ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ o Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α, β. Μονάδες 4 Β. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων είναι ίσο µε το άθροισµα των γινοµένων των οµώνυµων συντεταγµένων τους. Μονάδες 9 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Ένα διάνυσµα και µία ευθεία, αν έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης είναι παράλληλα. β. Αν det (,β) α είναι η ορίζουσα των διανυσµάτων τότε ισχύει η ισοδυναµία: α // β det ( α,β). α, β γ. Αν α, β είναι θετικοί ακέραιοι, τότε πάντα ισχύει: α β [α, β] (α, β) όπου [α, β] είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των α, β και (α, β) είναι ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των α, β. δ. Η εξίσωση x + y + Ax + By +Γ 0 µε Α +Β 4Γ >0 παριστάνει κύκλο µε κέντρο A B K,., Μονάδες 8. Στη Στήλη Α δίνονται εξισώσεις κωνικών τοµών και στη Στήλη Β εξισώσεις εφαπτοµένων κωνικών τοµών στο σηµείο επαφής (x,y ). Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα, τον αριθµό της Στήλης Β που αντιστοιχεί πάντα στη σωστή εξίσωση εφαπτοµένης.

2 Στήλη Α Στήλη Β α. x + y ρ. yy p(x + x ) β. x y +. xx + yy ρ γ. y px δ. x y 3. xx yy + 4. xx + yy 5. xx yy ρ 6. xx yy Μονάδες 4 Α. Ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο µη µηδενικών διανυσµάτων α και β και το συµβολίζουµε µε τον πραγµατικό αριθµό: α β α β συνφ όπου φ η γωνία των διανυσµάτων α και β. Αν α 0 ή β 0 τότε ορίζουµε α β 0. Β. Έστω α(x,ψ) και β(x,ψ ). Με αρχή το Ο παίρνουµε τα διανύσµατα OA α και OB β. Από τον νόµο των συνηµιτόνων στο τρίγωνο OAB έχουµε: (AB) (OA) + (OB) (OA)(OB)συνAÔB Όµως είναι: (ΑΒ) (x - x ) +(ψ - ψ ) (ΟΑ) x +ψ και (ΟΒ) x +ψ

3 Γ.. Εποµένως έχουµε διαδοχικά: (x - x ) +(ψ - ψ ) x +ψ +x +ψ - (ΟΑ)(ΟΒ) συνa ÔB ή µετά από πράξεις: x x +ψ ψ +(ΟΑ)(ΟΒ) συνa ÔB και επειδή: (ΟΑ)(ΟΒ) συν(aôb) α β Προκύπτει τελικά ότι: x x +ψ ψ γ δ Σ Λ Λ Σ Στήλη Α Στήλη Β α β 3 γ δ 6 ΘΕΜΑ ο Α. Να αποδείξετε ότι το γινόµενο δύο περιττών ακεραίων αριθµών είναι περιττός ακέραιος αριθµός. Μονάδες 5 Β. Να αποδείξετε ότι αν ο α είναι ακέραιος, τότε και ο α ( α + ) είναι ακέραιος. Μονάδες 0 Γ. Αν ο α είναι περιττός ακέραιος, να αποδείξετε ότι ο α ( α + ) είναι επίσης περιττός ακέραιος. Μονάδες 0 Α. Έστω α κ+ και β λ+ µε κ,λ Ζ δύο περιττοί ακέραιοι αριθµοί. Τότε: α β (κ+)(λ+) 4κλ+κ+λ+ (κλ+κ+λ)+ ρ+ όπου ρ κλ+κ+λ ακέραιος αριθµός. Άρα το γινόµενο α β περιττός αριθµός. 3

4 Β. (i) Αν α άρτιος ακέραιος αριθµός, δηλαδή α λ µε λ Ζ τότε έχουµε: α(α + ) λ(4λ + ) [ λ(4λ + ) ] λ(4λ + ) Z (ii) Αν α περιττός ακέραιος αριθµός, δηλαδή α λ+ µε λ Ζ τότε έχουµε: α(α + ) (λ + ) [(λ + ) + ] (λ + ) [ 4λ + 4λ + + ] (λ + ) [ 4λ + 4λ + ] [(λ + )(λ + λ + ) ] (λ + )(λ + λ + ) Z () Γ. Από το συµπέρασµα () του ερωτήµατος Β έχουµε ότι: α (α + ) (λ+)(λ +λ+) (λ+)[(λ +λ)+] (λ+)(ρ+) : περιττός ακέραιος λόγω του ερωτήµατος Α µε ρ λ +λ Ζ ΘΕΜΑ 3ο ίνεται η παραβολή y 4x. Νρείτε: Α. την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής Μονάδες 6 Β. τις ευθείες που διέρχονται από την εστία της παραβολής και απέχουν από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση µε Μονάδες 0 Γ. την εξίσωση της εφαπτοµένης της παραβολής που είναι παράλληλη στην ευθεία y x. Μονάδες 9 A. Η εξίσωση y 4x γράφεται y x, οπότε είναι ρ. ρ Έτσι η εστία Ε έχει συντεταγµένες E,0 ή Ε(,0). Η ρ διευθετούσα είναι x ή x -. 4

5 B. Το σύνολο των ευθειών που διέρχονται από την εστία Ε(,0) περιγράφεται από τις εξισώσεις: (η λ ): y - 0 λ(x-) y λx - λ λx + (-)y - λ 0, λ IR (ε): x. d(0, ε) άρα η (ε) δεν είναι λύση. Αναζητούµε έτσι λ IR ώστε d(0,η ) λ 4λ (λ λ 0 + ( ) 0 λ λ + ( ) + ) λ λ ή λ -. Έτσι προκύπτουν δύο ευθείες: α) Για λ : y x -. β) Για λ - : y -x +. Γ. Αν (ε ) η ζητούµενη ευθεία και Α(x, y ) το σηµείο επαφής της (ε ) µε την παραβολή, η (ε ) έχει τη µορφή: yy ρ(x + x ) ή yy (x + x ). Επειδή y 0 η τελευταία γράφεται x y x +. y y Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης προκύπτει λ. y Λόγω της παραλληλίας µε την y x - πρέπει: λ y. y Όµως Α(x, y ) είναι σηµείο της παραβολής, οπότε y 4x 4x x. Τελικά η ζητούµενη εξίσωση είναι: y (x + ) y x +. 5

6 ΘΕΜΑ 4ο ίνεται η εξίσωση x + y xσυνθ yηµθ 0, 0 θ<π. Α. Να αποδείξετε ότι για κάθε θ η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο, του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα. Moνάδες 9 Β. Αν π θ, νρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης του κύκλου στο σηµείο Μ(,). Μονάδες 9 Γ. Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιµές του θ τα κέντρα των παραπάνω κύκλων βρίσκονται σε κύκλο µε κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ. Μονάδες 7 Α. Η δοσµένη εξίσωση γράφεται: (x - xσυνθ) + (y - yηµθ) ή (x - xσυνθ + συν θ) + (y - yηµθ + ηµ θ) ή (x - συνθ) + (y - ηµθ) () Η τελευταία όµως παριστάνει κύκλο µε κέντρο Κ(συνθ, ηµθ) και ακτίνα ρ. π Β. Από την εξίσωση () για θ, προκύπτει ο κύκλος: (x - 0) + (y - ) του οποίου το κέντρο είναι Κ(0,). y M y K Είναι: λ ΚΜ. Επειδή η εφαπτοµένη ευθεία στο x x 0 M K Μ είναι κάθετη στην ευθεία ΚΜ, προκύπτει ότι θα έχει συντελεστή διεύθυνσης λ - και εξίσωση: y - -(x - ). Άρα y - x +3. Γ. Οι συντεταγµένες x, y των κέντρων των παραπάνω κύκλων είναι: x συνθ, y ηµθ. Έτσι προκύπτει x + y συν θ + ηµ θ ή x + y. Άρα τα κέντρα αυτά βρίσκονται στον κύκλο µε κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ. 6