Κεφάλαιο 3 Ηλεκτρικά Μοντέλα Γραµµών Μεταφοράς

Κεφάλαιο 3 Ηλεκτρικά Μοντέλα Γραµµών Μεταφοράς Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό καλύπτει τις εξισώσεις και τα ισοδύναµα κυκλώµατα των ραµµών µεταφοράς. Η ανάπτυξη των µοντέλων των ραµµών µεταφοράς και η σύνδεση των ραµµών µεταφοράς µεταξύ τους ίνεται µε τις ενικευµένες σταερές και τα δίυρα κυκλώµατα. Παρουσιάζονται τα µοντέλα των ραµµών µεταφοράς, µικρού, µεσαίου και µεάλου µήκους. Κατά την παρουσίαση, ίνεται σαφής η επίδραση των παραµέτρων της ραµµής (αυτεπαωή, εκάρσια χωρητικότητα, ωµική αντίσταση και εκάρσια αωιµότητα στη διαµόρφωση των κυκλωµατικών µοντέλων. Υπό µορφή εφαρµοής εξετάζεται η εκάρσια επαωική αντιστάµιση των ραµµών µεταφοράς. Αναλύονται οι έννοιες της πραµατικής και της άερης ισχύος και συνδέονται µε εκείνη της µιαδικής ισχύος των ραµµών µεταφοράς. Αναπτύσσονται οι εξισώσεις της ισχύος αναχώρησης και της ισχύος άφιξης από τις οποίες, στη συνέχεια, προκύπτουν οι εξισώσεις των απωλειών των ραµµών µεταφοράς. Ορίζονται η µέιστη µεταφερόµενη ισχύς και η φυσική ισχύς ή φόρτιση κρουστικής αντίστασης. Προαπαιτούµενη Γνώση Ηλεκτρικά Κυκλώµατα, Ανάλυση Συστηµάτων Ηλεκτρικής Ενέρειας. 3.. ίυρα Κυκλώµατα 3... Ορισµός Ως δίυρο κύκλωµα (wo-por nework ορίζεται ένα παητικό, ραµµικό και αµφίπλευρο (biaera µονοφασικό κύκλωµα µε δύο ζεύη ακροδεκτών στο οποίο το ρεύµα το οποίο εισέρχεται στον έναν πόλο κάε ζεύους είναι ίσο µε το ρεύµα που εκαταλείπει τον άλλο πόλο. Ένα τέτοιο δίυρο κύκλωµα φαίνεται στο Σχήµα 3., όπου και είναι η τάση και το ρεύµα, αντίστοιχα, στην αναχώρηση (end του δίυρου κυκλώµατος, ενώ και είναι η τάση και το ρεύµα, αντίστοιχα, στην άφιξη (eceive του δίυρου κυκλώµατος. Το κύκλωµα του Σχήµατος 3. είναι αµφίπλευρο, όπου η µία πλευρά είναι η αναχώρηση και η άλλη πλευρά είναι η άφιξη. Στο κύκλωµα του Σχήµατος 3., στον ετικό πόλο της αναχώρησης του κυκλώµατος εισέρχεται ρεύµα και στον αρνητικό πόλο της αναχώρησης του κυκλώµατος εξέρχεται ίσο ρεύµα. Όµοια, στον ετικό πόλο της άφιξης του κυκλώµατος εξέρχεται ρεύµα και στον αρνητικό πόλο της άφιξης του κυκλώµατος εισέρχεται ίσο ρεύµα. Όλα τα µονοφασικά ισοδύναµα κυκλώµατα των τριφασικών ραµµών µεταφοράς που α αναλυούν στο κεφάλαιο αυτό ικανοποιούν τον ορισµό του δίυρου κυκλώµατος. 3... Παράµετροι Το δίυρο κύκλωµα του Σχήµατος 3., µε χρήση των παραµέτρων, περιράφεται από τις ακόλουες εξισώσεις [3.]: (3. Παύλος Σ. Γεωριλάκης, Σύχρονα Συστήµατα Μεταφοράς και ιανοµής Ηλεκτρικής Ενέρειας. Ηλεκτρονικό Βιβλίο, Σύνδεσµος Ελληνικών Ακαδηµαϊκών Βιβλιοηκών (ΣΕΑΒ, Αήνα, 5. N: 978-96-63-38-3

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Σχήµα 3. Παράσταση δίυρου κυκλώµατος. Οι τέσσερις παράµετροι,,, ονοµάζονται παράµετροι ή παράµετροι σύνετης αωιµότητας. Η φυσική σηµασία των παραµέτρων είναι η ακόλουη: ια ια ια ια Θα πρέπει να σηµειωεί ότι σηµαίνει ότι οι ακροδέκτες (αναχώρηση είναι βραχυκυκλωµένοι. Συνεπώς, οι παράµετροι µπορούν να υπολοιστούν ως κλάσµατα εύκολα µετρούµενων ρευµάτων και τάσεων. Σε ένα αµφίπλευρο κύκλωµα, ισχύει ότι: (3. Η σχέση (3. σηµαίνει ότι το δίυρο κύκλωµα (που είναι αµφίπλευρο κύκλωµα έχει τρεις ανεξάρτητες παραµέτρους από τις συνολικά τέσσερις παραµέτρους που διαέτει. Ένα δίυρο κύκλωµα είναι συµµετρικό, όταν ανταλλάσσοντας τα άκρα του, η συµπεριφορά του δικτύου παραµένει η ίδια. Όπως α φανεί στη συνέχεια, η ραµµή µεταφοράς είναι ένα παράδειµα συµµετρικού δίυρου δικτύου. Σε ένα συµµετρικό δίυρο κύκλωµα, ισχύει ότι: (3.3 3..3. Παράµετροι Το δίυρο κύκλωµα του Σχήµατος 3., µε χρήση των παραµέτρων, περιράφεται από τις ακόλουες εξισώσεις: (3.4 Οι τέσσερις παράµετροι,,, ονοµάζονται παράµετροι ή παράµετροι σύνετης αντίστασης. Θα πρέπει να σηµειωεί ότι η σχέση (3.4 εκφράζει τις εξισώσεις βρόχων του δίυρου δικτύου. Σε ένα αµφίπλευρο κύκλωµα, ισχύει ότι:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 7 (3.5 Η σχέση (3.5 σηµαίνει ότι το δίυρο κύκλωµα έχει τρεις ανεξάρτητες παραµέτρους από τις συνολικά τέσσερις παραµέτρους που διαέτει. Σε ένα συµµετρικό δίυρο κύκλωµα, ισχύει ότι: (3.6 3..4. Παράµετροι Το δίυρο κύκλωµα του Σχήµατος 3., µε χρήση των παραµέτρων, περιράφεται από τις ακόλουες εξισώσεις: (3.7 ή ισοδύναµα: και (3.8 Οι παράµετροι,,, ονοµάζονται παράµετροι ή ενικευµένες σταερές ή σταερές. Όταν είναι νωστές οι παράµετροι, τότε οι παράµετροι υπολοίζονται ως ακολούως: (3.9 (3. (3. (3. Όταν είναι νωστές οι παράµετροι, τότε οι παράµετροι υπολοίζονται ως ακολούως: Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3. και (3.9 έως (3., προκύπτει: (3.3 (3.4 (3.5 (3.6

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Σχήµα 3. Συµµετρικό δίυρο κύκλωµα Π. (3.7 Η σχέση (3.7 σηµαίνει ότι υπάρχουν τρεις ανεξάρτητες παράµετροι. Από την (3.7, χρησιµοποιώντας και την (3.7, προκύπτει: ( (3.8 Όταν είναι νωστά η τάση και το ρεύµα στην άφιξη του δίυρου κυκλώµατος, τότε µε τη βοήεια της (3.7 υπολοίζονται η τάση και το ρεύµα στην αναχώρηση του δίυρου κυκλώµατος. Αντίετα, όταν είναι νωστά η τάση και το ρεύµα στην αναχώρηση του δίυρου κυκλώµατος, τότε µε τη βοήεια της (3.8 υπολοίζονται η τάση και το ρεύµα στην άφιξη του δίυρου κυκλώµατος. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3.3, (3.9 και (3., προκύπτει ότι ισχύει η ακόλουη σχέση σε ένα συµµετρικό δίυρο κύκλωµα: (3.9 3..5. Παράµετροι Συµµετρικού Κυκλώµατος Π Οι παράµετροι του συµµετρικού κυκλώµατος Π του Σχήµατος 3. υπολοίζονται από τις ακόλουες σχέσεις [3.]: (3. (3. 4 (3. (3.3 3..6. Παράµετροι Συµµετρικού Κυκλώµατος Τ Εφαρµόζοντας τους νόµους ρευµάτων και τάσεων Kirchhoff στο συµµετρικό κύκλωµα Τ του Σχήµατος 3.3, προκύπτει ότι:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 73 Σχήµα 3.3 Συµµετρικό δίυρο κύκλωµα Τ. Σχήµα 3.4 ίυρο κύκλωµα αποτελούµενο από µία σύνετη αντίσταση σειράς. Σχήµα 3.5 ίυρο κύκλωµα αποτελούµενο από µία εκάρσια σύνετη αωιµότητα. 4 (3.4 Συνδυάζοντας τις (3.7 και (3.4, προκύπτει ότι οι παράµετροι του συµµετρικού κυκλώµατος T του Σχήµατος 3.3, υπολοίζονται από τις ακόλουες σχέσεις: (3.5 4 (3.6 (3.7 (3.8 3..7. Παράµετροι Σύνετης Αντίστασης Σειράς Οι παράµετροι του δίυρου κυκλώµατος της σύνετης αντίστασης σειράς του Σχήµατος 3.4, υπολοίζονται, αν στις σχέσεις (3. έως και (3.3 µε τις παραµέτρους του κυκλώµατος Π, τεεί. Έτσι, προκύπτει ότι οι παράµετροι του δίυρου κυκλώµατος της σύνετης αντίστασης σειράς του Σχήµατος 3.4 υπολοίζονται από τις ακόλουες σχέσεις:

74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Σχήµα 3.6 (α ύο δίυρα κυκλώµατα σε αλυσωτή σύνδεση, (β ισοδύναµο κύκλωµα. (3.9 (3.3 (3.3 (3.3 3..8. Παράµετροι Εκάρσιας Σύνετης Αωιµότητας Οι παράµετροι του δίυρου κυκλώµατος της εκάρσιας σύνετης αωιµότητας του Σχήµατος 3.5, υπολοίζονται, αν στις σχέσεις (3.5 έως (3.8 µε τις παραµέτρους του κυκλώµατος Τ, τεεί. Έτσι, προκύπτει ότι οι παράµετροι του δίυρου κυκλώµατος της εκάρσιας σύνετης αωιµότητας του Σχήµατος 3.5 υπολοίζονται από τις ακόλουες σχέσεις: (3.33 (3.34 (3.35 (3.36 3..9. Αλυσωτή Σύνδεση ίυρων ικτύων Στο Σχήµα 3.6(α φαίνονται δύο δίυρα κυκλώµατα, τα οποία συνδέονται αλυσωτά. Εφαρµόζοντας δύο φορές τη σχέση (3.7, ια τα δύο αυτά δίυρα κυκλώµατα, προκύπτει: M M M M Απαλείφοντας τα M και M από τις παραπάνω δύο σχέσεις, προκύπτει:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 75 Σχήµα 3.7 (α ύο δίυρα κυκλώµατα σε παράλληλη σύνδεση, (β ισοδύναµο κύκλωµα. Συνεπώς, στην περίπτωση της αλυσωτής σύνδεσης των δύο δίυρων δικτύων του Σχήµατος 3.6(α, οι παράµετροι του ισοδύναµου κυκλώµατος 3.6(β είναι: (3.37 Η σχέση (3.37 ενικεύεται ια αλυσωτή σύνδεση N δίυρων δικτύων, ως ακολούως: N N N N... (3.38 3... Παράλληλη Σύνδεση ίυρων ικτύων Στο Σχήµα 3.7 φαίνονται δύο δίυρα κυκλώµατα, τα οποία συνδέονται παράλληλα. Εφαρµόζοντας δύο φορές τη σχέση (3., ια τα δύο αυτά δίυρα κυκλώµατα, προκύπτει: (3.39 (3.4 Οι σχέσεις (3.39 και (3.4 ράφονται ως ακολούως:

76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (3.4 (3.4 (3.43 (3.44 Εφαρµόζοντας τους νόµους ρευµάτων και τάσεων Kirchhoff στο κύκλωµα του Σχήµατος 3.7(α, προκύπτει ότι: (3.45 (3.46 (3.47 (3.48 Αντικαιστώντας τις (3.4 και (3.43 στην (3.45 και χρησιµοποιώντας τις (3.47 και (3.48, προκύπτει ότι: ( ( ( ( (3.49 Αντικαιστώντας τις (3.4 και (3.44 στην (3.46 και χρησιµοποιώντας τις (3.47 και (3.48, προκύπτει ότι: ( ( (3.5 Οι (3.49 και (3.5, σε µορφή πίνακα, ράφονται ως ακολούως: (3.5 ή ισοδύναµα: (3.5 Συνεπώς, στην περίπτωση της παράλληλης σύνδεσης των δύο δίυρων δικτύων του Σχήµατος 3.7(α, οι παράµετροι του ισοδύναµου κυκλώµατος 3.7(β είναι: (3.53 Η σχέση (3.53 ενικεύεται ια παράλληλη σύνδεση N δίυρων δικτύων, ως ακολούως:... N N N N (3.54

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 77 r r r g g g Σχήµα 3.8 Μονοφασικό ισοδύναµο κύκλωµα ραµµής µεταφοράς µε κατανεµηµένες παραµέτρους. j Σχήµα 3.9 Μονοφασικό ισοδύναµο µοντέλο µικρού µήκους τριφασικής ραµµής µεταφοράς. 3.. Ισοδύναµα Κυκλώµατα Γραµµών Μεταφοράς Μία ραµµή µεταφοράς µπορεί να παρασταεί µε ένα µονοφασικό κύκλωµα µε κατανεµηµένες παραµέτρους, όπως φαίνεται στο Σχήµα 3.8, όπου είναι η αυτεπαωή της ραµµής ανά φάση και ανά µονάδα µήκους (σε H/m, r είναι η ωµική αντίσταση της ραµµής ανά φάση και ανά µονάδα µήκους (σε Ω/m, είναι η εκάρσια χωρητικότητα της ραµµής ανά φάση και ανά µονάδα µήκους (σε F/m και g είναι η εκάρσια αωιµότητα της ραµµής ανά φάση και ανά µονάδα µήκους (σε Ω /m. Οι παράµετροι, r, και g κατανέµονται οµοιόµορφα κατά µήκος της ραµµής µεταφοράς. Στη συνέχεια, α εξαχούν διάφορα κυκλωµατικά µοντέλα της ραµµής µεταφοράς, τα οποία βασίζονται στις ακόλουες υποέσεις:. Η τριφασική ραµµή µεταφοράς αποτελεί τµήµα ενός συνολικού τριφασικού συστήµατος ηλεκτρικής ενέρειας, το οποίο είναι συµµετρικό, βρίσκεται στη µόνιµη κατάσταση λειτουρίας και το σύστηµα τάσεων είναι συµµετρικό ηµιτονοειδές.. Εφαρµόζεται κυκλική αντιµετάεση στους αωούς της ραµµής µεταφοράς. 3.3. Μοντέλο Γραµµής Μεταφοράς Μικρού Μήκους Το µονοφασικό ισοδύναµο µοντέλο µικρού µήκους της ραµµής µεταφοράς φαίνεται στο Σχήµα 3.9. Το µοντέλο αυτό, στο οποίο έχουν ανοηεί η εκάρσια χωρητικότητα και η εκάρσια αωιµότητα g της ραµµής (Σχήµα 3.8, έχει σχετικά ικανοποιητική ακρίβεια ια ραµµές µεταφοράς µε µήκος έως 8 km. Στο Σχήµα 3.9, είναι η φασική τάση στην αναχώρηση (αρχή της ραµµής (σε, είναι η φασική τάση στην άφιξη (τέλος της ραµµής, είναι το φασικό ρεύµα στην αναχώρηση της ραµµής (σε, είναι το φασικό ρεύµα στην άφιξη της ραµµής, είναι το µήκος της ραµµής (σε m, είναι η συνολική σύνετη αντίσταση σειράς της ραµµής µεταφοράς ανά φάση (σε Ω, είναι η συνολική ωµική αντίσταση της ραµµής µεταφοράς ανά φάση (σε Ω και είναι η συνολική επαωική αντίδραση της ραµµής µεταφοράς ανά φάση (σε Ω.

78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Σχήµα 3. Ονοµαστικό κύκλωµα Τ ραµµής µεταφοράς µεσαίου µήκους. Σχήµα 3. Ονοµαστικό κύκλωµα Π ραµµής µεταφοράς µεσαίου µήκους. H συνολική σύνετη αντίσταση σειράς της ραµµής µεταφοράς ανά φάση υπολοίζεται ως ακολούως: z j r jx r jπ f (3.55 όπου z είναι η σύνετη αντίσταση σειράς της ραµµής µεταφοράς ανά φάση και ανά µονάδα µήκους (σε Ω/m, r είναι η ωµική αντίσταση της ραµµής µεταφοράς ανά φάση και ανά µονάδα µήκους (σε Ω/m, x είναι η επαωική αντίδραση της ραµµής µεταφοράς ανά φάση και ανά µονάδα µήκους (σε Ω/m, f είναι η συχνότητα (σε Hz και είναι η αυτεπαωή της ραµµής ανά φάση και ανά µονάδα µήκους (σε H/m. Το µοντέλο µικρού µήκους (Σχήµα 3.9 είναι ένα δίυρο κύκλωµα αποτελούµενο από µία σύνετη αντίσταση σειράς, οπότε, σύµφωνα µε την Ενότητα 3..7, οι παράµετροι του µοντέλου µικρού µήκους της ραµµής µεταφοράς έχουν ως ακολούως: (3.56 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3.7 και (3.56, προκύπτει η ακόλουη σχέση τάσεων-ρευµάτων ια το µοντέλο µικρού µήκους της ραµµής µεταφοράς: (3.57 3.4. Μοντέλα Γραµµής Μεταφοράς Μεσαίου Μήκους Τα µοντέλα µεσαίου µήκους της ραµµής µεταφοράς, τα οποία λαµβάνουν υπόψη την εκάρσια χωρητικότητα και την εκάρσια ωµική αωιµότητα g της ραµµής (Σχήµα 3.8, έχουν ικανοποιητική ακρίβεια ια ραµµές µεταφοράς µε µήκος έως 4 km. Τα δύο πιο συνηισµένα µοντέλα µέσου µήκους είναι το ονοµαστικό κύκλωµα Τ (Σχήµα 3. και το ονοµαστικό κύκλωµα Π (Σχήµα 3.. Στα δύο αυτά µοντέλα: z j r jx r jπ f (3.58

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 79 f j g x j g j G c π (3.59 όπου είναι η συνολική σύνετη αντίσταση σειράς της ραµµής µεταφοράς ανά φάση (σε Ω, η οποία, όπως φαίνεται συκρίνοντας τις (3.58 και (3.55, υπολοίζεται µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο, όπως υπολοίζεται ια το µοντέλο µικρού µήκους. Στη σχέση (3.59, είναι η συνολική εκάρσια σύνετη αωιµότητα της ραµµής µεταφοράς ανά φάση (σε Ω, όπου Ω mho, G είναι η συνολική εκάρσια ωµική αωιµότητα της ραµµής µεταφοράς ανά φάση (σε Ω, είναι η συνολική εκάρσια χωρητική αντίδραση της ραµµής µεταφοράς ανά φάση (σε Ω, είναι η εκάρσια σύνετη αωιµότητα της ραµµής µεταφοράς ανά φάση και ανά µονάδα µήκους (σε Ω /m, g είναι η εκάρσια ωµική αωιµότητα της ραµµής µεταφοράς ανά φάση και ανά µονάδα µήκους (σε Ω /m, x είναι η εκάρσια χωρητική αντίδραση της ραµµής µεταφοράς ανά φάση και ανά µονάδα µήκους (σε Ωm, f είναι η συχνότητα (σε Hz και είναι η εκάρσια χωρητικότητα της ραµµής ανά φάση και ανά µονάδα µήκους (σε F/m. Στα Σχήµατα 3. και 3., είναι η φασική τάση στην αναχώρηση (αρχή της ραµµής (σε, είναι η φασική τάση στην άφιξη (τέλος της ραµµής, είναι το φασικό ρεύµα στην αναχώρηση της ραµµής (σε, είναι το φασικό ρεύµα στην άφιξη της ραµµής και είναι το µήκος της ραµµής (σε m. Το ονοµαστικό κύκλωµα Τ (Σχήµα 3. είναι ένα συµµετρικό δίυρο κύκλωµα Τ (Σχήµα 3.3, οπότε, σύµφωνα µε την Ενότητα 3..6, οι παράµετροι του ονοµαστικού κυκλώµατος Τ της ραµµής µεταφοράς µεσαίου µήκους έχουν ως ακολούως: 4 (3.6 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3.7 και (3.6, προκύπτει η ακόλουη σχέση τάσεων-ρευµάτων ια το ονοµαστικό κύκλωµα Τ ραµµής µέσου µήκους: 4 (3.6 Το ονοµαστικό κύκλωµα Π (Σχήµα 3. είναι ένα συµµετρικό δίυρο κύκλωµα Π (Σχήµα 3., οπότε, σύµφωνα µε την Ενότητα 3..5, οι παράµετροι του ονοµαστικού κυκλώµατος Π της ραµµής µεταφοράς µεσαίου µήκους έχουν ως ακολούως: 4 (3.6 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3.7 και (3.6, προκύπτει η ακόλουη σχέση τάσεων-ρευµάτων ια το ονοµαστικό κύκλωµα Π ραµµής µέσου µήκους: 4 (3.63

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Σχήµα 3. Μονοφασικό ισοδύναµο κύκλωµα ραµµής µεταφοράς µε κατανεµηµένες παραµέτρους. 3.5. Μοντέλα Γραµµής Μεταφοράς Μεάλου Μήκους 3.5.. Μοντέλο Μεάλου Μήκους Το µοντέλο µεάλου µήκους επιτρέπει τον ακριβή υπολοισµό της ραµµής µεταφοράς, επειδή λαµβάνει υπόψη το εονός ότι οι παράµετροι της ραµµής δεν είναι συκεντρωµένες, αλλά κατανεµηµένες οµοιόµορφα κατά µήκος όλης της ραµµής. Στο Σχήµα 3. φαίνεται το µονοφασικό ισοδύναµο κύκλωµα ενός τµήµατος µίας τριφασικής ραµµής µεταφοράς µε κατανεµηµένες παραµέτρους. Πιο συκεκριµένα, φαίνεται ένα στοιχειώδες τµήµα της ραµµής µήκους dx, του οποίου η απόσταση από την άφιξη της ραµµής είναι x, η σύνετη αντίσταση σειράς του στοιχειώδους τµήµατος dx είναι zdx και η εκάρσια σύνετη αωιµότητα του στοιχειώδους τµήµατος dx είναι dx. Εφαρµόζοντας τους νόµων τάσεων και ρευµάτων Kirchhoff στο στοιχειώδες τµήµα dx του Σχήµατος 3. προκύπτει ότι: d zdx (3.64 ή ισοδύναµα: d dx (3.65 d z dx d dx (3.66 (3.67 Παραωίζοντας την (3.66 ως προς x και, στη συνέχεια, αντικαιστώντας την έκφραση d/dx από την (3.67, προκύπτει ότι [3.3]: d z dx (3.68 Παραωίζοντας την (3.67 ως προς x και, στη συνέχεια, αντικαιστώντας την έκφραση d/dx από την (3.66, προκύπτει ότι: d z dx (3.69

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 8 Οι αρχικές συνήκες είναι (Σχήµα 3.: Για x : ( και ( (3.7 Η λύση του συστήµατος των διαφορικών εξισώσεων (3.68 και (3.69 µε τις αρχικές συνήκες (3.7 είναι η ακόλουη [3.3]: ( x cosh( x sinh( x (3.7 sinh( x ( x cosh( x (3.7 όπου: z (3.73 z (3.74 όπου είναι η χαρακτηριστική αντίσταση της ραµµής µεταφοράς (σε Ω και είναι η σταερά µετάδοσης της ραµµής µεταφοράς, ενώ τα z και υπολοίζονται µε βάση τις (3.58 και (3.59, αντίστοιχα. Οι σχέσεις (3.7 και (3.7, σε µορφή πίνακα, ράφονται ως ακολούως: cosh( x ( x sinh( x ( x sinh( x cosh( x (3.75 Συκρίνοντας τις σχέσεις (3.75 και (3.7, προκύπτουν οι ακόλουες τιµές των παραµέτρων ια το µοντέλο µεάλου µήκους της ραµµής µεταφοράς, ως συνάρτηση της απόστασης x (Σχήµα 3.: Από το Σχήµα 3. προκύπτει ότι: ( x cosh( x (3.76 ( x sinh( x (3.77 sinh( x ( x (3.78 ( x cosh( x (3.79 Για x : ( και ( (3.8 Αντικαιστώντας την (3.8 στην (3.75 προκύπτει η ακόλουη σχέση τάσεων-ρευµάτων ια το µοντέλο µεάλου µήκους της ραµµής µεταφοράς µήκους : cosh( sinh( sinh( cosh( (3.8 Από την (3.8 προκύπτουν οι ακόλουες τιµές των παραµέτρων ια το µοντέλο µεάλου µήκους της ραµµής µεταφοράς µήκους (Σχήµα 3.:

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ cosh( (3.8 sinh( (3.83 sinh( (3.84 cosh( (3.85 Στη ενική περίπτωση, η ποσότητα είναι µιαδικός αριµός, δηλαδή: j β α (3.86 oπότε: sin( sinh( cos( cosh( cosh( cosh( j j β α β α β α (3.87 sin( cosh( cos( sinh( sinh( sinh( j j β α β α β α (3.88 όπου: cosh( u u e e u (3.89 sinh( u u e e u (3.9 3.5.. Ισοδύναµο Κύκλωµα Π Το ισοδύναµο κύκλωµα Π µίας ραµµής µεάλου µήκους είναι εκείνο το κύκλωµα που είναι ισοδύναµο µε το αντίστοιχο ονοµαστικό κύκλωµα Π της ραµµής µεσαίου µήκους. Με βάση τη σχέση (3.63, το ονοµαστικό κύκλωµα Π της ραµµής µεσαίου µήκους περιράφεται ως ακολούως: 4 (3.9 Με βάση τη σχέση (3.8, το µοντέλο µεάλου µήκους περιράφεται ως ακολούως: cosh( sinh( sinh( cosh( (3.9 Προκειµένου η σχέση (3.9 να αποτελεί το ισοδύναµο κύκλωµα Π µίας ραµµής µεάλου µήκους, α πρέπει οι σχέσεις (3.9 και (3.9 να είναι ισοδύναµες, δηλαδή α πρέπει: cosh( sinh( sinh( cosh( 4 (3.93

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 83 Σχήµα 3.3 Ισοδύναµο κύκλωµα Π µίας ραµµής µεταφοράς. Από τη σχέση (3.93 προκύπτει: sinh( (3.94 cosh( (3.95 Επιλύοντας τη σχέση (3.95 ως προς '/ και, στη συνέχεια, χρησιµοποιώντας τη σχέση (3.94 προκύπτει: sinh( cosh( cosh( anh (3.96 H σχέση (3.73, µε χρήση των σχέσεων (3.58 και (3.59, δίνει: / / z (3.97 H σχέση (3.74, µε χρήση των σχέσεων (3.58, (3.59 και (3.97, δίνει: z (3.98 H σχέση (3.97, µε χρήση της σχέσης (3.98, δίνει: (3.99 H σχέση (3.94, µε χρήση της σχέσης (3.99, δίνει: sinh( sinh( anh anh

84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ anh anh sinh( sinh( Σχήµα 3.4 Ισοδύναµο κύκλωµα Τ µίας ραµµής µεταφοράς. sinh( sinh( (3. Λύνοντας τη σχέση (3.98 ως και, στη συνέχεια, αντικαιστώντας στη σχέση (3.96 προκύπτει: anh anh (3. Οι σχέσεις (3. και (3. δίνουν τις παραµέτρους ' και '/ του ισοδύναµου κυκλώµατος Π τόσο ως συνάρτηση της χαρακτηριστικής αντίστασης όσο και ως συνάρτηση των παραµέτρων και / του ονοµαστικού κυκλώµατος Π. Το ισοδύναµο κύκλωµα Π φαίνεται στο Σχήµα 3.3. 3.5.3. Ισοδύναµο Κύκλωµα Τ Το ισοδύναµο κύκλωµα T µίας ραµµής µεάλου µήκους είναι εκείνο το κύκλωµα που είναι ισοδύναµο µε το αντίστοιχο ονοµαστικό κύκλωµα T της ραµµής µεσαίου µήκους, οπότε α πρέπει: cosh( 4 sinh( sinh( cosh( (3. Από τη σχέση (3. προκύπτει: sinh( sinh( anh anh (3.3 (3.4 Οι σχέσεις (3.3 και (3.4 δίνουν τις παραµέτρους '' και ''/ του ισοδύναµου κυκλώµατος Τ τόσο ως συνάρτηση της χαρακτηριστικής αντίστασης όσο και ως συνάρτηση των παραµέτρων και / του ονοµαστικού κυκλώµατος Τ. Το ισοδύναµο κύκλωµα Τ φαίνεται στο Σχήµα 3.4. Θα πρέπει να σηµειωεί ότι τα αποτελέσµατα των υπολοισµών α είναι τα ίδια είτε χρησιµοποιηεί το µοντέλο µεάλου µήκους, είτε το ισοδύναµο κύκλωµα Π, είτε το ισοδύναµο κύκλωµα Τ.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 85 3.6. Ειδικές Περιπτώσεις Γραµµών Μεταφοράς 3.6.. Γραµµή Χωρίς Απώλειες Σε µία ραµµή µεταφοράς χωρίς (ωµικές απώλειες ισχύει ότι: και G (3.5 Αντικαιστώντας τις σχέσεις (3.5 στις σχέσεις (3.58 και (3.59, προκύπτει ότι: z jπ f και jπ f (3.6 Αντικαιστώντας τις σχέσεις (3.6 στη σχέση (3.73, προκύπτει ότι: (3.7 Από τη σχέση (3.7 φαίνεται ότι η χαρακτηριστική αντίσταση έχει µη µηδενικό πραµατικό µέρος και µηδενικό φανταστικό µέρος, δηλαδή η είναι µία κααρά ωµική αντίσταση. Στα συστήµατα ηλεκτρικής ενέρειας, η της σχέσης (3.7 ονοµάζεται και κρουστική αντίσταση (surge impedance, η οποία χρησιµοποιείται ια τον υπολοισµό της φόρτισης κρουστικής αντίστασης (Ενότητα 3.8.3. Αντικαιστώντας τις σχέσεις (3.6 στη σχέση (3.74, προκύπτει ότι: όπου: j π f jβ (3.8 β π f (3.9 Από τη σχέση (3.8 φαίνεται ότι η σταερά µετάδοσης είναι κααρός φανταστικός αριµός, καώς έχει µηδενικό πραµατικό µέρος και µη µηδενικό φανταστικό µέρος β. Ισχύει ότι: cosh( cosh( jβ cos( β (3. sinh( sinh( jβ j sin( β (3. Αντικαιστώντας τις σχέσεις (3.7, (3. και (3., στις σχέσεις (3.8 έως (3.85, προκύπτουν οι ακόλουες τιµές των παραµέτρων ια το µοντέλο µεάλου µήκους της ραµµής µεταφοράς µήκους : cos( β (3. j sin( β (3.3 j sin( β (3.4 cos( β (3.5 Από τις σχέσεις (3. έως (3.5, προκύπτει ότι ια τη ραµµή µεταφοράς χωρίς απώλειες, οι ενικευµένες σταερές και είναι κααρός πραµατικός αριµός, ενώ οι ενικευµένες σταερές και είναι κααρός φανταστικός αριµός.

86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 3.6.. Γραµµή Χωρίς Παραµόρφωση Σε µία ραµµή µεταφοράς χωρίς παραµόρφωση ισχύει ότι: Από τις σχέσεις (3.58 και (3.59, προκύπτει ότι: r g (3.6 z r jπ f και g jπ f (3.7 Αντικαιστώντας τις σχέσεις (3.7 στη σχέση (3.73 και χρησιµοποιώντας τη σχέση (3.6, προκύπτει ότι: z r jπ f g jπ f r jπ f g jπ f r r jπ f jπ f (3.8 3.7. Αντιστάµιση Γραµµής Μεταφοράς 3.7.. Φαινόµενο Ferrani Έστω ότι µια ραµµή µεταφοράς είναι ανοικτή στο άκρο άφιξής της, δηλαδή, έστω ότι η ραµµή βρίσκεται σε κενή λειτουρία. Στην περίπτωση αυτή: (3.9 Θεωρώντας το µοντέλο µεάλου µήκους και αντικαιστώντας την (3.9 στην (3.8, προκύπτει: cosh( (3. sinh( (3. Για πραµατικές ραµµές µεταφοράς ηλεκτρικής ενέρειας ισχύει ότι cosh( <, οπότε από τη σχέση (3. προκύπτει ότι: cosh( > (3. Η σχέση (3. δείχνει ότι, όταν η ραµµή µεταφοράς είναι ανοικτή στο άκρο άφιξής της, τότε το µέτρο της τάσης στην άφιξη της ραµµής είναι µεαλύτερο από το µέτρο της τάσης στην αναχώρηση της ραµµής. Η ανύψωση αυτή της τάσης στην άφιξη της ραµµής ονοµάζεται φαινόµενο Ferrani, είναι χαρακτηριστικό των ραµµών µεάλου µήκους και πολλές φορές δηµιουρεί προβλήµατα, καώς α πρέπει η τάση κατά µήκος της ραµµής µεταφοράς να βρίσκεται εντός συκεκριµένων ορίων. Η µείωση της τάσης στην άφιξη µίας αφόρτιστης ραµµής µεταφοράς επιτυχάνεται µε σχετική µείωση της τάσης στην

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 87 αναχώρηση της ραµµής µεταφοράς ή µε εκάρσια επαωική αντιστάµιση στην άφιξη της ραµµής µεταφοράς. 3.7.. Εκάρσια Επαωική Αντιστάµιση Εκάρσια επαωική αντιστάµιση σηµαίνει σύνδεση ενός επαωικού πηνίου παράλληλα προς τη ραµµή µεταφοράς, στο άκρο άφιξης της ραµµής, µε σκοπό τη µερική ή πλήρη εξουδετέρωση της ανύψωσης της τάσης (φαινόµενο Ferrani. Το επαωικό πηνίο έχει επαωική αντίδραση, οπότε η σύνετη αωιµότητά του είναι j/. Το µονοφασικό ισοδύναµο κύκλωµα φαίνεται στο Σχήµα 3.5, από όπου προκύπτει ότι υπάρχουν δύο δίυρα κυκλώµατα σε αλυσωτή σύνδεση. Το πρώτο δίυρο κύκλωµα είναι αυτό της ραµµής µεταφοράς, ια την οποία έστω ότι εωρείται το ονοµαστικό κύκλωµα Π ραµµής µεσαίου µήκους. Επιπλέον, εωρείται ότι η ραµµή µεταφοράς δεν έχει απώλειες ( και G, οπότε οι σχέσεις (3.58 και (3.59 δίνουν ότι: j j και (3.3 Αντικαιστώντας τις σχέσεις (3.3 στις σχέσεις (3.6, υπολοίζονται οι παράµετροι του πρώτου δίυρου κυκλώµατος (ραµµή µεταφοράς: j j 4 (3.4 Το δεύτερο δίυρο κύκλωµα αποτελείται από µία εκάρσια σύνετη αωιµότητα j/, οπότε µε τη βοήεια των σχέσεων (3.33 έως (3.36 υπολοίζονται οι παράµετροι του δεύτερου δίυρου κυκλώµατος (εκάρσια επαωική αντιστάµιση: j (3.5 Επειδή τα δύο δίυρα συνδέονται αλυσωτά, µε εφαρµοή της σχέσης (3.37, το ισοδύναµο δίυρο κύκλωµα α έχει τις ακόλουες παραµέτρους : 4 j j j (3.6 Η ραµµή µεταφοράς είναι ανοικτή στην άφιξή της, οπότε, σύµφωνα µε τη σχέση (3., ο λόος των τάσεων άφιξης προς αναχώρησης εξαρτάται µόνο από τη ενικευµένη σταερά : (3.7

88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ίυρο ίυρο Γραµµή µεταφοράς j Σχήµα 3.5 Εκάρσια επαωική αντιστάµιση µίας ραµµής µεταφοράς. Στη σχέση (3.7, στις τάσεις άφιξης ( και αναχώρησης (, ο δείκτης υποδηλώνει το αντισταµισµένο (compensaed κύκλωµα, δηλαδή τη ραµµή µεταφοράς µαζί µε την εκάρσια επαωική αντιστάµιση (Σχήµα 3.5. Από τη σχέση (3.6 προκύπτει η τιµή της ενικευµένης σταερά : (3.8 Από τη σχέση (3.8 προκύπτει ότι η ενικευµένη σταερά είναι κααρός πραµατικός αριµός. Συνδυάζοντας τις (3.7 και (3.8, προκύπτει ότι: (3.9 Αν η ραµµή µεταφοράς δεν είναι αντισταµισµένη, δηλαδή αν δεν υπάρχει το επαωικό πηνίο µε επαωική αντίδραση, τότε: U U (3.3 Στη σχέση (3.3, στις τάσεις άφιξης ( U και αναχώρησης ( U, ο δείκτης U υποδηλώνει το µη αντισταµισµένο (uncompensaed κύκλωµα, δηλαδή τη ραµµή µεταφοράς χωρίς την εκάρσια επαωική αντιστάµιση. Συκρίνοντας τις (3.9 και (3.3, προκύπτει ότι η εκάρσια επαωική αντιστάµιση µειώνει την ανύψωση της τάσης στην άφιξη της ραµµής. Πλήρης αντιστάµιση επιτυχάνεται όταν: (3.3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 89 3.8. Υπολοισµοί Ηλεκτρικών Μεεών 3.8.. ιακύµανση Τάσης Γραµµής Μεταφοράς ιακύµανση τάσης µίας ραµµής µεταφοράς είναι η εκατοστιαία διαφορά τάσης του άκρου άφιξης της ραµµής, σε κενή λειτουρία (φασική τάση και µε πλήρες φορτίο (φασική τάση, υπό ορισµένο συντελεστή ισχύος και σταερή τάση αναχώρησης (, ανηµένη στην τάση πλήρους φορτίου: % % / % (3.3 όπου είναι το µέτρο της φασικής τάσης στην αναχώρηση, είναι το µέτρο της φασικής τάσης στην άφιξη σε πλήρες φορτίο µε σταερή τάση και Α είναι το µέτρο της ενικευµένης σταεράς Α. Σε κενή λειτουρία,, οπότε η (3.7 δίνει ότι, από όπου προκύπτει ότι / Α, όπου είναι το µέτρο της φασικής τάσης κενής λειτουρίας. 3.8.. Ισχύς και Απώλειες Γραµµής Μεταφοράς Η τριφασική µιαδική ισχύς στην αναχώρηση της ραµµής µεταφοράς υπολοίζεται ως ακολούως: * 3 P jq (3.33 όπου P είναι η τριφασική πραµατική ισχύς (τριφασική ενερός ισχύς στην αναχώρηση της ραµµής, Q είναι η τριφασική άερος ισχύς στην αναχώρηση της ραµµής, είναι η φασική τάση στην αναχώρηση της ραµµής, είναι το φασικό ρεύµα στην αναχώρηση της ραµµής και * είναι η συζυής τιµή του. Η τριφασική µιαδική ισχύς στην άφιξη της ραµµής µεταφοράς υπολοίζεται ως ακολούως: * 3 P jq (3.34 όπου P είναι η τριφασική πραµατική ισχύς στην άφιξη της ραµµής, Q είναι η τριφασική άερος ισχύς στην άφιξη της ραµµής, είναι η φασική τάση στην άφιξη της ραµµής και είναι το φασικό ρεύµα στην άφιξη της ραµµής. Οι τριφασικές µιαδικές απώλειες της ραµµής µεταφοράς υπολοίζονται ως ακολούως: ( P P j( Q Q P jq (3.35 όπου P είναι οι τριφασικές πραµατικές απώλειες της ραµµής µεταφοράς και Q είναι οι τριφασικές άερες απώλειες της ραµµής µεταφοράς. Θα πρέπει να σηµειωεί ότι ια τη ραµµή µεταφοράς χωρίς απώλειες ισχύει ότι P. Ο βαµός απόδοσης η της ραµµής µεταφοράς υπολοίζεται ως ακολούως: P P η (3.36 P P P Έστω το µοντέλο µεάλου µήκους της ραµµής, ια το οποίο, µε βάση τη σχέση (3.7, ισχύει ότι: (3.37

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Έστω ότι: δ (3.38 Αντικαιστώντας τις σχέσεις (3.38 στη σχέση (3.37 προκύπτει ότι: ( ( δ (3.39 Αντικαιστώντας τη σχέση (3.39 στη σχέση (3.34 προκύπτει ότι: ( * * ( ( 3 3 δ ( 3 ( 3 δ (3.4 H τριφασική πραµατική ισχύς P στην άφιξη της ραµµής είναι ίση µε το πραµατικό µέρος της, οπότε µε τη βοήεια της (3.4 προκύπτει ότι: cos( 3 cos( 3 P δ (3.4 Τα µέτρα των φασικών τάσεων και υπολοίζονται από τα αντίστοιχα µέτρα των πολικών τάσεων π και π ως ακολούως: 3 3 π π (3.4 Αντικαιστώντας τις σχέσεις (3.4 στη σχέση (3.4, προκύπτει η ακόλουη σχέση υπολοισµού της τριφασικής πραµατικής ισχύος P στην άφιξη της ραµµής: cos( cos( P δ π π π (3.43 Με αντίστοιχο τρόπο αποδεικνύεται ότι η σχέση υπολοισµού της τριφασικής πραµατικής ισχύος P στην αναχώρηση της ραµµής είναι η ακόλουη: cos( cos( δ π π π P (3.44 Η τριφασική άερη ισχύς στην αναχώρηση (Q και στην άφιξη (Q της ραµµής υπολοίζονται ως ακολούως: sin( sin( δ π π π Q (3.45 sin( sin( Q δ π π π (3.46

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 9 Από τη σχέση (3.43 διαπιστώνεται ότι η ισχύς P ίνεται µέιστη όταν δ, οπότε στην περίπτωση αυτή, η εωρητικά µέιστη µεταφερόµενη ισχύς είναι: P max π π π cos( (3.47 Το φορτίο α πρέπει να απορροφήσει ένα µεάλο χωρητικό ρεύµα ια να επιτύχει τη συνήκη δ της µέιστης µεταφερόµενης ισχύος P max. Συνήως, η λειτουρία περιορίζεται κρατώντας τη ωνία δ µικρότερη από 35 και το π / π ίσο ή µεαλύτερο από,95 ανά µονάδα. 3.8.3. Φόρτιση Κρουστικής Αντίστασης Έστω µία ραµµή µεταφοράς χωρίς απώλειες, στο άκρο της οποίας συνδέεται µία αντίσταση ίση µε τη χαρακτηριστική αντίσταση της ραµµής µεταφοράς χωρίς απώλειες, η οποία ονοµάζεται και κρουστική αντίσταση, είναι κααρά ωµική αντίσταση και έχει τιµή (Ενότητα 3.6.: (3.48 Η φόρτιση κρουστικής αντίστασης (urge mpedance imi µίας ραµµής µεταφοράς είναι η πραµατική ισχύς (MW, την οποία αποδίδει η ραµµή σε ένα κααρά ωµικό φορτίο ίσο µε την κρουστική της αντίσταση, όταν η τάση στο φορτίο είναι ίση µε την ονοµαστική πολική τάση της ραµµής µεταφοράς: π π (3.49 / όπου είναι η κρουστική αντίσταση (Ω της ραµµής µεταφοράς και π είναι το µέτρο της ονοµαστικής πολικής τάσης (k της ραµµής µεταφοράς. Πολλές φορές η φόρτιση κρουστικής αντίστασης εωρείται ως ισχύς αναφοράς (µοναδιαία ισχύς ια τη ραµµή και η µεταφερόµενη ισχύς της ραµµής εκφράζεται ως ποσοστό της φόρτισης κρουστικής αντίστασης. 3.9. Αριµητικά Παραδείµατα 3.9.. Παράδειµα 3. Τριφασική ραµµή µεταφοράς 5 Hz, k, µήκους 35 km, έχει τις ακόλουες παραµέτρους ανά φάση: r,75 Ω/km, x,45 Ω/km και b 3,5 6 Ω /km. Η ραµµή τροφοδοτεί φορτίο 95 MW υπό ονοµαστική τάση και συντελεστή ισχύος,97 επαωικό. Να υπολοιστούν η τάση στην αναχώρηση της ραµµής, οι µιαδικές απώλειες της ραµµής και ο βαµός απόδοσης της ραµµής µεταφοράς, χρησιµοποιώντας: το µοντέλο µικρού µήκους, το ονοµαστικό κύκλωµα Π ραµµής µεσαίου µήκους, 3 το ονοµαστικό κύκλωµα Τ ραµµής µεσαίου µήκους και 4 το µοντέλο µεάλου µήκους. Λύση Η φασική τάση στην άφιξη της ραµµής είναι: 3 77 3

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Θεωρώντας την τάση άφιξης ως διάνυσµα αναφοράς, 77, το ρεύµα στην άφιξη της ραµµής είναι: Για τη ραµµή µεταφοράς: Για το µήκος της ραµµής: 6 95 cos (,97 57, 4,7 3 3(,97 z r jx z (,75 j,45 Ω/km jb j3,5 6 Ω /km (,75 j,45 35 (6,5 j57,5 Ω 6 ( j3,5 35 j,5 3 Ω Ερώτηµα : Μοντέλο µικρού µήκους Οι ενικευµένες σταερές είναι: (6,5 j57,5 Η φασική τάση στην αναχώρηση της ραµµής είναι: Ω (77 (6,5 j57,5 (57, 4,7 4857 4,7 Το µέτρο της πολικής τάσης στην αναχώρηση της ραµµής είναι: 3 π 34857 π Το φασικό ρεύµα στην αναχώρηση της ραµµής είναι: 56,8 k Η τριφασική µιαδική ισχύς στην αναχώρηση της ραµµής είναι: * 3 3(4857 4,7 57, 4,7 (57, 4,7, MW j55, M Η τριφασική µιαδική ισχύς στην άφιξη της ραµµής είναι: * 3 3(77 (57, 4,7 95 MW j3,8 M Οι τριφασικές µιαδικές απώλειες της ραµµής είναι: * * (, 95 j( 55, 3,8 5, MW j3, M Ο βαµός απόδοσης της ραµµής είναι: P 95 η η 94,8 % P, 6 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 93 Ερώτηµα : Ονοµαστικό κύκλωµα Π ραµµής µεσαίου µήκους Οι ενικευµένες σταερές είναι: (6,5 j57,5 ( j,5,94, ( 6,5 j 57,5 Ω 59,673 8,54 ( j,5 4,6 3 (6,5 j57,5 ( 4 3 j 3 9,48 Η φασική τάση στην αναχώρηση της ραµµής είναι: Ω Ω,5 3 (,94, (77 (6,5 j57,5 (57, 4,7 377 6,83 Το µέτρο της πολικής τάσης στην αναχώρηση της ραµµής είναι: 3 π 3377 π Το φασικό ρεύµα στην αναχώρηση της ραµµής είναι: 37,3 k (,6 3 9,48 (77 (,94, (57, 4,7 44,5 3,3 Η τριφασική µιαδική ισχύς στην αναχώρηση της ραµµής είναι: 3(377 6,83 (44,5 3,3 Η τριφασική µιαδική ισχύς στην άφιξη της ραµµής είναι: * 6 95 MW j3,8 M Οι τριφασικές µιαδικές απώλειες της ραµµής είναι: 99,9 MW j,85 M ( 99,9 95 j(,85 3,8 4,9 MW j34,66 M Ο βαµός απόδοσης της ραµµής είναι: P 95 η η 95,8 % P 99,9 Ερώτηµα 3: Ονοµαστικό κύκλωµα Τ ραµµής µεσαίου µήκους Οι ενικευµένες σταερές είναι: (6,5 j57,5 ( j,5,94, 3 (6,5 4 (6,5 j57,5 j57,5 ( j,5 4 3 5,976 8, Ω

94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ j,5 Η φασική τάση στην αναχώρηση της ραµµής είναι: 3 Ω (,94, (77 (5,976 8, (57, 4,7 3549 6,8 Το µέτρο της πολικής τάσης στην αναχώρηση της ραµµής είναι: 3 π 33549 π Το φασικό ρεύµα στην αναχώρηση της ραµµής είναι: 34,7 k (,5 3 9 (77 (,94, (57, 4,7 48,67 4,5 Η τριφασική µιαδική ισχύς στην αναχώρηση της ραµµής είναι: 3(3549 6,8 (48,67 4,5 * 6 Η τριφασική µιαδική ισχύς στην άφιξη της ραµµής είναι: 95 MW j3,8 M Οι τριφασικές µιαδικές απώλειες της ραµµής είναι:,4 MW j4,46 M (,4 95 j( 4,46 3,8 5,4 MW j38,7 M Ο βαµός απόδοσης της ραµµής είναι: P 95 η η 94,97 % P,4 Ερώτηµα 4: Μοντέλο µεάλου µήκους Η χαρακτηριστική αντίσταση είναι: Η σταερά µετάδοσης είναι: c / z,75 j,45 36,3 4, 73 Ω 6 c j3,5 6 6 [ ] / (,75 j,45 ( j3,5,64 85,7 m z Η αδιάστατη µεταβλητή είναι: 6 (,64 85,7 (35,443 85,7 Οι ενικευµένες σταερές είναι: cosh( cosh(,443 85,7,95,99 sinh( (36,3 4,73 sinh(,443 85,7 sinh( sinh(,443 85,7,86 36,3 4,73 Η φασική τάση στην αναχώρηση της ραµµής είναι: 3 54,588 8,85 3 9,3 Ω Ω

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 95 (,95,99 (77 (54,588 8,85 (57, 4,7 3673 6,4 Το µέτρο της πολικής τάσης στην αναχώρηση της ραµµής είναι: 3 π 33673 π Το φασικό ρεύµα στην αναχώρηση της ραµµής είναι: 35,9 k (,86 3 9,3 (77 (,95,99 (57, 4,7 46, 3,46 Η τριφασική µιαδική ισχύς στην αναχώρηση της ραµµής είναι: 3(3673 6,4 (46, 3,46 Η τριφασική µιαδική ισχύς στην άφιξη της ραµµής είναι: * 6 95 MW j3,8 M Οι τριφασικές µιαδικές απώλειες της ραµµής είναι: 99,8 MW j,3 M ( 99,8 95 j(,3 3,8 4,8 MW j36,3 M Ο βαµός απόδοσης της ραµµής είναι: P 95 η η 95, % P 99,8 3.9.. Παράδειµα 3. Τριφασική ραµµή µεταφοράς 5 Hz, 33 k, µήκους 6 km, έχει τις ακόλουες παραµέτρους ανά φάση: r,5 Ω/km, x,5 Ω/km, b 3,3 6 Ω /km και g Ω /km. Λύση. Να υπολοιστεί η φόρτιση κρουστικής αντίστασης της ραµµής. Επίσης, η µέιστη µεταφερόµενη ισχύς της ραµµής και η απόδοσή της, αν η τάση στην αναχώρηση και στην άφιξη της ραµµής είναι κατά µέτρο ίσες µε την ονοµαστική.. Σε απόσταση 33 km από την αναχώρηση της ραµµής τοποετείται χωρητική αντιστάµιση σειράς, η οποία έχει βαµό αντιστάµισης 35%, δηλαδή αντισταµίζει κατά 35% την επαωική αντίδραση της ραµµής µεταφοράς. Να υπολοιστούν ια την αντισταµισµένη ραµµή τα ακόλουα, αν η τάση στην αναχώρηση και στην άφιξη της ραµµής είναι κατά µέτρο ίσες µε την ονοµαστική: α η µέιστη µεταφερόµενη ισχύς, β η απόδοση και η αύξηση στη µεταφερόµενη ισχύ σε σχέση µε τη µη αντισταµισµένη ραµµή µεταφοράς. Η ανά φάση αυτεπαωή και χωρητικότητα της ραµµής είναι: x,5 6,978 π f π5 H b π f 6 (3,3 6 6,3 π5 6 6,3 µf

96 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Ακολουώντας τη διαδικασία υπολοισµού του ερωτήµατος 4 (µοντέλο µεάλου µήκους του Παραδείµατος 3., η σταερά µετάδοσης, η χαρακτηριστική σύνετη αντίσταση και οι ενικευµένες σταερές της ραµµής µεταφοράς λαµβάνουν τις ακόλουες τιµές:,3 87,4 394,874,86 Ω,74,, οπότε,74 και,,3788 84,9 Ω, οπότε 78,3788 Ω και 78 84,9,785 9,6Ω Ερώτηµα Η φόρτιση κρουστικής αντίστασης της ραµµής είναι: π / 33,978 6,3 6 76,47 MW Η µέιστη µεταφερόµενη ισχύς της µη αντισταµισµένης ραµµής είναι: P u max π π π 3333 33,74 cos( cos(84,9 78,3788 78,3788, u P max 355,77 MW Όταν η µεταφερόµενη ισχύς της ραµµής είναι µέιστη (δ Β, τότε η ισχύς στην αναχώρηση της µη αντισταµισµένης ραµµής είναι: u m P π cos( u m P π π cos( δ P u m π cos( 33,74 3333 cos(84,9, cos(84,9 P 78,3788 78,3788 Ο βαµός απόδοσης της µη αντισταµισµένης ραµµής είναι: u P η u max 355,77 u η 4,43 u Pm 84,6 % u m π π 4,43 MW cos( Ερώτηµα Το ισοδύναµο κύκλωµα της αντισταµισµένης ραµµής φαίνεται στο Σχήµα 3.6, όπου το πρώτο δίυρο κύκλωµα αντιστοιχεί στα πρώτα x 33 km της ραµµής µεταφοράς, το τρίτο δίυρο κύκλωµα αντιστοιχεί στα υπόλοιπα x 69 km της ραµµής µεταφοράς και το δεύτερο δίυρο κύκλωµα αντιστοιχεί στη χωρητική αντιστάµιση σειράς. Οι ενικευµένες σταερές του πρώτου δίυρου κυκλώµατος υπολοίζονται ια µήκος ραµµής x 33 km ως ακολούως: x ((,3 87,4 33,989, sinh( (,3 87,4 33 65,3 84, Ω cosh( cosh 57 sinh( x (394,874,86 47

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 97 j Σχήµα 3.6 Χωρητική αντιστάµιση σειράς σε απόσταση 33 km από την αρχή της ραµµής µεταφοράς. sinh( x sinh ((,3 87,4 33,6 9, 8 394,874,86 Οι ενικευµένες σταερές του τρίτου δίυρου κυκλώµατος υπολοίζονται ια µήκος ραµµής x 69 km ως ακολούως: x ((,3 87,4 69,9395,,86 sinh( (,3 87,4 69 35,68 84, Ω ((,3 87,4 69 cosh( cosh 37 sinh( x (394,874 4 sinh( x sinh,87 9, 394,874,86 Ο βαµός αντιστάµισης είναι 35%, άρα:,35 x,35,5 6 7, 5 Οι σχέσεις υπολοισµού της µέιστης µεταφερόµενης ισχύος, καώς και της ισχύος στην αναχώρηση της ραµµής, όταν λαµβάνει χώρα η µέιστη µεταφερόµενη ισχύς, απαιτούν τον υπολοισµό των ενικευµένων σταερών και του συνολικού ισοδύναµου κυκλώµατος, το οποίο αποτελείται από τρία δίυρα κυκλώµατα σε αλυσωτή σύνδεση, άρα: j Ω j και j και µε αριµητική αντικατάσταση προκύπτει ότι:,7963,5, οπότε,7963 και,5,3 8,94 Ω, οπότε 87,3 Ω και 87 8,94 Η µέιστη µεταφερόµενη ισχύς της αντισταµισµένης ραµµής είναι: c 3333 33,7963 c P max cos(8,94,5 P max 5, MW 87,3 87,3 Όταν η µεταφερόµενη ισχύς της ραµµής είναι µέιστη (δ Β, τότε η ισχύς στην αναχώρηση της αντισταµισµένης ραµµής είναι: c m P 33,7963 3333 cos(8,94,5 cos(8,94 P 87,3 87,3 c m Ω Ω 639,7 MW

98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Ο βαµός απόδοσης της αντισταµισµένης ραµµής είναι: c P η c max 5, c η 639,7 c Pm 78,8 % Η αύξηση στη µεταφερόµενη ισχύ, σε σχέση µε τη µη αντισταµισµένη ραµµή µεταφοράς, είναι: c u P P max P max 5, 355,77 P 44,35 MW Βιβλιοραφία [3.] M. E. E-Hawar, Eecrica power ssems: design and anasis. EEE Press, New ork, 995. [3.] T. Gönen, Eecric power ransmission ssem engineering: anasis and design, nd ediion. Press, New ork, 9. [3.3] H. aada, Power ssem anasis, 3rd ediion. McGraw-Hi, New ork,.