ΑΡΧΕΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΑΡΧΕΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Ενότητα #1: Περιοδικά σήματα, τριγωνομετρικές σειρές περιοδικών σημάτων Χ. ΚΑΡΑΪΣΚΟΣ Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Φασματική Ανάλυση Περιοδικών Σημάτων Περιοδικά σήματα, Τριγωνομετρικές σειρές Fourier περιοδικών σημάτων, Φάσματα περιοδικών και μη περιοδικών σημάτων, Φίλτρα 4

5 Περιεχόμενα ενότητας Φασματική Ανάλυση Περιοδικών Σημάτων Περιοδικά σήματα Τριγωνομετρικές σειρές Fourier περιοδικών σημάτων Φάσματα περιοδικών και μη περιοδικών σημάτων Φίλτρα 5

6 Φασματική Ανάλυση Περιοδικών Σημάτων Περιοδικά σήματα

7 Περιοδικά Σήματα Σήμα=Φυσικό μέγεθος που μεταβάλλεται με το χρόνο t Τρόποι παράστασης σήματος: a) Mαθηματική έκφραση στο πεδίο του χρόνου t (π. χ. x(t)=5συν100t) b) Γραφική παράσταση στο πεδίο του χρόνου t (παλμογράφος) c) Γραφική παράσταση στο πεδίο της συχνότητας f (φάσματα πλάτους και φάσης) Σήμα x(t) είναι περιοδικό με περίοδο Τ 0 >0 αν x(t+τ 0 )=x(t) για κάθε t Σήμα x(t) είναι άρτιο αν x(-t)= x(t) για κάθε t Σήμα x(t) είναι περιττό αν x(-t)=x(t) για κάθε t Μαθηματική έκφραση ημιτονικού σήματος: x(t)=aσυν(2πf 0 t+θ), A=πλάτος (θετικές τιμές), θ=φάση (τιμές από -π μέχρι π), f 0 =συχνότητα (θετικές τιμές) 7

8 Φάσματα του ημιτονικού σήματος x(t)=aσυν(2πf 0 t+θ) (1) Φάσμα πλάτους (Για πιο αυστηρή παράσταση χρησιμοποιείται συνάρτηση δ στη συχνότητα f 0 ) 8

9 Φάσματα του ημιτονικού σήματος x(t)=aσυν(2πf 0 t+θ) (2) Φάσμα φάσης 9

10 Φάσματα του σήματος x(t)=a 1 συν(2πf 1 t+θ 1 )+Α 2 συν(2πf 2 t+θ 2 ) (1) Φάσμα πλάτους 10

11 Φάσματα του σήματος x(t)=a 1 συν(2πf 1 t+θ 1 )+Α 2 συν(2πf 2 t+θ 2 ) (2) Φάσμα φάσης (με θ 1 >0 και θ 2 <0) 11

12 Διάφορα σχετικά με ημιτονικά σήματα (1) Σήμα Aσυν(2πf 0 t+θ): Μέση τιμή = 0. Μέση ισχύς (μέση τετραγωνική τιμή) = Α 2 /2 Με Α>0 έχουμε: Σήμα Aσυν2πf 0 t: πλάτος Α, φάση 0 Σήμα -Aσυν2πf 0 t=aσυν(2πf 0 t+π): πλάτος Α, φάση π Σήμα Aημ2πf 0 t=aσυν(2πf 0 t-π/2): πλάτος Α, φάση -π/2 Σήμα -Aημ2πf 0 t=aσυν(2πf 0 t+π/2): πλάτος Α, φάση π/2 Το σήμα Aημ2πf 0 t είναι περιττό σήμα και το Aσυν2πf 0 t είναι άρτιο σήμα 12

13 Διάφορα σχετικά με ημιτονικά σήματα (2) Τώρα κάντε μια Επανάληψη από την Τριγωνομετρία 13

14 Φασματική Ανάλυση Περιοδικών Σημάτων Τριγωνομετρικές σειρές Fourier περιοδικών σημάτων

15 Τριγωνομετρικές σειρές Fourier περιοδικών σημάτων Κάθε περιοδικό σήμα x(t), με περίοδο Τ 0, μπορεί να αναπτυχθεί σε τριγωνομετρική σειρά άπειρων ημιτονικών σημάτων με μη μηδενικές γωνίες φάσης: x(t)=c 0 συνθ 0 +c 1 συν(2πf 0 t+θ 1 )+c 2 συν(2π2f 0 t+θ 2 )+ +c n συν(2πn f 0 t+θ n )+ με c n 0, για n=0,1,2,, -π<θ n π, για n=1,2,3, και θ 0 =0 ή π. Συχνότητα f 0 =1/T 0 : θεμελιώδης συχνότητα Συχνότητα nf 0 : n-στή αρμονική 15

16 Άλλη μορφή της τριγωνομετρικής σειράς (1) x(t)=α 0 +α 1 συν2πf 0 t+α 2 συν2π2f 0 t+ +α n συν2πnf 0 t+ +β 1 ημ2πf 0 t+β 2 ημ2π2f 0 t+ +β n ημ2πnf 0 t+ όπου α n =c n συνθ n και β n =-c n ημθ n Tύποι υπολογισμού των συντελεστών α n και β n : α α Τ = Τ x() t dt 0 0 Τ0 2 Τ0 2 2 n = x() t συν 2π nf0tdt Τ 0 Τ0 2 β Τ0 2 2 n = x() t ηµ 2π nf0tdt Τ 0 Τ0 2 16

17 Άλλη μορφή της τριγωνομετρικής σειράς (2) Ως διάστημα ολοκλήρωσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιοδήποτε χρονικό διάστημα (δ, δ+τ 0 ), μήκους Τ 0, με δ αυτό που μας εξυπηρετεί κάθε φορά στον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων Τα άρτια περιοδικά σήματα έχουν β n =0 και τα περιττά α n =0 Εύρεση του c n από τα α n και β n : c n =(α n2 +β n2 ) 1/2 Εύρεση της θ n από τα α n και β n : Βρίσκουμε την τοξεφ(-β n /α n ) και σ αυτήν προσθέτουμε ή αφαιρούμε π ή τίποτα για να την πάμε στο κατάλληλο τεταρτημόριο (εκεί όπου έχουμε διαπιστώσει ότι βρίσκεται), ακολουθώντας την παρακάτω διαδικασία: 17

18 Άλλη μορφή της τριγωνομετρικής σειράς (3) Το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η θ n εξαρτάται από τα πρόσημα των συνθ n και ημθ n, ήτοι των α n και -β n : Αν α n >0 και -β n >0, η γωνία θ n βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο (τότε δεν προσθέτουμε τίποτα στην τοξεφ(- β n /α n ) γιατί εκεί βρίσκεται κι αυτή) Αν α n <0 και -β n >0, η γωνία θ n βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο (τότε προσθέτουμε π στην τοξεφ(-β n /α n ) για να πάει αυτή στο δεύτερο τεταρτημόριο από το τέταρτο στο οποίο βρίσκεται) 18

19 Άλλη μορφή της τριγωνομετρικής σειράς (4) Αν α n <0 και -β n <0, η γωνία θ n βρίσκεται στο τρίτο τεταρτημόριο (τότε αφαιρούμε π από την τοξεφ(-β n /α n ) για να πάει αυτή στο τρίτο τεταρτημόριο από το πρώτο στο οποίο βρίσκεται) Αν α n >0 και -β n <0, η γωνία θ n βρίσκεται στο τέταρτο τεταρτημόριο (τότε δεν προσθέτουμε τίποτα στην τοξεφ(- β n /α n ) γιατί εκεί βρίσκεται κι αυτή) 19

20 Τέλος Ενότητας