ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 4) Να εξετάσετε αν η f έχει ακρότατα. Τι μπορείτε να πείτε για τη μονοτονία της συνάρτησης; ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, + ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Μ(,0) και να αποδείξετε ότι σχηματίζει με τον άξονα οξεία γωνία. ) Έστω δύο οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω. Να αποδείξετε ότι αν Α Β τότε ισχύει: α) f ( P( Α)) f( P( Β )). β) f ( P( Α)) = f( P( Α Β )).

2 ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f ( ) = e ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε την ελάχιστη τιμή της. ) Να αποδείξετε ότι f ( ) > 0, για κάθε R. ) Η μεταβλητή ενός δείγματος Α μεγέθους ν N, έχει τιμές t, t, t,..., t ν και η μεταβλητή ενός άλλου δείγματος Β μεγέθους ν N, έχει τιμές t t t tν e t, e t, e t,..., e t. Να συγκρίνετε τις μέσες τιμές των δύο δειγμάτων. ν ΘΕΜΑ 4 Ο Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανομή συχνοτήτων σε δεκάδες των μισθών 60 Μισθός v [70,80) [80,90) 9 [90,00) [00,0) 6 [0,0) υπαλλήλων μιας εταιρείας. ) Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο. ) Επιλέγουμε τυχαία έναν υπάλληλο. Α) Ποια η πιθανότητα να έχει μισθό μικρότερο ή ίσο του μέσου μισθού; Β) Ποια η πιθανότητα να έχει μισθό μεγαλύτερο ή ίσο των 000 ; Γ) Ποια η πιθανότητα να έχει μισθό μικρότερο των 950 ;

3 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΜΑ Ο ), ) y =, 4) Γνησίως αύξουσα στο (,0) και γνησίως αύξουσα στο (0, + ). 4 ΘΕΜΑ Ο ) Γνησίως αύξουσα στο (, ], γνησίως φθίνουσα στο [, ), γνησίως φθίνουσα στο (, + ] και γνησίως αύξουσα στο [ +, + ). ) y =, ο συντελεστής διευθύνσεως της εφαπτομένης είναι θετικός κ.τ.λ. ) α) Είναι P( Α) P( Β) και η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0,], στο οποίο οι πιθανότητες παίρνουν τις τιμές τους κ.τ.λ. β) Ισχύει Α Β Α=Α Β κ.λ.π. ΘΕΜΑ Ο ) Ελάχιστη τιμή f (ln ) = ( ln ) κ.τ.λ. t t ) Ισχύει e t > 0 e t > t, ομοίως μέλη και προκύπτει Α < Β. t t e t > 0 e t > t κ.τ.λ. προσθέτουμε κατά ΘΕΜΑ 4 Ο ) = 9,5, δ = 90 ) P =,8, P 8 6 =, P =

4 ΘΕΜΑ 5 Ο Δίνεται η συνάρτηση f( ) = e + λ, λ Ζ με 5 λ 5. ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ) Να αποδείξετε ότι lm f ( ) e λ e =. 4 4 ) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α: Η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης να είναι τουλάχιστον. e ΘΕΜΑ 6 Ο Το συνολικό κέρδος μιας εταιρείας από την πώληση ενός προϊόντος της, από t t σήμερα και για t χρόνια δίνεται από τον τύπο Pt () A. ( e ) = σε ευρώ, όπου Α >0 σταθερά. Να βρείτε : ) Για πόσα χρόνια η εταιρεία θα παρουσιάζει κέρδος ; ) Για ποια τιμή του t το κέρδος γίνεται μέγιστο ; ) Αν 0 t, σε πόσα χρόνια ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους γίνεται μέγιστος ; 4

5 ΘΕΜΑ 7 Ο Έστω ο δειγματικός χώρος Ω= {,,,4,5,6,7,8,9,0 } με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Για τα ενδεχόμενα Α, Β, Γ του Ω είναι : Α Β= {,,,4,5,6 }, Α Β= {,, 4 }, Α Β= {,6} και + Γ= Ω/. ) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες P( Α), P( Β), P( Γ ) ) Να βρείτε την πιθανότητα, ώστε να πραγματοποιηθεί το Β και όχι το Γ. ) Να βρείτε την πιθανότητα, ώστε να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Β και Γ. 4) Αν s είναι η διακύμανση των τιμών λ, λ, 5λ, όπου λ Ω, να βρείτε την Δ= λ Ω/ s 4. πιθανότητα του ενδεχομένου { } (ΘΕΜΑ Ιούλιος 005) ΘΕΜΑ 8 Ο Σε μία κανονική ή περίπου κανονική κατανομή το 50% των παρατηρήσεων έχουν τιμή μεγαλύτερη του 0. Το 8,5% των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα (6,) με άκρα του διαστήματος χαρακτηριστικές τιμές της κανονικής κατανομής ± s, ± s, ± s,. ) Αποδείξτε ότι = 0 και s =. * ) Να βρείτε τον a N, αν είναι γνωστό ότι στο διάστημα ( as, + as) ανήκει το 95% περίπου των παρατηρήσεων. ) Αν R είναι το εύρος της κατανομής, να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης R f ( ) = ( + 4) + 9s. 5

6 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΜΑ 5 Ο ) Γνησίως φθίνουσα στο (, ] και γνησίως αύξουσα στο [, + ). Ελάχιστη τιμή της συνάρτησης η f ( ) = + λ. e ) 6 P( Α ) =. ΘΕΜΑ 6 Ο ) Πρέπει Pt () > 0, βρίσκουμε 0<t<6, ) t=, ) Χρησιμοποιούμε την P () t, βρίσκουμε t = 5/ ΘΕΜΑ 7 Ο ) Γ= {,}. 5 4 P( Α ) =, P( Β ) =, P( Γ ) =, ) 4 P( Β Γ ) =, ) P( ( Β Γ) ( Γ Β )) =, 4) s = λ, ( λ ), 8 P( Δ ) =. 0 ΘΕΜΑ 8 Ο ) α =, ) mn f = f ( ) = 6. 6

7 ΘΕΜΑ 9 Ο Έστω η συνάρτηση f ( ) = + κ + λ+ 6, κ, λ R. Α) Να βρείτε τα κλ, R, ώστε η γραφική παράσταση της f να δέχεται οριζόντια εφαπτομένη την y = στο σημείο 0 =. Β) Αν κ = 9 και λ =, ) Να μελετήσετε η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ) Να αποδείξετε ότι f ( ) lm = ) Αν A Β, να συγκρίνετε τους αριθμούς f ( PA ( )) και f ( P( Β )) ΘΕΜΑ 0 Ο Ταξιδιωτική εταιρεία παρέχει στους πελάτες της 4 διαφορετικά πακέτα διακοπών σε ποσοστά 0%, 5%, 0%, 5% με κόστος 500, 400, 50, 00 αντιστοίχως, ανά άτομο. ) Να υπολογίσετε το μέσο κόστος των τεσσάρων πακέτων των διακοπών. ) Να υπολογίσετε το συντελεστής μεταβολής CV. ) Να βρείτε πόσο πρέπει να αυξηθεί τουλάχιστον κάθε πακέτο, ώστε το κόστος των τεσσάρων πακέτων να είναι ομοιογενές. 4) Αν ελαττωθεί το κόστος κάθε πακέτου κατά 0% και στη συνέχεια γίνει αύξηση εξόδων διαμονής κατά 0 ανά πακέτο, να βρεθεί ο νέος συντελεστής μεταβολής 7

8 ΘΕΜΑ Ο Για τα ισοπίθανα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P( Α ) = P( Β ) = 0,7 Να αποδείξετε ότι: ) Τα Α, Β δεν είναι ασυμβίβαστα. ) P( Α Β) 0,7 ) 0, 4 P( Α Β) 0,7 ΘΕΜΑ Ο Το 50% των προϊόντων ενός θερμοκηπίου ζυγίζουν το πολύ 800 γραμμάρια, ενώ το 4% από 400 έως 800 γραμμάρια. Υποθέτουμε ότι η κατανομή του βάρους είναι κατά προσέγγιση κανονική. ) Να βρείτε το μέσο βάρος και την τυπική απόκλιση του βάρους των προϊόντων. ) Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. Αν όχι, πόσο πρέπει να μεταβληθεί το βάρος κάθε προϊόντος για να γίνει ομοιογενές; ) Αν τα προϊόντα που ζυγίζουν πάνω από, κιλά είναι 6, να βρείτε τον αριθμό των προϊόντων που παράγονται στο θερμοκήπιο. 8

9 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΜΑ 9 ο Β) ) + ) f ( P( A)) f ( P( Β)) Τοπικό μέγιστο το f () = f + + f Τοπικό ελάχιστο το f () = 0 τ.μ τ.ε. ΘΕΜΑ 0 ο Κόστος f f f 500 0, , , , Σύνολο ) = 60. ) s = Σ f = =650, άρα s 60, 4, ή 60, 4 CV = περίπου 0,67 ή 6, 7 %. 60 s = ( t ) f κ.τ.λ. ) a 44, τουλάχιστον 44. 4) 54,6 CV = περίπου 0,55 ή 5,5 % 54 ΘΕΜΑ ο ) = 800 γραμμάρια, s = 400 γραμμάρια ) Πρέπει να αυξηθεί τουλάχιστον κατά 00 γραμμάρια ) 5 προϊόντα. 9

10 ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f ( ) = e + 005, R και Α, Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με Α Β. ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ) Αν P( Α ) η θέση του τοπικού μέγιστου και P( Β ) η θέση του τοπικού ελάχιστου της f, να υπολογίσετε τις πιθανότητες: P( Α Β), P( Α Β), P(Β Α ) ) Έστω,, οι τετμημένες των κοινών σημείων της C f και της γραφικής παράστασης της συνάρτησης 7 g ( ) = e Θεωρούμε μία μεταβλητή με τιμές τις,, με συχνότητες v = +, =,,. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή. ΘΕΜΑ 4 Ο Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, για τα οποία ισχύουν: ν P( Α ) = ν + 7 ν P( Β ) = ν + 7, ν και P( Α Β ) = ν + 7, όπου * ν Ν. * ) Να βρείτε το ευρύτερο υποσύνολο του Ν, στο οποίο παίρνει τιμές το ν. ) Αν τα ενδεχόμενα Α, Β είναι ασυμβίβαστα, να βρείτε την τιμή του ν. ) Να βρείτε για ποια τιμή του αυτή η μέγιστη τιμή. * ν Ν η ( P Α Β ) γίνεται μέγιστη και ποια είναι 0

11 ΘΕΜΑ 5 Ο Έστω οι παρατηρήσεις 4,, 5, 4, 5, 6, 8, α, β. Η μέση τιμή αυτών είναι = 5 και ο συντελεστής μεταβολής CV = 0 %. Να υπολογίσετε: ) Τη διακύμανση των παρατηρήσεων. ) Τις παρατηρήσεις α, β. ) Τη διάμεσο των παρατηρήσεων. 4) Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. 5) Αν οι παρατηρήσεις υποστούν μείωση κατά 0 % η καθεμία πως διαμορφώνεται ο νέος συντελεστής μεταβολής CV ; ΘΕΜΑ 6 Ο Οι χρόνοι σε mn που χρειάζονται οι μαθητές μιας γειτονιάς να πάνε στο σχολείο τους έχουν ομαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους με αντίστοιχες συχνότητες 6, 0, 7 και 7. Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( ) = 6( ) + 0( ) + 7( ) + 7( ), όπου,,, 4 τα κέντρα των αντίστοιχων κλάσεων. 4 Έστω ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 = 7 το f (7) = 4. ) Να αποδείξετε ότι το πλάτος των κλάσεων είναι c =. ) Να βρείτε τις συχνότητες f. ) Να βρείτε την τυπική απόκλιση. 4) Να εξετάσετε το δείγμα ως προς την ομοιογένεια. (ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Βλέπε εφαρμογή σελ. 98 Σχολικού βιβλίου)

12 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΜΑ ο ) 5 + f + + f P( Α ) =, P( B) = 5 τ.μ τ.ε. ) P( Α Β ) = P( Α ) =, P( Α Β ) = P( B) =, 5 ) =, =, =, 0 4 =. P( Β Α ) = 0 ΘΕΜΑ 4 ο ) ν. ) Είναι P( Α Β ) = P( Α ) + P( Β) P( Α Β) και P( Α Β ) = 0 κ.λ.π. βρίσκουμε ν =. ) Θεωρούμε τη συνάρτηση P( Α Β ) =. 4 ΘΕΜΑ 5 ο f ( ) =, + 7 κ.τ.λ. βρίσκουμε ν = 7 και μέγιστη τιμή της ) s = ) Από τη μέση τιμή και τη διακύμανση βρίσκουμε α =4 και β =6 ή α =6 και β =4. ) δ =5 ΘΕΜΑ 6 ο Σύμφωνα με την εφαρμογή, σελ = = και επειδή = + c, = + c, 4 = + c κ.τ.λ. βρίσκουμε c=. Άρα = 4, = 6, = 8, 4 = 0. = 7, s = 4, 46 s,, CV= 0 %.

13 ΘΕΜΑ 7 Ο Οι χρόνοι σε ώρες (παρατηρήσεις) που έξι από τους επίγειους σταθμούς δεν είχαν επαφή με τον Ελληνοκυπριακό δορυφόρο είναι: t = 0, t = 0, t =, t =, t = 4, t = ) Να βρείτε τη μέση τιμή ( ) και τη διάμεσο ( δ ) των παρατηρήσεων. ) Αν f ( ) = ( t ) + ( t ) + ( t ) + ( t ) + ( t ) + ( t ), τότε: α) Να αποδείξετε ότι f ( ) = 0. β) Να αποδείξετε ότι f ( ) = 6s ( όπου s η διακύμανση των παρατηρήσεων). γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης f στο σημείο A(, f( )). ΘΕΜΑ 8 Ο Από τους μαθητές ενός Λυκείου το 0% αυτών συμμετέχει στο διαγωνισμό της Ε.Μ.Ε. ενώ το 85% δεν συμμετέχει στο διαγωνισμό της Ε.Ε.Φ. και το 8% συμμετέχει και στους δύο διαγωνισμούς. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων: α) Γ: Ο μαθητής να μη συμμετέχει σε κανένα από τους δύο διαγωνισμούς. β) Δ: Ο μαθητής να συμμετέχει σ ένα μόνο διαγωνισμό. γ) Ε: Ο μαθητής να συμμετέχει μόνο στο διαγωνισμό της Ε.Μ.Ε. δ) Ζ: Ο μαθητής να συμμετέχει το πολύ σ ένα διαγωνισμό.

14 ΘΕΜΑ 9 Ο Το πολύγωνο συχνοτήτων ( ν ) της κατανομής (Χ) του μηνιαίου τζίρου των βιοτεχνιών μιας κωμόπολης, ( σε εκατοντάδες ευρώ ) ομαδοποιημένη σε κλάσεις ίσου πλάτους έχει κορυφές τα σημεία: A(0,0), B(40,5), Γ(60,0), Δ(80,0), Ε(00,0), Ζ(0,ν 5) Η(40,0), Θ (60,0) Η κατακόρυφη γραμμή = 00 χωρίζει το χωρίο που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα σε δύο ισεμβαδικά χωρία. α) Να αποδείξετε ότι ν 5 = 5. β) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων ( ν ) της κατανομής γ) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο της ( Χ ) δ) Αν ως όριο βιωσιμότητας της βιοτεχνίας είναι τα 700 ευρώ, να εκτιμήσετε το ποσοστό ( % ) των βιοτεχνιών που δεν μπορούν να επιβιώσουν. ε) Να χαρακτηρίσετε την κατανομή ως προς τη συμμετρία της. ΘΕΜΑ 0 Ο Έστω Ω το σύνολο των ακεραίων λύσεων της ανίσωσης 9. Δίνεται η συνάρτηση ανήκει στο σύνολο Ω. f ( ) = + a + 6 5, όπου a ακέραιος αριθμός που α) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α : Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R. β) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Β : Η συνάρτηση f έχει δύο τοπικά ακρότατα. γ) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Γ : Η γραφική παράσταση της f έχει στο σημείο Μ(, f ()) εφαπτομένη παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση y= 4. 4

15 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΜΑ 7 ο ) =, δ = ) γ) Α(, ), y =. ) Βλέπε εφαρμογή σελ. 98 Σχολικού βιβλίου. ΘΕΜΑ 8 ο α) 7 P( Γ ) =, β) 00 9 P( Δ ) =, γ) 00 P( Ε ) =, δ) 00 9 P( Ζ ) = 00 ΘΕΜΑ 9 ο ν 4 ν 4 α) Πρέπει ν+ ν + ν + = + ν5 + ν6 βρίσκουμε ν 5 = 5 γ) v 9800 = = = 98. δ=00 (κατασκευάζουμε το πολύγωνο της F ) ν 00 Κλάσεις v v f f % [0, 50) , [50, 70) ,0 0 5 [70, 90) ,0 0 5 [90, 0) , [0,0) 0 v 5 = , [0,50) , F % δ) 7 % ε) Επειδή είναι < δ έχουμε αρνητική ασυμμετρία ΘΕΜΑ 0 ο Ω={-9,-8,-7, 9,0} α) 6 a 6, P( A) = β) α > 6 ή α < -6, 0 γ) α = - 4, P( Γ ) =. 0 PB ( ) = 7 0 5

16 ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει κάθε 0. f ( ) ( ) f =, για α) Να αποδείξετε ότι lm f( ) = β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Μ(, f () ) 7 είναι y=. 5 5 γ) Θεωρούμε 007 σημεία (, y ) της παραπάνω εφαπτομένης, των οποίων οι τετμημένες έχουν μέση τιμή = 400 και τυπική απόκλιση s = 00. ) Να βρείτε τη μέση τιμή ψ και την τυπική απόκλιση s ψ των τεταγμένων των παραπάνω σημείων. ) Να βρείτε ποια από τις δύο παραπάνω κατανομές, ψ παρουσιάζουν μεγαλύτερη διασπορά τιμών. ) Να βρείτε τη μέση τιμή των τετραγώνων των τετμημένων τους. Δίνεται : s ( Σ ) = Σ ν ν. ΘΕΜΑ Ο Δίνονται τα ενδεχόμενα Κ, Λ ενός δειγματικού χώρου Ω με πιθανότητες P(Κ), P(Λ) αντιστοίχως, όπου P(Κ) 0. Α) Δίνεται η συνάρτηση f ( ) = [ P( Λ )] + P( Κ), R. 5 Θεωρούμε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο το f( [ ] 0) = P( Κ ). Να αποδείξετε ότι: α) 0 = P( Κ ) + P( Λ) β) P( Λ ) = P( Κ) 6

17 Β) Έστω επιπλέον οι παρατηρήσεις P( ), P( Κ), P( Λ), P( Κ Λ), P( Ω), P( Κ), P( ), P( Κ), P( Κ Λ), P( Κ Λ) οι οποίες έχουν διάμεσο δ =. Αν ισχύει 4 P[( Κ Λ) ( Λ Κ )] =, α) Nα υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Κ, Λ, Κ Λ, Κ Λ β) Να κάνετε το διάγραμμα συχνοτήτων και το αντίστοιχο πολύγωνο των παραπάνω παρατηρήσεων. ΘΕΜΑ Ο Έστω Ω = { -, -, 0,, } ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης που για τα απλά ενδεχόμενά του ισχύει: P(-) = P(-) = P(0) = P() = P(). Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( ) ln( a ) = +, όπου το α ανήκει στο σύνολο Ω. α) Να βρείτε τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω. β) Να βρείτε την πιθανότητα η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f, να είναι παράλληλη προς τη διχοτόμο της πρώτης και της τρίτης γωνίας. γ) Να αποδείξετε ότι η πιθανότητα η συνάρτηση f να έχει μοναδικό ακρότατο στο R, είναι P = -P(0). Να βρείτε το είδος του ακρότατου. ΘΕΜΑ 4 Ο Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R (, + ), για την οποία ισχύει f ( ) = ln( f( )) + e για κάθε R. α) Να αποδείξετε ότι: ) e f( ) f ( ) =, R. f( ) ) f (004) < f (008). β) Θεωρούμε τη συνάρτηση g ( ) = e f( ). Να αποδείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα στο R. 7

18 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΜΑ ο γ) ) 7 ψ = =... = 58,6, 5 5 s = s = ψ... = 40 5 ) CV = 5%, 40 CV ψ = > 5% 58,6 ) = ΘΕΜΑ ο Β) α) P( Κ ) =, P( Λ ) =, P( Κ Λ ) =, P( Κ Λ ) = ΘΕΜΑ ο α) P(-) = P(-) = /7, P(0) = P() = P() = /7 β) α = -,, άρα P = P(-)+P() = /7 γ) α = -, -,, άρα P = P(0) ΘΕΜΑ 4 ο α) ) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. 8