Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός Μέθοδοι επίλυσης ηλεκτρικών κυκλωμάτων Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Ν. Νικολής

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

7.Μέθοδοιεπίλυσηςηλεκτρικών κυκλωμάτων Ένα ηλεκτρικό κύκλωμα συμπεριλαμβάνει μία ή περισσότερες πηγές συνδεδεμένεςμεδιάφοραεξαρτήματαόπωςαντιστάσεις,πυκνωτές,κ.α. Σεένακύκλωμαδιακρίνουμεκόμβους,κλάδουςκαιβρόχους. Κόμβοςείναιτοσημείοσύνδεσηςτριώνήπερισσοτέρωναγωγών. Κλάδος είναι μια ακολουθία εξαρτημάτων συνδεδεμένων με αγωγό, η οποίαξεκινάαπόένακόμβοκαικαταλήγεισεάλλο. Βρόχοςείναιοποιαδήποτεκλειστήακολουθίαεξαρτημάτων. Γραμμικάανεξάρτητοςβρόχοςείναιοβρόχοςπουδενμπορείνααναλυθεί σεαπλούστερους. Για παράδειγμα, το «κύκλωμα» του επομένου Σχήματος έχει 6 κόμβους, 9 κλάδουςκαι4γραμμικάανεξάρτητουςβρόχους. Μετονόρο επίλυσηκυκλώματος εννοούμετονπροσδιορισμότουρεύματοςσε κάθεκλάδοκαιπτώσητάσηςσεόλαταστοιχείατουκυκλώματος. 7.1Αναγωγήσεαπλόκύκλωμα Έστω ότι ένα ηλεκτρικό κύκλωμα περιλαμβάνει μία πηγή και αντιστάσεις συνδεδεμένες με διάφορους τρόπους. Εάν υπολογίσουμε την ισοδύναμη αντίσταση καταλήγουμε σε ένα απλό κύκλωμα όπου μία αντίσταση συνδέεται μεμίαπηγή.τότε,τοσυνολικόρεύμαυπολογίζεταιάμεσαμετοννόμοτουohm. Στη συνέχεια, υπολογίζουμε τα ρεύματα και τάσεις σε όλα τα ισοδύναμα κύκλώματα ξεκινώντας από το απλούστερο προς το περισσότερο σύνθετο μέχριςότουφτάσουμεστοαρχικό. Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(2015) 85

Παράδειγμα Να προσδιορίσετε το ηλεκτρικό ρεύμα σε κάθε κλάδο του κυκλώματος.δίδεται 1 = 50kΩ, =100 kω, = 20kΩκαι E 1 = 250V. ΤοαρχικόκύκλωμαμετασχηματίζεταισταισοδύναμακυκλώματαΚ1,Κ2καιΚ. Έχουμε = 100 20 = kω =16.67kΩ + 120 0 = 1 + = 50kΩ +16.67kΩ = 66.67kΩ I 1 = E 1 = 250V =.75 ma 0 66.67kΩ V AB = I 1 =.75 ma 16.67 kω = 62.5V I 2 = V AB = 62.5V 100kΩ = 0.625mA I = V AB = 62.5V 20 kω =.125 ma Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(2015) 86

7.2ΗμέθοδοςτωνκανόνωντουKirchhoff ΣύμφωναμετηνμέθοδοτωνκανόνωντουKirchhoff,ταηλεκτρικάρεύματαπου διαρρέουν τους κλάδους ενός κυκλώματος προσδιορίζονται από την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων με αγνώστους τις εντάσεις των ρευμάτων.τοσύστηματωνεξισώσεωνπροκύπτειαπόδύοκανόνες. 1 ος Κανόνας: Σε κάθε κόμβο του κυκλώματος, το αλγεβρικό άθροισμα των εντάσεωντωνρευμάτωνείναιμηδέν.δηλαδή I = 0 Ο πρώτος κανόνας του Kirchhoff είναι αποτέλεσμα της αρχής διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου. Για την εφαρμογή του 1 ου κανόνα, ορίζουμε συνήθως ως θετική την ένταση του εισερχομένου ρεύματος και αρνητική την ένταση του εξερχομένου. Γιαπαράδειγμα,έστωότιπέντεκλάδοιενόςκυκλώματοςσυνδέονταισεκόμβο όπωςστοεπόμενοσχήμακαιδιαρρέονταιαπόρεύματα I 1 =1A, I 2 = 4A, I = A και I 4 = 2A.Πόσηείναιηέντασητουρεύματος I 5 ; Εφαρμόζονταςτον1 ο κανόνατουkirchhoff, I = 0 I 1 I 2 + I I 4 I 5 = 0 I 5 = I 1 I 2 + I I 4 I 5 = 2A Άρα,το I 5 στηνπραγματικότηταεισέρχεταιστονκόμβο. 2 ος Κανόνας: Σε κάθε βρόχο, το αλγεβρικό άθροισμα των ηλεκτρεγερτικών δυνάμεων ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των πτώσεων τάσης στις αντιστάσειςτωνκλάδωντουβρόχου.δηλαδή E = I Ο 2 ος κανόνας του Kirchhoff είναι αποτέλεσμα της διατήρησης της ηλεκτρικής ενέργειαςστονβρόχο. Γιατηνεφαρμογήτου2 ου κανόνατουkirchhoff 1. Ορίζουμεμίααυθαίρετηθετικήφοράδιαγραφήςτουβρόχου. Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(2015) 87

2. Στοάθροισμα E,εάνμιαπηγήπροκαλείρεύμακατάτηνθετικήφορά διαγραφής γράφεται με θετικό πρόσημο. Σε αντίθετη περίπτωση το πρόσημοείναιαρνητικό.. Στο άθροισμα I, μία πτώση τάσης που προκαλείται από ρεύμα ομόρροπομετηνθετικήφοράδιαγραφήςλαμβάνεταιμεθετικόπρόσημο. Σεαντίθετηπερίπτωσητοπρόσημοείναιαρνητικό. Για παράδειγμα, έστω ο βρόχος του Σχήματος, μέρος ενός μεγαλύτερου κυκλώματος. Εφαρμόζονταςτον2 ο κανόνατουkirchhoff E = Iβρίσκουμε E 1 + E 2 E = I 1 0 + I 2 0 I 1 I 4 0 I 5 ή E 1 + E 2 E = I 1 I 5 Γιατηνεπίλυσηκυκλωμάτωνακολουθούμετηνεξήςπορεία: 1. Αναγνωρίζουμετουςκλάδους,κόμβουςκαιβρόχουςτουκυκλώματος. 2. Σημειώνουμεαυθαίρετατηνφοράτουρεύματοςσεκάθεκλάδο.. Εάν το κύκλωμα έχει Κ κόμβους, εφαρμόζουμε τον 1 ο κανόνα του KirchhoffσεΚ 1κόμβους. 4. Σχεδιάζουμε μία θετική φορά διαγραφής σε κάθε γραμικά ανεξάρτητο βρόχο του κυκλώματος. Θυμηθήτε ότι γραμμικά ανεξάρτητοι είναι οι βρόχοιπουδενεπικαλύπτονται. 5. Εφαρμόζουμετον2 ο κανόνατουkirchhoffσεκάθεγραμμικάανεξάρτητο βρόχο. 6. Απόταβήματακαι5,προκύπτειέναγραμμικόσύστημαΚ+1εξισώσεων με αγνώστους τις εντάσεις των ρευμάτων. Επιλύουμε το σύστημα των γραμμικώνεξισώσεων. Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(2015) 88

7. Εάν έχουμε προσδιορίσει όλα τα ρεύματα, η διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο σημείων Α και Β, κατά μήκος μίας αγώγιμης διαδρομής του B B κυκλώματος,δίδεταιαπότηνσχέση:v AB = I E. A A Άσκηση:ΝαδείξετεότιηδιαφοράδυναμικούμεταξύδύοσημείωνΑκαιΒ,κατά μήκος μίας αγώγιμης διαδρομής ενός κυκλώματος, δίδεται από την σχέση: B V AB = I E. (Υπόδειξη: Εφαρμόσατε κατάλληλα τον 2 ο κανόνα του A Kirchhoff) Παράδειγμα1: B A Παράδειγμα 2: Στο κύκλωμα του Σχήματος, να υπολογίσετε την ένταση του ρεύματοςσεκάθεκλάδο,καθώςκαιτηντάση V AB μεταξύτωνκόμβωνακαιβ. Δίδεται: E 1 = 6V, E 2 = 2V, 1 = 4Ω, = 2Ωκαι = 2Ω. Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(2015) 89

Το κύκλωμα αυτό έχει μόνο τους δύο κόμβους Α και Β. Εφαρμόζουμε τον 1 ο κανόνατουkirchhoffστονκόμβοα: I = 0 I 2 I 1 I = 0 (1) Γραμμικάανεξάρτητοιβρόχοιείναιοι(ΑΓΒΑ)και(ΑΒΔΑ).Εφαρμόζουμετον2 ο κανόνατουkirchhoff: E = I Βρόχος(ΑΓΒΑ): E 1 = I 1 1 I (2) Βρόχος(ΑΒΔΑ): E 2 = I 2 + I () Προκύπτει το ακόλουθο γραμμικό σύστημα τριών εξισώσεων με τρείς αγνώστους: I 1 + I 2 I = 0 I 1 1 + I 2 0 I = E 1 I 1 0 + I 2 + I = E 2 (S) Έχουμε 1 +1 1 0 Δ = 1 0 = 1 +1 1 +1 1 1 + 0 = 0 2 0 Δ 1 = = 1 ( + ) = ( 1 + + 1 ) = 20Ω 2 0 +1 1 0 E 1 0 = 0 +1 1 +1 1 E E 2 2 1 + E 2 = 0 = E 1 ( + ) E 2 = 28V Ω 1 0 1 E Δ 2 = 1 E 1 = 1 1 0 1 E 0 E 2 2 1 + 0 0 1 = E 2 E 1 = E 1 E 2 E 2 1 = 24V Ω Επομένως, I 1 = Δ 1 Δ = 28V Ω 20Ω 2 =1.4 A I 1 =1.4 A και I 2 = Δ 2 Δ = 24V Ω 20Ω 2 I 2 =1.2 A Απότην(1), I = I 2 I 1 I = 0.2 A Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(2015) 90

Λόγωτουαρνητικούπροσήμου,το I έχειαντίθετηφοράαπόεκείνηπουέχει σημειωθείστοσχήμα. Η τάση μεταξύ των σημείων Α και Β βρίσκεται εφαρμόζοντας την σχέση B B V AB = I E στονκλάδοαβ.έχουμεv AB = I = 0.2 A 2Ω = 0.4V. A A Ο αναγνώστης μπορεί να διαπιστώσει ότι το ίδιο αποτέλεσμα προκύπτει εάν εφαρμόσουμετηνσχέσηαυτήχρησιμοποιώνταςγιαδιαδρομήτονκλάδοαγβή τοναδβ. Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(2015) 91

Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σημειώματα

Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. http://ecourse.uoi.gr/course/view.php? id=1298.

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Ν. Νικολής. «Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός. Μέθοδοι επίλυσης ηλεκτρικών κυκλωμάτων. Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?i d=1298.

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://creativecommons.org/licenses/ by-sa/4.0/