ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Ενότητα 3: Δειγματοληψία και Ανακατασκευή Σημάτων Όνομα Καθηγητή: Δρ. Ηρακλής Σίμος Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε.
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Common. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους.
1. Σκοποί ενότητας... 4 2. Περιεχόμενα ενότητας... 4 3. Θεωρία... 4 3.1 Εισαγωγή... 4 3.2 Δειγματοληψία... 5 3.3 Θεώρημα δειγματοληψίας... 7
1. Σκοποί ενότητας Στην ενότητα αυτή γίνεται εξοικείωση των σπουδαστών με συστήματα μετατροπής σήματος από αναλογική σε ψηφιακή μορφή. Συγκεκριμένα, γίνεται η εισαγωγή στις βασικές έννοιες της δειγματοληψίας και κβάντισης που είναι τα πρώτα στάδια της ψηφιοποίησης ενός συνεχούς σήματος. 2. Περιεχόμενα ενότητας Οι στόχοι της διδασκαλίας της ενότητας και τα θέματα τα οποία καλύπτει είναι: Η εξοικείωση με τη διαδικασία και τις βασικές έννοιες της δειγματοληψίας. Η εξέταση της λειτουργίας της λήψης και συγκράτησης δειγμάτων από σήματα. Η επίδραση διαφόρων παραμέτρων συχνότητα δειγματοληψίας, εύρος παλμού δειγματοληψίας κτλ. 3. Θεωρία 3.1 Εισαγωγή Τα συστήματα διαμόρφωσης που αναλύθηκαν μέχρι τώρα AM και M, χρησιμοποιούνται κυρίως στις περιπτώσεις που το κανάλι είναι ασύρματο και η μετατόπιση του αρχικού φάσματος του σήματος πληροφορίας σε υψηλές συχνότητες είναι απαραίτητη. Όταν, όμως, το κανάλι μπορεί να χρησιμοποιηθεί για σήματα χαμηλών συχνοτήτων, όπως η ανθρώπινη φωνή, τότε είναι δυνατή η χρήση δύο άλλων κατηγοριών συστημάτων τηλεπικοινωνιών, από τις οποίες η πρώτη περιλαμβάνει τα συστήματα διαμόρφωσης παλμών Pule Modulaion. Για να μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένα τέτοιο σύστημα, το σήμα πρέπει να είναι διακριτό ως προς το χρόνο. Αν αυτό δεν συμβαίνει, τότε το σήμα πρέπει να υποστεί δειγματοληψία, όπου είναι και το πρώτο στάδιο ψηφιοποίησης ενός αναλογικού σήματος. Η ψηφιοποίηση συνεχών σημάτων περιλαμβάνει τα εξής στάδια: Δειγματοληψία Sampling Κβάντιση Quanizaion. Κωδικοποίηση Coding. Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με τις αρχές της δειγματοληψίας και κβάντισης.
3.2 Δειγματοληψία Στα συστήματα τηλεπικοινωνιών εκτός από τα αναλογικά σήματα συναντώνται διακριτά σήματα ή σήματα διακεκριμένου χρόνου, που στις περισσότερες περιπτώσεις προέρχονται από κάποιο αναλογικό σήμα, το οποίο έχει υποστεί δειγματοληψία. Δειγματοληψία ampling λέγεται η διαδικασία κατά την οποία από ένα αναλογικό σήμα λαμβάνεται πεπερασμένος αριθμός τιμών του δείγματα. Μέσω της δειγματοληψίας ένα αναλογικό σήμα συνεχούς χρόνου μετατρέπεται σε μια ακολουθία δειγμάτων ομοιόμορφα κατανεμημένα στον χρόνο. Για να γίνει κατανοητή η έννοια της δειγματοληψίας, στο σχήμα 3.1 έχει σχεδιαστεί ένα αναλογικό σήμα 3.1α καθώς και το αντίστοιχο σήμα διακριτού χρόνου που προκύπτει από τη δειγματοληψία του αναλογικού σήματος 3.1β. α β Σχήμα 3.1: α Αναλογικό σήμα, β το ίδιο σήμα μετά από δειγματοληψία. Για να έχει πρακτική χρησιμότητα η διαδικασία της δειγματοληψίας, θα πρέπει ο ρυθμός με τον οποίο λαμβάνονται τα δείγματα να είναι τέτοιος ώστε το αρχικό σήμα να μπορεί να αναπαραχθεί ορθά από την ακολουθία σημάτων. Ας υποθέσουμε ένα τυχαίο σήμα όπως αυτό του σχήματος 3.2α. Θεωρούμε ότι λαμβάνουμε δείγματα αυτού του σήματος στιγμιαία και με σταθερό ρυθμό, ένα δείγμα ανά T δευτερόλεπτα. Τελικά, το δειγματοληπτημένο σήμα σχήμα 3.2β είναι μια ακολουθία διακριτών δειγμάτων που ισαπέχουν μεταξύ τους χρόνο T, ο οποίος ορίζεται ως η περίοδος της δειγματοληψίας ampling period. Η αντίστοιχη συχνότητα = 1/T με την οποία λαμβάνονται τα δείγματα ονομάζεται συχνότητα δειγματοληψίας ampling requency. Η πιο πάνω μορφή δειγματοληψίας ονομάζεται ομοιόμορφη δειγματοληψία. Έχουν αναπτυχθεί και συστήματα μη ομοιόμορφης δειγματοληψίας, στα οποία η χρονική απόσταση μεταξύ διαδοχικών δειγμάτων δεν είναι σταθερή.
α β Σχήμα 3.2: α Αναλογικό σήμα, β το σήμα μετά από ιδανική δειγματοληψία με συχνότητα. Το σήμα μετά από τη δειγματοληψία δεν είναι όμοιο με το αρχικό αφού ουσιαστικά διατηρούμε μόνο τις τιμές kt, k = 0, ±1, ±2,, και απορρίπτουμε όλες τις υπόλοιπες τιμές. Όμως υπό προϋποθέσεις, μόνο από τα δείγματα του σήματος το αρχικό σήμα μπορεί να αναπαραχθεί πλήρως. Η πιστότητα του σήματος διακριτού χρόνου προς το αρχικό αναλογικό σήμα εξαρτάται από την συχνότητα δειγματοληψίας. Στην περίπτωση χαμηλής συχνότητας δειγματοληψίας οι γρήγορες αλλαγές τους αρχικού σήματος δεν καταγράφονται και η πληροφορία που μεταφέρεται «χάνεται» με αποτέλεσμα την αλλοίωση του αρχικού σήματος. Το πρόβλημα διορθώνεται εφόσον αυξήσουμε τη συχνότητα δειγματοληψίας. Επομένως η τιμή της συχνότητας δειγματοληψίας πρέπει να ικανοποιεί δυο αντικρουόμενες απαιτήσεις: Καλή ποιότητα ψηφιοποίησης απαιτείται υψηλή συχνότητα δειγματοληψίας Μικρό μέγεθος ψηφιακού αρχείου απαιτείται χαμηλή συχνότητα δειγματοληψίας. Στην συνέχεια θα δούμε ποια είναι η απαιτούμενη συχνότητα δειγματοληψίας προκειμένου να ικανοποιούνται οι παραπάνω προϋποθέσεις.
α β γ δ Σχήμα 3.3: α To αναλογικό σήμα, β η συνάρτηση δειγματοληψίας, γ το φάσμα του σήματος X και δ το φάσμα της συνάρτησης δειγματοληψίας S. 3.3 Θεώρημα δειγματοληψίας Για να προσδιορίσουμε την κατάλληλη συχνότητα δειγματοληψίας πρέπει να μελετήσουμε το φάσμα του σήματος που προκύπτει από τη δειγματοληψία. Αυτό μπορεί να γίνει αν γνωρίζουμε το φάσμα του αρχικού σήματος και της συνάρτησης δειγματοληψίας. Ας θεωρήσουμε το αναλογικό σήμα το οποίο δίνεται στο σχήμα 3.3α και την συνάρτηση δειγματοληψίας του σχήματος 3.3β, η οποία περιγράφεται από την σχέση: n nt 3.1 Η συνάρτηση είναι μια άπειρη σειρά κρουστικών παλμών συνάρτηση δέλτα, δ οι οποίοι απέχουν μεταξύ τους σταθερό χρονικό διάστημα T ίση με την περίοδο της δειγματοληψίας. Η περιγραφή των σημάτων στο χώρο των συχνοτήτων γίνεται με χρήση του μετασχηματισμού ourier. Στην γενική περίπτωση που το σήμα είναι ένα σήμα βασικής ζώνης άγνωστης μορφής η περιγραφή του στο φάσμα X δίνεται στο σχήμα
3.3γ από το οποίο διαπιστώνουμε ότι το σήμα έχει εύρος ζώνης 2 ma όπου ma είναι η μέγιστη συχνότητα του σήματος. Η συνάρτηση δειγματοληψίας περιγράφεται στο πεδίο των συχνοτήτων εφαρμόζοντας μετασχηματισμό ourier στην εξίσωση 3.1: m m n m T m T nt S 1 1... } { 3.2 Δηλαδή η συνάρτηση δειγματοληψίας στον χώρο των συχνοτήτων S είναι μια άπειρη σειρά κρουστικών παλμών που ισαπέχουν μεταξύ τους συχνότητα και δίνεται στο σχήμα 3.3δ. Το δειγματοληπτημένο σήμα στο πεδίο του χρόνου δίνεται με πολλαπλασιασμό της συνάρτησης του αρχικού σήματος με την συνάρτηση δειγματοληψίας : n nt 3.3 Χρησιμοποιώντας ξανά τον μετασχηματισμό ourier, το φάσμα του σήματος μετά την δειγματοληψία μπορεί να υπολογιστεί όπως: } { } { } { } { S X X 3.4 Για να καταλήξουμε στο αποτέλεσμα της 3.4 χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα του μετασχηματισμού ourier ότι ο πολλαπλασιασμός στο πεδίο του χρόνου μετατρέπεται σε συνέλιξη * στο πεδίο των συχνοτήτων. Γνωρίζοντας την S από την 3.2 και την ιδιότητα της συνάρτησης δέλτα: 3.5
Καταλήγουμε στην στο φάσμα του σήματος μετά από τη δειγματοληψία: α β Σχήμα 3.4: Το φάσμα του σήματος μετά από τη δειγματοληψία για διάφορες περιπτώσεις της συχνότητας δειγματοληψίας: α > 2 ma, β = 2 ma, γ < 2 ma. γ
X X S X m m X m m 3.6 Η γραφική παράσταση του X δίνεται στο σχήμα 3.4α. Παρατηρούμε ότι τελικά το φάσμα του σήματος μετά τη δειγματοληψία αποτελείται από μια άπειρη σειρά επαναλήψεων του φάσματος του αρχικού σήματος Χ στις συχνότητες 0, ±, ±2, ±3,, όπου είναι η συχνότητα δειγματοληψίας. Στην περίπτωση του σχήματος 5.4α η συχνότητα δειγματοληψίας επιλέχθηκε ώστε να ισχύει > 2 ma. Διαπιστώνουμε ότι το φάσμα του αρχικού σήματος περιέχεται αυτούσιο στο φάσμα του δειγματοληπτημένου και μπορεί να απομονωθεί εύκολα με την χρήση ενός βαθυπερατού φίλτρου χωρίς καμία αλλοίωση. Αντίθετα, όταν η συχνότητα δειγματοληψίας γίνει μικρότερη του εύρους ζώνης του σήματος < 2 ma τότε όπως φαίνεται στο σχήμα 3.4.γ, τα φάσματα των διαφόρων συνιστωσών στις συχνότητες 0, ±, ±2,... επικαλύπτονται μεταξύ τους με αποτέλεσμα την αλλοίωση του φάσματος του αρχικού σήματος. Αυτό συμβαίνει διότι κατά την διαδικασία απομόνωσης του φάσματος του αρχικού σήματος με ένα φίλτρο, μέσα στο εύρος συχνοτήτων του αρχικού σήματος θα υπάρχουν και συχνότητες από μια γειτονική φασματική συνιστώσα. Με βάση τα παραπάνω, ένα συνεχές σήμα που περιέχει συχνότητες όχι μεγαλύτερες από ma μπορεί να ανακατασκευαστεί ακριβώς από τα δείγματά του δειγματοληπτημένου σήματος, αν τα δείγματα αυτά έχουν ληφθεί με συχνότητα = 1/T που είναι μεγαλύτερη από 2 ma. Η συχνότητα αυτή N = 2 ma ονομάζεται ρυθμός/συχνότητα δειγματοληψίας ή Nyqui. Επομένως, το θεώρημα καθορίζει μια ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας N κάτω από την οποία η ακριβής ανάκτηση του αναλογικού σήματος δεν είναι εφικτή. Η δειγματοληψία με συχνότητα χαμηλότερη από τη συχνότητα Nyqui παραμορφώνει το σήμα: Χάνει τις υψηλότερες συχνότητες που τυχόν δεν καλύπτει η επιλεγμένη συχνότητα δειγματοληψίας. Δημιουργεί συχνότητες που δεν υπήρχαν στο αρχικό αναλογικό σήμα, γνωστό και ως φαινόμενο «αναδίπλωσης» aliaing..