6. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤ ΕΠΙΠΕ ΘΕΩΡΙΑ. Σύστηµα καθέτων ηµιαξόνων: Είναι δύο κάθετες µεταξύ τους ηµιευθείες µία οριζόντια και µία κατακόρυφη. Την οριζόντια την ονοµάζουµε και την λέµε ηµιάξονα των ή ηµιάξονα των τετµηµένων και την κατακόρυφη και την λέµε ηµιάξονα των ή ηµιάξονα τεταγµένων των. Τις ηµιευθείες τις βαθµολογούµε µε την ίδια µονάδα µέτρησης.. ιατεταγµένο ζεύγος : Το ζεύγος (α, β) στό οποίο το γράµµα α είναι πρώτο και το β δεύτερο το λέµε διατεταγµένο ζεύγος.. Αντιστοιχία σηµείων διατεταγµένων ζευγών : Έστω το παρακάτω σύστηµα ηµιαξόνων και το σηµείο Α Από το Α φέρνουµε κάθετο στόν οριζόντιο άξονα και έστω α ο αριθµός που αντιστοιχεί στο ίχνος της, και κάθετο στον κατακόρυφο άξονα µε β τον αριθµό που αντιστοιχεί στό ίχνος της. Σε αυτή την περίπτωση λέµε ότι στο σηµείο Α αντιστοιχεί το διατεταγµένο ζεύγος (α, β) και συµβολίζουµε µε Α( α, β). Τον αριθµό α τον λέµε τετµηµένη του σηµείου Α ενώ τον β τεταγµένη του Α Τους δύο αριθµούς µαζί τους λέµε συντεταγµένες του σηµείου Α. Αντίστροφα: Κάθε διατεταγµένο ζεύγος (α, β) αντιστοιχεί σε ένα σηµείο του επιπέδου.. ρθοκανονικό σύστηµα ηµιαξόνων : Λέµε το σύστηµα των ηµιαξόνων οι οποίοι είναι κάθετοι µεταξύ τους και έχουν βαθµολογηθεί µε την ίδια µονάδα.
ΣΧΛΙΑ. Σηµεία µε τεταγµένη 0 : Είναι όλα τα σηµεία του ηµιάξονα των. Σηµεία µε τετµηµένη 0 : Είναι όλα τα σηµεία του ηµιάξονα των. Σηµεία µε την ίδια τετµηµένη: ρίσκονται σε ηµιευθεία παράλληλη στον άξονα των. Σηµεία µε την ίδια τεταγµένη: ρίσκονται σε ηµιευθεία παράλληλη στον άξονα των 5. Το ζεύγος (0, 0) : Αντιστοιχεί στην αρχή των ηµιαξόνων 6. ρθογώνιο σύστηµα ηµιαξόνων : Λέµε το σύστηµα των ηµιαξόνων οι οποίοι είναι κάθετοι µεταξύ τους και έχουν βαθµολογηθεί µε διαφορετική µονάδα ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα ηµιαξόνων µε µονάδα το cm να σχεδιάσετε την ηµιευθεία πάνω στην οποία βρίσκονται τα σηµεία µε τεταγµένη και την ηµιευθεία πάνω στην οποία βρίσκονται τα σηµεία µε τετµηµένη. Στον ηµιάξονα, στο σηµείο που αντιστοιχεί ο αριθµός, φέρνουµε την ηµιευθεία Α //. Πάνω σ αυτή βρίσκονται τα σηµεία µε τεταγµένη. µοίως η ηµιευθεία // είναι εκείνη πάνω στην οποία βρίσκονται τα σηµεία µε τετµηµένη B
. Να γράψετε όλα τα διατεταγµένα ζεύγη που προκύπτουν από τους αριθµούς 0,, και στην συνέχεια να παραστήσετε τα ζεύγη αυτά µε σηµεία ενός επιπέδου Τα ζητούµενα διατεταγµένα ζεύγη είναι τα Ζ (0, 0), ( 0, ), ( 0, ), (, ), (, 0), (, ), (, ), (, 0), (, ) και η παράσταση αυτών φαίνεται στο διπλανό σχήµα όπου Η Ε (0, 0), Α( 0, ), ( 0, ), Η(, ), (, 0), (, ), Ζ(, ), Θ(, 0), Ε(, ) Θ. Να συµπληρώσετε τα παρακάτω κενά α) νοµάζουµε ορθοκανονικό σύστηµα ηµιαξόνων δύο ηµιάξονες που είναι... µεταξύ τους και έχουν βαθµολογηθεί µε την... µονάδα β) Το σηµείο Α(α, 0) βρίσκεται στον ηµιάξονα... γ) Σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα ηµιαξόνων το σηµείο (0, 0) ονοµάζεται... των ηµιαξόνων δ) Σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα ηµιαξόνων ο ηµιάξονας ονοµάζεται ηµιάξονας των... ε) Η τετµηµένη και η τεταγµένη ενός σηµείου ονοµάζονται...του σηµείου α) νοµάζουµε ορθοκανονικό σύστηµα ηµιαξόνων δύο ηµιάξονες που είναι κάθετοι µεταξύ τους και έχουν βαθµολογηθεί µε την ίδια µονάδα β) Το σηµείο Α(α, 0) βρίσκεται στον ηµιάξονα των τετµηµένων ή στον ηµιάξονα των. γ) Σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα ηµιαξόνων το σηµείο (0, 0) ονοµάζεται αρχή των ηµιαξόνων δ) Σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα ηµιαξόνων ο ηµιάξονας ονοµάζεται ηµιάξονας των τεταγµένων ε) Η τετµηµένη και η τεταγµένη ενός σηµείου ονοµάζονται συντεταγµένες του σηµείου. Στο διπλανό σχήµα να βρείτε τις συντεταγµένες των σηµείων Α,,, Είναι Α(,0), (,), (, ) και (, )
5. Σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα ηµιαξόνων να τοποθετήσετε τα σηµεία Α(, 0), (, 0), (, ), (, ), Ε(, ), Ζ(, ), Η(, ), Θ(5, ) και να σχεδιάσετε την τεθλασµένη γραµµή ΑΕΖΗΘ. Η Θ Ε Ζ 5 6. Σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα ηµιαξόνων να τοποθετήσετε τα σηµεία Α(, ), (, 5) και (5, ) και να προσδιορίσετε το είδος του τριγώνου Α από την άποψη των πλευρών και των γωνιών του Προτεινόµενη λύση Παρατηρώντας το διπλανό σχήµα διαπιστώνουµε ότι, αφού τα σηµεία 5 Α και έχουν την ίδια τετµηµένη θα Είναι Α // Επίσης αφού τα σηµεία Α και έχουν την ίδια τεταγµένη θα είναι Α //. Και επειδή θα είναι Α Α. Άρα το τρίγωνο Α είναι ορθογώνιο Ακόµα Α = 5 = µονάδες και Α = 5 = µονάδες άρα 5 Α = Α συνεπώς το τρίγωνο Α είναι και ισοσκελές
5 7. Σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα ηµιαξόνων να τοποθετήσετε τα σηµεία (, ), (, 6), Α( 0, ) και (6, 6) α) Να σχεδιάσετε το τετράπλευρο Α β) Αν Κ, Λ, Μ, Ν είναι τα µέσα των πλευρών Α,, και Α αντίστοιχα, να προσδιορίσετε από το σχέδιο τις συντεταγµένες των Κ, Λ, Μ και Ν. γ) Συγκρίνοντας τις συντεταγµένες του Κ µε το ηµιάθροισµα των αντιστοίχων συντεταγµένων των Α και του Λ µε το ηµιάθροισµα των αντιστοίχων συντεταγµένων των και του Μ µε το ηµιάθροισµα των αντιστοίχων συντεταγµένων των και του Ν µε το ηµιάθροισµα των αντιστοίχων συντεταγµένων των Α και, τί παρατηρείτε; Προτεινόµενη λύση α) Μ 6 Το Α φαίνεται στο διπλανό σχήµα β) 5 Από το σχήµα βλέπουµε ότι Ν Λ Κ(, ), Λ(, ), Μ(5, 6 ) και Ν(, ) γ) Η τετµηµένη του Κ είναι και το Κ ηµιάθροισµα των τετµηµένων των Α και είναι 0 + = 5 6 Η τεταγµένη του Κ είναι και το ηµιάθροισµα των τεταγµένων των Α και είναι + = Η τετµηµένη του Κ είναι ίση µε το ηµιάθροισµα των τετµηµένων των Α και και η τεταγµένη του Κ είναι ίση µε το ηµιάθροισµα των τεταγµένων των Α και ηλαδή οι συντεταγµένες του µέσου Κ του τµήµατος Α είναι ίσες µε το ηµιάθροισµα των αντιστοίχων συντεταγµένων των άκρων του Α και Στο ίδιο συµπέρασµα καταλήγουµε και για τα υπόλοιπα σηµεία
6 8. ύο φίλοι ταξίδεψαν µε ιδιωτικό αυτοκίνητο από την Αθήνα στη Θήβα. Η διαδροµή φαίνεται στο διάγραµµα που ακολουθεί. Με την βοήθεια του διαγράµµατος µπορείτε να απαντήσετε στα ερωτήµατα ; α) Πόσο απέχει η Θήβα από την Αθήνα; β) Πόση ώρα ταξίδεψαν για να φτάσουν από την Αθήνα στην Θήβα και µε τι ταχύτητα; γ) Σταµάτησαν στην Θήβα και αν ναι πόση ώρα; δ) Έκαναν άλλη στάση κατά την διάρκεια του ταξιδιού και αν ναι σε ποια χρονική στιγµή και πόσο διήρκεσε η στάση; ε) Σε ποια απόσταση από την Αθήνα έγινε η στάση ; στ) Ποια ήταν η συνολική διάρκεια του ταξιδιού ; ζ) Ποια ήταν η µέση ταχύτητα για όλο το ταξίδι; η) Αν στην επιστροφή δεν έκαναν στάση πόση ώρα θα διαρκούσε το ταξίδι, µε την προϋπόθεση ότι δεν υπάρχει άλλη ταχύτητα από αυτή που περιγράφεται στο διάγραµµα ; Προτεινόµενη λύση α) Η Αθήνα είναι στο σηµείο Α. Ξεκίνησαν το ταξίδι στις 0 και µετά από µία ώρα δηλαδή στις έφτασαν στην θέση Θ που είναι η Θήβα και όπως βλέπουµε στο σχέδιο απέχει από την Αθήνα 80 km. β) Όπως είπαµε παραπάνω ταξίδεψαν ώρα µε ταχύτητα 80 km/h. γ) Απόσταση 90 από την Αθήνα 80 0 0 Α 0 Όπως βλέπουµε στο διάγραµµα από τις έως τις και 5 έµειναν ακίνητοι. Εποµένως για 5 λεπτά έµειναν στη Θήβα. δ) Στις και 5 ξεκίνησαν το ταξίδι της επιστροφής και στις και 5 έφτασαν στην θέση όπου έκαναν στάση µέχρι τις και 5. ηλαδή η στάση διήρκεσε 0 λεπτά. ε) Η θέση όπως εύκολα διαπιστώνουµε απέχει 0 km από την Αθήνα. στ) Το ταξίδι τελείωσε όταν έφτασαν στη θέση Ε και όπως φαίνεται στο σχέδιο αυτό έγινε στις και 5. Εποµένως η διάρκεια του ταξιδιού ήταν από τις 0 µέχρι τις και 5, δηλαδή η διάρκεια του ήταν ώρες και 5 λεπτά. ζ) χρόνος κατά τον οποίο εκινείτο το αµάξι ήταν : ώρα από την Αθήνα στην Θήβα + 0 λεπτά από την Θήβα έως την θέση + ώρα από την θέση στην θέση Ε = ώρες και 0 λεπτά =,5 ώρες και διάνυσε 60 Km. Άρα η µέση ταχύτητά του ήταν 60 :,5 = 6 km / h η) Επειδή όπως αναφέραµε παραπάνω κατά τη επιστροφή έκαναν στάση 0 λεπτών, αν δεν γινόταν η στάση το ταξίδι θα διαρκούσε ώρες και 5 λεπτά. 70 60 50 0 0 0 Θ Ε χρόνος σε ώρες