ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΜΣ «ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ» Παραδείγματα Variation Μεταπτυχιακός Φοιτητής: Σκαρπέντζος Γεώργιος Καθηγήτρια: Κολέζα Ευγενία
1. Επίλυση συστήματος Για παράδειγμα, ας εξετάσουμε τους μαθητές που έχουν την ευκαιρία να βιώσουν μια variation του αριθμού των λύσεων προκύπτουν από την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους, όπως τα ακόλουθα (με μία, απείρως και όχι λύσεις). Είναι ευκολότερο να κατανοήσουν ότι ο αριθμός των λύσεων είναι δεδομένος. Οι μαθητές που έχουν λύσει μόνο γραμμικά συστήματα εξισώσεων με μοναδική λύση δεν έχουν την ευκαιρία να μάθουν ότι τέτοια συστήματα μπορεί να έχουν και κάτι διαφορετικό από την μοναδική λύση. Χωρίς μια variation στον «αριθμό των λύσεων» είναι πολύ δύσκολο οι μαθητές να κατανοήσουν αυτό το στοιχείο. Στα παραπάνω συστήματα η ονομασία των μεταβλητών έμεινε σκόπιμα αναλλοίωτη (x και y). Δεν υπάρχει καμία variation όσον αφορά την ονομασία των μεταβλητών. Hong Kong Δόθηκε το πρόβλημα: Ένας αγρότης έχει κουνέλια και κοτόπουλα. Δεν ξέρει τον ακριβή αριθμό των κουνελιών και κοτόπουλων, αλλά ξέρει ότι συνολικά υπάρχουν δέκα κεφάλια, και είκοσι έξι πόδια. Λύθηκε με δοκιμές με χρήση εξίσωσης με έναν άγνωστο με σύστημα Shanghai Δόθηκαν οι ερωτήσεις 1. Τι είναι το σύστημα εξισώσεων 2. Πότε ένα σύστημα εξισώσεων είναι ένα γραμμικό σύστημα εξισώσεων με δύο αγνώστους 3. Βρείτε εάν καθένα από τα συστήματα είναι γραμμικό σύστημα εξισώσεων με δύο αγνώστους Αμετάβλητο Το πρόβλημα Αμετάβλητο Τα σημαντικότερα σημεία από τα δύο πρώτα ερωτήματα (δύο εξισώσεις, δύο άγνωστοι) - παραμένουν αμετάβλητα Μεταβαλλόμενο Η μέθοδος αναπαράστασης Η μέθοδος επίλυσης Μεταβαλλόμενο Με μια πολύ συνειδητή επιλογή των απαντήσεων στην ερώτηση 3 ο δάσκαλος δημιουργεί ένα συγκεκριμένο μοτίβο μεταβολής με σκοπό την βαθιά κατανόηση των βασικών σημείων της variations στη διδασκαλία Σελίδα 2
θεωρίας Οι μαθητές διαβάζουν το βιβλίο και συζητούν τις ερωτήσεις σε ζευγάρια Sweden Ο δάσκαλος αρχίζει το μάθημα με ένα πρόβλημα που ήδη έχει λυθεί με μία εξίσωση με έναν άγνωστο. Μετά από αυτό, ο δάσκαλος και οι μαθητές διαμορφώνουν μαζί ένα νέο πρόβλημα. Ένας μαθητής καλείται να "σκεφτεί έναν αριθμό" (x) και ο δάσκαλος "σκέφτεται άλλο αριθμό" (y). Ο δάσκαλος γράφει την εξίσωση,, στον πίνακα. Οι μαθητές παρατηρούν ότι δεν υπάρχουν αρκετές πληροφορίες για να βρεθούν οι αριθμοί και ότι υπάρχουν πολλές πιθανές λύσεις για την εξίσωση αυτή. Στη συνέχεια ο δάσκαλος προσθέτει άλλη μια εξίσωση στον πίνακα και λύνει το σύστημα με αντικατάσταση. Αμετάβλητο Οι άγνωστοι Μεταβαλλόμενο Ο αριθμός των εξισώσεων variations στη διδασκαλία Σελίδα 3
2. Πυθαγόρειο Θεώρημα Shanghai Ερώτηση SH1 (1)Στο ορθογώνιο τρίγωνο που βρίσκεται αριστερά ισχύει. βρες την πλευρά c. (2) Στο ορθογώνιο τρίγωνο που βρίσκεται δεξιά ισχύει, βρες την πλευρά c. (3) Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, εάν οι δύο πλευρές έχουν μήκη 3 και 4 αντίστοιχα, βρείτε το μήκος της τρίτης. Ερώτηση SH2 Βρείτε τις τιμές του αγνώστου στα ακόλουθα σχήματα Ερώτηση SH3 Βρείτε τις τιμές του αγνώστου στα ακόλουθα σχήματα variations στη διδασκαλία Σελίδα 4
Ερώτηση SH4 Δίνεται ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο, στο οποίο οι κάθετες πλευρές είναι ίσες με 1. Σχεδιάστε ένα δεύτερο ισοσκελές τρίγωνο που να έχει για κάθετη πλευρά του, την υποτείνουσα του πρώτου τριγώνου. Στην συνέχεια σχεδιάστε ένα τρίτο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο που να έχει για κάθετη πλευρά του, την υποτείνουσα του δεύτερου τριγώνου, κ.ο.κ. Ερωτήσεις: 1) Υπάρχει ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο του οποίου η υποτείνουσα και η κάθετη πλευρά του πρώτου ισοσκελούς τριγώνου να είναι στην ίδια ευθεία; Γιατί; 2) Τι σχέση υπάρχει μεταξύ των δύο πλευρών, όταν βρίσκονται στην ίδια ευθεία σε αντίθετες κατευθύνσεις; Γιατί; 3) Εάν το σχήμα περιστραφεί μία φορά, τα προηγούμενα αποτελέσματα θα συνεχίσουν να ισχύουν; Γιατί; Μετά από δύο περιστροφές, τρεις περιστροφές, ν περιστροφές; Hong Kong Ερώτηση HK1 Βρείτε το μήκος της πλευράς AC στο σχήμα 1(α) Ερώτηση HK1 Βρείτε το μήκος της πλευράς MP στο σχήμα 1(b) Ερώτηση HK1 Βρείτε το μήκος της πλευράς BC στο σχήμα 1(c) Ερώτηση HK1 Βρείτε το μήκος της πλευράς LM στο σχήμα 1(d) variations στη διδασκαλία Σελίδα 5
Τα παραπάνω έδειξαν ότι η σύνδεση (τόσο ρητή ή σιωπηρή) μεταξύ των προβλημάτων στη Σαγκάη φαίνεται να είναι ισχυρότερη από ότι των προβλημάτων στο Χονγκ Κονγκ. Για παράδειγμα, στην άσκηση SH1, τα μήκη δύο πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου είναι 3 και 4, αλλά διαφέρουν όσον αφορά τα είδη των πλευρών που δίνονται. Όσον αφορά ένα άλλο παράδειγμα η άσκηση SH3 ήταν προετοιμασία για την επίλυση της άσκηση SH4. Όσον αφορά τις τρόποι μεταβολής στα προβλήματα. Στο μάθημα στο Χονγκ Κονγκ, η μορφή της ποικιλίας επικεντρώνεται στην παρουσίαση και σε συγκεκριμένα θέματα όπως ο αριθμός και η θέση(άσκηση HK2 και HK3), η μεταβολή δηλαδή είναι ρητή, ενώ στη Σαγκάη τα προβλήματα δεν δείχνουν μόνο σαφείς διαφοροποίησεις, αλλά και μη- προφανή χαρακτηριστικά, όπως η απόκρυψη ορισμένων προϋποθέσεων των προβλημάτων (Άσκηση SH1τμήματα (2) και (3)), η οποία καλείται ως σιωπηρή μεταβολή. Έτσι, στο Χονγκ Κονγκ δάσκαλος προτίμησε να παρουσιάσει ασκήσεις με σαφείς μεταβολές, ενώ ο δάσκαλος της Σαγκάη ασκεί τόσο με ρητή, όσο και σιωπηρή μεταβολή. Explicit Variation Level 1 Ένα τουλάχιστον ζεύγος συντελεστών έχει την ίδια ή την αντίθετη τιμή, ώστε με πρόσθεση ή αφαίρεση κατά μέλη να γίνει απαλοιφή. Explicit Variation Level 2 Οι συντελεστές είναι διαφορετικοί και χρειάζεται πολλαπλασιασμός ή διαίρεση ώστε να εφαρμόσουμε την μέθοδο του πρώτου παραδείγματος. Explicit variation Level 3 Διαφορετικές αναπαραστάσεις των συντελεστών (κλάσματα, δεκαδικοί, ποσοστά κλπ) χρειάζεται μετατροπής σε σύστημα όπως του επιπέδου 2 variations στη διδασκαλία Σελίδα 6
Implicit variation Level 1 χρειάζονται πράξεις ώστε το σύστημα να μετατραπεί στην μορφή όπως στα προηγούμενα παραδείγματα Implicit variation Level 2 χρειάζεται εισαγωγή νέων αγνώστων (να θέσουμε) Korea 1. Δόθηκαν διάφορες δραστηριότητες για τις εξισώσεις: Εξίσωση Πεδίο ορισμού Φυσικοί Φυσικοί Φυσικοί πραγματικοί 2. α) Βρείτε τον λόγο ομοιότητας και τον λόγο των εμβαδών των σχημάτων. variations στη διδασκαλία Σελίδα 7
β) Βρείτε τον λόγο των εμβαδών δύο ορθογωνίων, όταν ο λόγος των πλευρών είναι 1:3 γ) Βρείτε τον λόγο των εμβαδών τριγώνων, όταν ο λόγος των πλευρών είναι 2:3 δ) Συμπλήρωσε τα κενά Ο λόγος των εμβαδών μεταξύ όμοιων σχημάτων είναι το. του λόγου των πλευρών Ο λόγος των εμβαδών μεταξύ όμοιων σχημάτων είναι. όταν ο λόγος των πλευρών είναι μ:ν ε) Υπολόγισε το εμβαδόν ενός μεγάλου πενταγώνου όταν ο λόγος ομοιότητας των σχημάτων είναι 2:3 και το εμβαδόν του μικρού πενταγώνου είναι 40. γεωμετρικό σχήμα λόγος αναλογίας ζητούμενο ορθογώνιο 1:2 λόγο εμβαδών τρίγωνο 1:2 λόγο εμβαδών ορθογώνιο 1:3 λόγο εμβαδών τρίγωνο 2:3 λόγο εμβαδών τυχαίο πολύγωνο μ:ν λόγο εμβαδών πεντάγωνο 2:3 εμβαδόν πενταγώνου variations στη διδασκαλία Σελίδα 8