iii) Είναι ( 3,5), οπότε ( 3,5) κ Άρα η εξίσωση 3 x5yκ έχει ακέραιες λύσεις (iv) Είναι ( κ, κ ), οπότε ( κ, κ ) λ Άρα η εξίσωση κx ( κ ) y λ έχει ακέραιες λύσεις (v) Για όλες τις ακέραιες τιμές των x, y το πρώτο μέλος της εξίσωσης είναι άρτιος αριθμός, ενώ το εύτερο μέλος περιττός Άρα η εξίσωση κ x4yλ εν έχει ακέραιες λύσεις (i) Μια προφανής ακέραια λύση της εξίσωσης είναι η ( x 0, y0 ) (, ) Άρα, οι ακέραιες λύσεις,, της εξίσωσης ίνονται από τις σχέσεις x 3t και y t (ii) Η εξίσωση 6x 4y8 γράφεται ισούναμα 3xy4 και έχει μια προφανή λύση την ( x 0, y0 ) (,) Άρα οι ακέραιες λύσεις,, της εξίσωσης ίνονται από τις σχέσεις x t και y 3t (iii) Μια προφανής ακέραια λύση της εξίσωσης είναι η ( x 0, y0 ) (, ) Άρα, οι ακέραιες λύσεις,, της εξίσωσης ίνονται από τις σχέσεις x 5t και y 7t (iv) Μια προφανής ακέραια λύση της εξίσωσης είναι η ( x 0, y0 ) (,) Άρα, οι ακέραιες λύσεις,, της εξίσωσης ίνονται από τις σχέσεις x 3t και y 5t 3 (i) Έχουμε x78y 3003(37x6y) 300 37x 6y00 () Μια προφανής ακέραια λύση της εξίσωσης είναι η ( x 0, y0 ) (,) Επομένως, οι ακέραιες λύσεις,, της εξίσωσης () ίνονται από τις σχέσεις x 6t και y 37t Επειή αναζητούμε τις θετικές ακέραιες λύσεις, έχουμε
x 6t y 37t 3 t t 37 Άρα, η μοναική θετική ακέραια λύση της εξίσωσης είναι η (,) (ii) Μια προφανής ακέραια λύση της εξίσωσης 47x 3y78 είναι η ( x 0, y0 ) (, ) Επομένως, οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης () ίνονται από τις σχέσεις x 3t και y 47t Επειή αναζητούμε τις θετικές ακέραιες λύσεις, έχουμε 0 3 0 t x t 3 * tn y 47t t 47 Άρα, η εξίσωση έχει άπειρες θετικές ακέραιες λύσεις Αυτές ίνονται από τις σχέσεις x 3t και y 47t, * t N 4 (i) Η εξίσωση 3x 5y5 εν έχει θετικές ακέραιες λύσεις, αφού για όλους του θετικούς ακέραιους x, y το πρώτο μέλος της εξίσωσης είναι θετικός αριθμός, ενώ το εύτερο μέλος αρνητικός αριθμός (ii) Η εξίσωση x 78y50 εν έχει θετικές ακέραιες λύσεις, αφού για όλους τους θετικούς ακέραιους x, y ισχύει: x 78y 788950 (iii) Η εξίσωση 5x 7 y5 εν έχει θετικές ακέραιες λύσεις, αφού για όλους τους θετικούς ακέραιους x, y ισχύει: 5x 7 y5 75 5 Έστω ότι αλλάζουμε το νόμισμα 0000 ρχ με x χιλιάρικα και y πεντακοσάρικα Τότε θα ισχύει 000x 500y0000 ή, ισούναμα, x y0 (), όπου x, y Αναζητούμε, επομένως, τις μη αρνητικές λύσεις της () Μια προφανής ακέραια λύση της () είναι η x, y ) (0,0) Επομένως, οι ακέραιες λύσεις,, της () ίνονται από τις σχέσεις ( 0 0 Έτσι έχουμε x t και y 0t x t t 0 y 0t Άρα, οι μη αρνητικές ακέραιες λύσεις της () είναι οι: Β ΟΜΑΔΑΣ ( 0,0), (,8), (,6), ( 3,4), ( 4,), (5,0) ( 6,8), ( 7,6), ( 8,4), ( 9,), ( 0,0) t,,,,0
Αν καθένα από τα μεγάλα πακέτα περιέχει x σαπούνια και καθένα από τα μικρά πακέτα περιέχει y σαπούνια, τότε θα ισχύει 9x 3y4 και x y () Αναζητούμε, επομένως, θετικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης () Επειή ( 9,3), η εξίσωση () έχει ακέραιες λύσεις Αρχικά βρίσκουμε μια ειική λύση της () ως εξής: Γράφουμε τον ( 9,3) ως γραμμικό συνυασμό των 9 και 3: Πολλαπλασιάζουμε και τα ύο μέλη της () με 4: 9 3( 6) () 943( 344) 4 Άρα μια ειική λύση της () είναι η ( x 0, y0 ) (4, 344) Επομένως οι ακέραιες λύσεις της () ίνονται από τους τύπους x 43t και y 3449t (3) Από τις λύσεις αυτές θα βρούμε εκείνες για τις οποίες ισχύει x και y Έχουμε 4 0 4 3 0 t x t 3 74,6t 70,73 y 3449t 344 t 9 t 7 ή t 7 ή t 73 ή t 74 Επομένως, οι αντίστοιχες τιμές των x και y ίνονται από τον πίνακα x 8 5 y 5 4 43 6 και επειή x y, θα είναι (,5) Αναζητούμε θετικούς ακέραιους x και y για τους οποίους ισχύει 7x y00 () Επειή ( 7,), η εξίσωση () έχει ακέραιες λύσεις Αρχικά βρίσκουμε μια ειική λύση της () ως εξής: Γράφουμε τον ( 7,) ως γραμμικό συνυασμό των 7 και : Πολλαπλασιάζοντας και τα ύο μέλη της () με 00: 7( 3) () 7( 300) 0000 Άρα μια ειική λύση της () είναι η ( x 0, y0 ) ( 300,00) Επομένως οι ακέραιες λύσεις της () ίνονται από τους τύπους: x 300t και y 007t (3)
Θα βρούμε τώρα τις θετικές λύσεις της () Έχουμε λοιπόν x 300t 300 00 t t 8 y 007t 7 Επομένως, η εξίσωση έχει μια μόνο θετική λύση την (8,4) Άρα 00 784 5644 3 Έστω ( α, β) Επειή γ η εξίσωση έχει ακέραιες λύσεις Αν x, ) είναι μια ακέραια λύση ( 0 y 0 της εξίσωσης, τότε οι ακέραιες λύσεις της,, θα ίνονται από τις σχέσεις β α xx 0 t και y y 0 t Ας θεωρήσουμε τώρα ύο λύσεις x, ) και x, ) της εξίσωσης Τότε ( y ( y x x y y 0 0 β t α t () και β x x0 t α y y0 t (), όπου t,t Z οπότε, η απόσταση των A x, y ) και B x, y ) θα είναι ίση με ( ( β α x) ( y y) ( t t) ( t ) ( AB) ( x t α β t t Επομένως, η απόσταση (ΑΒ) ελαχιστοποιείται, όταν ελαχιστοποιηθεί η παράσταση t Αυτό t συμβαίνει όταν t t, οπότε η ελάχιστη απόσταση ανάμεσα σε ύο ιαφορετικά σημεία της ευθείας αx βyγ με ακέραιες συντεταγμένες είναι ίση με 4 (i) Η εξίσωση αx βyαβ έχει ακέραιες λύσεις, αφού ( α, β) Μια προφανής λύση της είναι η ( 0 0 β x, y ) (,0) Άρα, οι λύσεις,, της εξίσωσης ίνονται από τους τύπους α x β βt και y αt, όπου t Z Ας υποθέσουμε ότι η εξίσωση έχει θετικές λύσεις, τότε θα ισχύει που είναι αύνατο, αφού t Z x β βt t t, y αt t Άρα, η εξίσωση εν έχει θετικές ακέραιες λύσεις (ii) Η εξίσωση αx βy αβ έχει ακέραιες λύσεις, αφού ( α, β) Μια προφανής λύση της εξίσωσης είναι η x, y ) ( β, ) Επομένως, οι λύσεις,, της εξίσωσης ίνονται από τους τύπους: ( 0 0 α x β βt και y α αt, όπου t Z Αναζητούμε θετικές λύσεις της εξίσωσης Άρα θέλουμε να ισχύει x β βt t t t y α αt t β
Άρα, μοναική θετική λύση της εξίσωσης είναι η ( β, α) 5 Έστω * x, yn οι αριθμητές των κλασμάτων Τότε θα ισχύει x 33 y 7 3 9, ή, ισούναμα, 3x 7 y 33 () Αναζητούμε, επομένως, τις θετικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης () Επειή ( 3,7), η () έχει ακέραιες λύσεις Μια ειική της λύση είναι η ( 33,66) Άρα, οι ακέραιες λύσεις,, της () ίνονται από τους τύπους Έτσι έχουμε x 337t και y 663t, όπου t Z x 337t 33 66 t t 5 y 663t 7 3 Άρα x και y και επομένως 33 9 7 3