Κεφάλαιο 9: Προσδιορισμός της ροπής αδράνειας με τη μέθοδο των στροφικών ταλαντώσεων

Κεφάλαιο 9: Προσδιορισμός της ροπής αδράνειας με τη μέθοδο των στροφικών ταλαντώσεων Σύνοψη Πειραματικός προσδιορισμός της ροπής αδράνειας μέσω μέτρησης της περιόδου στροφικών ταλαντώσεων. Προαπαιτούμενη γνώση Κεφάλαια 1 & 3. Βασικές γνώσεις διαφορικού λογισμού. 9.1 Βασικές έννοιες Η κίνηση ενός υλικού σημείου μάζας m, το οποίο διαγράφει κυκλική τροχιά ακτίνας r (βλ. Εικόνα 8.1), μπορεί να περιγραφεί με τη βοήθεια των ακολούθων δύο, ισοδύναμων τρόπων (Χασάπης Δ.Δ., Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής): Εικόνα 9.1 Υλικό σημείο επί κυκλικής τροχιάς. α) Ως μεταφορική κίνηση (επί κυκλικής τροχιάς) μέσω της (γραμμικής ή τροχιακής) ταχύτητας v και του διαστήματος s: Το διάνυσμα της ταχύτητας v είναι πάντα (εξ ορισμού) εφαπτομενικό προς την τροχιά και επομένως κάθετο προς την επιβατική ακτίνα. Στην περίπτωση λοιπόν που η τροχιά είναι κυκλική, η διεύθυνση της ταχύτητας προσδιορίζεται από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της τροχιάς. Για τον λόγο αυτό παραβλέπουμε συνήθως (χάριν απλότητας) τον διανυσματικό χαρακτήρα της ταχύτητας και χρησιμοποιούμε μόνο το μέτρο της v, το οποίο υπολογίζεται παραγωγίζοντας το διάστημα s ως προς τον χρόνο t: v = ds = gt (Εξίσωση 9.1) χρόνο: Η (γραμμική) επιτάχυνση ορίζεται, ως γνωστόν, ως η πρώτη παράγωγος της ταχύτητας ως προς τον a = dv (Εξίσωση 9.2) Η ταχύτητα v (όπως και κάθε διάνυσμα) μπορεί να γραφεί ως γινόμενο του μέτρου της v επί το αντίστοιχο μοναδιαίο διάνυσμα v (= διάνυσμα της ίδιας διεύθυνσης και φοράς με την ταχύτητα v, του οποίου όμως το μέτρο ισούται με τη μονάδα ταχύτητας): v = vv (Εξίσωση 9.3) Αντικαθιστώντας στην (9.2) παίρνουμε: 1

a = d(vv ) = dv dv v + v a ε + a κ (Εξίσωση 9.4) Οι δύο προσθετέοι στη σχέση (9.4) παριστάνουν τις δύο φυσικές συνιστώσες της επιτάχυνσης. Η επιτρόχια επιτάχυνση a ε = dv v (Εξίσωση 9.5) είναι εφαπτομενική προς την τροχιά (αφού έχει τη διεύθυνση της ταχύτητας) και το μέτρο της ισούται με τον ρυθμό μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας. Η κεντρομόλος επιτάχυνση a κ = v dv (Εξίσωση 9.6) είναι κάθετη προς την τροχιά και το μέτρο της είναι ανάλογο προς τον ρυθμό μεταβολής της διεύθυνσης της ταχύτητας. Τα διανύσματα v και dv είναι κάθετα μεταξύ τους, όπως φαίνεται αμέσως παρακάτω: v dv = 1 dv 2 2 v 2=1 1 d(1) = 2 = 0 v dv Στην περίπτωση λοιπόν που η τροχιά είναι κυκλική, η διεύθυνση της επιτρόχιας (και κεντρομόλου) επιτάχυνσης είναι προσδιορισμένη από τη γεωμετρία της τροχιάς, οπότε παραβλέπουμε συνήθως τον διανυσματικό της χαρακτήρα και χρησιμοποιούμε μόνο το μέτρο της, το οποίο [σύμφωνα με την (9.5)] δίδεται από τη σχέση: a ε = dv (Εξίσωση 9.7) Κάθε σώμα, το οποίο κινείται, έχει εξ ορισμού κινητική ενέργεια Ε κ, η οποία δίδεται από τη σχέση: Ε κ = 1 2 mv2 (Εξίσωση 9.8) β) Ως περιστροφική κίνηση γύρω από το κέντρο Κ της κυκλικής τροχιάς, μέσω της γωνιακής ταχύτητας ω και της γωνίας φ, την οποία διαγράφει η επιβατική ακτίνα (= ακτίνα η οποία συνδέει διαρκώς το υλικό σημείο με το κέντρο Κ της τροχιάς) με την πάροδο του χρόνου. Το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας ω είναι κάθετο στο επίπεδο της τροχιάς, έχει ως σημείο εφαρμογής το κέντρο Κ της τροχιάς και η φορά του συνδέεται με τη φορά της κίνησης με τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία. Αυτό σημαίνει, ότι η διεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας προσδιορίζεται πλήρως από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της τροχιάς. Για τον λόγο αυτό παραβλέπουμε συνήθως (χάριν απλότητας) τον διανυσματικό χαρακτήρα της γωνιακής ταχύτητας και χρησιμοποιούμε μόνο το μέτρο της ω, το οποίο υπολογίζεται παραγωγίζοντας τη γωνία φ ως προς τον χρόνο: ω = dφ (Εξίσωση 9.9) (Σημειωτέον ότι η γωνία φ μετράται πάντα σε ακτίνια!) Η γωνιακή επιτάχυνση ορίζεται ως γνωστόν ως η πρώτη παράγωγος της γωνιακής ταχύτητας ως προς τον χρόνο: 2

a Γ = dω (Εξίσωση 9.10) Όπως η γραμμική, έτσι και η γωνιακή επιτάχυνση μπορεί να αναλυθεί στις δύο «φυσικές της» συνιστώσες: a Γ = d(ωω ) = dω dω ω + ω (Εξίσωση 9.11) (Η παραπάνω σχέση ισχύει γενικά, δηλ. για τυχαία καμπύλη τροχιά) Στην περίπτωση κυκλικής τροχιάς είναι δεδομένη η διεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας, δεν μεταβάλλεται δηλαδή με τον χρόνο, οπότε ο δεύτερος προσθετέος στην (9.11) είναι μηδέν. Έτσι έχουμε: a Γ = dω ω (Εξίσωση 9.12) (Η παραπάνω σχέση ισχύει για κυκλική τροχιά) Η σταθερότητα εξάλλου της διεύθυνσης της γωνιακής ταχύτητας ισχύει προφανώς και για τη γωνιακή επιτάχυνση, οπότε παραβλέπουμε συνήθως (χάριν απλότητας) τον διανυσματικό της χαρακτήρα και χρησιμοποιούμε το μέτρο της a Γ : a Γ = dω (Εξίσωση 9.13) 9.1.1. Σχέση μεταξύ γραμμικής και γωνιακής ταχύτητας και επιτάχυνσης Μεταξύ της (στοιχειώδους) γωνίας dφ και του (στοιχειώδους) διαστήματος ds (βλ. Εικόνα 8.1) ισχύει η γνωστή από τη Γεωμετρία σχέση: dφ = ds r (Εξίσωση 9.14) Επομένως μεταξύ των μέτρων της γραμμικής και γωνιακής ταχύτητας θα ισχύει η σχέση: v = ds (9.14) rdφ (9.9) = v = ωr (Εξίσωση 9.15) όπου r η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς. Η ίδια σχέση ισχύει και μεταξύ των μέτρων της γραμμικής και γωνιακής επιτάχυνσης: a ε = dv (9.15) r=σταθ. d(ωr) = = r dω (9.13) a ε = ra Γ (Εξίσωση 9.16) 9.2 Σύγκριση μεταφορικής και περιστροφικής κίνησης Αντικαθιστώντας την (9.15) στην (9.8) βρίσκουμε την έκφραση της κινητικής ενέργειας στην περίπτωση που η κυκλική κίνηση μελετάται ως περιστροφική: Ε κ = 1 2 mv2 = (9.15) 1 2 m(ωr)2 Ε κ = 1 2 mr2 ω 2 {1} Προκειμένου η έκφραση αυτή να έχει την ίδια μορφή με τη σχέση (9.8) ορίζουμε τη ροπή αδρανείας Θ του υλικού σημείου, το οποίο διαγράφει κυκλική τροχιά ακτίνας r, ως προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς: 3

Θ = mr 2 (Εξίσωση 9.17) Με τον ορισμό της ροπής αδράνειας η σχέση {1} παίρνει τη μορφή: Ε κ = 1 2 Θω2 (Εξίσωση 9.18) Σημειώνουμε ότι δεν πρόκειται για κάποια νέα μορφή ενέργειας, αλλά απλώς για την αναδιατύπωση της έκφρασης (9.8) στα πλαίσια περιγραφής της μεταφορικής κίνησης ως στροφικής. Η κυκλική κίνηση ακόμη και όταν είναι ομαλή ( μέτρο της ταχύτητας = σταθερό) είναι μεταβαλλόμενη, επειδή μεταβάλλεται η διεύθυνση της ταχύτητας. Αυτό σημαίνει, ότι επί του κινητού επιδρά διαρκώς μια δύναμη F, η οποία θα πρέπει να εκπληρώνει τη Θεμελιώδη Εξίσωση της Μηχανικής: F = mα (Εξίσωση 9.19) Αντικαθιστώντας την (9.4) στην (9.19) παίρνουμε F = m(α ε + α κ ) = mα ε + mα κ F ε + F κ {2} όπου F ε = mα ε (Εξίσωση 9.20): επιτρόχια συνιστώσα της δύναμης F κ = mα κ (Εξίσωση 9.21): κεντρομόλος συνιστώσα της δύναμης Από τη σχέση (9.20) φαίνεται, ότι η επιτρόχια επιτάχυνση καθορίζεται από την επιτρόχια συνιστώσα F ε της δύναμης F. Αν η τροχιά είναι κυκλική η δράση της επιτρόχιας συνιστώσας της δύναμης ισοδυναμεί με τη δράση ροπής Μ ως προς το κέντρο Κ της τροχιάς. Το μέτρο Μ της ροπής αυτής είναι: (9.20) (9.16) Μ = rf ε = rma ε = r 2 ma Γ Μ = Θa Γ (Εξίσωση 9.22) Εύκολα δε διαπιστώνουμε, ότι η ισότητα αυτή ισχύει και διανυσματικά: Μ = Θa Γ (Εξίσωση 9.23) Σημειωτέον ότι η ροπή Μ είναι και η ολική ροπή ως προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς (Η διεύθυνση της κεντρομόλου συνιστώσας F κ διέρχεται από το κέντρο Κ της κυκλικής τροχιάς, οπότε η ροπή της ως προς αυτό ισούται με μηδέν). Έτσι η σχέση (9.23) αποτελεί ουσιαστικά την αντίστοιχη προς τη Θεμελιώδη Εξίσωση της Μηχανικής έκφραση στην περίπτωση που η μεταφορική κίνηση μελετάται ως στροφική. Συγκρίνοντας τις σχέσεις, τις οποίες αναπτύξαμε στις προηγούμενες παραγράφους και τις οποίες συνοψίσαμε στην Εικόνα 9.2, προκύπτει μια σαφής ομοιότητα μεταξύ των εξισώσεων της μεταφορικής και στροφικής κίνησης. Πιο συγκεκριμένα, διαπιστώνουμε ότι οι σχέσεις - νόμοι της περιστροφικής κίνησης προκύπτουν από εκείνους της μεταφορικής, αν κάνουμε την εξής αντικατάσταση: διάστημα γωνία ταχύτητα γωνιακή ταχύτητα επιτάχυνση γωνιακή επιτάχυνση δύναμη ροπή μάζα ροπή αδρανείας 4

Εικόνα 9.2 Σύγκριση των σχέσεων της μεταφορικής και στροφικής κίνησης. Παρατήρηση: Στην περίπτωση που αντί να έχουμε ένα μεμονωμένο υλικό σημείο έχουμε ένα (απόλυτα) στερεό σώμα, το οποίο εκτελεί (καθαρή) μεταφορική κίνηση, τότε το m παριστάνει την ολική μάζα του σώματος και το F τη συνισταμένη όλων των δυνάμεων, οι οποίες δρουν επί του σώματος. Αυτό προκύπτει ως εξής: Ένα απόλυτα στερεό σώμα παριστάνει ένα πολύ μεγάλο πλήθος υλικών σημείων, μάζας m i, ευρισκομένων σε σταθερή απόσταση το ένα από το άλλο. Κατά την καθαρή μεταφορική κίνηση όλα τα υλικά σημεία κινούνται εξ ορισμού με την ίδια ταχύτητα και έχουν σε κάθε χρονική στιγμή την ίδια επιτάχυνση: v i = v, a i = a {1} Για κάθε ένα απ αυτά ισχύει η Θεμελιώδης εξίσωση: F i = m i α i F i = m i α i i i,a i =a F i = ( m i ) a F = ma όπου F η συνισταμένη όλων των δυνάμεων, οι οποίες δρουν επί του σώματος, και m η ολική του μάζα. Με παρόμοιο τρόπο προκύπτει, ότι στην περίπτωση καθαρής περιστροφής γύρω από κάποιον συγκεκριμένο άξονα (οπότε εκ των πραγμάτων η γωνιακή ταχύτητα και επιτάχυνση είναι για όλα τα υλικά σημεία του σώματος η ίδια, ω i = ω, a Γi = a Γ ), το Θ παριστάνει την ολική ροπή αδρανείας του σώματος ως προς τον συγκεκριμένο άξονα και το Μ την ολική ροπή όλων των δυνάμεων, οι οποίες δρουν επί του σώματος και σε σχέση προς τον συγκεκριμένο άξονα. 9.3 Στροφική αρμονική ταλάντωση Αν εκτρέψουμε την οριζόντια ράβδο της Εικόνας 9.3 κατά γωνία φ, τότε το σπειροειδές ελατήριο ασκεί επ αυτού μια ροπή Μ, η οποία τείνει να επαναφέρει τον άξονα στη θέση ισορροπίας («ροπή επαναφοράς»), και η οποία έχει μέτρο ανάλογο («κανόνας του Hooke») προς τη γωνία περιστροφής φ (βλέπε π.χ. Serway R., Physics for Scientists & Engineers, Τόμος I, Young H.D., Πανεπιστημιακή Φυσική, Τόμος Α): Μ = Dφ (Εξίσωση 9.24) i i όπου D = κατευθύνουσα ροπή, μια σταθερή χαρακτηριστική του σπειροειδούς ελατηρίου 5

Εικόνα 9.3 Συσκευή στρέψης: διαθέτει άξονα με σπειροειδές ελατήριο. Αν αφήσουμε τον άξονα ελεύθερο, τότε αυτός - κάτω από την επίδραση της παραπάνω ροπής - εκτελεί ταλάντωση, η οποία χαρακτηρίζεται ως στροφική. Αξιοποιώντας την ομοιότητα της σχέσης (9.24) προς τη σχέση (3.6) της εργαστηριακής άσκησης 2, καθώς και την προαναφερθείσα αναλογία (βλ. ενότητα 9.3) μεταξύ μεταφορικής και περιστροφικής κίνησης, καταλαβαίνουμε, ότι (βλ. ενότητα 3.2 έως 3.4): Λόγω της αναλογίας της ροπής Μ προς τη γωνία φ (= γωνιακή απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας) πρόκειται για απλή αρμονική ταλάντωση ( γωνία φ = (συν-)ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου: φ = Φ 0 sin(ωt + φ 0 ), όπου Φ 0 = μέγιστη γωνιακή απομάκρυνση και φ 0 = αρχική γωνιακή απομάκρυνση κατά τη χρονική στιγμή t = 0) με περίοδο (Becker, Jodl, Physikalisches Praktikum für Naturwissenschaftler und Ingenieure) Τ = 2π Θ D (Εξίσωση 9.25) όπου Θ η ροπή αδράνειας της ράβδου (συμπεριλαμβανομένων των δύο μαζών) Αν λοιπόν είναι γνωστή η σταθερή D, μπορούμε μετρώντας την περίοδο της στροφικής ταλάντωσης να υπολογίσουμε τη ροπή αδρανείας Θ: Θ = ( Τ 2π )2 D (Εξίσωση 9.26) Τη δυνατότητα αυτή, (γνωστή ως «μέθοδος των στροφικών ταλαντώσεων») θα αξιοποιήσουμε κατά την παρούσα εργαστηριακή άσκηση για τον προσδιορισμό της ροπής αδράνειας. Όσον αφορά τη σταθερή D, αυτή προσδιορίζεται πειραματικά με τον τρόπο, ο οποίος περιγράφεται στην επόμενη ενότητα. 9.3.1 Υπολογισμός σφαλμάτων Ο προσδιορισμός της κατευθύνουσας ροπής D και της ροπής αδράνειας Θ γίνεται με τη βοήθεια των άμεσα μετρηθέντων μεγεθών F, r, φ και Τ. Επομένως ο υπολογισμός των σφαλμάτων γίνεται σύμφωνα με τον νόμο μεταφοράς σφαλμάτων του Gauss (βλ. ενότητα 1.4). Επειδή όμως έχουμε λίγες μετρήσεις, θα περιοριστούμε στον υπολογισμό του μεγίστου σφάλματος. Μάλιστα θα χρησιμοποιήσουμε απ ευθείας την εξειδικευμένη του μορφή για το μέγιστο σχετικό σφάλμα γινομένου [εξίσωση (1.10) της ενότητας 1.4.1]: F = x ±a y ±b z ±c ΔF F Δx Δy Δz = ± ( a + b + c ± ) (Εξίσωση 9.27) x y (Στην παραπάνω σχέση το F συμβολίζει μια συνάρτηση των άμεσα μετρηθέντων μεγεθών x, y, z ) z 6

Υπολογισμός του μέγιστου σχετικού επί τοις εκατό σφάλματος της κατευθύνουσας ροπής: D = M φ = Fr φ D = Frφ 1 ΔD (9.27) D = ± ( ΔF F + Δr r + Δφ φ ) ΔD D 100% = ± ( ΔF + F Δr + Δφ ) 100% (Εξίσωση 9.28) r φ Υπολογισμός του μέγιστου σχετικού επί τοις εκατό σφάλματος της ροπής αδράνειας: Θ = ( Τ 2π )2 D ΔΘ Θ 9.4 Πειραματική διαδικασία (9.27) = ± ( 2 ΔΤ + Τ ΔD ) ΔΘ D Θ ΔΤ 100% = ± ( 2 + Τ ΔD ) 100% (Εξίσωση 9.29) D Animation 9.1 Διαδραστική περιγραφή της πειραματικής διαδικασίας. (Είναι διαθέσιμη από τον Ελληνικό Συσσωρευτή Ακαδημαϊκών Ηλεκτρονικών Βιβλίων.) Η πειραματική διαδικασία στοχεύει: Στη μέτρηση (μέσω δυναμομέτρου) της δύναμης, η οποία απαιτείται προκειμένου να στρέψουμε την οριζόντια ράβδο 2 της Εικόνας 9.4 κατά 180 κόντρα στη ροπή, την οποία ασκεί το σπειροειδές ελατήριο. Στη μέτρηση (μέσω ψηφιακού χρονομέτρου) της περιόδου ταλάντωσης της οριζόντιας ράβδου συναρτήσει της θέσεως των μαζών 3 της Εικόνας 9.4. Εικόνα 9.4 Η οριζόντια ράβδος 2 φέρει εγκοπές, οι οποίες απέχουν μεταξύ τους κατά 0,05 m (5 cm). Οι μάζες 3 μπορούν να ολισθαίνουν κατά μήκος της οριζόντιας ράβδου. Προς τον σκοπό αυτό είναι εφοδιασμένες με εσωτερικό μηχανισμό, ο οποίος οπλίζει, όταν βρεθεί σε κάποια από τις εγκοπές. Απαιτούμενα όργανα: 1. Συσκευή στρέψης (Εικόνα 9.4) 1. Ψηφιακό χρονόμετρο (Εικόνα 9.5) 7

Εικόνα 9.5 Ψηφιακό χρονόμετρο. Το ξεκινάμε και σταματάμε πιέζοντας το Α. Το μηδενίζουμε πιέζοντας το Β. 2. Κατακόρυφη ράβδος οριοθέτησης με βάση ( Εικόνα 9.6). Χρησιμεύει στην οριοθέτηση της θέσης ισορροπίας της άξονα στρέψης. Εικόνα 9.6 Ράβδος οριοθέτησης. 3. Δυναμόμετρο ακριβείας (Εικόνα 9.7). Φέρει υποδιαιρέσεις ανά 10 mn. Ακρίβεια (σχετικό επί τοις % σφάλμα): 0,5% της ενδεικνυόμενης τιμής. Εικόνα 9.7 Δυναμόμετρο ακριβείας. Ο δρομέας επιτρέπει την προσαρμογή της μηδενικής ένδειξης. 9.4.1. Μέτρηση της κατευθύνουσας ροπής D του σπειροειδούς ελατηρίου 1. Κρατώντας με το ένα χέρι την οριζόντια ράβδο 2 (Εικόνα 9.4) σταθερή, αφαιρούμε τις δύο μάζες 3, σύροντάς τις προς τα έξω, και τις τοποθετούμε επί της εργαστηριακής τράπεζας. 8

2. Αν χρειαστεί, περιμένουμε να ηρεμήσει η οριζόντια ράβδος και στη συνέχεια τοποθετούμε την κατακόρυφη ράβδο οριοθέτησης (Εικόνα 9.6) δίπλα (χωρίς όμως να ακουμπά) στο ένα από τα δύο άκρα της οριζόντιας ράβδου. (Η κατακόρυφη ράβδος οριοθέτησης θα πρέπει να «τέμνει» τη διεύθυνση της οριζόντιας ράβδου, σημαδεύοντας έτσι τη θέση ισορροπίας του άξονα στρέψης.) 3. Κρατώντας το δυναμόμετρο σε οριζόντια θέση, μετακινούμε πολύ προσεχτικά τον δρομέα του (Εικόνα 9.7), ώστε το άκρο του 0 να μας δείχνει το μηδέν της κλίμακας του δυναμομέτρου, δηλ. μόλις να φαίνεται η πρώτη γραμμή. 4. Στρέφουμε την οριζόντια ράβδο κατά 180 (δηλαδή τόσο ώστε να αλλάξει το άκρο της, το οποίο βρίσκεται δίπλα στην κατακόρυφη ράβδο οριοθέτησης) και την κρατάμε σ αυτήν τη θέση. 5. Κρατώντας το δυναμόμετρο από τον σταθερό, μεγάλο κρίκο, περνάμε τον κρίκο που συνδέεται με την κλίμακα στην 3η εγκοπή της οριζόντιας ράβδου, όπως φαίνεται στην Εικόνα 9.8. Στη συνέχεια, αφήνουμε σιγά σιγά τον άξονα στρέψης ελεύθερο και σύροντας προσεκτικά με το δυναμόμετρο τον επαναφέρουμε στη θέση που είχε αρχικά στο βήμα 4, φροντίζοντας το δυναμόμετρο να είναι κατά το δυνατόν κάθετο προς την οριζόντια ράβδο. Διαβάζουμε και καταχωρούμε την ένδειξή του F στον Πίνακα 1. Πρόκειται για τη δύναμη η ροπή Μ της οποίας (βλ. 3η στήλη του Πίνακα 1) μας επιτρέπει να υπολογίσουμε την κατευθύνουσα ροπή D του ελατηρίου (βλ. 4η στήλη του Πίνακα 1). Εικόνα 9.8 Για τον προσδιορισμό της κατευθύνουσας ροπής του ελατηρίου. 6. Κρατώντας την οριζόντια ράβδο σταθερή, μετακινούμε το δυναμόμετρο στην 4η και ύστερα 5η εγκοπή (από τον άξονα) και επαναλαμβάνουμε το βήμα 5. 9.4.2. Προσδιορισμός της ροπής αδρανείας με τη μέθοδο των στροφικών ταλαντώσεων 7. Στρέφουμε την οριζόντια ράβδο κατά 180 και την αφήνουμε ξεκινώντας ταυτόχρονα το χρονόμετρο, το οποίο σταματάμε, όταν η ράβδος διαγράψει μια πλήρη ταλάντωση. 8. Σημειώνουμε την περίοδο Τ στον Πίνακα 2. 9. Επαναλαμβάνουμε τα βήματα 1 και 2 άλλες τέσσερις φορές. 10. Κρατώντας την οριζόντια ράβδο σταθερή, τοποθετούμε τις δύο μάζες 3 (Εικόνα 9.4) πιέζοντάς τις προσεκτικά αλλά σταθερά, μέχρι να «οπλίσουν» στην 3η εγκοπή. 11. Επαναλαμβάνουμε τα βήματα 1 ως 3. 12. Μετακινούμε τις μάζες διαδοχικά στην 4η και ύστερα 5η εγκοπή και επαναλαμβάνουμε τα βήματα 1 ως 3. 9.5 Επεξεργασία των μετρήσεων Η επεξεργασία των μετρήσεων στοχεύει: 9

1. Στον υπολογισμό της κατευθύνουσας ροπής D = M/φ = F r/φ του σπειροειδούς ελατηρίου με τη βοήθεια της μετρηθείσας δύναμης F, απόστασης r και γωνίας εκτροπής φ. 2. Στον υπολογισμό της ροπής αδράνειας Θ = (Τ/(2π)) 2 D της οριζόντιας ράβδου τόσο με όσο και χωρίς τις μάζες με τη βοήθεια της παραπάνω προσδιορισθείσας κατευθύνουσας ροπής D και της μετρηθείσας περιόδου Τ. 3. Στην κατασκευή της γραφικής παράστασης Θ = (r 2 ) της ροπής αδράνειας Θ συναρτήσει του τετραγώνου της απόστασης r των μαζών από τον άξονα στρέψης προκειμένου να επαληθευθεί η σχέση Θ~r 2. 4. Στον γραφικό προσδιορισμό της ροπής αδράνειας Θ ράβδος της ράβδου χωρίς τις μάζες ως σημείο τομή της ευθείας Θ = (r 2 ) με τον άξονα Θ και η σύγκρισή της με την στο βήμα 2 υπολογισθείσα τιμή. 9.5.1. Υπολογισμός της κατευθύνουσας ροπής του σπειροειδούς ελατηρίου 5. Πολλαπλασιάζοντας τη δύναμη F επί την απόσταση r (του φορέα της από τον άξονα) υπολογίζουμε τη ροπή της Μ ως προς αυτόν. 6. Στη συνέχεια, διαιρώντας τη ροπή Μ δια τη γωνία εκτροπής φ (σε ακτίνια!) υπολογίζουμε [βλ. (9.25)] την κατευθύνουσα ροπή D του σπειροειδούς ελατηρίου. 7. Συμπληρώνουμε τον Πίνακα 1 παίρνοντας υπόψη όλα όσα αναφέρονται στο κεφάλαιο 1 σχετικά με τον τρόπο γραφής των σφαλμάτων και των αποτελεσμάτων (αριθμός μη μηδενικών ψηφίων κ.λπ., κεφ. 1.3.2). Εικόνα 9.9 Ενδεικτικός Πίνακας 1. 9.5.2. Υπολογισμός της ροπής αδρανείας και διερεύνηση της εξάρτησης της ροπής αδράνειας ενός υλικού σημείου, το οποίο περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, από την απόσταση r από τον άξονα περιστροφής Προκειμένου να ελέγξουμε την εξάρτηση της ροπής αδράνειας από την απόσταση r, σκεφτόμαστε ότι: 10

Θ (ράβδος+μάζες) = Θ ράβδος + Θ μάζες {1} Η Θ ράβδος είναι ανεξάρτητη της απόστασης. Η Θ μάζες περιμένουμε (σύμφωνα με την (9.17)) να είναι ανάλογη προς το r 2 (Οι μάζες θεωρούνται σαν υλικά σημεία). Προκειμένου να ελέγξουμε την εν λόγω εξάρτηση και αφού υπολογίσουμε τις ροπές αδράνειας Θ i σύμφωνα με τον Πίνακα 2 8. σε χιλιοστομετρικό χαρτί κάνουμε τη γραφική παράσταση Θ = (r 2 ) των τιμών Θ i πάνω από τις τιμές r i 2, σύμφωνα με την ενότητα 1.3, χαράσσοντας όμως την ευθεία «διαισθητικά) και όχι με τη μέθοδο των ελαχίστων τετράγωνων, επειδή έχουμε λίγα σημεία). Στο διάγραμμα αυτό η ροπή αδράνειας της ράβδου χωρίς τις μάζες προκύπτει για απόσταση r 2 = 0, δηλαδή ως σημείο τομής με τον άξονα Θ. Τέλος συμπληρώνουμε τον Πίνακα 2, σχολιάζουμε τα αποτελέσματά μας και τα παρουσιάζουμε με μορφή εργασίας, η οποία θα έχει τα κύρια χαρακτηριστικά, τα οποία περιγράφονται στην Εισαγωγή. Εικόνα 9.10 Ενδεικτικός Πίνακας 2. 11

Βιβλιογραφία/Αναφορές Becker, Jodl, Physikalisches Praktikum für Naturwissenschaftler und Ingenieure, VDI Verlag, Düsseldorf 1991 Serway R., Physics for Scientists & Engineers, Τόμοι I ως IV, 3η Έκδοση, Εκδόσεις Λ.Κ. Ρεσβάνης, 1990 Young H.D., Πανεπιστημιακή Φυσική, Τόμος Α και Β, Εκδόσεις Παπαζήση,1995 Χασάπης Δ.Δ., Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής, Αθήνα, Β. Γκιούρδας Εκδοτική, 2004 Κριτήρια αξιολόγησης Ερώτηση 1 Ποιες είναι, πώς ορίζονται και ποιο προσανατολισμό έχουν οι δύο φυσικές συνιστώσες της επιτάχυνσης; Απάντηση/Λύση Επιτρόχια επιτάχυνση: a ε = dv v. Είναι εφαπτομενική στην τροχιά. Κεντρομόλος επιτάχυνση: a κ = v dv Είναι κάθετη προς την τροχιά. Ερώτηση 2 Ποια μεγέθη της περιστροφικής κίνησης αντιστοιχούν στα ακόλουθα μεγέθη της μεταφορικής κίνησης διάστημα, ταχύτητα, επιτάχυνση, δύναμη, μάζα; Απάντηση/Λύση Γωνία, γωνιακή ταχύτητα, γωνιακή επιτάχυνση, ροπή, ροπή αδράνειας. Ερώτηση 3 Ποιες είναι οι σχέσεις υπολογισμού όλων των μεγεθών της προηγούμενης ερώτησης; Απάντηση/Λύση Γωνιακή ταχύτητα: ω = dφ, γωνιακή επιτάχυνση: a Γ = dω, ροπή: Μ = Θa Γ, ροπή αδράνειας υλικού σημείου: Θ = mr 2. Ερώτηση 4 Από τι εξαρτάται η ροπή αδράνειας ενός υλικού σημείου; Απάντηση/Λύση Από τη μάζα του και την απόσταση από τον άξονα περιστροφής. Ερώτηση 5 Περιγράψτε όσο πιο απλά και περιληπτικά γίνεται τη δυνατότητα προσδιορισμού της ροπής αδράνειας ενός σώματος με τη μέθοδο των στροφικών ταλαντώσεων. Απάντηση/Λύση Θέτουμε το σώμα σε στροφική ταλάντωση με τη βοήθεια σπειροειδούς ελατηρίου. Μετράμε την περίοδο Τ της ταλάντωσης με τη βοήθεια χρονομέτρου. Προσδιορίζουμε τη ροπή Μ = r F (μετρώντας την απόσταση r και τη δύναμη F) που απαιτείται για την εκτροπή του σπειροειδούς ελατηρίου κατά γωνία φ από τη θέση ισορροπίας. Υπολογίζουμε τη σταθερή D=M/φ του ελατηρίου και τέλος τη ροπή αδράνειας Θ = ( Τ 2π )2 D. 12