Τίτλος Μαθήματος: Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. Ενότητα: Εισαγωγή στα Υπολογιστικά Φύλλα Εργασίας-Μέρος 3

Τίτλος Μαθήματος: Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Ενότητα: Εισαγωγή στα Υπολογιστικά Φύλλα Εργασίας-Μέρος 3 Διδάσκων: Αναπληρωτής Καθηγητής Αλέξιος Δούβαλης Τμήμα: Φυσικής

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις για το μάθημα "Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές" Κεφάλαιο 3ο Προγράμματα Υπολογιστικών Φύλλων Εργασίας Μέρος 3ο Α. Δούβαλης Α. Πολύμερος Ιωάννινα 04

Εύρεση των τιμών των παραμέτρων αναλυτικών μαθηματικών σχέσεων μέσω της διαδικασίας προσαρμογής θεωρητικών σχέσεων σε δεδομένα γραφικών παραστάσεων Η "Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων" και η εφαρμογή της με την βοήθεια των υπολογιστικών φύλλων εργασίας σε δεδομένα που συνδέονται με γραμμική σχέση Η δημιουργία γραφικών παραστάσεων που είδαμε στο προηγούμενο μέρος του τρέχοντος Κεφαλαίου και η διερεύνηση της γενικής μορφής της αναλυτικής σχέσης που συνδέει τις μεταβλητές ή τα φυσικά μεγέθη που παριστάνονται σ' αυτές, αποτελεί το πρώτο πολύ βασικό βήμα για την λύση προβλημάτων που αφορούν την εύρεση της διακύμανσης τους. Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις υπάρχει πάντα και ένα επόμενο δεύτερο βήμα το οποίο αφορά στον ακριβή προσδιορισμό των τιμών των παραμέτρων των αναλυτικών μαθηματικών σχέσεων που τις συνδέουν. Στο μέρος αυτό του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε με τις βασικές μεθόδους προσδιορισμού των παραμέτρων ορισμένων αναλυτικών σχέσεων και συγκεκριμένα των τεσσάρων βασικών σχέσεων, της γραμμικής σχέσης, της σχέσης δύναμης, της εκθετικής σχέσης και της λογαριθμικής σχέσης, οι οποίες παρουσιάστηκαν στο μέρος αυτού του Κεφαλαίου, μέσω της προσαρμογής των δεδομένων των αντίστοιχων γραφικών παραστάσεων με τις αντίστοιχες αναλυτικές θεωρητικές σχέσεις. Μία από τις πιο δημοφιλείς και διαδεδομένες μεθόδους που χρησιμοποιούνται για τον σκοπό αυτό από φοιτητές, ερευνητές και επαγγελματίες διαφόρων ειδικοτήτων σε όλο τον κόσμο, οι οποίοι ασχολούνται με την εύρεση των παραμέτρων των αναλυτικών μαθηματικών σχέσεων που προσομοιάζουν κατά τον καλύτερο τρόπο την διακύμανση τιμών μεταβλητών ή φυσικών μεγεθών σε γραφικές παραστάσεις είναι η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων. Η μέθοδος αυτή προσδιορίζει σε ικανοποιητικό βαθμό τις παραμέτρους μίας προτεινόμενης αναλυτικής μαθηματικής σχέσης που αντιστοιχεί στην καλύτερη καμπύλη που μπορεί να περιγράψει την διακύμανση μεταξύ δύο μεταβλητών ή φυσικών μεγεθών. Όπως διαφαίνεται από το όνομά της, η μέθοδος αυτή προσδιορίζει τις παραμέτρους της θεωρητικής σχέσης που περιγράφει τα δεδομένα μέσω της ελαχιστοποίησης του αθροίσματος των τετραγώνων των διαφορών των τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής (ή του φυσικού μεγέθους) από τις αντίστοιχες θεωρητικές τιμές που προκύπτουν από την προτεινόμενη αναλυτική σχέση με την χρήση των τιμών της ανεξάρτητης μεταβλητής (ή φυσικού μεγέθους). Οι διαφορές αυτές αποκαλούνται και "υπόλοιπα" (resduals). Η επιτυχία της μεθόδου εξαρτάται από την σωστή επιλογή της προτεινόμενης αναλυτικής μαθηματικής σχέσης αλλά και από την απαίτηση η ανεξάρτητη μεταβλητή (ή το αντίστοιχο φυσικό μέγεθος) να διαθέτει ελάχιστη αβεβαιότητα (σφάλμα), ενώ μπορεί να (και συνήθως) υπάρχει και μπορεί να προσδιοριστεί πεπερασμένη αβεβαιότητα για τις τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής (ή του αντίστοιχου φυσικού μεγέθους).

Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων λοιπόν προβλέπει ότι όταν προσπαθήσουμε να προσαρμόσουμε σε Ν τον αριθμό ζευγών δεδομένων x και y (,,) μίας γραφικής παράστασης μία προτεινόμενη ή δοκιμαστική αναλυτική μαθηματική σχέση της μορφής y theory f(a,a,,a n,x), η οποία όπως φαίνεται από την μορφή της διαθέτει n τον αριθμό παραμέτρους, a, a,, a n. Τότε η καλύτερη καμπύλη που περιγράφει τα δεδομένα της γραφικής παράστασης θα προκύπτει όταν το άθροισμα: S [y f(a,a,...,a, x)] () res n το οποίο αφορά τα υπόλοιπα y y theory_ για,, ελαχιστοποιείται. Ένας άλλος τρόπος με τον οποίο θα μπορούσε να γίνει πιο κατανοητή η παραπάνω διαδικασία ελαχιστοποίησης είναι να φανταστεί κανείς τα τετράγωνα των παραπάνω διαφορών (y y theory_ ) ως επιμέρους εμβαδά τετραγώνων με πλευρές (y y theory_ ) που συνθέτουν ένα συνολικό εμβαδό το οποίο ελαχιστοποιείται, όπως φαίνεται στην Εικόνα. (α) (β) Εικόνα. Αναπαράσταση των ελαχίστων επιμέρους εμβαδών των τετραγώνων που έχουν πλευρές οι οποίες αντιστοιχούν στις διαφορές (y y theory_ ), όπου y οι τιμές των τεταγμένων των σημείων της γραφικής παράστασης και y theory_ οι αντίστοιχες υπολογισμένες τιμές, μέσω της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων, της καλύτερης καμπύλης (στην προκειμένη περίπτωση ευθείας με μαύρο χρώμα) που τα περιγράφει. Το συνολικό εμβαδόν που αντιστοιχεί στο R res, προκύπτει από την άθροιση των εμβαδών των επιμέρους τετραγώνων και εμφανίζεται ενδεικτικά ξεχωριστά για κάθε τέτοιο τετράγωνο στο εσωτερικό μέρος (α), αλλά και σαν ένα ομοιόμορφο τετράγωνο με εμβαδόν ίσο με αυτό του αθροίσματος όλων των επιμέρους τετραγώνων στο εσωτερικό μέρος (β) της γραφικής παράστασης. Όπως είδαμε παραπάνω η σχέση y theory f(a,a,,a n,x) είναι υποκειμενικά προτεινόμενη ή αλλιώς δοκιμαστική. Το αν θα την αποδεχτούμε τελικά ή όχι μπορεί 3

να αποτελεί πάλι μία υποκειμενική κρίση για το πόσο είμαστε ευχαριστημένοι από το ποιοτικό επίπεδο περιγραφής της διακύμανσης των σημείων της γραφικής παράστασης y f(x ) από την θεωρητική καμπύλη. Υπάρχουν όμως και αντικειμενικά κριτήρια τα οποία μπορούμε να συμβουλευτούμε για να μας δείξουν με ποσοτικό τρόπο το πόσο καλή είναι η προσαρμογή που κάναμε στα δεδομένα της γραφικής παράστασης με την συγκεκριμένη προτεινόμενη συνάρτηση. Ένα από αυτά είναι ο συντελεστής προσδιορισμού (coeffcent of determnaton) R, που ορίζεται ως: Sres R () S tot tot [y y] S (3) όπου ӯ η μέση τιμή των επιμέρους τιμών y,,,. Όσο πιο κοντά είναι αυτός ο (αδιάστατος) συντελεστής στην τιμή, τόσο πιο καλύτερη ποσοτικά είναι η προσαρμογή της προτεινόμενης συνάρτησης στα δεδομένα της γραφικής παράστασης. Για να γίνει περισσότερο κατανοητό τι ακριβώς εκφράζει ο συντελεστής R και έχοντας κατανοήσει τι αντιπροσωπεύει το άθροισμα S res, θα πρέπει να κατανοήσουμε αντίστοιχα τι αντιπροσωπεύει το άθροισμα S tot. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί από την μελέτη της Εικόνας. yӯ Εικόνα. Αναπαράσταση των επιμέρους εμβαδών των τετραγώνων που έχουν πλευρές οι οποίες αντιστοιχούν στις διαφορές (y ӯ), όπου y οι τιμές των τεταγμένων των σημείων της γραφικής παράστασης και ӯ η μέση τιμή τους. Το συνολικό εμβαδόν που αντιστοιχεί στο R tot, προκύπτει από την άθροιση των εμβαδών των επιμέρους τετραγώνων και είναι τόσο μεγάλο αναπαράστασή του σε μορφή ενός συμπαγούς τετραγώνου θα ξεπερνούσε τα όρια του σχήματος. Η μπλε γραμμή αντιστοιχεί στην τιμή ӯ και η μαύρη στην εξίσωση που περιγράδει καλύτερα τα πειραματικά σημεία (Εικόνα ). 4

Τα εμβαδά των τετραγώνων στην Εικόνα αντιστοιχούν σε τετράγωνα με πλευρές (y ӯ) και από την σύγκριση των Εικόνων και γίνεται κατανοητό πως ο λόγος R res /R tot καθορίζει την τιμή του R. Η ελαχιστοποίηση του αθροίσματος R res της σχέσης () μπορεί να αποδειχτεί ότι συμβαίνει όταν οι παράγωγοι: Sres 0,,...,n (4) a Από τις παραπάνω σχέσεις (4) όπως γίνεται φανερό, προκύπτει ένα σύστημα n εξισώσεων για τις ζητούμενες a, a,, a n, παραμέτρους. Η λύση του συστήματος αυτού δεν είναι γενικά πάντα εύκολη ή τετριμμένη υπόθεση, αλλά όπως μπορεί να φανταστεί κάποιος, απλοποιείται πολύ όταν η σχέση y theory f(a,a,,a n,x) έχει σχετικά απλή μορφή. Στην περίπτωση λοιπόν κατά την οποία διαπιστωθεί ότι η καταλληλότερη προτεινόμενη ή δοκιμαστική αναλυτική μαθηματική σχέση για την περιγραφή της διακύμανσης των δεδομένων είναι η γραμμική σχέση y theory b x+a, το σύστημα των εξισώσεων (4) μας δίνει : S res [y (bx + a)] 0 a S res [y (bx + a)] x 0 b από την λύση των οποίων προκύπτουν οι παράμετροι a και b: (5) (6) x y x x y a (7) Δ με x y x y b (8) Δ Δ x x (9) Μπορεί επίσης να προσδιοριστεί και η αβεβαιότητες των παραμέτρων σ a και σ b μέσω των σχέσεων: σ a σ y Δ x (0) Μ. Καμαράτος "Εισαγωγή στην ανάλυση πειραματικών μετρήσεων, απλά πειράματα μηχανικήςθερμότητας", Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, Ιωάννινα 03. 5

σ b σy () Δ όπου το σ y μπορεί να προσδιοριστεί είτε από την διακύμανση των τιμών y y theory_ μέσω της σχέσης: [ y (b x a) ] [ y ytheory ] + σ y () είτε μπορεί να αποτελεί το τετράγωνο μίας γνωστής τιμής σταθερής αβεβαιότητας σ y των τιμών y. Γραμμική σχέση Ας δούμε πως εφαρμόζεται η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων στα δεδομένα μίας γραφικής παράστασης όταν αυτά έχουν τη τάση να σχηματίσουν ευθεία γραμμή, διαθέτουν δηλαδή μία γραμμική σχέση μεταξύ τους. Ξεκινούμε από ένα σύνολο τιμών δύο φυσικών μεγεθών v και t που παρουσιάζεται στον Πίνακα. Κάνοντας την γραφική παράσταση vf(t) σε γραμμικούς άξονες, όπως έχουμε δει σε προηγούμενες παραγράφους, οδηγούμαστε στο αποτέλεσμα που παρουσιάζεται στην Εικόνα 3. Πίνακας α/α t (s) v (cm/s) r (mm) υ ορ (cm/s) T ( C) η (mpa s) q (C) t (s) 0 0.9.0 0.5 0 058 0.095 0.5 3..5. 0 40 0.090.05 3 4 3.9.0.0 0 348 0.085.63 4 6 5.6.5 3. 30 44 0.080.3 5 8 6. 3.0 4.6 40 46 0.075.88 6 0 8.6 3.5 6. 50 5 0.070 3.57 7 9. 4.0 8. 60 5 0.065 4.3 8 4. 4.5 0. 70 6 0.060 5. 9 6.6 5.0.4 σ η ~ mpa.s 0.055 5.98 0 8 3. 5.5 5. 0.050 6.93 0 5.9 6.0 7.9 0.045 7.99 6. σ υορ ~ 0.6 cm/s 0.040 9.6 3 4 7.9 0.035 0.50 4 6 9. 0.030.04 5 8 3.6 0.05 3.86 6 30 3.5 0.00 6.09 7 σ v ~ 0.6 cm/s 0.05 8.97 8 0.00 3.03 9 0.005 9.96 6

Από την εικόνα αυτή γίνεται φανερό ότι τα σημεία της γραφικής παράστασης vf(t) έχουν την τάση να σχηματίσουν ευθεία γραμμή, επομένως μπορούμε να προβούμε κατ' ευθείαν στο συμπέρασμα ότι η γενική μαθηματική σχέση που συνδέει τα v και t είναι της μορφής vb t+a, όπου b και a, οι ζητούμενες παράμετρες της γραμμικής σχέσης. Προσέξτε ότι στο συμπέρασμα αυτό καταλήγουμε από την εποπτεία και μόνο της μορφής της καμπύλης σε γραμμικούς άξονες, είναι δηλαδή μία απόφαση την οποία παίρνουμε εμείς, και γενικά ο χρήστης του προγράμματος υπολογιστικών φύλλων εργασίας. 35.0 30.0 5.0 0.0 v (cm/s) 5.0 0.0 5.0 0.0 0 5 0 5 0 5 30 35 t (s) Εικόνα 3. Γραφική παράσταση των δεδομένων v και t του Πίνακα σε γραμμικούς άξονες. Για την εύρεση των τιμών των παραμέτρων a και b αποφασίζουμε να εφαρμόσουμε την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων στα δεδομένα των φυσικών μεγεθών v και t του Πίνακα. Θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε κατάλληλα τις σχέσεις (7), (8) και (9) αντιστοιχώντας το t στο x και το v στο y. Επομένως χρειάζεται να υπολογίσουμε το Ν καθώς και τα αθροίσματα:, t, v, t t v (3) Η εργασία αυτή γίνεται σε ένα νέο υπολογιστικό φύλλο εργασίας και παρουσιάζεται στην Εικόνα 4. Η εύρεση του αριθμού Ν έγινε, όπως και στην περίπτωση της εύρεσης των μέσων τιμών, με την χρήση της συνάρτησης COUT() στο κελί Α με πεδίο τιμών τα διαθέσιμα κελιά των δεδομένων για το t, (A:A7). Ο προσδιορισμός των κελιών των t και t v έγινε χρησιμοποιώντας τα δεδομένα των κελιών t και v με την χρήση των κατάλληλων πράξεων. Συγκεκριμένα για τα κελιά t ξεκινήσαμε με τον υπολογισμό του κελιού C μέσω της σχέσης Α^ και ακολουθήσαμε αυτόματη συμπλήρωση μέχρι το κελί C7, ενώ για τα κελιά t v ξεκινήσαμε με τον υπολογισμό του κελιού D και μέσω της σχέσης Α*Β ακολουθήσαμε αυτόματη 7

συμπλήρωση μέχρι το κελί D7. Στην συνέχεια υπολογίσαμε τα αθροίσματα των σχέσεων (3) χρησιμοποιώντας την συνάρτηση SUM() με πεδία τιμών τα αντίστοιχα κελιά στις στήλες Α, Β, C και D, από την γραμμή έως την γραμμή 7. Εικόνα 4. Εύρεση του συνολικού αριθμού των διαθέσιμων ζευγών δεδομένων Ν και των αντίστοιχων αθροισμάτων των σχέσεων (3) σε ένα υπολογιστικό φύλλο εργασίας. Έχοντας όλες τις ποσότητες των εξισώσεων (7) (9) εργαζόμαστε για τον υπολογισμό αρχικά του Δ και στην συνέχεια των a και b όπως φαίνεται στην Εικόνα 5. Εικόνα 5. Εύρεση των παραμέτρων a και b καθώς και των αβεβαιοτήτων τους και του συντελεστή προσδιορισμού R με την χρήση της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων. Το Δ υπολογίστηκε στο κελί Ε3 με την χρήση της σχέσης A*C8 A8^, τo a στο κελί Ε4 με την χρήση της σχέσης (C8*B8 A8*D8)/E και το b στο κελί Ε6 με την χρήση της σχέσης (A*D8 A8*B8)/E. Προσέξτε ότι εδώ κάνουμε πράξεις με φυσικά μεγέθη και κατά συνέπεια όλες οι ποσότητες, δηλαδή το Δ, όλα τα αθροίσματα και οι παράμετροι a και b έχουν μονάδες μέτρησης επίσης, οι οποίες 8

προκύπτουν από τις μονάδες μέτρησης των t και v, καθώς και την θεωρητική σχέση που τα συνδέει (vb t+a). Τις μονάδες αυτές πρέπει να προσδιορίσουμε εμείς, δηλαδή ο χρήστης, μιας και τα υπολογιστικά φύλλα εργασίας δυστυχώς (;) δεν κάνουν πράξεις με μονάδες μέτρησης. Στην Εικόνα 5 φαίνεται και ο προσδιορισμός των "θεωρητικών" τιμών v theory στην στήλη F, οι οποίες προκύπτουν από την εφαρμογή της προτεινόμενης γραμμικής σχέσης (v theory b t+a), και την χρήση των ευρεθέντων τιμών των παραμέτρων a και b, καθώς και των τιμών t, με,,6. Για τον λόγο αυτό στο κελί F χρησιμοποιήσαμε την σχέση $E$4+$E$6*A, ακολουθώντας αυτόματη συμπλήρωση μέχρι το κελί F7, κρατώντας τα κελιά Ε4 και Ε6, τα οποία περιέχουν τις τιμές των παραμέτρων, σταθερά κατά την διαδικασία της αυτόματης συμπλήρωσης. Για να προσδιορίσουμε τις αβεβαιότητες σ a και σ b πρέπει να βρούμε το σ v, για το οποίο πρέπει να προσδιορίσουμε κατ' αρχάς το άθροισμα της σχέσης (), το οποίο αποτελεί την ποσότητα S res. Έτσι πήραμε την διαφορά (v v theory ) για όλα τα ζεύγη τιμών ξεκινώντας από το κελί G με την χρήση της σχέσης (B F)^ και ακολουθώντας αυτόματη συμπλήρωση μέχρι το κελί G7 προσδιορίσαμε το ζητούμενο άθροισμα στο κελί G8. Το σ v υπολογίστηκε στο κελί Η με την βοήθεια της σχέσης () και χρήση της σχέσης G8/(A ). Από αυτό προσδιορίστηκαν οι αβεβαιότητες σ a στο κελί Ι με την χρήση της σχέσης ($C$8*H/$E$)^0.5 και σ b στο κελί J με την χρήση της σχέσης ($A$*H/$E$)^0.5. Οι αβεβαιότητες στρογγυλοποιήθηκαν σε ακρίβεια ενός σημαντικού ψηφίου και οι παράμετροι a και b στρογγυλοποιήθηκαν στην ακρίβεια των αβεβαιοτήτων αυτών αντίστοιχα, όπως φαίνεται στην Εικόνα 5. Αν αντί για τον προσδιορισμό του σ v από την σχέση () χρησιμοποιούσαμε την δοθείσα σταθερή τιμή αβεβαιότητας σ v του Πίνακα, το επίπεδο των αβεβαιοτήτων που προσδιορίζονται στα κελία I3 και J3 μέσω της αυτόματης συμπλήρωσης από τα κελιά της προηγούμενης γραμμής φαίνεται πως αυξάνει ελαφρώς. Υπολογίσαμε τέλος και συντελεστή προσδιορισμού R. Για να το κάνουμε αυτό, υπολογίσαμε αρχικά την μέση τιμή <v> των v στο κελί Β με την χρήση της σχέσης B8/A και κατόπιν τα τετράγωνα των διαφορών (v <v>),,6 ξεκινώντας από το κελί Κ με την χρήση της σχέσης (B $B$)^ και ακολουθώντας αυτόματη συμπλήρωση μέχρι το κελί Κ7. Το άθροισμα των κελιών αυτών που αντιστοιχεί στην ποσότητα S tot προσδιορίστηκε στο κελί Κ8 με την χρήση της σχέσης SUM(K:K7). Η τιμή του R προσδιορίστηκε στο κελί Ι6 με την χρήση της σχέσης (G8/K8) και όπως φαίνεται από το αποτέλεσμα βρίσκεται πολύ κοντά στην τιμή. Για να δούμε και γραφικά πως προσαρμόζονται τα δεδομένα v και t από τα θεωρητικά δεδομένα v theory και t που προέκυψαν από την παραπάνω εφαρμογή της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων σε ένα νέο γράφημα που μπορεί να προκύψει από την αντιγραφή και επικόλληση του της πρώτης γραφικής παράστασης vf(t), προσθέτουμε την σειρά δεδομένων v theory f(t) σε μορφή διασποράς σημείων και 9

στην συνέχεια για την σειρά αυτή απαλείφουμε τα σημεία και αφήνουμε μόνο την περιγραφή τους από την γραμμή που τα ενώνει, διαμορφώνοντάς την με το κατάλληλο χρώμα. Το αποτέλεσμα εμφανίζεται στην Εικόνα 6. 35.0 30.0 5.0 0.0 v (cm/s) 5.0 0.0 5.0 0.0 0 5 0 5 0 5 30 35 t (s) Εικόνα 6. Γραφική παράσταση σε γραμμικούς άξονες των δεδομένων v και t του Πίνακα (σημεία) και της καλύτερης ευθείας γραμμής [v theory f(t)] που προέκυψε από την εφαρμογή της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων (κόκκινη γραμμή) που τα περιγράφει. Σχέση δύναμης λογαριθμική βαθμονόμηση αξόνων Ας συνεχίσουμε τώρα με την δημιουργία της γραφικής παράστασης σε γραμμικούς άξονες των φυσικών μεγεθών υ ορ και r που παρουσιάζονται στον Πίνακα. Ακολουθώντας τυπικές πλέον διαδικασίες παίρνουμε το αποτέλεσμα της Εικόνας 7. Από την εικόνα αυτή φαίνεται ξεκάθαρα ότι τα φυσικά μεγέθη υ ορ και r δεν ακολουθούν γραμμική σχέση. Μιας και η πρώτη μας κίνηση είναι να αναγνωρίσουμε την γενική μορφή της αναλυτικής μαθηματικής σχέσης που συνδέει τα δύο αυτά μεγέθη, εργαζόμαστε όπως και στις αντίστοιχες παραγράφους του μέρους του παρόντος κεφαλαίου. Αλλάζοντας την βαθμονόμηση και των δύο αξόνων της γραφικής παράστασης της Εικόνας 7 καταλήγουμε στο αποτέλεσμα που εμφανίζεται στην Εικόνα 8. Από αυτή παρατηρούμε ότι σε λογαριθμική κλιμάκωση και των δύο αξόνων τα σημεία της γραφικής παράστασης των υ ορ και r τείνουν να σχηματίσουν ευθεία γραμμή. Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι τα μεγέθη αυτά συνδέονται μεταξύ τους με μία μαθηματική σχέση δύναμης της γενικής μορφής υ ορ a r b. Κατά συνέπεια η επόμενη κίνησή μας είναι να προσδιορίσουμε αυτές τις παραμέτρους a και b. Αυτό θα μπορούσε να γίνει με την χρήση της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων, όμως τα μεγέθη υ ορ και r, δεν συνδέονται με γραμμική σχέση, άρα δεν μπορούμε απ' ευθείας για τα μεγέθη αυτά να εφαρμόσουμε την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. 0

0.00 8.00 6.00 4.00 υορ (cm/s).00 0.00 8.00 6.00 4.00.00 0.00 0.0.0.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 r (mm) Εικόνα 7. Γραφική παράσταση σε γραμμικούς άξονες των δεδομένων υ ορ και r του Πίνακα. 00.00 0.00 υορ (cm/s).00.0 0.0 0.0 r (mm) Εικόνα 8. Γραφική παράσταση των δεδομένων υ ορ και r του Πίνακα σε λογαριθμικούς άξονες. Όμως, όπως έχουμε δει στο δεύτερο μέρος αυτού του κεφαλαίου, μπορούμε να μετασχηματίσουμε την σχέση υ ορ a r b σε γραμμική σχέση κάνοντας αλλαγή μεταβλητών και θέτοντας διαφορετικές παραμέτρους. Εργαζόμενοι λοιπόν ανάλογα μπορούμε να δούμε ότι η σχέση log(υ ορ )log(a)+β log(r) αποτελεί μία γραμμική σχέση για τις μεταβλητές log(υ ορ ) και log(r), με παραμέτρους τις Αlog(a) και Βb. Έτσι αυτό που θα πρέπει να κάνουμε στην συνέχεια είναι να προσδιορίσουμε αυτές τις νέες μεταβλητές από τις υ ορ και r και κατ' αρχάς να δούμε αν αυτές διαθέτουν όπως αναμένουμε μεταξύ τους γραμμική σχέση. Η διαδικασία παρουσιάζεται στην Εικόνα 9, για την οποία υπολογίσαμε τις τιμές των log(r) στα κελιά της στήλης C από τις τιμές των κελιών της στήλης Α, ξεκινώντας από το κελί C με την χρήση της

σχέσης LOG(A) και ακολουθώντας αυτόματη συμπλήρωση μέχρι το κελί C. Ανάλογα υπολογίσαμε τις τιμές log(υ ορ ) στα κελιά της στήλης D από τις τιμές των κελιών της στήλης Β, ξεκινώντας από το κελί D με την χρήση της σχέσης LOG(B) και ακολουθώντας αυτόματη συμπλήρωση μέχρι το κελί D. Εικόνα 9. Προσδιορισμός των μεταβλητών log(υ ορ ) και log(r) από τα υ ορ και r με την βοήθεια των υπολογιστικών φύλλων εργασίας. Το αποτέλεσμα της γραφικής παράστασης log(υ ορ )f[log(r)] εμφανίζεται στην Εικόνα 0..40.0.00 0.80 log(υορ) 0.60 0.40 0.0 0.00 0.000 0.00 0.400 0.600 0.800.000 0.0 0.40 log(r) Εικόνα 0. Γραφική παράσταση των μεταβλητών log(υ ορ )f[log(r)] σε γραμμικούς άξονες. Από αυτή μπορούμε εύκολα να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι όντως οι μεταβλητές log(υ ορ ) και log(r) διαθέτουν μεταξύ τους γραμμική σχέση. Έτσι μπορούμε να εφαρμόσουμε γι' αυτές την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Για την εφαρμογή της πρέπει να υπολογίσουμε τα αντίστοιχα αθροίσματα των σχέσεων (7 8) για τις μεταβλητές log(υ ορ ) και log(r). Κατόπιν υπολογίζουμε από την σχέση (9) την τιμή του Δ στο κελί G και από αυτή σε συνδυασμό με όλες τις απαραίτητες

υπόλοιπες τιμές καταλήγουμε στον υπολογισμό των παραμέτρων A και Β, στα κελιά G4 και G0 αντίστοιχα όπως φαίνεται στην Εικόνα. Εικόνα. Εύρεση των παραμέτρων Α και Β της σχέσης log(υ ορ )Α+Β log(r), και από αυτές των παραμέτρων a και b της σχέσης υ ορ a r b, του εύρους των αβεβαιοτήτων τους, καθώς και του συντελεστή προσδιορισμού R με την χρήση της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων. Από τις παραμέτρους αυτές μπορούμε να υπολογίσουμε τις παραμέτρους a και b από τις σχέσεις a0 A και bb, πράξεις που γίνονται στα κελιά Η4 και Η0 αντίστοιχα. Για τον υπολογισμό των αβεβαιοτήτων σ Α και σ Β σ b σε πρώτη προσέγγιση εφαρμόζουμε τις σχέσεις (0) και () ανάλογα, με σ y το δεδομένο σ υορ στα κελιά Ι4 και Ι0. Από αυτές υπολογίζουμε το εύρος της αβεβαιότητας για το a, παίρνοντας τις δύο ακραίες τιμές για το Α, δηλαδή a max 0 Amax 0 (A+σA) και a mn 0 Amn 0 (A σa) στα κελιά Η6 και Η8 αντίστοιχα. Στην συνέχεια υπολογίζουμε τις τιμές υ ορtheory σύμφωνα με το μοντέλο μας από την σχέση υ ορ a r b χρησιμοποιώντας τις ευρεθείσες τιμές των παραμέτρων a και b στην στήλη J (Εικόνα ). Εικόνα. Υπολογισμός των υ ορtheory και S res και S tot για τον υπολογισμό του συντελεστή R. Μ. Καμαράτος "Εισαγωγή στην ανάλυση πειραματικών μετρήσεων, απλά πειράματα μηχανικήςθερμότητας", Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, Ιωάννινα 03. 3

Χρησιμοποιούμε τις τιμές υ ορtheory και r για να προσθέσουμε μία γραφική παράσταση διασποράς με γραμμή αλλά χωρίς δείκτες (σημεία) στα δεδομένα της γραφικής παράστασης των Εικόνων 7 και 8, οπότε προκύπτουν οι γραφικές παραστάσεις των Εικόνων 3 και 4, από τις οποίες φαίνεται ότι η προσαρμογή του μοντέλου που προτείναμε στα δεδομένα υ ορ και r είναι ποιοτικά πολύ ικανοποιητική. 0.00 8.00 6.00 4.00 υορ (cm/s).00 0.00 8.00 6.00 4.00.00 υορf(r) υορtheoryf(r) 0.00 0.0.0.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 r (mm) Εικόνα 3. Γραφική παράσταση σε γραμμικούς άξονες των δεδομένων υ ορ f(r) του Πίνακα (σημεία) και των τιμών υ ορtheory a r b (κόκκινη γραμμή) που προέκυψε από την εύρεση των τιμών των παραμέτρων a και b της προτεινόμενης σχέσης δύναμης με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. 00.00 0.00 υορ (cm/s).00.0 0.0 0.0 r (mm) Εικόνα 4. Γραφική παράσταση σε λογαριθμικούς άξονες των δεδομένων υ ορ f(r) του Πίνακα (σημεία) και των τιμών υ ορtheory a r b (κόκκινη γραμμή) που προέκυψε από την εύρεση των τιμών των παραμέτρων a και b της προτεινόμενης σχέσης δύναμης με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. 4

Μπορούμε να βρούμε επίσης μία ποσοτική εκτίμηση για την ποιότητα της προσαρμογής του μοντέλου μας μέσω της τιμής του συντελεστή R, αν υπολογίσουμε το <υ ορ > όπως γίνεται στο κελί Β3 (Εικόνα ) και τα αντίστοιχα αθροίσματα S res και S tot όπως φαίνεται στην Εικόνα στα κελιά Κ3 και L3 αντίστοιχα. Από τις τιμές των κελιών αυτών καταλήγουμε σε μία τιμή 0.9996 για το R όπως φαίνεται στην Εικόνα, τιμή η οποία είναι πάρα πολύ κοντά στην τιμή. Όταν το σφάλμα των τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής δεν είναι σταθερό για όλες τις τιμές της τότε για ακριβέστερα αποτελέσματα η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων πρέπει να εφαρμοστεί λαμβάνοντας υπόψη την "αξία" ή αλλιώς το "βάρος" κάθε τιμής της μεταβλητής μέσω μίας συνάρτησης βάρους. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα που ακολουθούμε το φυσικό μέγεθος υ ορ έχει σταθερή αβεβαιότητα για όλες τις τιμές του, η οποία όπως δίνεται στον Πίνακα είναι της τάξης των σ υορ ~0.6 cm/s. Όμως μετά την αλλαγή μεταβλητών κάθε τιμή του log(υ ορ ) έχει όπως γίνεται κατανοητό διαφορετική αβεβαιότητα. Η αβεβαιότητα αυτή μπορεί να προσδιοριστεί μέσω της σχέσης 3 σ Y σ log(υορ) { [log(υ ορ )]/ υ ορ }σ υορ σ υορ /[ln(0)υ ορ ] (4) η οποία είναι ιδιαίτερη περίπτωση της λεγόμενης διάδοσης αβεβαιοτήτων, που προβλέπει ότι όταν ένα φυσικό μέγεθος Ζ μπορεί να εκφραστεί ή να υπολογιστεί μέσω μιας μαθηματικής σχέσης Ζf(x,x,x 3,,x n ) που το συνδέει με άλλα φυσικά μεγέθη x, x, x 3 x n, με γνωστές αβεβαιότητες τότε η αβεβαιότητα σε κάποια τιμή του μεγέθους αυτού μπορεί να υπολογιστεί από τις τιμές των μεγεθών από τα οποία εξαρτάται καθώς και των αβεβαιοτήτων αυτών των μεγεθών μέσω της σχέσης: 3 / n f σz σ x x (5) Μία καλή και ευρέως αποδεκτή επιλογή συνάρτησης βάρους είναι η 3 Y (6) σ Y η οποία εφαρμοζόμενη στην περίπτωση της Υlog(υ ορ ) δίνει (/σ Y )[ln(0)] υ ορ /σ υορ (7) Αν λάβουμε υπόψη την συνάρτηση βάρους το άθροισμα που πρέπει να ελαχιστοποιηθεί είναι το: S [y f(a,a,...,a, x)] (8) res n και οι σχετικές σχέσεις για τον προσδιορισμό των τιμών των παραμέτρων a και b γίνονται: 3 Μ. Καμαράτος "Εισαγωγή στην ανάλυση πειραματικών μετρήσεων, απλά πειράματα μηχανικήςθερμότητας", Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, Ιωάννινα 03. 5

6 Δ y x x y x a (9) Δ y x y x b (0) με x x Δ () ενώ οι αβεβαιότητες των a και b δίνονται από τις σχέσεις: a Δ x σ () b Δ σ (3) Εφαρμόζοντας τις σχέσεις (7) και (9) (3) στα δεδομένα υ ορ, r log(υ ορ ) και log(r), λαμβάνοντας υπόψη και την τιμή του σ υορ, υπολογίζουμε τα αθροίσματα τις νέες παραμέτρους κατ' αρχάς Α, Β και τις αβεβαιότητές τους και από αυτές τις a και b, και το εύρος των αβεβαιοτήτων τους όπως φαίνεται στην Εικόνα 5. Εικόνα 5. Εύρεση των παραμέτρων Α και Β της σχέσης log(υ ορ )Α+Β log(r), και από αυτές των παραμέτρων a και b της σχέσης υ ορ a r b και του εύρους των αβεβαιοτήτων τους εφαρμόζοντας την θεωρία των ελαχίστων τετραγώνων με την χρήση της συνάρτησης βάρους. Παρατηρούμε ότι οι αβεβαιότητες των Α και Β είναι μικρότερες από αυτές που βρέθηκαν χωρίς την χρήση της συνάρτησης βάρους, γεγονός που όπως είναι αναμενόμενο επηρεάζει με ανάλογο τρόπο και τις αβεβαιότητες των a και b οι οποίες είναι επίσης σε εύρος μικρότερες από τις αντίστοιχες προηγούμενες. Οι

τιμές των παραμέτρων a και b δεν δείχνουν να επηρεάζονται σημαντικά. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η συνάρτηση βάρους βοήθησε περισσότερο στον περιορισμό των αβεβαιοτήτων των τιμών των παραμέτρων της προτεινόμενης συνάρτησης. Εργαζόμενοι ανάλογα, υπολογίζουμε τις τιμές των υ ορtheory από τις τιμές των νέων παραμέτρων (Εικόνα 5) της σχέσης υ ορtheory a r b καθώς και τα αντίστοιχα S res και S tot (Εικόνα 6). Εικόνα 6. Υπολογισμός των υ ορtheory και S res και S tot για τον υπολογισμό του συντελεστή R με την χρήση της συνάρτησης βάρους. Χρησιμοποιούμε τις τιμές υ ορtheory και r για να προσθέσουμε μία γραφική παράσταση διασποράς με γραμμή αλλά χωρίς δείκτες (σημεία) στα δεδομένα της γραφικής παράστασης των Εικόνων 7 και 8, οπότε προκύπτουν οι γραφικές παραστάσεις των Εικόνων 7 και 8. 0.00 8.00 6.00 4.00 υορ (cm/s).00 0.00 8.00 6.00 4.00.00 υορf(r) υορtheoryf(r) 0.00 0.0.0.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 r (mm) Εικόνα 7. Γραφική παράσταση σε γραμμικούς άξονες των δεδομένων υ ορ f(r) του Πίνακα (σημεία) και των τιμών υ ορtheory a r b (πράσινη γραμμή) που προέκυψε από την εύρεση των τιμών των παραμέτρων a και b της προτεινόμενης σχέσης δύναμης με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων με την χρήση της συνάρτησης βάρους. 7

00.00 0.00 υορ (cm/s).00.0 0.0 0.0 r (mm) Εικόνα 8. Γραφική παράσταση σε λογαριθμικούς άξονες των δεδομένων υ ορ f(r) του Πίνακα (σημεία) και των τιμών υ ορtheory a r b (πράσινη γραμμή) που προέκυψε από την εύρεση των τιμών των παραμέτρων a και b της προτεινόμενης σχέσης δύναμης με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων με την χρήση της συνάρτησης βάρους. Από αυτές οποίες φαίνεται ότι η προσαρμογή του μοντέλου που προτείναμε στα δεδομένα υ ορ και r είναι ποιοτικά πολύ ικανοποιητική. Μπορούμε να βρούμε επίσης μία ποσοτική εκτίμηση για την ποιότητα της προσαρμογής του μοντέλου μας με την χρήση της συνάρτησης βάρους μέσω της τιμής του συντελεστή R που εξαρτάται από τα αντίστοιχα αθροίσματα S res και S tot της Εικόνας 6 στα κελιά V3 και 3 αντίστοιχα. Από τις τιμές των κελιών αυτών καταλήγουμε σε μία τιμή 0.99989 για το R όπως φαίνεται στην Εικόνα 6, τιμή η οποία είναι ακόμη πιο κοντά στην τιμή. 8

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyrght Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Αναπληρωτής Καθηγητής Αλέξιος Δούβαλης. «Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. Εισαγωγή στα Υπολογιστικά Φύλλα Εργασίας-Μέρος 3». Έκδοση:.0. Ιωάννινα 04. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uo.gr/course/vew.php?d5. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creatve Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [] ή μεταγενέστερη. [] https://creatvecommons.org/lcenses/by-sa/4.0/.