Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 7 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 7 ο, Τμήμα Α Δεδομένα Συχνότητα Μέτρα θέσης Μέτρα διασποράς Στοχαστικά μαθηματικά διαφέρουν από τα κλασσικά μαθηματικά διότι τα φαινόμενα δεν είναι αιτιοκρατικά, υπάρχει αμφιβολία. Πιθανότητες αβεβαιότητα Δεδομένα

Ποσοτικά έχουν αριθμητική τιμή και μπορούμε να τα μετρήσουμε, π.χ. το ύψος και το βάρος των μαθητών. Συνεχή τα ομαδοποιούμε για να τα παρουσιάσουμε, από μία τιμή έως μία άλλη με όλες τις ενδιάμεσες τιμές, π.χ. τα ύψη τα παρουσιάζουμε ως 1,60-1,70 και όχι 1,60, 1,61, 1,62,... γιατί δεν μας βολεύει. Διακριτά ακέραιες τιμές πάντα, διακριτές τιμές, π.χ. ο αριθμός παιδιών σε μία οικογένεια μπορεί να είναι μέχρι 10 δεν μπορεί όμως να είναι 100 ή 4,5. Ποιοτικά έχουν κάποια ποιότητα, π.χ. χρώμα ματιών, χρώμα μαλλιών. Πρωτογενή δεδομένα που προκύπτουν από έρευνες που διεξάγουμε εμείς, π.χ. κάνουμε έρευνα στην τάξη μας. Δευτερογενή δεδομένα που τα παίρνουμε έτοιμα από άλλες έρευνες που έχουν κάνει άλλοι, π.χ. αν πάρουμε μία έρευνα έτοιμη από το internet. Συχνότητα Συχνότητα (ν i ) ο αριθμός εμφάνισης του κάθε δεδομένου, πόσο συχνά δηλαδή επαναλαμβάνεται κάτι πράσινο, μπλε, μωβ, ροζ, μαύρο, πράσινο, μπλε, μωβ, κόκκινο, μπλε, μωβ, ροζ, μπλε, πράσινο, μπλε, ροζ, πράσινο, μωβ, πράσινο, ροζ, μπλε, μαύρο, μπλε, κόκκινο, λευκό.

Ενδεικτικές ερωτήσεις Χρώμα Διαλογή Συχνότητα Μπλε 7 Πράσινο 5 Μωβ 4 Ροζ 4 Κόκκινο 2 Λευκό 1 Μαύρο 2 Σύνολο 25 Διαλογή με γραμμούλες πόσες φορές εμφανίζεται το κάθε χρώμα. Τα δεδομένα αυτά είναι πρωτογενή και ποιοτικά.

1. Πόσους ανθρώπους ρωτήσαμε για να συλλέξουμε τα παραπάνω δεδομένα; Ρωτήσαμε 25 ανθρώπους για να συλλέξουμε τα παραπάνω δεδομένα. 2. Ποιο χρώμα αρέσει στους περισσότερους ανθρώπους; Το μπλε, γιατί έχει την μεγαλύτερη συχνότητα. 3. Ποιο χρώμα αρέσει στους λιγότερους ανθρώπους; Το λευκό, γιατί έχει την μικρότερη συχνότητα. Σχετική συχνότητα (f i = v ν i ) Γνωρίζουμε ότι: ν 1 +ν 2 +...+ν κ = ν Επίσης: f 1 +f 2 + +f κ = 1 Απόδειξη ν f 1 +f 2 + +f κ = 1 ν + 2 ν + + κ ν = v v v ν2... ν 1 ν κ = v ν =1

Μέτρα θέσης Μέσος όρος (προσθέτουμε όλες τις τιμές και διαιρούμε με το πλήθος τους) Π.χ. 1. Δίνονται τα ύψη εφτά παιδιών:129, 125, 123, 129, 124, 129, 123 cm. Να υπολογιστεί ο μέσος όρος τους. x = 129 125 123 129 124 129 123 7 882 = = 126 cm 7 Π.χ. 2. Ο μέσος όρος 12 αριθμών είναι το 4,9. Αν προσθέσουμε δύο άλλους αριθμούς, ο μέσος όρος γίνεται 5,8. Ποιος είναι ο μέσος όρος των δυο νέων αριθμών; Ο Μ.Ο. των δώδεκα αριθμών θα είναι ως εξής: Θέτουμε x = x 1 +x 2 + +x 12. Άρα 4,9 = 12 x x = 4,9 12 = 58,8 Έστω y+z οι δύο αριθμοί που προσθέσαμε, άρα θα έχουμε 12+2 = 14 αριθμούς. Ο Μ.Ο.των 14 αριθμών θα είναι: 5,8 = x y z 14 5,8 14 = 58,8+y+z 58,8+y+z = 81,2 y+z = 81,2-58,8 = 22,4 Μ.Ο.(y+z): y z 22, 4 = = 11,2 2 2 Άρα ο Μ.Ο. των δύο καινούργιων αριθμών θα είναι 11,2.

Ενδεικτική δραστηριότητα για την κατανόηση του Μ.Ο. (Μ.Τ.) 1. Ποιοι μπορεί να είναι οι άλλοι τρεις αριθμοί έτσι ώστε ο μέσος όρος για το παρακάτω σύνολο δεδομένων να είναι το 10; 12,.,.,.. Θέτουμε x, y, z τους άλλους τρεις αριθμούς. Μ.Ο.: 12 x y z = 10 12+x+y+z = 40 x+y+z = 40-12 x+y+z=28 4 Έχουμε πολλές επιλογές και θέλουμε το άθροισμα των τριών αριθμών να είναι πάντα 28. Π.χ. x=10, y=10, z=8 Ή x=7, y=11, z=10 Ή x=12, y=12, z=4 Ή x=0, y=0, z=28 2. Ο μέσος όρος από τους βαθμούς τριών τεστ είναι 74. Ποιος πρέπει να είναι ο βαθμός στο τέταρτο τεστ για να βγει μέσος όρος 78; Έστω x το άθροισμα των βαθμών των τριών τεστ. Ο Μ.Ο. των τριών τεστ θα είναι: 74 = 3 x x = 74 3 = 222 Έστω y ο βαθμός του τέταρτου τεστ. Ο Μ.Ο. των τεσσάρων τεστ θα είναι: 78 = Άρα ο βαθμός στο τέταρτο τεστ θα πρέπει να είναι 90. x y 78 4 = 222+y 312 = 222+y y = 312-222 = 90 4

ΠΟΤΕ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ Ο ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ/ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Όταν δεν υπάρχουν ακραίες παρατηρήσεις στο σύνολο των δεδομένων μας. Π.χ. Π.χ. θέλουμε να υπολογίσουμε τον Μ.Ο. των βαθμών ενός μαθητή: 1, 1, 1, 5, 10, 10 Μ.Ο.: 28 = 4,6... 6 Δεν είναι ένδειξη για εμάς αν αυτός ο μαθητής είναι καλός ή κακός, γιατί παρατηρούμε ότι σε τρία μαθήματα πήρε μονάδα, άρα είναι πολύ κακός. Το γεγονός όμως ότι είχε σε τρία μαθήματα μονάδα και σε δύο μαθήματα 10 μάς οδηγεί στο συμπέρασμα ότι οι αριθμοί είναι πολύ ακραίοι. Άρα δεν μπορούμε να υποθέσουμε και να πούμε ότι είναι μέτριος μαθητής, γιατί δεν θα είναι σωστό συμπέρασμα και γι αυτό δεν μπορούμε να στηριχτούμε στην Μ.Τ. όταν έχουμε ακραίες παρατηρήσεις. Γι αυτό χρησιμοποιούμε κάποιο άλλο μέτρο θέσης και συγκεκριμένα την διάμεσο. Περιττό πλήθος Π.χ. 7, 3, 4, 5, 11 Διάμεσος (είναι ακριβώς η μεσαία παρατήρηση) Πρώτη δουλειά είναι να βάλουμε σε μια αύξουσα ή φθίνουσα σειρά τους αριθμούς. 3, 4, 5, 7, 11 δ=5 Άρτιο πλήθος Π.χ. 7, 3, 4, 5, 11, 8 3, 4, 5, 7, 8, 11 Σβήνουμε έναν από κάτω έναν από πάνω, έναν από κάτω έναν από πάνω και περισσεύουν στη μέση δύο, άρα η διάμεσός μας θα είναι το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων παρατηρήσεων.

5 7 12 δ= = = 6 2 2 ΠΟΤΕ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ Όταν υπάρχουν ακραίες παρατηρήσεις και δεν υπάρχουν μεγάλα «κενά» στις μεσαίες τιμές του συνόλου των παρατηρήσεων. Σ αυτό το σημειόγραμμα παρατηρούμε ότι οι περισσότερες τιμές συγκεντρώνονται από το 10 έως το 25 και έχουμε ακραίες παρατηρήσεις καθώς ξεκινάει από το 0 και φτάνει έως το 39. Από το 25 όμως έως το 39 δεν έχουμε καθόλου παρατηρήσεις. Άρα δεν είναι σωστό να χρησιμοποιήσουμε την διάμεσο, γιατί δεν είναι αξιόλογο (στην μέση δεν έχουμε καθόλου παρατηρήσεις και δεν θα βγάλουμε σωστά συμπεράσματα). Επικρατούσα τιμή (Κορυφή) Ως επικρατούσα τιμή ή κορυφή ορίζεται η τιμή (μέτρηση) που εμφανίζεται περισσότερες φορές. Είναι το μοναδικό από τα μέτρα θέσης που μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε ποσοτικά αλλά και σε ποιοτικά δεδομένα. Μπορεί να υπάρχουν δύο επικρατούσες τιμές ή και καμία. SOS! Η Μ.Τ. και η διάμεσος δεν χρησιμοποιούνται για ποιοτικά δεδομένα, η κορυφή όμως χρησιμοποιείται και για ποιοτικά και για ποσοτικά δεδομένα. Π.χ. αν το σύνολο δεδομένων μας είναι οι αριθμοί 1, 2, 3, 4, 2, 5, 6, 2, η κορυφή είναι το 2 καθώς είναι η μέτρηση που εμφανίζεται τις περισσότερες φορές. ΠΟΤΕ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ Η ΕΠΙΚΡΑΤΟΥΣΑ ΤΙΜΗ Όταν υπάρχουν πολλές ίδιες παρατηρήσεις γιατί μέσω αυτής περιγράφουμε τι είναι σύνηθες για το σύνολο των δεδομένων μας.

Π.χ. Υπολογίστε τον μέσο όρο, την διάμεσο και την κορυφή για τα σύνολα Α και Β. Οι βαθμοί ενός μαθητή για δύο τρίμηνα. Να βρεθεί σε ποιο τρίμηνο πήγε καλύτερα με τα μέτρα θέσης. Σύνολο Α: 13 14 15 19 20 20 28 29 30 32 33 Σύνολο Β: 1 4 15 16 17 20 20 21 30 31 78 Απάντηση Σύνολο Α 253 Μ.Ο.= = 23 11 δ= 20 κορυφή= 20 Σύνολο Β 253 Μ.Ο.= = 23 11 δ= 20 κορυφή= 20 Παρατήρηση: Και τα δύο σύνολα έχουν μέσο όρο ίσο με 23, διάμεσο ίση με 20 και κορυφή το 20. Μπορούμε να στηριχτούμε, επομένως, στα μέτρα θέσης για να εξάγουμε συμπεράσματα; Όχι, δεν μπορούμε να εξάγουμε συμπεράσματα γι αυτό και πάμε στα μέτρα διασποράς. Για το δεύτερο σύνολο δεν θα έπρεπε να χρησιμοποιήσουμετον Μ.Ο. γιατί υπάρχουν ακραίες τιμές (παρατηρούμε ότι από το 1 φτάνει έως το 78).

Μέτρα διασποράς ΕΥΡΟΣ Το εύρος είναι η διαφορά μεταξύ της μεγαλύτερης και της μικρότερης παρατήρησης σε ένα σύνολο δεδομένων. Είναι ένας αριθμός και όχι ένα διάστημα. Π.χ. στο παράδειγμα 4 το εύρος για το σύνολο Α είναι 20(33-13) ενώ για το σύνολο Β είναι 77(78-1) (έχει πάρει από πολύ υψηλούς έως πολύ χαμηλούς βαθμούς, δεν είναι σταθερός). ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ-ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ Τα παρακάτω είναι τα βήματα που πρέπει να ακολουθούνται για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης ενός συνόλου δεδομένων. Υπολογίζουμε τον μέσο όρο. Βρίσκουμε την διαφορά κάθε μέτρησης από τον μέσο όρο. Υπολογίζουμε τα τετράγωνα των διαφορών αυτών. Υπολογίζουμε τον μέσο όρο των τετραγώνων των διαφορών. Υπολογίζουμε την τετραγωνική ρίζα αυτού του μέσου όρου για την εύρεση της τυπικής απόκλισης. x 1, x 2, x 3 x1 x2 x3 M.O. = = α 3 (x 1 -α) 2 ή (α-x 1 ) 2 (x 2 -α) 2 (x 3 -α) 2

2 2 (x - α) (x2 - α) 3 1 (x 3 - α) 2 = διακύμανση (s 2 ) 2 2 2 (x1 - α) (x2 - α) (x3 - α) Τυπική απόκλιση = διακ ύμανσης = 3 Η διακύμανση και η τυπική απόκλιση είναι πάντα θετικοί αριθμοί ως προς το πρόσημο. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Το βάρος τριών μαθητών της ΣΤ τάξης είναι 58, 65 και 51 κιλά. Με τι ισούται η τυπική απόκλιση του βάρους τους; Βήμα 1 ο : Υπολογισμός του Μ.Ο. 58 65 51 = 58 3 Βήμα 2 ο : Αφαιρούμε τον Μ.Ο. από κάθε παρατήρηση και υψώνουμε στο τετράγωνο την κάθε διαφορά. 58-58= 0, 0 65-58= 7, 7 2 = 49 51-58= (-7), (-7) 2 = 49 Βήμα 3 ο : Βρίσκουμε τον Μ.Ο. των τετραγώνων. 0 49 49 = 32,6 (διακύμανση ή διασπορά) 3 Βήμα 4 ο : υπολογίζουμε την ρίζα του 3 ου Βήματος (τυπική απόκλιση) 32,6 = 5,709

Τυπική απόκλιση 2 2 (x1 - x) (x2 - x)... (x n n - x) 2 Τα μέτρα διασποράς, δηλαδή το πόσο μεγάλη ή μικρή είναι η τυπική απόκλιση είναι ένδειξη για το πόσο διαφέρουν τα δεδομένα μας, δηλαδή συγκεντρώνονται όλα σε μία τιμή ή είναι μακριά από αυτή; Παράδειγμα: Γνωρίζοντας μόνο τον Μ.Ο. δεν μπορούμε να εξάγουμε πάντα συμπεράσματα. Στα παρακάτω σημειογράμματα ο Μ.Ο. είναι 5. Τι παρατηρείτε; Έχουν την ίδια τυπική απόκλιση τα παρακάτω σύνολα; Χωρίς να υπολογίσετε μπορείτε να βγάλετε κάποιο συμπέρασμα; Δεν έχουν όλα την ίδια μορφή. Πρέπει να στηριχτούμε στα μέτρα θέσης και τα μέτρα διασποράς για να βγάλουμε ένα συμπέρασμα. Στο πρώτο η τυπική απόκλιση είναι 0, γιατί όλα τα δεδομένα μας είναι μαζεμένα στο 5. Την μεγαλύτερη ποικιλία δεδομένων την έχουμε στο πέμπτο παράδειγμα καθώς και στο τρίτο. Η τυπική απόκλιση μάς δείχνει την διαφορά των παρατηρήσεών μας από τον Μ.Ο. Αν έχουμε μικρή τυπική απόκλιση, τα δεδομένα μας βρίσκονται κοντά στον Μ.Ο., ενώ αν έχουμε μεγάλη τυπική απόκλιση βρίσκονται μακριά από τον Μ.Ο.

Γραφικές Αναπαραστάσεις Δεδομένων Εικονόγραμμα Με κάποια εικόνα παρουσιάζουμε τα δεδομένα μας. Στο εικονόγραμμα πρέπει πάντα να βλέπουμε πιο είναι το κλειδί, δηλαδή η κάθε εικόνα σε ποιον αριθμό αντιστοιχεί. Στην συγκεκριμένη εικόνα μάς λέει ότι κάθε αυτοκινητάκι αντιστοιχεί σε 2 αυτοκίνητα. Στο διπλανό εικονόγραμμα αναπαριστάνονται τα αυτοκίνητα που βρίσκονται σε ένα χώρο στάθμευσης ανάλογα με την ηλικία τους. α) Πόσα είναι συνολικά τα αυτοκίνητα που αναπαριστάνονται στο εικονόγραμμα, αν κάθε «αυτοκινητάκι» αντιστοιχεί σε 2 αυτοκίνητα; 2+3+4+2+5+3+4+8+5+0+2 = 38 αυτοκίνητα β) Ποιος είναι ο μέσος όρος ηλικίας τους; 2* 0 3*1 4 *2 2*3... 2*10 Μ.Ο. ηλικίας= =... 38 Χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση ποιοτικών δεδομένων και διακριτών ποσοτικών δεδομένων. Προσοχή στην εικόνα-κλειδί! Είναι ένα από τα πρώτα με τα οποία έρχονται σε επαφή οι μαθητές από την Α δημοτικού.

Σημειόγραμμα Μας δείχνει με σημειάκια πόσες φορές εμφανίζονται τα δεδομένα, δηλαδή το 2 εμφανίζεται 1 φορά, το 3 εμφανίζεται 2 φορές,... α) Βρείτε τον μέσο όρο (μέση τιμή). Δείξτε πώς τον υπολογίσατε. Μ.Ο.= 1*2 2*3 4 *1 6*2 = 6 Ραβδόγραμμα Χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση ποιοτικών δεδομένων και διακριτών ποσοτικών δεδομένων. (επισήμανση) Επίσης χρησιμοποιείται ραβδόγραμμα το οποίο έχει είτε κάθετη είτε οριζόντια κατεύθυνση. Έχουμε ράβδους και αφήνουμε κενό ανάμεσά τους σε αντίθεση με το ιστόγραμμα.

Διπλό Ραβδόγραμμα Αναπαριστάνουμε δύο ομάδες δεδομένων, π.χ. εδώ το μπλε είναι τα αγόρια και το κόκκινο τα κορίτσια. α) Πόσα αγόρια παρουσιάζονται στο ραβδόγραμμα; 1 + 3+ 7+ 9 = 20 αγόρια β) Ποιος είναι ο αριθμός των μαθητών συνολικά; 1 + 2 + 3+ 4 + 7+ 5 + 9+6 = 37 μαθητές Γράφημα Γραμμής ή Χρονόγραμμα Το συγκεκριμένο γράφημα το χρησιμοποιούμε όταν τα δεδομένα μας αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου.

α) Ποιος ήταν ο μικρότερος αριθμός βακτηριδίων; Ποια ώρα συνέβη αυτό; Ο μικρότερος αριθμός βακτηριδίων ήταν 1 εκατομμύριο στην πρώτη ώρα. β) Ποιος ήταν ο αριθμός των βακτηριδίων 6 ώρες μετά την χορήγηση της αντιβίωσης; 7 εκατομμύρια γ) Ποιος πιστεύετε ότι θα είναι ο αριθμός των βακτηριδίων στον οργανισμό 11 ώρες μετά τη χορήγηση της αντιβίωσης; Θα είναι από 2 και κάτω, το πολύ 2 εκατομμύρια. Φυλλόγραμμα Στην πραγματικότητα χωρίζουμε τις μονάδες από τις δεκάδες. Το 0 και το 3 είναι 3 λεπτά. Το 0 και το 5 είναι 5 λεπτά. Το 1 και το 0 είναι 10 λεπτά,... Στο διπλανό φυλλόγραμμα αναπαριστάνονται οι χρόνοι που κάνουν οι μαθητές μιας τάξης καθημερινά για να πάνε στο σχολείο. α) Πόσους μαθητές έχει η τάξη; Έχει 26 μαθητές. β) Πόσοι μαθητές χρειάζονται πάνω από 30 λεπτά για να φτάσουν στο σχολείο; 2 μαθητές. γ) Ποιος είναι ο περισσότερος και ποιος ο λιγότερος χρόνος που χρειάζεται ένας μαθητής για να πάει στο σχολείο; Ο περισσότερος χρόνος είναι 45 λεπτά ενώ ο λιγότερος είναι 3 λεπτά.

δ) Πόσοι μαθητές θέλουν 23 λεπτά για να μπουν στο σχολείο; 3 μαθητές. ε) Πόσοι μαθητές θέλουν από 12 έως 20 λεπτά για να πάνε στο σχολείο; 8 μαθητές. Χρησιμοποιείται για ποσοτικά δεδομένα. Προσοχή στην κατασκευή του! Για το σύνολο των δεδομένων που δίνονται στον παρακάτω πίνακα φτιάξτε το φυλλόγραμμα. 2 2 5 3 4 5 4 1 1 6 6 6 7 9 5 4 4 9 6 0 Αν είχαμε εκατοντάδες, π.χ. 112 τότε 1 1 2

Κυκλικό Διάγραμμα Μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε για 2 έως 8 κατηγορίες, δεν μπορούμε όμως να το χρησιμοποιήσουμε για πάρα πολλά δεδομένα. Επίσης είναι και για ποιοτικά και για ποσοτικά δεδομένα. Σε αυτό το κυκλικό διάγραμμα δίνονται το μέσο με τα οποίο οι 250 μαθητές ενός δημοτικού πηγαίνουν καθημερινά στο σχολείο τους. α) Με ποιον τρόπο πηγαίνουν οι περισσότεροι μαθητές στο σχολείο; β) Πόσοι μαθητές πηγαίνουν με το ποδήλατο στο σχολείο; γ) Με ποιον άλλο τύπο γραφήματος θα μπορούσαν να αναπαρασταθούν τα δεδομένα του διπλανού γραφήματος; Τι πρέπει να γίνει πρώτα; Επισήμανση: Διδάσκεται μόνο η ερμηνεία του και όχι η κατασκευή του (Β Γυμνασίου). Ο δάσκαλος πρέπει να ξέρει τον τρόπο κατασκευής του! Χρήση Kατασκευή Κυκλικού Διαγράμματος Χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση δεδομένων ως μέρος του όλου, για την παρουσίαση διαφορών σε κατηγορίες-δεδομένα (ποιοτικά ή διακριτά ποσοτικά). Ο αριθμός των κατηγοριών είναι περιορισμένος (2-8). Όλος ο κύκλος είναι 360 ο.

Τρόπος κατασκευής: Μοίρες του κάθε κυκλικού τομέα = σχετική συχνότητα x 360 ο Ποδήλατο: Στα 100 παιδιά τα 12 πάνε με ποδήλατο. Στα 360 παιδιά x = 360*12 12 = 36*1,2 = 43,2 πάνε με ποδήλατο. Ή 12%*360 = *360 100 100 Μπορούμε επίσης να τα αναπαραστήσουμε με το ραβδόγραμμα αλλά θα έπρεπε πρώτα να μετατρέψουμε τα ποσοστά σε αριθμούς. Ιστόγραμμα Επισήμανση: Δεν διδάσκεται στο Δημοτικό αλλά στην επόμενη βαθμίδα εκπαίδευσης. Απαραίτητη η γνώση του. Αναπαριστάνονται συνεχή δεδομένα τα οποία έχουν ομαδοποιηθεί σε διαστήματα. Σε αντίθεση με το ραβδόγραμμα οι ράβδοι είναι ενωμένες μεταξύ τους.