1 1.1 Εισαγωγή 1.1.1 Αστροδυναµική Η Αστροδυναµική ή Τροχιακή υναµική (Astrodynamics/Orbital Dynamics) είναι η µελέτη της τροχιάς ενός δορυφόρου, δηλαδή της διαδροµής που ακολουθεί στο διάστηµα. Για το σκοπό αυτό εφαρµόζει τις επιστήµες της βαλλιστικής και της ουράνιας µηχανικής στα πρακτικά προβλήµατα που αφορούν την κίνηση των πυραύλων, δορυφόρων και άλλων διαστηµοπλοίων. Η κίνηση αυτών των σωµάτων υπολογίζεται συνήθως από τους Νόµους της Κίνησης και από τον Νόµο της Παγκόσµιας Έλξης του Νεύτωνα. Ωστόσο σε περιοχές χαµηλής τροχιάς (Low Earth Orbits, LEO) εντός της θερµόσφαιρας της Γης, οι οποίες αποτελούν το αντικείµενο έρευνας της παρούσας εργασίας, ιδιαίτερα σηµαντικό ρόλο παίζει η αλληλεπίδραση µε την ανώτερη ατµόσφαιρα της Γης, η οποία επιδρά µέσω τριβών και θέρµανσης των δορυφόρων µε ιδιαίτερες συνέπειες στην κίνηση και κατάσταση των δορυφόρων. Η Τροχιακή υναµική είναι ένα κεντρικό πεδίο µελέτης στο σχεδιασµό και τον έλεγχο διαστηµικών αποστολών. Η ουράνια µηχανική ασχολείται περισσότερο ευρέως µε την τροχιακή δυναµική συστηµάτων υπό την επιρροή της βαρύτητας, περιλαµβανοµένων και διαστηµοπλοίων και φυσικών 13
αστρονοµικών σωµάτων όπως είναι τα συστήµατα αστέρων, οι πλανήτες, οι φυσικοί δορυφόροι και οι κοµήτες. Η Αστροδυναµική εστιάζει στις τροχιές διαστηµοπλοίων, περιλαµβανοµένων των τροχιακών ελιγµών (orbital maneuvers) αλλαγές επιπέδου τροχιάς (orbit plane changes) και στις διαπλανητικές µετακινήσεις (interplanetary transfers) και χρησιµοποιείται από τους ειδικούς σχεδιασµού αποστολών για την πρόβλεψη των αποτελεσµάτων που σχετίζονται µε τα παραπάνω [13]. 1.1.2 Νόµοι του Kepler Η εξήγηση της κίνησης των ουράνιων σωµάτων ήταν µία πρόκληση για τους παρατηρητές για πολλούς αιώνες. Οι αρχαίοι Έλληνες προσπάθησαν να περιγράψουν την κίνηση των ουράνιων σωµάτων γύρω από τη γη σε όρους κυκλικών τροχιών. Το 1543, ο Νικόλαος Κοπέρνικος (Nicolaus Copernicus), βασιζόµενος στο έργο του Αρίσταρχου [20], πρότεινε ένα ηλιοκεντρικό σύστηµα µε τους πλανήτες να ακολουθούν κυκλική τροχιά. Τελικά, µε τη βοήθεια των παρατηρησιακών δεδοµένων του Tycho Brahe ο Johannes Kepler περιέγραψε ελλειπτικές πλανητικές τροχιές γύρω από τον Ήλιο. Αργότερα ο Isaac Newton έδωσε µία µαθηµατική λύση για αυτό το σύστηµα βασισµένη σε µία βαρυτική δύναµη αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης. Ο Kepler πέρασε πολλά χρόνια µελετώντας τις διαφορές µεταξύ των δεδοµένων των προσεκτικών παρατηρήσεων των πλανητών του Tycho Brahe και της προβλεπόµενης κίνησής τους σύµφωνα µε προηγούµενες θεωρίες. Έχοντας ανακαλύψει ότι τα δεδοµένα ταίριαζαν στη γεωµετρική λύση των ελλειπτικών τροχιών, εξέδωσε του πρώτους δύο νόµους πλανητικής κίνησης το 1609 και τον τρίτο νόµο του το 1619. Οι τρεις νόµοι πλανητικής κίνησης του Kepler (οι οποίοι ισχύουν και για την κίνηση δορυφόρων που βρίσκονται σε τροχιά γύρω από τη Γη) είναι: Πρώτος Νόµος: Η τροχιά του κάθε πλανήτη είναι έλλειψη, µε τον Ήλιο να βρίσκεται στη µία από τις εστίες της. εύτερος Νόµος: Η γραµµή που συνδέει τον πλανήτη µε τον Ήλιο σαρώνει ίσα εµβαδά σε ίσα χρονικά διαστήµατα. 14
Τρίτος Νόµος: Το τετράγωνο της περιόδου ενός πλανήτη είναι ανάλογο µε τον κύβο της µέσης απόστασής του από τον Ήλιο [1]. 1.2 Κλασσικά Κεπλεριανά Στοιχεία Η παραδοσιακά χρησιµοποιούµενη οµάδα στοιχείων που χαρακτηρίζουν µία τροχιά αποκαλείται οµάδα Κεπλεριανών στοιχείων, προς τιµήν της συµβολής του Kepler όπως είδαµε παραπάνω. Τα Κεπλεριανά στοιχεία είναι έξι: Κλίση (Inclination, i) Ορθή Γωνία Ανοδικού Ισηµερινού Σηµείου (Right Angle of Ascending Node, RAAN) Όρισµα του Περιγείου (Argument of Perigee, ω) Εκκεντρότητα (Eccentricity, e) Μεγάλος Ηµιάξονας (Semimajor Axis, a) Μέση Ανωµαλία κατά την Εποχή (Mean Anomaly at Epoch,M0) Παρακάτω, θα περιγράψουµε λεπτοµερώς αυτά τα στοιχεία. 1.2.1 Κλίση (i) Στο ηλιακό σύστηµα η κλίση (i στο Σχ. 1.1 παρακάτω) της τροχιάς ενός πλανήτη ορίζεται ως η γωνία µεταξύ του επιπέδου της τροχιάς του πλανήτη και του επιπεδου της εκλειπτικής το επίπεδο που περιέχει την τροχιά της γης. Η κλίση τροχιών φυσικών ή τεχνητών δορυφόρων µετρείται σε σχέση µε το επίπεδο του ισηµερινού του σώµατος γύρω από το οποίο βρίσκονται σε τροχιά, αν βρίσκονται αρκετά κοντά σε αυτό. Το επίπεδο του ισηµερινού είναι το κάθετο επίπεδο στον άξονα περιστροφής του κεντρικού σώµατος. 15
Σύµφωνα µε τα παραπάνω: µία κλίση 0 µοιρών σηµαίνει ότι το σώµα σε τροχιά περιστρέφεται γύρω από τον πλανήτη στο επίπεδο του ισηµερινού του πλανήτη, προς τη ίδια κατεύθυνση που περιστρέφεται και ο πλανήτης. µία κλίση 90 µοιρών υποδεικνύει µία πολική τροχιά, στην οποία το διαστηµόπλοιο περνά από τον βόρειο και τον νότιο πόλο του πλανήτη, και µία κλίση 180 µοιρών υποδεικνύει µία ανάδροµη τροχιά (retrograde orbit) στο επίπεδο του ισηµερινού. Σχήµα 1.1: Τα Τροχιακά Στοιχεία 1.2.2 Ορθή Γωνία Ανοδικού Ισηµερινού Σηµείου (RAAN) Η Ορθή Γωνία Ανοδικού Ισηµερινού Σηµείου (RAAN) είναι µία γωνία, µετρούµενη από το κέντρο της Γης, από το σηµείο εαρινής ισηµερίας (Vernal 16
Equinox) µέχρι το ανοδικό ισηµερινό σηµείο (Ascending Node). Το ανοδικό ισηµερινό σηµείο είναι το σηµείο του επιπέδου του ισηµερινού από το οποίο περνά ο δορυφόρος κινούµενος από νότο προς βορά. Αντίστοιχα, το καθοδικό ισηµερινό σηµείο είναι το σηµείο του επιπέδου του ισηµερινού από το οποίο περνά ο δορυφόρος κινούµενος από βορά προς νότο. Το ανοδικό και το καθοδικό ισηµερινό σηµείο ορίζουν µία ευθεία, η οποία είναι η τοµή του επιπέδου της τροχιάς µε το ισηµερινό επίπεδο. Τα παραπάνω στοιχεία απεικονίζονται στο Σχ. 1.1. Κατά σύµβαση, το RAAN είναι ένας αριθµός που εκτείνεται από τις 0 µέχρι τις 360 µοίρες. Ας δώσουµε ένα παράδειγµα για να επεξηγήσουµε αυτό το τροχιακό στοιχείο: Τραβάµε µία γραµµή από το κέντρο της Γης µέχρι το σηµείο απ όπου ο δορυφόρος µας διασχίζει τον ισηµερινό (από νότο προς βορά). Αν αυτή η γραµµή δείχνει απευθείας την εαρινή ισηµερία, τότε RAAN = 0 µοίρες. Αντίστοιχα, αν αυτή η γραµµή είναι διαµετρικά αντίθετη της εαρινής ισηµερίας, τότε RAAN = 180 µοίρες. 1.2.3 Όρισµα του Περιγείου (ω) Το σηµείο όπου ο δορυφόρος βρίσκεται κοντύτερα στη Γη ονοµάζεται περίγειο, ή περίαψη και το σηµείο όπου ο δορυφόρος βρίσκεται µακρύτερα από τη Γη ονοµάζεται αντίστοιχα απόγειο ή απόαψη. Το όρισµα του περιγείου (ω) είναι η γωνία από το ανοδικό ισηµερινό σηµείο µέχρι το περίγειο. Η γωνία µετράται στο επίπεδο της τροχιάς και προς την κατεύθυνση της κίνησης. Για παράδειγµα, όταν ω = 0 µοίρες, το περίγειο βρίσκεται στην ίδια θέση µε το ανοδικό ισηµερινό σηµείο. Αυτό σηµαίνει ότι ο δορυφόρος θα βρίσκεται κοντύτερα στη γη την ίδια στιγµή που θα διασχίζει τον ισηµερινό. Όταν ω = 180 µοίρες, το απόγειο θα βρίσκεται στην ίδια θέση µε το ανοδικό ισηµερινό σηµείο. Αυτό σηµαίνει ότι ο δορυφόρος θα βρίσκεται µακρύτερα από τη Γη την ίδια στιγµή που θα διασχίζει τον ισηµερινό. Πολλές φορές, στην ξενόγλωσση βιβλιογραφία, το όρισµα του περίγειου απαντάται και µε το γράµµα w. 17
1.2.4 Μέση Ανωµαλία κατά την Εποχή (M0) Η µέση ανωµαλία (M0) είναι η γωνία κατά την οποία θα είχε κινηθεί ένας δορυφόρος από τη χρονική στιγµή της τελευταίας του διέλευσης από το περίγειο, υποθέτοντας ότι ο δορυφόρος θα κινούταν µε σταθερή ταχύτητα σε µία κυκλική τροχιά µε εµβαδό ίσο µε αυτό της πραγµατικής ελλειπτικής του τροχιάς. Εiναι µία γωνία που µεταβάλλεται οµοιόµορφα µε το χρόνο από τις 0 ως τις 360 µοίρες κατά τη διάρκεια µίας περιστροφής. Ορίζεται στις 0 µοίρες στο περίγειο και είναι εποµένως 180 µοίρες στο απόγειο. 1.2.5 Εκκεντρότητα (e) και Μεγάλος Ηµιάξονας (a) Η εκκεντρότητα και ο µεγάλος ηµιάξονας είναι τα τροχιακά στοιχεία που ορίζουν τη µορφή της ίδιας της έλλειψης της τροχιάς που ακολουθεί ο δορυφόρος σύµφωνα µε το Κεπλεριανό τροχιακό µοντέλο. Η εκκεντρότητα (e) µας δίνει το «σχήµα» της έλλειψης και πρέπει να βρίσκεται µεταξύ του 0 και του 1. Όταν e = 0, η έλλειψη είναι ένας κύκλος. Όταν το e βρίσκεται πολύ κοντά στο 1, η έλλειψη είναι πολύ επιµηκυµένη και στενή. Ο µεγάλος ηµιάξονας (α) µίας έλλειψης είναι η µεγαλύτερη διάµετρός της. Ο µεγάλος ηµιάξονας είναι το µισό του µεγάλου άξονα και εκτείνεται από το κέντρο µέχρι την άκρη της έλλειψης. Τα παραπάνω απεικονίζονται στο Σχ. 1.2 Σχήµα 1.2: Ο µεγάλος ηµιάξονας µίας έλλειψης 18
1.2.6 Μη Κεπλεριανά τροχιακά στοιχεία Πέρα από τα κλασσικά Κεπλεριανά τροχιακά στοιχεία, πολλές φορές είναι χρήσιµα στην περιγραφή µίας τροχιάς και κάποια άλλα, µη κλασσικά στοιχεία. Αυτά είναι: 1.2.6.1 Ακτίνα και Υψόµετρο του Περιγείου/Απογείου (Radius, Altitude of Perigee/Apogee, r p, r a, alt p, alt a) Η απόσταση του περιγείου από το κέντρο της Γης ονοµάζεται ακτίνα του περιγείου. Ως υψόµετρο του περιγείου εννοείται η γεωδετική του απόσταση από την επιφάνεια της Γης. Αντιστοίχως για το απόγειο. 1.2.6.2 Πραγµατική Ανωµαλία (True Anomaly, θ) Η πραγµατική ανωµαλία (θ) είναι η πραγµατική γωνία κατά την οποία µετακινήθηκε ένας δορυφόρος από την τελευταία φορά που πέρασε από το περίγειο (βλ. Σχ. 1.1). Ισούται µε τη µέση ανωµαλία µόνο κατά το περίγειο και το απόγειο για τις ελλειπτικές τροχιές, ενώ για τις κυκλικές τροχιές τα δύο αυτά στοιχεία ταυτίζονται. 1.2.6.3 Τροχιακή Περίοδος (Orbital Period, P) Η τροχιακή περίοδος (Ρ) είναι ο χρόνος που χρειάζεται ένα σώµα σε τροχιά γύρω από τη Γη ώστε να ολοκληρώσει µία πλήρη περιστροφή. Τα παρακάτω στοιχεία δε θεωρούνται µέρος των κλασσικών στοιχείων αλλά είναι χρήσιµα σε περιπτώσεις που κάποια από τα κλασσικά στοιχεία δεν προσδιορίζονται (π.χ., i = 0 ή e = 0). 1.2.6.4 Μήκος του Περιγείου (Longitude of Perigee, Π 0) Ορίζεται ως: Π 0 = RAAN + ω 1.2.6.5 Όρισµα Πλάτους (Argument of Latitude, u 0) Ορίζεται ως: u 0 = ω + θ 19
1.2.6.6 Πραγµατικό Μήκος (True Longitude, l 0) Το πραγµατικό µήκος (l 0) είναι το µήκος στο οποίο θα βρισκόταν ένα σώµα σε τροχιά αν η κλίση του ήταν µηδέν. Μαζί µε την κλίση και το ανοδικό ισηµερινό σηµείο, το πραγµατικό µήκος µπορεί να µας δώσει επακριβώς την κατεύθυνση από το κεντρικό σώµα προς την οποία θα βρισκόταν το σώµα σε τροχιά µία δεδοµένη στιγµή. Ορίζεται ως: l 0 = RAAN + ω + θ = Π 0 + θ = RAAN +u 0. 1.3 Τροχιακές ιαταραχές 1.3.1 Ορισµός Η Κεπλεριανή τροχιά που συζητήθηκε παραπάνω παρέχει ένα εξαίρετο σηµείο αναφοράς, αλλά στο δορυφόρο δρουν και άλλες δυνάµεις που διαταράσσουν την τροχιά του, µε αποτέλεσµα να αποκλίνει από την ονοµαστική του τροχιά. Μπορούµε να κατηγοριοποιήσουµε αυτές τις διαταρραχές ή διαφοροποιήσεις στα τροχιακά στοιχεία µε βάση το πώς επηρεάζουν τα Κεπλεριανά στοιχεία. Το Σχ. 1.3 απεικονίζει µία συνήθη διαφοροποίηση σε κάποιο τροχιακό στοιχείο που οφείλεται σε µία διαταρακτική δύναµη. Οι µακροπρόθεσµες µεταβολές µεγάλης κλίµακας (Secular Variations) αντιπροσωπεύουν µία γραµµική µεταβολή στο στοιχείο. Οι βραχυπρόθεσµες µεταβολλές (Short Period Variations) είναι περιοδικές µε περίοδο µικρότερη ή ίση µε την τροχιακή περίοδο. Οι µακροπρόθεσµες µεταβολλές έχουν περίοδο µεγαλύτερη από την τροχιακή περίοδο. Οι κύριες δυνάµεις που διαταράσσουν τη τροχιά ενός δορυφόρου προκυπτουν από τρίτα σώµατα όπως είναι ο Ήλιος και η Σελήνη, από τη µη σφαιρική κατανοµή µάζας της Γης, από την αντίσταση της ατµόσφαιρας και από την πίεση του ηλιακού ανέµου. Παρακάτω περιγράφουµε την καθεµία 20
από αυτές [1]. Σχήµα 1.3: Γραµµικές και περιοδικές µεταβολλές ενός τροχιακού στοιχείου [1]. 1.3.2 ιαταραχές από Τρίτα Σώµατα Οι βαρυτικές δυνάµεις του Ήλιου και της Σελήνης προκαλούν περιοδικές µεταβολλές σε όλα τα τροχιακά στοιχεία. Ωστόσο, µόνο η ορθή γωνία ανοδικού ισηµερινού σηµείου (RAAN), το όρισµα του περιγείου (ω) και η µέση ανωµαλία (M0) παρουσιάζουν µακροπρόθεσµες µεταβολλές. Αυτές οι µακροπρόθεσµες µεταβολλές προκύπτουν από την γυροσκοπική µετάπτωση της τροχιάς περί τον εκλειπτικό πόλο. Οι µακροπρόθεσµες µεταβολλές της ορθής γωνίας ανοδικού ισηµερινού σηµείου και του ορίσµατος του περιγείου είναι ιδιαίτερα σηµαντικές, ειδικά για τροχιές σε µεγάλα υψόµετρα [1]. 1.3.3 ιαταραχές εξαιτίας της µη Σφαιρικότητας της Γης Ως εδώ θεωρούσαµε ότι η Γη έχει µία σφαιρικά συµµετρική κατανοµή µάζας. Στην πραγµατικότητα η Γη είναι διογκωµένη στον ισηµερινό, έχει 21
σχήµα αχλαδιού και είναι πεπλατυσµένη στους πόλους. Μπορούµε να βρούµε την επιτάχυνση του δορυφόρου υπολογίζοντας την κλίση της συνάρτησης βαρυτικού δυναµικού, Φ. Μία ευρέως χρησιµοποιούµενη µορφή της γεωδυναµικής συνάρτησης είναι: ( / ) 1 ( / ) n Φ= µ r J n RE r Pn (sin L), (Εξ. 1.1) n= 2 όπου µ=gm η βαρυτική σταθερά της Γης, R E είναι η ακτίνα της Γης στον ισηµερινό, P n είναι τα πολυώνυµα Legendre, L είναι το γεωκεντρικό γεωγραφικό πλάτος και J n είναι αδιάστατοι συντελεστές γεωδυναµικού, από τους οποίους οι πρώτοι τρεις είναι: J 2 = 1.082630 x 10-3 J 3 = -2.5321531 x 10-6 J 4 = -1.6109876 x 10-6 Αυτή η µορφή της γεωδυναµικής συνάρτησης εξαρτάται από το γεωγραφικό πλάτος και οι συντελεστές γεωδυναµικού λέγονται και ζωνικοί συντελεστές. Το δυναµικό που παράγεται από τη µη σφαιρικότητα της Γης προκαλεί περιοδικές µεταβολές σε όλα τα τροχιακά στοιχεία. Οι κύριες επιδράσεις, ωστόσο, είναι οι µακροπρόθεσµες µεταβολές στην ορθή γωνία ανοδικού ισηµερινού σηµείου και στο όρισµα του περιγείου εξαιτίας της πεπλάτυνσης της γης, που αναπαριστάται από τον J 2 της γεωδυναµικής συνάρτησης. Συγκεκριµένα οι µεταβολλές αυτές προσεγγίζονται από τους τύπους 14 7/2 2 2 Ω ɺ J = 2.06474*10 α (cos i)(1 e ), (Εξ. 1.2) 2 και 14 7/2 2 2 2 ɺ, (Εξ. 1.3) ωj = 1.03237*10 α (4 5sin i)(1 e ) 2 [1]. όπου α είναι ο µεγάλος ηµιάξονας, i είναι η κλίση και e η εκκεντρότητα 22
Η επίδραση αυτή φαίνεται καλύτερα στο Σχ. 1.4. Η µεταβολλή του RAAN οφείλεται στο εξόγκωµα της Γης στον ισηµερινό που προσθέτει µία επιπλέον συνιστώσα δύναµης λόγω βαρυτικής έλξης. Η επιτάχυνση που προκύπτει κάνει το δορυφόρο να φτάνει στον ισηµερινό (ανοδικό ισηµερινό σηµείο) σε λιγότερο χρόνο από αυτόν που θα χρειαζόταν αν η Γη ήταν σφαιρική. Η τροχιά εποµένως οπισθοδροµεί κατά ένα µικρό κοµµάτι µε κάθε περιστροφή [2]. Σχήµα 1.4: Η επίδραση του J2 στο RAAN. Το S υποδεικνύει τη διαφορά µήκους µεταξύ δύο διαδοχικών περασµάτων από τον ισηµερινό [2]. 1.3.4 ιαταρραχές εξαιτίας της Ατµοσφαρικής Τριβής Η κύρια µη βαρυτική δύναµη που δρα σε δορυφόρους σε τροχιές χαµηλών υψοµέτρων (κάτω των 2000 km) είναι η ατµοσφαιρική τριβή (Amospheric Drag). Η τριβή δρα σε κατεύθυνση αντίθετη αυτής του διανύσµατος της ταχύτητας και αφαιρεί ενέργεια από την τροχιά. Αυτή η µείωση ενέργειας κάνει την τροχιά όλο και µικρότερη, προκαλώντας περαιτέρω αύξηση στην τριβή. Τελικά, το υψόµετρο της τροχιάς γίνεται τόσο µικρό που ο δορυφόρος επανεισέρχεται στην ατµόσφαιρα. Η εξίσωση της 23
επιβράδυνσης εξαιτίας της τριβής σε ένα δορυφόρο είναι: a D 2 = (1/ 2) ρ( CD A / m) V, (Εξ. 1.4) όπου ρ είναι η ατµοσφαιρική πυκνότητα, A είναι το εµβαδόν της διατοµής του δορυφόρου, m είναι η µάζα του δορυφόρου, V είναι η ταχύτητα του δορυφόρου σε σχέση µε την ατµόσφαιρα και C D είναι ο συντελεστής τριβής 2.2 [1]. Η ατµοσφαιρική τριβή θα µελετηθεί εκτενέστερα στο επόµενο κεφάλαιο. 1.3.5 ιαταρραχές εξαιτίας της Πίεσης του Ηλιακού Ανέµου Η πίεση της ηλιακής ακτινοβολίας προκαλεί περιοδικές µεταβολές σε όλα τα τροχιακά στοιχεία. Η επίδρασή της είναι εντονότερη για δορυφόρους µε µικρούς βαλλιστικούς συντελεστές, δηλαδή για ελαφρά οχήµατα µε προσόψεις µεγάλου εµβαδού. Το µέγεθος της επιτάχυνσης a R που προκύπτει από την πίεση της ηλιακής ακτινοβολίας σε m/s 2 είναι: ar 6 = 4.5*10 (1 + r) A / m, (Εξ. 1.5) όπου το A είναι το εµβαδόν της διατοµής του δορυφόρου που είναι εκτεθειµένη στον ήλιο σε m 2, m είναι η µάζα του δορυφόρου σε kg και r είναι ο παράγοντας ανάκλασης (r = 0 για πλήρη απορρόφηση; r = 1 για κατοπτρική ανάκλαση σε κάθετη πρόσπτωση και r = 0.4 για διάχυτη ανάκλαση). Σε υψόµετρο χαµηλότερο από 800 km η επιτάχυνση εξαιτίας της ατµοσφαιρικής τριβής είναι µεγαλύτερη από εκείνη εξαιτίας της πίεσης ηλιακής ακτινοβολίας και αντιστρόφως για υψόµετρο µεγαλύτερο των 800 km [1]. 24