ΜΕΙΚΤΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΜΕΡΟΣ III ΜΕΙΚΤΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ 45

ΜΕΙΚΤΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η γενική μορφή των προβλημάτων μικτού ακέραιου προγραμματισμού είναι: mn, (, ) h g (, ) (, ) R n = {,} q Το διάνυσμα των μεταβλητών αντιπροσωπεύει τις συνεχείς αποφάσεις (ρυθμοί ροής, μέγεθος συσκευών, θερμοκρασίες, πιέσεις, θερμικά φορτία κλπ) ενώ το διάνυσμα των μεταβλητών αντιπροσωπεύει των ύπαρξη ή όχι μιας συσκευής. Τα παραπάνω γενικά προβλήματα είναι γνωστά ως MINLP (Med-Integer Non-Lnear Programs) - προβλήματα μεικτού ακέραιου μη-γραμμικού προγραμματισμού, όταν τουλάχιστον μία συνάρτηση είναι μη-γραμμική. Ονομάζονται MILP (Med-Integer Lnear Programs), όταν όλες οι συναρτήσεις είναι γραμμικές... Μεικτός Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός (MILP) Τα MILP χρησιμοποιούνται συχνά στην βιομηχανία και ειδικά σε προβλήματα χρονοπρογραμματισμού και οργάνωσης παραγωγής. Υπάρχουν πολύ αποτελεσματική αλγόριθμοι για την επίλυση προβλημάτων με εκατομμύρια δυαδικές μεταβλητές (συμπεριλαμβανομένου και λογισμικού όπως η CPLEX και XPRESS). Οι αλγόριθμοι MILP εξασφαλίζουν την βέλτιστη λύση του προβλήματος (εφόσον υπάρχει χρόνος και μνήμη). Η γενική μορφή ενός MILP προβλήματος είναι: mn, c c A B {,} q ( P ).. Προσέγγιση υπολογισμού όλων των συνδυασμών Η προσέγγιση αυτή βασίζεται στον πλήρη υπολογισμό όλων των δυνατών συνδυασμών των δυαδικών μεταβλητών. Από την στιγμή που o δυαδικές μεταβλητές καθορίζονται (φιξάρονται), το πρόβλημα μετατρέπεται σε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού, το οποίο μπορεί να λυθεί με την κλασσική μέθοδο Smple και να οδηγηθούμε στο ολικό βέλτιστο συγκρίνονται τις λύσεις των προβλημάτων q γραμμικού προγραμματισμού. Ωστόσο, υπάρχουν συνδυασμοί που θα πρέπει να ελεγχθούν. Η αύξηση των συνδυασμών σε σχέση με τον αριθμό των δυαδικών μεταβλητών φαίνεται στον πίνακα: 46

q 5 5 q 4 4 6 5 Υποθέτοντας 5 δυαδικές μεταβλητές και θεωρώντας ότι παίρνει περίπου λεπτά για την λύση του κάθε γραμμικού προβλήματος, θα χρειαζόμασταν χρόνια για να ελεγχθούν όλοι οι συνδυασμοί... Προσέγγιση Χαλάρωσης και Στρογγυλοποίησης... LP Χαλάρωση Ας χαλαρώσουμε το MILP πρόβλημα, απομακρύνοντας την συνθήκη δυαδικότητας των μεταβλητών. Ετσι, επιτρέπονται οι μεταβλητές αυτές να μεταβάλλονται μεταξύ και. Με αυτόν τον τρόπο το πρόβλημα γίνεται γραμμικού προγραμματισμού (LP). Δεδομένου ότι έχουμε λιγότερο αυστηρούς περιορισμούς στις μεταβλητές, η λύση που θα πάρουμε δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη λύση από την λύση του αρχικού MILP. Σε κάποιες ειδικές περιπτώσεις η λύση του LP είναι ίδια με αυτή του MILP. Μία ικανή συνθήκη για να συμβεί αυτό είναι: ο πίνακας Β στο παραπάνω γενικό πρόβλημα να είναι unmodular (δηλ. κάθε τετραγωνικός μηsngular πίνακας Β έχει ορίζουσα ίση με ). Ωστόσο, για γενικά προβλήματα MILP κάποιες από τις μεταβλητές θα είναι μη ακέραιες στην λύση του χαλαρωμένου LP. Αυτό συνήθως ισχύει σε προβλήματα σύνθεσης διεργασιών.... Στρογγυλοποίηση Στην γενική περίπτωση όπου η λύση του χαλαρωμένου LP είναι μη-ακέραια, μπορεί να εφαρμοστεί ένα σχήμα στρογγυλοποίησης της λύσης στην πλησιέστερη ακέραια λύση. Ωστόσο αυτό μπορεί να οδηγήσει σε υπο-βέλτιστες λύσεις ή ακόμη και σε μηεφικτούς συνδυασμούς. Παράδειγμα: Εξετάζουμε το παρακάτω μικρό πρόβλημα: mn.. (, ) {,} =.5, =.75,. 85 με αντικειμενική συνάρτηση -.48. Στρογγυλοποιώντας στις πλησιέστερες ακέραιες (, ) (, ) = ένας συνδυασμός που παραβιάζει τους ανισοτικούς περιορισμούς. Η Η λύση του χαλαρωμένου προβλήματος είναι ( ) ( ) 47

βέλτιστη λύση είναι ( ) (, ) Προσέξτε ότι, = και η αντικειμενική συνάρτηση είναι -. * * MILP LP >... Τεχνικές Κλάδου και Ορίου Η βασική ιδέα είναι η χρήση μιας στρατηγικής διαχωρισμού και επέκτασης με την οποία γεννώνται λύσεις του προβλήματος, ενώ ταυτόχρονα απομακρύνονται/διαγράφονται περιοχές του διαστήματος των λύσεων. Με αυτό τον τρόπο αποφεύγεται η ολοκληρωτική αξιολόγηση όλων των - συνδυασμών, ενώ εξασφαλίζεται η εύρεση μιας λύσης.... Χαλαρώσεις LP και ιδιότητες τους Θεωρείστε μία LP χαλάρωση του προβλήματος: mn, c c A B {,} q όπου οι δυαδικές μεταβλητές σε κάποιο σετ J έχουν οριστεί (φιξαριστεί) ( dm { J } < q) και οι εναπομείναντες δυαδικές μεταβλητές επιτρέπεται να πάρουν τιμές μεταξύ και. Αυτό το υπο-πρόβλημα δίνεται από: mn c A ed, B c J d ( P ) Θεωρείστε άλλη μία γραμμική (LP) χαλάρωση που προκύπτει από το P, όπου το σετ των μεταβλητών J J J και dm { } q ). Το P δίνεται από: J που έχουν οριστεί περιλαμβάνει ( ( ) J mn c c A B d ed, J ( P ) 48

Ορίζουμε ως προβλήματος P. * την τιμή της αντικειμενική συνάρτησης στην λύση του αρχικού * και των προβλημάτων ( ) * είναι οι τιμές της αντικειμενική συνάρτησης στην λύση P αντίστοιχα. Οι ακόλουθες ιδιότητες ισχύουν: P και ( ) Αν το P είναι αδύνατο, τότε και το P είναι αδύνατο Αν το P είναι εφικτό (έχει λύση), τότε το P είναι εφικτό Αν το P είναι εφικτό, τότε * * Αν είναι ακέραιο στην λύση του P, τότε * Οι τεχνικές κλάδου και ορίων λαμβάνουν επωφελούνται από αυτές τις ιδιότητες για να εξερευνήσουν αποτελεσματικά τον χώρο της λύσης. *... Βασική Μεθοδολογία Το δένδρο κλάδου ορίων, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, απεικονίζει τον αλγόριθμο επίλυσης Δένδρο Κλάδου-Ορίων για επίλυση MILP προβλημάτων Στην πρώτη επανάληψη του B&B αλγορίθμου για το MILP πρόβλημα επιλύεται η πλήρη χαλάρωση (LP) του αρχικού προβλήματος. P o, Αν όλες οι δυαδικές μεταβλητές είναι ακέραιες στην λύση βρεθεί η βέλτιστη λύση του αρχικού προβλήματος P. Διαφορετικά, το προβλήματος. *, τότε έχει * αποτελεί ένα κατώτερο όριο στην τελική λύση του 49

Στην δεύτερη επανάληψη, δημιουργούνται δύο υπο-προβλήματα ή κόμβοι του P, ορίζοντας (φιξάροντας) μία από τις δυαδικές μεταβλητές. Στο πρώτο υπό-πρόβλημα, P,, το Στο δεύτερο υπό-πρόβλημα, P,, το είναι μηδέν είναι ένα Όλες οι άλλες μεταβλητές είναι ακόμη χαλαρωμένες Η λύση αυτών των δύο υπό-προβλημάτων δίνει δύο νέα στενότερα κάτω όρια της * τελικής λύσης, *,, αντίστοιχα.,, Το μικρότερο γνωστό κάτω όριο του προβλήματος δίνεται από * * = mn ( ) mn,,, Αν η λύση οποιασδήποτε από τις χαλαρώσεις είναι ακέραια, τότε αυτή εξασφαλίζει ένα άνω όριο του αρχικού προβλήματος U. Αν U mn < ε η λύση έχει βρεθεί Αν ένα από τα κατώτερα όρια που έχει βρεθεί είναι μεγαλύτερο από το U ο αντίστοιχος κόμβος δεν μπορεί να οδηγήσει σε βέλτιστη λύση και δεν χρειάζεται να εξεταστεί παρακάτω Κάθε κόμβος με κάτω όριο μικρότερο από το U, προστίθεται στην λίστα των κόμβων που χρειάζεται να εξεταστεί περαιτέρω. Τώρα χρειάζεται να επιλεχθεί ένα κόμβος από την λίστα και να χρησιμοποιηθεί για να δημιουργηθούν δύο νέοι κόμβοι, από το φιξάρισμα δύο άλλων δυαδικών μεταβλητών. Αυτό μας επιτρέπει να δημιουργήσουμε δύο νέα στενότερα κάτω όρια, να ανανεώσουμε το άνω όριο, να ελέγξουμε για σύγκλιση και να διαγράψουμε κάθε κόμβο, με κάτω όριο μεγαλύτερο του άνω ορίου. Όλοι οι υπόλοιποι κόμβοι προστίθενται στην λίστα για να εξεταστούν περεταίρω. Αυτή η διεργασία επαναλαμβάνεται μέχρι να επιτευχθεί σύγκλιση.... Αλγοριθμικές Επιλογές Επιλογή Κλάδου: Στο βήμα της διακλαδοπόιησης επιλέγεται η δυαδική(ες) μεταβλητή(ες) που θα καθοριστ(εί)ούν (φιξαριστούν) στο νέο θυγατρικό κόμβο. Ενώ οι περισσότεροι αλγόριθμοι φιξάρουν μόνο μία μεταβλητή την φορά, στην γενική περίπτωση μπορούν να φιξαριστούν περισσότερες μεταβλητές. Ιδανικά, θα θέλαμε να φιξάρουμε τις μεταβλητές που οδηγούν στην μεγαλύτερη αύξηση της τιμής του κατωτέρου ορίου ώστε να επιταχυνθεί η σύγκλιση. Ωστόσο, δεν υπάρχει τρόπος για τον προσδιορισμό αυτών των μεταβλητών εκ των προτέρων. Οι παρακάτω στρατηγικές ακολουθούνται στην πράξη: Επιλέξετε μια τυχαία μεταβλητή ή επιλέξτε την πρώτη μεταβλητή η οποία ακόμη δεν έχει φιξαριστεί από την λίστα των δυαδικών μεταβλητών. Επιλέγουμε την πιο «κλασματική» μεταβλητή (δηλ. τις δυαδικές μεταβλητές, των οποίων οι τιμές στην λύση της χαλάρωσης του μητρικού 5

κόμβου είναι πιο κοντά στο.5). Έτσι, αν η λύση στον μητρικό κόμβο είναι = (,.8,. 5), επιλέξτε το για να γίνει η κλαδοποίηση. Επιλέξτε την μεταβλητή με την μεγαλύτερη ευαισθησία. Επιλογή κόμβου Υπάρχουν διάφορα κριτήρια για να αποφασιστεί ποιος κόμβος μπορεί να επιλεχθεί για περαιτέρω ανάλυση από την λίστα των ανοικτών κόμβων Κανόνας του πιο πρόσφατου ορίου (πρώτα κατά βάθος): επεκτείνετε τον πιο πρόσφατο δημιουργηθέν κόμβο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Βασικά χαρακτηριστικά αυτού του κανόνα είναι: o Ικανότητα να δημιουργεί ένα σχετικά μεγάλο αριθμό από εφικτές λύσεις o Σχετικά μικρές απαιτήσεις σε αποθήκευση μνήμης Σειρά ανάπτυξης των κόμβων χρησιμοποιώντας τον κανόνα του πιο πρόσφατου κόμβου Κανόνας του καλύτερου ορίου (πρώτα κατά Breadth). Επεκτείνετε τον κόμβο με το μικρότερο κάτω όριο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Βασικά χαρακτηριστικά αυτού του κανόνα είναι: o Σχετικά μεγάλες απαιτήσεις σε μνήμη o Επέκταση δύο κόμβων σε κάθε επανάληψη Σε εμπορικούς αλγορίθμους, χρησιμοποιούνται συνδυασμοί αυτών των κανόνων. Για παράδειγμα, κάποιος μπορεί να χρησιμοποιήσει την προσέγγιση κατά βάθος, αλλά να ακολουθήσει τον θυγατρικό κόμβο με το χαμηλότερο όριο, παρά τον αριστερό ή δεξιό κλάδο. 5

Σειρά ανάπτυξης των κόμβων, χρησιμοποιώντας τον κανόνα του καλύτερου ορίου..4. Απόδοση Αλγορίθμων κλάδου και ορίων (Β&Β) Απόδοση χειρότερου σεναρίου. Ο μέγιστος αριθμός των κόμβων που μπορούν να διερευνηθούν σε έναν Β&Β αλγόριθμο είναι q. Αυτό είναι μεγαλύτερο από τον αριθμό των συνδυασμών των δυαδικών μεταβλητών και δεν υπάρχει εξασφάλιση ότι ο αλγόριθμος Β&Β θα τερματίσει πριν την διερεύνηση όλου του δένδρου. Ωστόσο, αυτή η χειρότερη συμπεριφορά είναι σπάνια. Σημασία της μοντελοποίησης. Όπως και με κάθε πρόβλημα βελτιστοποίησης, η μοντελοποίηση έχει σημαντικό αντίκτυπο στην απόδοση του αλγορίθμου. Είναι σημαντικό το μαθηματικό μοντέλο να είναι όσο γίνεται πιο σφικτό. Για παράδειγμα αν χρησιμοποιούνται μεγάλοι-μ περιορισμοί τότε το Μ πρέπει να είναι όσο δυνατόν μικρότερο. Η επιλογή ενός κατάλληλου Μ συχνά βασίζεται σε φυσική παρατήρηση του προβλήματος. Επίσης, ένας περιορισμός στην αντικειμενική συνάρτηση του τύπου (, ), όπου το είναι ένα αριθμός (μονοδιάστατος), μπορεί να βοηθήσει. Επίσης η στατιστική του προβλήματος (αριθμός μεταβλητών και περιορισμοί) επηρεάζει την απόδοση. Οι υπολογιστικές απαιτήσεις εξαρτώνται κυρίως από τις μεταβλητές. Ο αριθμός των περιορισμών είναι ο δεύτερος στην σειρά παράγοντας που επηρεάζει τις υπολογιστικές απαιτήσεις και ακολουθεί ο αριθμός των συνεχών μεταβλητών. Ένας δείκτης, που δείχνει την «στενότητα» του μοντέλου, δίνεται από το κενό ακεραίας λύσης το οποίο είναι η διαφορά ανάμεσα στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης στην λύση του MILP και της αντίστοιχης γραμμικής χαλάρωσης. 5

5 Αποτελεσματική λύση των υπο-προβλημάτων. Ο αλγόριθμος Β&Β απαιτεί την λύση πολλών ομοίων LP προβλημάτων. Αυτό, μπορεί να εκμεταλλευτεί για την αύξηση της απόδοσης του αλγορίθμου, καθώς η πληροφορία που συγκεντρώνεται κατά την λύση του μητρικού κόμβου, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση των υπό-προβλημάτων. Παράδειγμα: ( ) ( ) { } 4 4 4 4 4 4,,,, 8 7 4 9 6 4 5...4.5 mn = s t Λύνουμε αυτό το πρόβλημα, χρησιμοποιώντας τον κανόνα του καλύτερου ορίου και κλαδοποιούμε στις πιο κλασματικές μεταβλητές.

ΜΕΙΚΤΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (MINLP) Πολλά φυσικά φαινόμενα στις παραγωγικές διεργασίες περιγράφονται από μηγραμμικά μοντέλα. Έτσι η βελτιστοποίηση διαγραμμάτων ροής ή ακόμη δικτύων συσκευών (αντλίες, εναλλάκτες θερμότητας,) μπορεί να περιγραφεί καλύτερα από MINLP προβλήματα της παρακάτω γενικής μορφής: mn g (, ) (, ) (, ) h R n = {,} q Για την επίλυση αυτών των προβλημάτων, δύο βασικά προβλήματα πρέπει να ξεπεραστούν: Η υπολογιστική φύση του προβλήματος, η οποία προκύπτει από την παρουσία δυαδικών μεταβλητών και η παρουσία τοπικών ελάχιστων, λόγω συναρτήσεων που ενδεχομένως δεν είναι κυρτές... Τεχνικές Β&Β Η βασική αρχή είναι όπως και στα προβλήματα μεικτού ακέραιου γραμμικού προγραμματισμού. Η μόνη διαφορά είναι, ότι η χαλάρωση σε κάθε κόμβου του δένδρου είναι πρόβλημα μη-γραμμικού προγραμματισμού (NLP). Αν αυτό είναι nonconve η λύση της χαλάρωσης είναι ένα κάτω όριο στο MINLP, αν το ολικό ελάχιστο μπορεί να προσδιοριστεί. Διαφορετικά, ο αλγόριθμος Β&Β μπορεί να συγκλίνει σε ένα τοπικό ελάχιστο. Οσον αφορά την απόδοση, δεν είναι εύκολο να γίνεται ενημέρωση και λύση των NLP σε κάθε κόμβο, όπως στην περίπτωση των LP και άρα, χρειάζεται περισσότερη υπολογιστική προσπάθεια σε κάθε κόμβο... Η τεχνική επίλυσης Generalsed Benders Decomposton (GBD) Αυτός ο αλγόριθμος προτάθηκε αρχικά από τον Georon (97). Μπορεί να εφαρμοστεί σε μία υπό-κατηγορία του γενικού προβλήματος (που παρουσιάστηκε παραπάνω) και που έχει την μορφή: 54

mn, h g ( ) ( ) ( ) R n {,} q A c B d C e = () Η συμμετοχή των δυαδικών μεταβλητών περιορίζεται σε μικτούς-διγραμμικούς και γραμμικούς όρους. Αυτό ωστόσο δεν είναι τόσο περιοριστικό, εφόσον κάθε μορφή του γενικού προβλήματος μπορεί να μετατραπεί στην παραπάνω μορφή. Ο αλγόριθμος GBD βασίζεται σε αρχές: Διαχωρισμός του σετ των μεταβλητών. Οι μεταβλητές αναφέρονται ως complcatng μεταβλητές και αντιμετωπίζονται διαφορετικά από τις συνεχείς μεταβλητές. Στην αρχική εργασία του Georon, αυτές οι μεταβλητές δεν περιορίζονταν σε δυαδικές μεταβλητές, αλλά θα μπορούσαν να είναι ακόμη και συνεχείς. Ετσι, ο αλγόριθμος μπορεί να χειριστεί δι-γραμμικές μη-κυρτές συναρτήσεις με ένα ορθολογικό τρόπο. Διάσπαση του προβλήματος. Το πρόβλημα λύνεται εξετάζοντας δύο υπόπροβλήματα: Το πρωταρχικό πρόβλημα το οποίο εξασφαλίζει ένα άνω όριο στην λύση του MINLP και ένα κύριαρχο πρόβλημα το οποίο εξασφαλίζει ένα κάτω όριο στην λύση του MINLP. Επαναληπτική διαδικασία. Χρησιμοποιώντας την πληροφορία από τα παραπάνω υπο-προβλήματα, κατασκευάζονται νέα prmal και master προβλήματα, με τέτοιο τρόπο ώστε τα όρια γίνονται όλο και πιο στενά και να μπορεί να επιτευχθεί σύγκλιση σε ένα συγκεκριμένο αριθμό επαναλήψεων... Το Πρωταρχικό (prmal) πρόβλημα Το prmal πρόβλημα λαμβάνεται φιξάροντας τις δυαδικές μεταβλητές του προβλήματος () σε κάποιες τιμές-συνδυασμό. Έστω ορίζουμε ( ) = ( ) A c, h(, ) = h ( ) B d g(, ) = g ( ) C e. Το prmal πρόβλημα που προκύπτει είναι:, και mn h g (, ) (, ) = (, ) ( P ) R n 55

Το παραπάνω πρόβλημα είναι NLP και εξασφαλίζει ένα άνω όριο στην τελική λύση του αρχικού προβλήματος. Όταν λύνουμε το πρωταρχικό πρόβλημα P δύο περιπτώσεις μπορούν να συναντηθούν: Το NLP να είναι εφικτό (έχει λύσει) και μηεφικτό (αδύνατο). Εφικτό πρωταρχικό πρόβλημα. Σε αυτήν την περίπτωση η λύση του πρωταρχικό προβλήματος δίνει ένα άνω όριο στο αρχικό MINLP και οι τιμές των συνεχών μεταβλητών στην λύση είναι ενώ οι τιμές των πολλαπλασιαστών στην τρέχουσα λύση είναι λ, μ. Η συνάρτηση Lagrange μπορεί να μοντελοποιηθεί ως: L (,, λ, μ ) = (, ) λ h(, ) μ g(, ) Μη-Εφικτό πρωταρχικό πρόβλημα. Σε αυτή την περίπτωση, σχηματίζεται ένα πρόβλημα για την εύρεση δυνατής λύσης και επιλύεται σε μία προσπάθεισ να βρεθεί μία δυνατή λύση ή ένα σχεδόν εφικτό-δυνατό σημείο. mn z, α p α = h(, ) g(, ) R α n = α Η λύση αυτού του προβλήματος είναι μεγαλύτερη από αν δεν μπορεί να βρεθεί IP, κάποιο δυνατό σημείο. Στην λύση, οι πολλαπλασιαστές Lagrange λ και IP, μ επιτρέπουν τον ορισμό της παρακάτω συνάρτησης Lagrange: L IP IP, IP, IP, IP, (, ; λ, μ ) = λ h(, ) μ g(, ).. Το master πρόβλημα Το χαλαρωμένο κυρίαρχο (master) πρόβλημα, σε κάθε επανάληψη Κ σχηματίζεται από τον υπολογισμό των συναρτήσεων Lagrange, στην λύση των prmal και μηδυνατών prmal προβλημάτων, όλων των προηγούμενων επαναλήψεων: mn, η η η L L IP {,} q (,, λ, μ ), IP, IP, (,, λ, μ ), =,... K =,... K Το παραπάνω πρόβλημα είναι MILP, με μία συνεχή μεταβλητή και μπορεί να λυθεί σχετικά εύκολα. Το η είναι ένα κάτω όριο, το οποίο λαμβάνεται συνεχώς 56

αυξανόμενο από την μία επανάληψη στην άλλη. Το διάνυσμα της λύσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή του prmal προβλήματος στην επόμενη επανάληψη K... Ακέραια Cuts Για να εξασφαλιστεί ότι κάθε συνδυασμός των δυαδικών μεταβλητών δεν δημιουργείται δύο φορές, προστίθενται Ακέραια Cuts στο σετ των περιορισμών. Έστω Z = { : = } και NZ = { : = }. Τότε προστίθεται ο παρακάτω περιορισμός ο οποίος κάνει το μία αδύνατη-μη εφικτή λύση: NZ Z NZ Όπου NZ δηλώνει αριθμό των στοιχείων του NZ...4 Κριτήρια Τερματισμού Πρόοδος με τις επαναλήψεις των ορίων στον αλγόριθμο GBD Τυπική εξέλιξη των άνω και κάτω ορίων, κατά την εξέλιξη του αλγορίθμου GBD φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. Ο αλγόριθμος τερματίζει όταν το κάτω όριο υπερβαίνει το τρέχον καλύτερο άνω όριο (δηλ. το μικρότερο άνω όριο), εφόσον οι επόμενες λύσεις μπορούν να οδηγήσουν σε μεγαλύτερη αντικειμενική συνάρτηση. Όταν προστίθενται Ακέραια Cuts στο χαλαρωμένο master πρόβλημα σε κάθε επανάληψη είναι δυνατόν το χαλαρωμένο κυρίαρχο πρόβλημα να γίνει αδύνατο, πριν συγκλίνουν το κάτω με το άνω όριο. Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι εφικτοί ακέραιοι συνδυασμοί έχουν βρεθεί και επομένως η λύση είναι το καλύτερο άνω όριο που έχει βρεθεί έως τότε. 57

Παράδειγμα: Εξετάστε το πρόβλημα: mn,.7 g g = ln = ln {,} ( ) (.57). Η εφικτή περιοχή και η αντικειμενική συνάρτηση είναι κυρτή, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Απεικόνιση του GBD παραδείγματος. Ο Αλγόριθμος Outer Appromaton Ο αλγόριθμος αυτός αναπτύχθηκε από τον Grossmann και τους συνεργάτες του (από το 986) και μπορεί να εφαρμοστεί σε προβλήματα του γενικού τύπου: mn, h g ( ) ( ) ( ) R d e n c {,} q = Η βασική αρχή του αλγορίθμου αυτού είναι ίδια με του GBD, με βασική διαφορά τον τρόπο με τον οποίο κατασκευάζεται το master πρόβλημα. 58

.. Το Master πρόβλημα Αν θεωρήσουμε ότι η αντικειμενική συνάρτηση και η εφικτή περιοχή είναι κυρτή, τότε το παραπάνω γενικό πρόβλημα μπορεί να εκφραστεί μέσω της γραμμικοποίησης (outer appromaton) των περιορισμών και της αντικειμενικής συνάρτησης, σε ένα περιορισμένο αριθμό σημείων, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Γραμμική αναπαράσταση μίας conve εφικτής περιοχής Απαιτείται μία γραμμικοποίηση για να μπορεί να αντιμετωπιστεί το γραμμικό master πρόβλημα και συνήθως απαιτούνται μερικές μόνο γραμμικοποιήσεις. Αυτές οι γραμμικοποιήσεις λαμβάνονται στην λύση των prmal προβλημάτων, για να δώσουν το παρακάτω χαλαρωμένο master πρόβλημα στην K th επανάληψη. mn,, η c g K η ( ) ( ) ( ) [ h ( ) h ( ) ( )] ( ) g ( ) ( ) e R K η n {,} q t d =,..., K Όπου είναι ο πίνακας χαλάρωσης, ένας διαγώνιος πίνακας όπου λ < t = λ > για =,... m και όπου λ συμβολίζει τον πολλαπλασιαστή λ = Lagrange, για το th περιορισμό ισότητας στην λύση του th prmal προβλήματος. 59

Αυτός ο πίνακας μετατρέπει τους περιορισμούς ισοτήτων σε ανισοτικούς περιορισμούς χωρίς την τροποποίηση της λύσης του προβλήματος. Στην περίπτωση που το prmal πρόβλημα είναι αδύνατον, προστίθεται η γραμμικοποίηση των περιορισμών στην λύση του προβλήματος εφικτότητας (αναζήτηση εφικτής λύσης), αλλά η αντικειμενική συνάρτηση δεν γραμμικοποιείται. Το χαλαρωμένο master είναι ένα MILP πρόβλημα το οποίο περιλαμβάνει τις μεταβλητές,, η. Η λύση του είναι ένα κάτω όριο στην λύση του αρχικού γενικού προβλήματος, εφόσον ικανοποιούνται οι συνθήκες του conve Όπως και στον αλγόριθμο GBD, τα κατώτερα όρια αυξάνουν μονοτονικά με την πρόοδο των επαναλήψεων.... Κριτήρια Τερματισμού Ο αλγόριθμός τερματίζει, όταν το κάτω όριο είναι μεγαλύτερο ή ίσο με το άνω όριο στην λύση. Όταν οι συνθήκες convet ικανοποιούνται, τα δύο όρια είναι ακριβώς ίσια στο τέλος της σύγκλισης.... Παράδειγμα Λύνουμε το παράδειγμα που εξετάσαμε πριν με την ΟΑ μέθοδο..4 Σύγκριση των αλγορίθμων ΟΑ και GBD Τα κάτω όρια της λύσης, που γεννώνται με την μέθοδο ΟΑ, είναι συνήθως πιο στενά από τα αντίστοιχα του GBD. Ετσι, η ΟΑ μέθοδος συχνά απαιτεί λιγότερες επαναλήψεις. Ωστόσο το Master πρόβλημα περιλαμβάνει περισσότερους περιορισμούς και συχνά είναι πιο δύσκολο να λυθεί...5 Παράδειγμα σύνθεσης διεργασίας Προτείνεται η Παρασκευή ενός φαρμακευτικού προϊόντος C με την χρήση της διεργασίας, η οποία χρησιμοποιεί ως πρώτη ύλη το συστατικό Β. Το Β μπορεί, είτε να αγοραστεί, είτε να παρασκευαστεί με μία από τις διεργασίες και, οι οποίες χρησιμοποιούν ως πρώτη ύλη το συστατικό Α. Ο στόχος μας είναι να βρεθεί η επιλογή των διεργασιών και το επίπεδο παραγωγής, που μεγιστοποιούν το ολικό κέρδος. Υπερδομή του παραδείγματος σύνθεσης διεργασιών 6

Δεδομένα: Μετατροπές: Έστω tons/hr. F, F, F είναι οι ρυθμοί ροής των A, B, C αντίστοιχα σε A B C Διεργασία : FC =. 9FB F B = ln F A F =.ln Διεργασία : ( ) Διεργασία : ( ) B F A Μέγιστη δυναμικότητα: 5 tons/hr του Β παράγονται από την διεργασία και tons/hr του Β παράγονται από την διεργασία. Τιμές: Α 8/ton; B 7/ton; C /ton. Μέγιστη απαίτηση προϊόντος: ton/hr. Κόστος επένδυσης Σταθερό κόστος ( /hr) Διεργασία.5. Διεργασία.. Διεργασία.5. Μεταβλητό κόστος ( /ton) 6