Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a

Transcript

1 Κεφ. εξισώσεις ανισώσεις εξάσκησηεπανάληψη Τhe Ds that make a champion: Devotion, Desire, Discipline Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... Μορφές Εξισώσεων Λύση ή ρίζα εξίσωσης Εξίσωση ου βαθμού ax + b = 0 Εξίσωση ου βαθμού (τριώνυμο) ax + bx +γ = 0, a0 Είναι ο αριθµός που όταν µπει στη θέση του αγνώστου x επαληθεύει την εξίσωση, πχ η εξίσωση x = 0 έχει λύση ή ρίζα τον αριθµό x =, διότι ο αριθµός x = την επαληθεύει (δηλαδή = 0). Mια εξίσωση µπορεί να µην έχει καµιά λύση ή ρίζα όπως πχ η εξίσωση 0x = 4, οπότε τότε λέµε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη. Μπορεί όµως µια εξίσωση να έχει και άπειρες λύσεις ή ρίζες όπως πχ η εξίσωση 0x = 0, η οποία επαληθεύεται για κάθε τιµή του x οπότε λέµε ότι η εξίσωση είναι αόριστη ή ταυτότητα. Γενική Μορφή : ax + b = 0 () b Αν a 0τότε η () έχει µοναδική λύση την x = a Αν a = 0τότε η () γράφεται ως 0 x + b = 0 0x = b () αν b = 0 τότε η () δίνει 0 x = 0και είναι αόριστη ή ταυτότητα δηλαδή ισχύει για κάθε x αν b 0 τότε η () δίνει 0 x = b 0και είναι αδύνατη Γενική Μορφή : ax + bx +γ = 0, a 0 () ιακρίνουσα: = b 4aγ Αν > 0 η () έχει λύσεις άνισες Αν = 0 η () έχει λύση διπλή Αν < 0 η () είναι αδύνατη στο R (δεν έχει λύσεις) Λύσεις: x, = b ± a

2 Ειδικές μορφές της εξίσωσης ου βαθμού (τριώνυμο) ax + bx +γ = 0, a0 ❶ Μορφή ax + bx = 0, a 0 (το γ του τριωνύµου είναι µηδέν) Παραγοντοποιώ το ο µέλος, βγάζοντας κοινό παράγοντα το x και µετά χρησιµοποιώ τη γνωστή σχέση: Αν ΑΒ=0 τότε Α=0 ή Β=0 ❷ Μορφή ax +γ = 0, a 0 (το β του τριωνύµου είναι µηδέν) Παραγοντοποιώ το ο µέλος, εφαρµόζοντας διαφορά τετραγώνων (αν γίνεται) και µετά χρησιµοποιώ τη γνωστή σχέση: Αν ΑΒ=0 τότε Α=0 ή Β=0 Αλλιώς µπορώ να χρησιµοποιήσω την σχέση: Aν a > 0 τότε η εξίσωση x = a έχει λύσεις τις x = ± a Αν a<0 η εξίσωση x = a είναι αδύνατη ❸ Μορφή ax + bx +γ = 0, a 0 Ελέγχω αν κρύβεται στους όρους κάποια από τις ταυτότητες (a ± b) = a + b ± ab Εφαρµόζω (αν γίνεται) την µέθοδο συµπλήρωσης τετραγώνου χρησιµοποιώντας τις ταυτότητες (a ± b) = a + b ± ab Παραγοντοποίηση τριωνύμου ΣΧΟΛΙΟ: Κάθε εξίσωση ου βαθµού που δεν εντάσσεται στις παραπάνω µορφές ❶, ❷, ❸ λύνεται µε χρήση των τύπων b ± = b 4aγ, x, = a Έστω η εξίσωση ου βαθµού (τριώνυµο) ax + bx +γ = 0, a 0 µε ρίζες ρ, ρ. Τότε ax + bx +γ = a(x ρ)(x ρ) Επίλυση κλασματικών εξισώσεων Περιορισµός: Πρέπει οι παρονομαστές σε όλους τους όρους να είναι διάφοροι του μηδενός. Αναλύω τους παρονοµαστές σε γινόµενο πρώτων παραγόντων και πολλαπλασιάζω κάθε όρο επί το ΕΚΠ των παρονοµαστών (απαλοιφή παρονοµαστών). Μετά κάνω τις πράξεις που προκύπτουν Από τις λύσεις που βρίσκω δέχοµαι µόνο αυτές που ικανοποιούν τους περιορισµούς

3 Ανίσωση ου βαθμού ιάταξη αριθµών Αν α > β τότε α β > 0 Αν α < β τότε α β < 0 Αν α = β τότε α β = 0 Ιδιότητες της διάταξης Αν στα δύο µέλη µιας ανίσωσης προσθέσω ή αφαιρέσω τον ίδιο αριθµό, τότε προκύπτει ανίσωση µε την ίδια φορά δηλαδή Αν α > β τότε α + γ > β + γ και α γ > β γ Αν πολλαπλασιάσω ή διαιρέσω και τα δύο µέλη µιας ανίσωσης µε τον ίδιο θετικό αριθµό, τότε προκύπτει ανίσωση µε την ίδια φορά δηλαδή α β Αν α > β και γ > 0 τότε αγ > βγ και > γ γ Αν πολλαπλασιάσω ή διαιρέσω και τα δύο µέλη µιας ανίσωσης µε τον ίδιο αρνητικό αριθµό, τότε προκύπτει ανίσωση µε αντίθετη φορά δηλαδή α β Αν α > β και γ < 0 τότε αγ < βγ και < γ γ Μπορώ να προσθέτω κατά µέλη ανισώσεις µε την ίδια φορά, οπότε και προκύπτει ανίσωση µε την ίδια φορά Αν α > β και γ > δ τότε α + γ > β + δ Μπορώ να πολλαπλασιάσω κατά µέλη ανισώσεις µε την ίδια φορά και θετικά µέλη, οπότε και προκύπτει ανίσωση µε την ίδια φορά Αν α, β, γ, δ θετικοί µε α > β και γ > δ τότε αγ > βδ Για να λύσω µια ανίσωση ου βαθµού, δουλεύω κατά τα γνωστά αλλά δεν ξεχνώ ότι: όταν πολλαπλασιάζω ή διαιρώ µε αρνητικό αριθµό, αλλάζει η φορά της ανίσωσης Να θυμάσαι a 0 πάντα Αν ab = 0 τότε a = 0ή b = 0 Αν a + b = 0 τότε a = 0και b = 0

4 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ Να λυθεί η εξίσωση x x + = x Βήµα Βρίσκω το ΕΚΠ των παρονοµαστών, ΕΚΠ = Βήµα Πολ/ζω κάθε όρο επί το ΕΚΠ= και κάνω τις απλοποιήσεις που προκύπτουν x x + = x (απαλοιφή παρονομαστών) (x ) (x + ) = x Βήµα Εκτελώ τις πράξεις x x = x x = x + = x x 4 x = 4 x = ΑΣΚΗΣΗ Να λυθεί η εξίσωση ( x)(x +) = 0 Είναι γινόµενο ίσο µε µηδέν άρα χρησιµοποιώ την σχέση: Αν ΑΒ=0 τότε Α=0 ή Β=0 ΑΣΚΗΣΗ Να λυθεί η εξίσωση 7x = 0 x ( x)(x +) = 0 x = 0 ή x + = 0 = x ή x = x = ή x = Παραγοντοποιώ το ο µέλος, βγάζοντας κοινό παράγοντα το x x 7x = 0 x (x 7) = 0 x = 0ή x 7 = 0 x = 0ή x = 7 4

5 ΑΣΚΗΣΗ 4 Να λυθεί η εξίσωση = 0 x Παραγοντοποιώ το ο µέλος, µε χρήση της ταυτότητας α β = (αβ)(α+β) Αλλιώς x = 0 ή x = 0 ( x )(x + ) = 0 x = 0ή x + = 0 x = ή x = x = 0 x = x = ± x = ± ΑΣΚΗΣΗ 5 Να λυθεί η εξίσωση 5x +0x + = 0 Παρατηρώ ότι οι όροι της εξίσωσης εκφράζουν το ανάπτυγµα α + β + αβ της γνωστής ταυτότητας ΑΣΚΗΣΗ Να λυθεί η εξίσωση x 5 = 0 x 5x +0x + = 0 ( 5x) + 5x + = 0 ( 5x +) = 0 5 x + = 0 5 x = x = 5 Παρατηρώ ότι οι όροι της εξίσωσης µπορούν να εκφράσουν το ανάπτυγµα α + β ± αβ οπότε εφαρµόζω τη μέθοδο της συμπλήρωσης τετραγώνων x x x 5 = 0 x + 5 = 0 (x ) (x ) = 0 = x = ± x = ±4 x = 4, x = 4 x = 5, x = 5

6 ΑΣΚΗΣΗ 7 Να λυθεί η εξίσωση x + x + = 0 Τριώνυµο ax + bx +γ = 0, a 0 µε a =,b =, γ = = b 4aγ = 4() = + 48 = 49 x, = b ± a ± ± 7 = = = { () 49 4 = 4 8 = 4 ΑΣΚΗΣΗ 8 Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση x + x + Η παραγοντοποίηση τριωνύµου γίνεται µε τον τύπο ax + bx +γ = a(x ρ)(x ρ) Οι ρίζες (λύσεις) του τριωνύµου είναι και / (από την άσκηση 7) Οπότε x + x + = (x )(x + ) ΑΣΚΗΣΗ 9 Να λυθεί η εξίσωση = 0 x x x Πολ/ζω κάθε όρο επί το ΕΚΠ = x(x) συνεπώς x(x ) = 0 x x x = 0 x x(x ) x(x ) x x(x ) x(x ) (x ) = 0 x x x + = 0 x x = 0 x (x ) = 0 x(x ) = 0 x = 0 (απορρίπτεται λόγω περιορισµού) ή x = (δεκτή) Περιορισμός: x 0 x

7 ΑΣΚΗΣΗ 0 Να λυθεί η ανίσωση (x + ) x + 4 < x + 4 (x + ) < Κάνω τις πράξεις x x + 4 x < x + 4 x x + 4 x < + < + Πολ/ζω και τα δυο µέλη επί το ΕΚΠ= (θετικός) 4x + 4 < 4 < 4x + 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ x + 4 < 0 < 4x δηλαδή 4 x > 0 άρα x > 0 4x + 4 < ❶ Να λυθούν οι εξισώσεις (εξισώσεις ου βαθμού) ) x (x ) = x + ) 4(x ) + (x + ) = 4 x ) 4(x ) (x 4) = 0 4) (x +) (x ) = 4x x x x 5) = ) = (x +) x x x + x 7) = 0 8) = 9) = x x 0 x 0 x 0) = ) = 0 ) = ) (x + ) ( x) = 0 (x +) x x 5) 0 (x +) = 0 4) = 4 4 ❷ Να λυθούν οι εξισώσεις (τριώνυμα με β = 0) ) x = 50 ) x = 48 ) 4x = 00 4) x 7 = 0 5) 8x 7 = 0 ) x = 0 7) x + = 0 8) x = 0 9) x + = 0 0) 5x 5 = 0 ) 7x 49 = 0 ) 0x = 00 ) 9x 8 = 0 4) x = 0 5) x 4 = 0 ) + 4 = 0 7) x = 8) x = 9) x + = 0) x = 8 x 7

8 ❸ Να λυθούν οι εξισώσεις (τριώνυμα με γ = 0) ) x + x = 0 ) ( x +)(x + 4) = 0 ) (x )(x + ) = 0 4) x x = 0 5) x + 4x = 0 ) x = x 7) x = x 8) x x = 0 9) x + x = 0 0) 5x 5x = 0 ) x(x + 4) = 0 ) x (x )(x +) = 0 ) 9x(x + 5) = 0 4) x x = 0 5) x = 4x ) x + 4x = 0 7) x = x 8) x x = x + 9x 9) x = 0x + 4x 0) x 8x = x ❹ Να λυθούν οι εξισώσεις ) (x +) = 0 ) (x ) = 0 (τριώνυμα που ανάγονται στην μορφή α +β ± αβ = (α ±β) ) ) x x + = 0 4) x x + 9 = 0 5) x 8x + = 0 ) x + x + = 0 7) x + x + 9 = 0 8) 0x + 5 = 0 9) x + 8x + = 0 0) (x +) = 0 ) (x ) = 0 x ) (x ) = 0 ) 4x + 4x + = 0 4) 4x 4x + = 0 5) 5x +0x + = 0 ) (x + ) = 0 7) x 0x +00 = 0 8) x + 0x +00 = 0 9) 9x + x + = 0 0) x x + 4 = 0 9 ❺ Να λυθούν οι εξισώσεις (με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου) ) x x = 0 ) x + x = 0 ) x 4x = 0 4) + 4x = 5) 4x + 4x = 4 ) 4x 4x = 4 7) x 0x = 4 8) 9x + x = 9) x +5x = 0) x +x = ) x + 0x = 00 ) = 5x + x x ❻ Να λυθούν οι εξισώσεις (με χρήση των τύπων επίλυσης τριωνύμου) ) x x = 0 ) x + x = 0 ) x 4x = 0 4) + 4x = 5) 4x + 4x = 4 ) 4x 4x = 4 7) x 0x = 4 8) 9x + x = 9) x +5x = 0) x +x = ) x + 0x = 00 ) = 5x x x ❼ Να παραγοντοποιηθούν τα τριώνυμα (μπορείς να χρησιμοποιήσεις τις λύσεις που βρήκες παραπάνω) ) x x = 0 ) x + x = 0 ) x 4x = 0 4) + 4x = 5) 4x + 4x = 4 ) 4x 4x = 4 7) x 0x = 4 8) 9x + x = 9) x +5x = 0) x +x = ) x + 0x = 00 ) x = 5x x 8

9 ❽ Να λυθούν οι εξισώσεις ) x (x +) 5x(x +) + (x +) = 0 ) x (x ) x(x ) + 8(x ) = 0 ) x (x + ) 7x(x + ) +0(x + ) = 0 4) x (x 4) 8x(x 4) +(x 4) = 0 5) x x + = x 5 ) x + x = 4 7) x (x 7) = 8) x + (x + ) = 00 x ❾ Να λυθούν οι εξισώσεις ) x + 5 = x 5 x + 5 ) x x ) + = 0 4) x x x x x + 5 x + 5 = x x x x x 4 = 4 x x x x + + x x x x x x + 4 5) + = x ) = 0 x x + 7) 9) x x + + = x + x x x x x 4 = x x 4 x 5 x (κλασματικές εξισώσεις) x x + x 8) = x x x x x + x 4x x + 0) + = + x x (x )(x ) ❿ Να λυθούν οι ανισώσεις ) 0 x < x + ) x 7 > 5x + 4 ) (4x + 5) > 4(5x ) 4x x x 4) > 5 0 x + x x x + 4 5) < x + ) + < x x + x x x 7) + > 8) + > x 4 4 x x x 4 x + x 9) + < 0) H γνώση εµπεδώνεται µέσα µας Μόνο µε τη συχνή επανάληψη 9