ISBN 978-960-456-461- Copyright, 015, Eκδόσεις ZHTH, Αθανάσιος Πρίκας Tο αρόν έργο νευματικής ιδιοκτησίας ροστατεύεται κατά τις διατάξεις του ελληνικού νόμου (N11/199 όως έχει τροοοιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις ερί νευματικής ιδιοκτησίας Aαγορεύεται αολύτως η άνευ γρατής άδειας του εκδότη κατά οοιοδήοτε τρόο ή μέσο αντιγραφή, φωτοανατύωση και εν γένει ανααραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οοιαδήοτε μορφή (ηλεκτρονική, μηχανική ή άλλη) και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύωση Βιβλιοδεσία Π ZHTH & Σια OE 18ο χλμ Θεσ/νίκης-Περαίας TΘ 4171 Περαία Θεσσαλονίκης TK 570 19 Tηλ: 907 - Fax: 9079 e-mail: info@zitigr wwwzitigr BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ - KENTPIKH ΔIAΘEΣH: Aρμενοούλου 7, 546 5 Θεσσαλονίκη Tηλ: 10070, Fax: 101105 e-mail: sales@zitigr BIBΛIOΠΩΛEIO AΘHNΩN - ΠΩΛHΣH ΛΙΑΝΙΚΗ-XONΔPIKH: Xαριλάου Τρικούη, 106 79 Aθήνα Tηλ-Fax: 10816650 e-mail: athina@zitigr ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ: wwwzitigr
5 Πρόλογος Στο βιβλίο τούτο εριλαμβάνονται ερισσότερες αό 600 ασκήσεις και ροβλήματα Φυσικής αό όλη την ύλη της Γʹ Λυκείου για το μάθημα της Φυσικής ροσανατολισμού θετικών σουδών Παράλληλα, υάρχουν και μεθοδολογικά σχόλια, ό- ου χρειάζεται, ειδικότερα για τις δυσκολότερες εριτώσεις ροβλημάτων Στο τέλος του βιβλίου εριέχονται οι ααντήσεις στις ασκήσεις Στις ιο εύκολες έχει δοθεί η αριθμητική αάντηση μόνο Σε ερισσότερες δύσκολες, αραθέτουμε αναλυτικότερες λύσεις και σχόλια για να κατανοήσουμε ερισσότερο τον τρόο αντιμετώισής τους, και σε ακόμη δυσκολότερες υάρχουν γενικότερα σχόλια για το ώς λύνονται αρόμοιες ασκήσεις ή για σφάλματα τα οοία ρέει να αοφεύγουμε Προσαθήσαμε να κατηγοριοοιήσουμε τις ασκήσεις σε ένα αοδοτικό, κατανοητό και κατά το δυνατό λήρες σύστημα κατηγοριοοίησης Προσαθήσαμε ε- ίσης να αοφύγουμε την εκτεταμένη αράθεση αριθμητικών εφαρμογών και γενικώς την εκτεταμένη αράθεση εύκολων ασκήσεων, διότι αλώς κουράζουν το μαθητή, δεν ροσφέρουν ειλέουν γνώση και κατανόηση, ενώ δίνουν μια ψευδή αίσθηση εάρκειας Μας αασχόλησε ιδιαίτερα η διαβάθμιση, το να ξεκινούμε δηλαδή με εύκολες αριθμητικές εφαρμογές και να εεκτεινόμαστε βαθμιαία σε δυσκολότερες ασκήσεις Προσαθήσαμε ώστε κάθε άσκηση να έχει να ροσφέρει κάτι καινούριο στο μαθητή, εεκτείνοντας με αυτό τον τρόο την κατανόησή του στις έννοιες της Φυσικής και στην εφαρμογή τους στον ραγματικό κόσμο των φυσικών ροβλημάτων, κάοιων ιδιαίτερα ααιτητικών Δεν το κρύβουμε ότι φιλοδοξήσαμε να καλύψουμε οσεσδήοτε ερισσότερες εφαρμογές, οσεσδήοτε ερισσότερες κατηγορίες ασκήσεων Εννοείται ότι το εδίο της Φυσικής, ακόμη και του ειέδου του Λυκείου (φαίνεται να) είναι αεριόριστο, αυτό όμως δε μας αοθάρρυνε, και κανένα δεν ρέει να αοθαρρύνει, αό την ροσάθεια να το εμεδώσουμε και κατακτήσουμε Ευχόμαστε καλή εριλάνηση στις εριοχές της Φυσικής σε συναδέλφους και μαθητές, και καλή ειτυχία σε κάθε είδους εξεταστικές δοκιμασίες Ιούνιος 015 Αθανάσιος Πρίκας, Φυσικός, διδάκτωρ Φυσικής * * athanasios_prikas@yahoogr
7 Περιεχόμενα 1 ο κεφάλαιο Κρούσεις Α1 Κρούσεις 11 Α11 Κεντρικές ελαστικές κρούσεις 11 Α1 Ελαστική κρούση σε δύο διαστάσεις 1 Α1 Ανελαστικές κρούσεις, εκρήξεις και άλλες εφαρμογές της διατήρησης της ορμής 1 ο κεφάλαιο Ταλαντώσεις Β1 Κινηματική των ταλαντώσεων 17 Β11 Γραφικές αραστάσεις, εύρεση θέσης, ταχύτητας και ειτάχυνσης, με γνωστό το χρόνο 17 Β1 Δίνεται ή ζητείται μόνο ταχύτητα, θέση ή ειτάχυνση, χωρίς χρόνο 18 Β1 Ασκήσεις με την αρχική φάση 19 Β14 Δίνεται θέση (ή ταχύτητα ή ειτάχυνση) και ζητείται ο χρόνος Β15 Εύρεση των εξισώσεων ή στοιχείων της ταλάντωσης αό άλλα δεδομένα 4 Β16 Δύο κινητά 5 Β Η δύναμη και η ενέργεια στην αατ 6 Β1 Αριθμητικοί υολογισμοί 6 Β Να αοδειχθεί ότι ένα σώμα εκτελεί αατ 7 Β Υολογισμοί ενεργειών και τριγωνομετρικού τύου ροβλήματα 1 Β4 Ασκήσεις με διατήρηση της ενέργειας ταλάντωσης Β5 Ασκήσεις στις οοίες ροσφέρουμε ενέργεια ή ασκούμε δύναμη σε ένα σώμα για να εκτελέσει αατ Β6 Η διαφορά ανάμεσα στη δυναμική του ελατηρίου και στη δυναμική της ταλάντωσης 6 Β7 Πότε χάνεται εαφή ανάμεσα σε δύο σώματα ου εκτελούν αατ (ή σε ένα σώμα και ελατήριο) 8 Β8 Πότε ένα σώμα ολισθαίνει ως ρος άλλο 41 Β9 Ρυθμοί μεταβολής 4 Β10 Περιοδικές κινήσεις αλλά όχι ταλαντώσεις 4
8 Α Πρίκας: Φυσική Γ Λυκείου Θετικών Σουδών Ασκήσεις και Προβλήματα Β Κρούσεις εκρήξεις και ταλάντωση 44 Β1 Κρούσεις και εκρήξεις με οριζόντιο ελατήριο (= ασκήσεις στις οοίες δεν αλλάζει η θέση ισορροίας) 44 Β Κατακόρυφο ή κεκλιμένο ελατήριο και κρούση έκρηξη (= αλλαγή θέσης ισορροίας) 47 Β Προσθέτουμε ή αφαιρούμε μάζα αό ένα σώμα χωρίς τη χρήση διατήρησης ορμής 48 Β4 Περιτώσεις ου χρειάζεται ανάλυση η ορμή του αρχικού σώματος (= όταν η ταχύτητα του σώματος ου έφτει σε ένα ελατήριο δεν είναι στον άξονα του ελατηρίου) 51 Β5 Κρούση σε ελατήριο με ολλά σώματα 5 Β6 Ελαστικές κρούσεις και ταλαντώσεις 55 Β4 Φθίνουσες Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις 57 Β41 Υολογισμοί σε φθίνουσες ταλαντώσεις 57 Β4 Υολογισμοί σε εξαναγκασμένες ταλαντώσεις Συντονισμός 59 Β5 Σύνθεση ταλαντώσεων 60 Β51 Ταλαντώσεις με ίδια συχνότητα 60 Β5 Διακρότημα 61 ο κεφάλαιο Κύματα Γ1 Το αρμονικό κύμα 65 Γ11 Δίνεται η εξίσωση του κύματος 65 Γ1 Εύρεση της διεύθυνσης διάδοσης των κυμάτων 67 Γ1 Εύρεση της εξίσωσης του κύματος αό στοιχεία ου δίνονται (βασικές εριτώσεις) 68 Γ14 Ασκήσεις με τη φάση του κύματος 71 Γ15 Ασκήσεις στις οοίες δε χρησιμοοιούμε το χρόνο για την εύρεση του λάτους/εριόδου 7 Γ16 Είλυση τριγωνομετρικής εξίσωσης 7 Γ17 Κύματα ου δεν ξεκινούν αό την αρχή των αξόνων ή τη χρονική στιγμή 0 78 Γ18 Προσδιορισμός του κύματος με ολλαλούς τριγωνομετρικούς υολογισμούς, και άλλες, σχετικά δύσκολες, ασκήσεις 79 Γ Συμβολή 8 Γ1 Εύρεση σημείων ου αρουσιάζουν συμβολή 84 Γ Εξέταση σημείων για το τι είδους συμβολή έχουμε σε αυτά 84 Γ Δημιουργία συμβολής αό κύματα με διαφορά φάσης ή διαφορετικά λάτη ή διαφορετική συχνότητα 86
Περιεχόμενα 9 Γ4 Γ5 Προσδιορισμός του μήκους κύματος αό διάφορες διατάξεις συμβολής (συμβολόμετρα) 87 Εύρεση των κυμάτων ου συμβάλλουν αό τη γραφική αράσταση της ταλάντωσης ενός σημείου 89 Γ Στάσιμα κύματα 90 Γ1 Δίνονται τα κύματα ου συμβάλλουν και ζητείται η εξίσωση του στάσιμου 90 Γ Εύρεση των κυμάτων όταν δίνεται το στάσιμο 91 Γ Εύρεση δεσμών κοιλιών και άλλων χαρακτηριστικών των σημείων αν δίνεται η εξίσωση του στάσιμου 91 Γ4 Προσδιορισμός μήκους κύματος στάσιμων κυμάτων αό το μήκος χορδής 9 Γ5 Στάσιμα κύματα με διαφορετικές εξισώσεις 9 Γ6 Προσδιορισμός του μήκους κύματος του στάσιμου κύματος αό διάφορα σημεία του 94 Γ4 Φαινόμενο Doppler 95 4 ο κεφάλαιο Μηχανική Ρευστών Δ1 Ρευστά σε ισορροία 97 Δ11 Εφαρμογές στο θεμελιώδη νόμο της υδροστατικής 97 Δ1 Εφαρμογές στον ορισμό της ιέσεως 98 Δ1 Γενικές ασκήσεις ρευστών σε ισορροία 101 Δ Δυναμική των ρευστών 108 Δ1 Παροχή 108 Δ Η εξίσωση της συνέχειας 108 Δ Η εξίσωση του Bernoulli 109 Δ Πραγματικά ρευστά 119 Δ1 Αριθμητικές εφαρμογές 119 Δ Ζητήματα οιοτικής κατανόησης 119 Δ4 Ρευστά και ταλαντώσεις 11 5 ο κεφάλαιο Στερεό σώμα Ε1 Κινηματική 1 Ε11 Περιστροφική κίνηση 1 Ε1 Σύνθετη κίνηση Κύλιση 15
10 Α Πρίκας: Φυσική Γ Λυκείου Θετικών Σουδών Ασκήσεις και Προβλήματα Ε Ροή Ισορροία 17 Ε1 Αλές ασκήσεις, χωρίς ανάλυση δυνάμεων 17 Ε Περισσότερο δύσκολες ασκήσεις (κυρίως με ανάλυση δυνάμεων) 19 Ε Ισορροία ερισσότερων του ενός στερεών, εκτεταμένων, σωμάτων 14 Ε Ροή αδράνειας 15 Ε1 Εφαρμογές της θεωρίας Θεώρημα Steiner 15 Ε Προβλήματα με υκνότητα και αφαίρεση τμημάτων αό σώματα 19 Ε Προβλήματα με αξιοοίηση συμμετρίας 14 Ε4 Ο ος νόμος του Νεύτωνα στο στερεό σώμα 14 Ε41 Μόνο εριστροφική κίνηση 14 Ε4 Περιστροφική και μεταφορική κίνηση σε διαφορετικά σώματα 148 Ε4 Κύλιση, βασικές εριτώσεις με ένα σώμα 154 Ε44 Κίνηση σε ελεύθερο και χωρίς τριβές στερεό 165 Ε45 Ολίσθηση ή εριστροφή με τριβή αντί κύλισης 166 Ε46 «Κύλιση» αλλά με κινούμενο «δάεδο» 171 Ε47 Κυλίσεις, μεταφορές και εριστροφές σε διάφορους συνδυασμούς 174 Ε5 Η στροφορμή Ενεργειακά θεωρήματα 18 Ε51 Υολογισμοί στροφορμής και κινητικής ενέργειας σε αλές εριτώσεις 18 Ε5 Υολογισμοί στροφορμής και κινητικής ενέργειας σε ερισσότερο ολύλοκες κινήσεις 18 Ε5 Η γενικευμένη διατύωση του ου νόμου του Νεύτωνα 185 Ε54 Η διατήρηση της στροφορμής 187 Ε55 Υολογισμοί έργων, ΘΜΚΕ 189 Ε6 Στερεό σώμα και Ταλαντώσεις 198 Ε61 Ισορροία με ελατήρια (και άλλες ψευδο-συνδυαστικές ασκήσεις) 198 Ε6 Γνησίως συνδυαστικές ασκήσεις ταλαντώσεων και στερεού σώματος 199 Ααντήσεις & Λύσεις των ασκήσεων Κεφ 1 Κρούσεις 05 Κεφ Ταλαντώσεις 06 Κεφ Κύματα 14 Κεφ 4 Μηχανική Ρευστών 1 Κεφ 5 Στερεό σώμα 8
1 o Κεφ 1: Κρούσεις 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Κρούσεις A1 Κρούσεις Α11 Κεντρικές ελαστικές κρούσεις A111 Σώματα με μάζες m1 1Kg και m Kg κινούνται με αντίρροες ταχύτητες μέτρων υ1 10m/s και υ m/s και συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά α) Να βρεθούν οι τελικές τους ταχύτητες β) Να βρεθεί το έργο της κάθε δύναμης ου ασκεί το ένα σώμα στο άλλο Το ότι καταλήξατε σε μια σχέση εδώ, σημαίνει ότι η ίδια σχέση θα ισχύει άντα; γ) Αν η μέση διάρκεια της κρούσης είναι Δt 0,1s, να βρείτε τη μέση δύναμη ου ασκεί το ένα σώμα στο άλλο κατά τη διάρκεια της κρούσεως Το συμέρασμα στο οοίο καταλήγετε σε αυτό το ερώτημα είναι γενικό ή όχι; δ) Να βρεθεί το οσοστό της μεταβολής της κινητικής ενέργειας κάθε σώματος κατά τη σύγκρουση A11 Να αοδείξετε σε μια κεντρική ελαστική κρούση ότι: α) Οι μεταβολές των ορμών των σωμάτων είναι αντίθετες β) Το έργο ου αράγει η δύναμη ου ασκείται αό το ένα σώμα στο άλλο είναι αντίθετο του έργου ου αράγει η αντίδρασή της A11 Ένα σώμα μάζας m 1 κινείται με ταχύτητα υ 1 και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ένα άλλο σώμα μάζας m m1 ου κινείται με ταχύτητα υ Ποιες είναι ροσεγγιστικά οι ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση; Ανααράγονται τα γνωστά αοτελέσματα για την ερίτωση ου το μεγάλο σώμα είναι α- κίνητο ριν τη σύγκρουση; A114 Αν ένα σώμα m είναι αρχικά ακίνητο, όση θα ρέει να είναι η μάζα ενός σώματος m 1, το οοίο εκτελεί κεντρική ελαστική κρούση με το m, ώστε να μεταφερθεί στο m το αρακάτω οσοστό κινητικής ενέργειας: α) 100%, β) 50%, γ) 0% ; Εκφράστε τη μάζα m 1 ως συνάρτηση της m
1 Α Πρίκας: Φυσική Γ Λυκείου Θετικών Σουδών Ασκήσεις και Προβλήματα A115 Στο διλανό σχήμα έχουμε υ κάοιες σφαίρες, οι οοίες εκτελούν μόνο μεταφορική κίνηση με ίδια ταχύτητα άνω στη διάκεντρό τους και έφτουν άνω σε άλλες όμοιες, ακίνητες Τα κέντρα όλων των σφαιρών βρίσκονται άνω στο φορέα της ταχύτητας Αν οι κρούσεις είναι κεντρικές και ελαστικές, οιες σφαίρες θα κινηθούν τελικά και με τί ταχύτητα; Ειβεβαιώστε ότι κάοιες άλλες λύσεις ου φαίνονται να ικανοοιούν τη διατήρηση της ορμής, δεν ικανοοιούν τη διατήρηση της ενέργειας, ου σημαίνει ότι η κρούση θα έαυε σε αυτή την υοθετική ερίτωση να είναι ελαστική A116 Μέσα σε ένα δωμάτιο δεν υάρχει τίοτε άλλο (ούτε βαρύτητα), εκτός αό N 6 όμοια ελαστικά σώματα μάζας m το καθένα, τα οοία μορούν να ε- κτελούν ελαστικές κρούσεις μεταξύ τους ή με τους τοίχους του δωματίου Προσανατολίζουμε έτσι τα σώματα ώστε ανά δύο να έφτουν άνω σε αράλληλα τοιχώματα, κάθετα σε αυτά, να ανακλώνται αό αυτά, και να συγκρούονται ξανά με τα τοιχώματα, και ξανά να ανακλώνται κτλ Όλες οι ταχύτητές τους έχουν μέτρο υ Το δωμάτιο έχει διαστάσεις l l l Μορείτε να βρείτε την ίεση ου ασκείται μέσα στο δωμάτιο, εξαιτίας της ρόσκρουσης των ελαστικών σωμάτων στα τοιχώματά του; Σας θυμίζει κάτι το αοτέλεσμά σας; Θυμίζουμε ότι η ίεση είναι το ηλίκο της κάθετης δύναμης ου ασκείται σε κάοια ειφάνεια διά το εμβαδό αυτής της ειφάνειας Αν οι ταχύτητες δεν ήσαν κάθετες στις ειφάνειες, ιστεύετε ότι θα αίρναμε το ίδιο αοτέλεσμα; Μορείτε να αιτιολογήσετε την αάντησή σας αό φυσικής λευράς; Α1 Ελαστική κρούση σε δύο διαστάσεις A11 Ένα σώμα έφτει με κάοια ταχύτητα υό γωνία σε ένα λείο αντικείμενο με ολύ μεγαλύτερη μάζα Με βάση τις αρχές διατήρησης, να αοδείξετε το «νόμο της ανάκλασης», ότι δηλαδή το σώμα ου έφτει αομακρύνεται με ίδια γωνία και με ίδιο μέτρο ταχύτητας A1 Ένα σώμα έφτει σε ένα άλλο ακίνητο ίσης μάζας και εκτελεί ελαστική κρούση με αυτό Να αοδείξετε ότι οι ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση είναι μεταξύ τους κάθετες A1 Ένα σώμα μάζας m 1 ου κινείται με ταχύτητα υ 1 ροσίτει άνω σε ακίνητο σώμα μάζας m και εκτελεί όχι κεντρική ελαστική κρούση στο είεδο με
Κεφ 1: Κρούσεις 1 αυτό Το μόνο ου γνωρίζουμε είναι ότι η κατεύθυνση της τελικής ταχύτητας του m 1 σχηματίζει γωνία 45 με την αρχική ταχύτητά του Να γράψετε τις εξισώσεις με τη βοήθεια των οοίων θα βρούμε τις τελικές ταχύτητες των σωμάτων *** A14 Δύο όμοιες σφαίρες ραγματοοιούν έκκεντρη ελαστική κρούση με ταχύτητες ίδιου μέτρου και αντίθετων κατευθύνσεων Έστω R η ακτίνα τους και l η αόσταση ανάμεσα στις διευθύνσεις των ταχυτήτων των δύο σφαιρών Να βρεθούν οι τελικές ταχύτητες των σφαιρών, αν: α) l R, β) l R υ l υ A15 Στο διλανό σχήμα βλέουμε μία σφαίρα η οοία έφτει άνω σε δύο άλλες ακίνητες Και οι τρεις σφαίρες είναι όμοιες Δίνεται η ταχύτητα υ της σφαίρας η οοία βρίσκεται στη μεσοκάθετο της διακέντρου των δύο άλλων σφαιρών υ Να βρεθούν οι ταχύτητες των σφαιρών μετά τη σύγκρουση, αν αυτή είναι ελαστική (Εννοείται ότι τριβές μεταξύ των ειφανειών των σφαιρών δεν υάρχουν, διότι τότε δε θα ή- ταν ελαστική η κρούση) Α1 Ανελαστικές κρούσεις, εκρήξεις και άλλες εφαρμογές της διατήρησης της ορμής A11 Μία σφαίρα μάζας 100 g και ταχύτητας 00 m/s έφτει άνω σε ακίνητο ξύλινο στόχο ου ζυγίζει 10 Kg και εξέρχεται αό αυτόν με ταχύτητα 50 m/s, ομόρροη της αρχικής α) Ποιο οσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας έγινε θερμότητα; β) Πόση θα ήταν η ταχύτητα της σφαίρας αν η κινητική της ενέργεια μειωνόταν στο 6% της αρχικής της και οια θα ήταν τότε η ταχύτητα του ξύλινου στόχου; γ) Ποιο είναι το μέγιστο οσό της κινητικής ενέργειας ου μορεί να μετατραεί σε θερμότητα; A1 Δύο σώματα με μάζες m1 Kg και m,5kg κινούνται με ταχύτητες υ1 5/m/s και υ 4/7m/s, σε κάθετες μεταξύ τους διευθύνσεις Κάοια στιγμή συγκρούονται λαστικά Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος;
5 o Κεφ 5: Στερεό σώμα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στερεό σώμα E 1 Κινηματική Ε11 Περιστροφική κίνηση E111 Ένας δίσκος με ακτίνα r 0,m εριστρέφεται ερί άξονα ου διέρχεται αό το γεωμετρικό του κέντρο και είναι κάθετος σε αυτόν, με γωνιακή ταχύτητα ω0 10rad/s Ο δίσκος έχει σταθερή γωνιακή ειβράδυνση μέτρου aγ rad/s Να βρεθούν τη χρονική στιγμή 0: α) Το μέτρο της γωνιακής και της γραμμικής ταχύτητας ενός σημείου της εριφέρειας του δίσκου β) Το μέτρο της γωνιακής και της γραμμικής ταχύτητας ενός σημείου ου αέχει r 0,1m αό το κέντρο του δίσκου γ) Το μέτρο της γωνιακής ειτάχυνσης, της κεντρομόλου ειτάχυνσης, της ειτρόχιας ειτάχυνσης και της συνολικής ειτάχυνσης ενός σημείου της εριφέρειας του δίσκου δ) Το μέτρο της γωνιακής ειτάχυνσης, της κεντρομόλου ειτάχυνσης, της ειτρόχιας ειτάχυνσης και της συνολικής ειτάχυνσης ενός σημείου ου αέχει r 0,1m αό το κέντρο του δίσκου ε) Ποιες αό τις ειταχύνσεις των ροηγούμενων ερωτημάτων εξαρτώνται αό την αόσταση του σημείου αό τον άξονα εριστροφής; στ) Ποιες αό τις ειταχύνσεις των σημείων θα μεταβληθούν με το χρόνο; E11 Ένα στερεό σώμα έχει αρχική γωνιακή ταχύτητα ω 0 και γωνιακή ειτάχυνση a γ (ομόρροη της γωνιακής ταχύτητας) Θεωρούμε ένα σημείο ου αέχει αόσταση r αό τον άξονα εριστροφής του σώματος Να γίνουν οιοτικές γραφικές αραστάσεις συναρτήσει του χρόνου: α) Της γωνιακής ειτάχυνσης β) Της γωνιακής ταχύτητας γ) Της γωνίας ου διαγράφει η ειβατική ακτίνα του σημείου
14 Α Πρίκας: Φυσική Γ Λυκείου Θετικών Σουδών Ασκήσεις και Προβλήματα δ) Της ταχύτητας του σημείου ε) Της ειτρόχιας ειτάχυνσης του σημείου στ) Του μήκους του τόξου ου διαγράφει το σημείο ζ) Της κεντρομόλου ειτάχυνσης του σημείου η) Της συνολικής ειτάχυνσης του σημείου θ) Της αόστασης του σημείου αό την αρχική του θέση (εννοείται ευθύγραμη αόσταση, αλλιώς θα ρωτούσαμε για το μήκος του τόξου) E11 Ένα στερεό σώμα έχει αρχική γωνιακή ταχύτητα ω 0 και γωνιακή ειτάχυνση a γ (ομόρροη της γωνιακής ταχύτητας) Να γίνουν οι γραφικές αραστάσεις για τη δεδομένη χρονική στιγμή (0) των αρακάτω μεγεθών, συναρτήσει της αόστασης του σημείου του στερεού σώματος αό τον άξονα εριστροφής του: α) Της γωνιακής ταχύτητας β) Της γωνιακής ειτάχυνσης γ) Της ταχύτητας δ) Της ειτρόχιας ειτάχυνσης ε) Της κεντρομόλου ειτάχυνσης στ) Της συνολικής ειτάχυνσης E114 Τα αρακάτω διαγράμματα αεικονίζουν τη γωνιακή ταχύτητα ενός στερεού σώματος συναρτήσει του χρόνου Να χαρακτηριστούν οι κινήσεις και να γίνουν τα αντίστοιχα διαγράμματα γωνιακής ειτάχυνσης-χρόνου και γωνιακής μετατόισης-χρόνου 6 ω rad ( s ) 5 4 1 0 1 4 5 0 1 4 5 α) t (s) β) t (s) ω rad ( s ) 6 4 0 - -4 γ) ω rad ( s ) 1 4 5 4 1 t (s) E115 Θεωρήστε ότι τα αραάνω διαγράμματα αριστάνουν τη γωνιακή ειτάχυνση συναρτήσει του χρόνου Όου δηλαδή γράφει γωνιακή ταχύτητα, αντικατα-
Κεφ 5: Στερεό σώμα 15 στήστε τη με τη γωνιακή ειτάχυνση αφήνοντας ίδια τα νούμερα και αλλάζοντας τις μονάδες Να βρείτε τις γραφικές αραστάσεις της γωνιακής ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου, υοθέτοντας ότι η αρχική γωνιακή ταχύτητα είναι 0 Μορείτε να χαρακτηρίσετε το κάθε είδος κίνησης; (Ειταχυνόμενη με σταθερή ειτάχυνση, ειταχυνόμενη με ειτάχυνση ου αυξάνεται ή ου μειώνεται, ειβραδυνόμενη, κτλ) E116 Στο διλανό διάγραμμα δίνεται Δθ 5 (rad) η γωνία ου διαγράφει ένα στερεό συναρτήσει του χρόνου Μορείτε με βάση 15 0 το διάγραμμα να βρείτε την αρχική γωνιακή ταχύτητα και τη γωνιακή ειτάχυνση 5 10 του σώματος; 0 4 6 8 10 t (s) E117 Σε ένα στερεό σώμα ισχύει: ω0 10rad/s, aγ rad/s Να βρεθούν: α) Η γωνιακή ταχύτητα και η γωνία ου έχει διαγράψει το στερεό σε χρόνο t s β) Ο χρόνος για να μεγιστοοιηθεί η γωνία ου έχει διαγράψει το στερεό και η τιμή της μέγιστης γωνιακής του μετατόισης γ) Ο χρόνος ή οι χρόνοι κατά τους οοίους το στερεό έχει διαγράψει μηδενική γωνία και η γωνιακή ταχύτητα ου έχει τότε Ποια η φυσική σημασία κάθε μίας αό τις τιμές ου βρίσκουμε; δ) Οι χρονικές στιγμές κατά τις οοίες το στερεό έχει διαγράψει γωνία ίση με 1rad, και η τιμή ου έχει τότε η γωνιακή ταχύτητα Έχει φυσική σημασία το ότι οι ταχύτητες έχουν ίσα μέτρα; ε) Η χρονική στιγμή κατά την οοία το στερεό έχει διαγράψει γωνία Δθ 9rad Γιατί έχει ροκύψει αρνητικός χρόνος; Θα μορούσε να έχει κάοιο φυσικό νόημα, ή αλώς τα μαθηματικά κάνουν και κανένα λάθος ότεότε; Ε1 Σύνθετη κίνηση Κύλιση E11 Ένας δίσκος με R 1m εκτελεί κύλιση με υ cm 1 m/s και acm 1m/s Να βρεθεί η ταχύτητα και η ειτάχυνση των σημείων ου σημειώνονται στο σχήμα Όσα σημεία δεν είναι στην εριφέρεια ή στο κέντρο μάζας βρίσκονται σε αόσταση r R/ αό το κέντρο μάζας
16 Α Πρίκας: Φυσική Γ Λυκείου Θετικών Σουδών Ασκήσεις και Προβλήματα E1 Ένας λανήτης, όως αυτός ου σημειώνεται A στο σχήμα, εριστρέφεται ερί τον ήλιο και ερί τον εαυτό του Έστω ότι ολοκληρώνει μια εριστροφή σε ένα Γ χρονικό διάστημα T y, ενώ η ερίοδος εριστροφής ερί B τον εαυτό του είναι T Να βρεθεί η ταχύτητα και η ειτάχυνση των σημείων του λανήτη ου σημειώνονται στο σχήμα, αν ο λανήτης εριστρέφεται γύρω αό τον ήλιο και τον εαυτό του: α) Με ίδιες φορές εριστροφής β) Με αντίθετες φορές εριστροφής Δίνονται η ακτίνα του λανήτη R και η α- κτίνα εριστροφής γύρω αό τον ήλιο του R y (αό το κέντρο του ήλιου δηλαδή μέχρι το κέντρο του λανήτη) Θα μορούσε υό κάοιες συνθήκες (και οιες ακριβώς;) η ανωτέρω κίνηση να θεωρηθεί «κύλιση»; Ποια είναι η θεμελιώδης διαφορά ανάμεσα στην κύλιση και σε αυτή το είδος κινήσεως; Θα μορούσατε να βρείτε την ειτάχυνση του κάθε σημείου; E1 Σε ένα σώμα ου εκτελεί κύλιση ξετυλίγεται ένα σκοινί ου ερνάει αό το ανώτατο σημείο του σώματος, όως στο σχήμα Αν ο ρυθμός αύξησης του μήκους του σκοινιού είναι m/s, οια είναι η ταχύτητα του κέντρου μάζας του σώματος; Ποια είναι η ταχύτητα με την οοία μετατοίζεται το άκρο του σκοινιού στο οοίο εφαρμόζεται η δύναμη; E14 Στο αραάνω σχήμα ξετυλίγουμε το σχοινί αό ένα αυλάκι ου βρίσκεται σε αόσταση r R/ αό το κέντρο του κύκλου, όου R η ακτίνα του αραάνω σώματος Αν το σκοινί ξετυλίγεται με ρυθμό m/s, οια είναι η ταχύτητα του κέντρου μάζας του σώματος και οια η ταχύτητα του σημείου εφαρμογής της δυνάμεως; r = R/ E15 Υοθέστε τώρα ότι το σώμα του σχήματος έχει μεν κυκλικές διατομές αντού, αλλά μοιάζει με τα βαράκια (ου ενίοτε τα λέμε και διλό κύλινδρο ή όως αλλιώς) Αυτό σημαίνει ότι μορεί να εκτελεί «κύλιση 19» αλλά το ακίνητο σημείο δε βρίσκεται σε r R, αλλά στο r R/, όως φαίνεται στο αρακάτω σχήμα 19 Τώρα αν θα ονομάσουμε κύλιση, «κύλιση», ή κάως αλλιώς το είδος της κινήσεως ουδόλως ενδιαφέρει όοιον ενδιαφέρει η Φυσική ή οι εξετάσεις ή και τα δύο μαζί
Κεφ 5: Στερεό σώμα 17 Θεωρήστε γνωστό το μέτρο της μεταφορικής ταχύτητας του σώματος υ cm και το μέτρο της ειτάχυνσης του κέντρου μάζας a cm, και υολογίστε τα μέτρα των ταχυτήτων και των ειταχύνσεων όλων των σημείων ου σημειώνονται στο σχήμα Όσα σημεία δε βρίσκονται στην εριφέρεια του μεγάλου κυλίνδρου ή στο κέντρο μάζας, βρίσκονται στην εριφέρεια του εσωτερικού κυλίνδρου, ακτίνας R/ 8 4 7 1 6 5 9 E16 Θεωρήστε ότι ένα σώμα, όως ένα βαράκι, έχει σκοινί γύρω του, το οοίο ξετυλίγεται αό το ανώτατο σημείο, ενώ το βαράκι ακουμά σε ένα ενδιάμεσο σημείο, όως στο ροηγούμενο ρόβλημα, σε r R/ Εάν το σκοινί ξετυλίγεται με ρυθμό m/s, οια είναι η ταχύτητα του κέντρου μάζας, η ταχύτητα με την οοία κινείται το σημείο εφαρμογής της δυνάμεως, και η ταχύτητα του ανώτατου σημείου; E17 Για ένα σημείο στην εριφέρεια σώματος ου εκτελεί κύλιση, βρείτε τις συντεταγμένες του, δηλαδή βρείτε το x και το y συναρτήσει του χρόνου Δίνονται η γωνιακή ταχύτητα ω και η ακτίνα R του σώματος E Ροή - Ισορροία Ε1 Αλές ασκήσεις, χωρίς ανάλυση δυνάμεων E11 Έστω μια οριζόντια δοκός με μάζα M 80Kg και μήκος L 4m Η δοκός στηρίζεται σε δύο υοστηρίγματα, καθένα αό τα οοία αέχει αόσταση L/4 αό τα άκρα της Άνθρωος μάζας m 60Kg ερατά άνω στη ράβδο α) Να βρεθούν οι δυνάμεις ου ασκούνται αό τα υοστηρίγματα Α και Β συναρτήσει της αόστασης x του ανθρώου αό το άκρο της ράβδου ου βρίσκεται κοντινότερα στο Α Δίνεται g 10m/s β) Πόση θα έρεε να είναι η μάζα του ανθρώου όταν αυτός βρεθεί σε κάοιο άκρο της δοκού, ώστε αυτή να κινδυνεύει να ανατραεί; γ) Οι σχέσεις στις οοίες καταλήξατε στο α ερώτημα μοιάζουν να μην είναι συμμετρικές Δε θα έρεε να είναι, εφόσον δεν έχει σημασία αό οιο άκρο μετράμε τις αοστάσεις; Για να ειστείτε ότι είναι συμμετρικές, κάντε τη γραφική
18 Α Πρίκας: Φυσική Γ Λυκείου Θετικών Σουδών Ασκήσεις και Προβλήματα αράσταση συναρτήσει της αόστασης και των δύο δυνάμεων αό τα υοστηρίγματα, σε κοινό διάγραμμα E1 Ποια είναι η μεγαλύτερη γωνία θ στην οοία μορεί να στραφεί ένα ορθογώνιο αραλληλείεδο, με διαστάσεις της ό- ψης του 15cm 0cm, χωρίς να ανατραεί; θ E1 Ας δούμε τώρα και μια ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα άσκηση, η οοία ουσιαστικά εριγράφει m m 1 το ώς λειτουργούν οι μοχλοί και ώς μορούμε x με λίγη δύναμη, όως αυτή ου ασκεί το ελαφρύτερο σώμα στη ράβδο, και μια σχετικά ελαφριά αλλά ανθεκτική ράβδο, να μετακινήσουμε μεγαλύτερα βάρη: 0 Στα άκρα μιας αβαρούς ράβδου, μήκους L 6m, τοοθετούμε δύο σημειακά σώματα με μάζες m1 1Kg και m Kg Θέλουμε να τοοθετήσουμε ένα υοστήριγμα κάτω αό τη ράβδο, ώστε αυτή να ισορροήσει Σε οια αόσταση x ρέει να τοοθετήσουμε το υοστήριγμα; Το ίδιο θα ααντούσαμε, αν μας ρωτούσε κανείς αό οιο σημείο θα έρεε να κρεμάσουμε τη ράβδο ώστε να ισορροεί E14 Σε μια αβαρή ράβδο μήκους L 6m τοοθετούμε τρία σώματα με μάζες m1 1Kg στο m m m 1 αριστερό της άκρο, m Kg σε αόσταση 1m x αό το δεξιό της άκρο, και m Kg στο δεξιό της άκρο Σε οιο σημείο ρέει να τοοθετηθεί ένα υοστήριγμα, ώστε να ισορροήσει η ράβδος; Υάρχει ερίτωση να υάρχουν ερισσότερα τέτοια σημεία στα οοία να ισορροεί η ράβδος; 0 Ασκήσεις όως η αρούσα, και ολλές άλλες, και αό το αρόν αρχείο και γενικότερα, είναι: α) Ενδιαφέρουσες β) Μετρίας δυσκολίας έως εύκολες, άρα διδακτικά κατάλληλες γ) Συνδεδεμένες με τη φυσική ραγματικότητα ολύ ερισσότερο αό άλλες, άρα τρις κατάλληλες διδακτικώς Για οιο λόγο έχουν τόσο μικρό βάρος και έκταση στην εξεταστική βιβλιογραφία, δεν το γνωρίζουμε, εικασίες μόνο μορούμε να κάνουμε και να εκφράσουμε τη θλίψη μας ου ένα μεγάλο μέρος της αλιάς, κατά την άοψή μας και ροσγειωμένης και διδακτικής Φυσικής έχει εριοριστεί έως εξοβελιστεί, εν ονόματι κάοιας (διδακτικής) νεωτερικότητας
Ααντήσεις Λύσεις των ασκήσεων 05 Κεφάλαιο 1 Κρούσεις Α1 Κρούσεις σελ 11 A111 α) Λαμβάνοντας θετική την φορά της υ 1, υ1 =-8 m/s, υ = 4 m/s β) Το έργο ου ασκείται στο σώμα m 1 είναι W1 =- 18J και το έργο ου ασκείται στο σώμα m είναι W = 18J Στις ελαστικές κρούσεις τα έργα είναι αντίθετα Στις λαστικές και στις ε- κρήξεις όχι γ) F1 =- 180N, F = 180N Το ότι οι δύο δυνάμεις είναι αντίθετες εκφράζει τον ο νόμο του Νεύτωνα, και άρα για όλες τις αλές εριτώσεις με τις οοίες ασχολούμαστε στο σχολείο ισχύει άντα 1 δ) - 6% για τη σφαίρα μάζας m 1 και 00% για τη σφαίρα μάζας m A11 υ1 =- υ1+ υ, υ = υ A114 α) m1= m β) m1= ( ± ) m γ) m1<< m ή m1>> m A115 Θα κινηθούν οι τρεις ακίνητες σφαίρες και οι δύο μροστινές αό όσες κινούνται στην ίδια κατεύθυνση με την αρχική A116 P = 1Nmυ l Το αοτέλεσμά μας ανααράγει τον τύο για την ίεση ιδανικού αερίου με την m υκνότητα ρ = ολ = Nm V l Υάρχει βέβαια μια διαφορά, ότι τότε είχαμε μέση τιμή των τετραγώνων των ταχυτήτων και όχι αλώς ταχύτητα στο τετράγωνο, και δικαιολογημένα, γιατί τα μόρια δεν έχουν ίδιες ταχύτητες όλα Ωστόσο, αυτό δεν εηρεάζει ουσιαστικά τη συζήτησή μας Το 1 Όχι, δεν ισχύει άντα ο τρίτος νόμος του Νεύτωνα Σε λαίσια μάλιστα Σχετικότητας δεν ισχύει σχεδόν οτέ Και κάοια φαινόμενα, σε ένα μεγάλο οσοστό των οοίων, δεν ισχύει ο τρίτος νόμος του Νεύτωνα είναι τα μαγνητικά Σε κάοιες εριτώσεις ισχύει ο τρίτος νόμος μέσα σε μαγνητικό εδίο, όως όταν έχουμε αράλληλους, ευθύγραμμους ρευματοφόρους αγωγούς ολύ μεγάλου μήκους ή μόνιμους μαγνήτες Η ορμή, όμως, αρά τη μη ισχύ του νόμου, καταφέρνει και διατηρείται Φαίνεται ότι η διατήρηση κάοιων φυσικών μεγεθών είναι ολύ ιο σημαντική αό τους νόμους της εκάστοτε θεωρίας, έστω κι αν αυτές οι αρχές διατήρησης εκφράζονται μέσα αό τους νόμους των θεωριών ίδιο αοτέλεσμα θα αίρνουμε και αν οι ταχύτητες δεν ήσαν κάθετες στις ειφάνειες Διότι μορεί το μέτρο του Δp/Δt εξαιτίας της κρούσης μιας σφαίρας σε μια ειφάνεια να είναι μικρότερο, λόγω της λάγιας ρόσκρουσης, ωστόσο οι σφαίρες θα ροσκρούουν και σε άλλους τοίχους τότε Οότε, η μείωση της ίεσης λόγω της λάγιας ρόσκρουσης μια σφαίρας σε ένα τοίχο, αντισταθμίζεται αό μια αντίστοιχη αύξηση λόγω της ρόσκρουσης και άλλων σφαιρών στον ίδιο τοίχο A1 Έστω ότι ο x-άξονας είναι ο φορέας της ταχύτητας υ 1 Αό τη διατήρηση της ορμής στον άξονα αυτό έεται: mυ 1 1= mυσυν45 1 1 + mυ x Αό τη διατήρηση της ορμής στον κάθετο άξονα έεται: mυημ45 1 1 = mυ y Αό τη διατήρηση της ενέργειας έχουμε: 1 mυ 1 1= 1 mυ 1 1 1 + m (υx+ υ y) A14 Οι ταχύτητες τελικά έχουν το ίδιο μέτρο με τις αρχικές και σχηματίζουν με αυτές γωνία: α) 60 β) 10 A15 Για να βοηθηθείτε στην είλυση της άσκησης, σκεφτείτε ότι αουσία τριβών σημαίνει ότι η δύναμη ου ασκείται αό τη σφαίρα ου έφτει σε κάοια αό τις δύο ακίνητες σφαίρες είναι άνω στη διάκεντρο αυτών των δύο σφαιρών Η σφαίρα ου έεσε στις άλλες δύο κινείται με ταχύτητα μέτρου υ/5 και αντίθετης κατεύθυνσης αό την αρχική κατεύθυνση κίνησης και οι άλλες δύο σφαίρες κινούνται με ταχύτητες μέτρου υ/5, σε διευθύνσεις ου σχηματίζουν γωνίες 0 με τη διεύθυνση κίνησης της ροσίτουσας σφαίρας A11 α) 9% β) υ 1 = 10m/s, υ = 0,8m/s γ) Qmax @ 1980 J A1 υ= m/s A1 l = 5m A14 α) υ = 6m/s β) 70 J γ) Το έργο της δύναμης ου ασκεί το κανόνι στο βλήμα είναι 1008 J Το έργο της δύναμης ου ασκεί το βλήμα στο κανόνι είναι - 88 J Το άθροισμα των δύο έργων μας δίνει τη χημική ενέργεια ου ελευθερώθηκε αό το εκρηκτικό Ούτε είναι ααραίτητο στην λαστική κρούση ή στην έκρηξη το ένα έργο να είναι θετικό και το άλλο αρνητικό Μορεί και τα δύο έργα να είναι θετικά σε μια έκρηξη, όως θα συνέβαινε αν είχαμε ένα σώμα
06 Α Πρίκας: Φυσική Γ Λυκείου Θετικών Σουδών Ασκήσεις και Προβλήματα A15 α) υ = 77/9m/s β) Ναι, στο συγκεκριμένο ρόβλημα θα μορούσε Για να γίνει σαφές, ααντήστε στο εόμενο ερώτημα γ) Πάντως το βάρος δεν φταίει ου δεν διατηρείται η ορμή στον κατακόρυφο άξονα A16 Κατά την αρχική διεύθυνση κίνησης έχει μια συνιστώσα ταχύτητας υx = 77/9m/s, ενώ σε διεύθυνση κάθετη στην αρχική και ρος ανατολάς έχει μια συνιστώσα ταχύτητας υy = /9m/s A17 α) υ1 = 5/m/s κατά μέτρο και διεύθυνση ου σχηματίζει γωνία θ με εφθ = 4/ με τη διεύθυνση κίνησης του αρχικού σώματος β) 1090/ J Κεφάλαιο Ταλαντώσεις Β1 Κινηματική των ταλαντώσεων σελ 17 Β116 α) x= 1m, υ= m, a =- m 4 s 16 s β) x= 0, υ = m, a = 0 s Β117 α) x= m, υ = m, a =- m 4 s 16 s β) x= 1m, υ = m, a =- m 4 s 16 s Β11 a=- m/s Β1 T= s Β14 T= s, A= 1m Β15 υ=± 1 m/s, a=- m/s Β16 υ=± 14m/s Β11 φ 0 = rad Β1 φ0 = rad Β1 α) φ0 = /rad, β) φ0 = /rad αρχικά ακίνητο, το οοίο υφίστατο έκρηξη και διεσάτο σε δύο τμήματα Μορεί και τα δύο έργα να είναι αρνητικά, όως συχνά συμβαίνει σε λαστικές ή εν γένει ανελαστικές κρούσεις Ούτε είναι ααραίτητο σε μια έκρηξη τα δύο σώματα να κινούνται τελικά σε αντίθετες κατευθύνσεις, τουλάχιστον σε αυτό το ρόβλημα, με τα νούμερα ου ειλέξαμε, τούτο έγινε ροφανές και γι αυτό τα ειλέξαμε Β14 α) φ0 = /6 rad, β) φ0 = 5/6rad Β15 φ0 = / rad ή φ0 = / rad Β16 φ0 = /rad με x= A / ή φ0 = 5/ rad με x=- A / Β17 α) φ 5 0 = rad β) φ 0 = rad γ) φ 0 = rad δ) φ 6 0 = rad 1 ε) φ 5 0 = rad 1 Β18 α) φ0 = + φ1 ή φ0 = φ1-, ώστε να ισχύει 0 φ0 < β) φ 0 = + φ 1 ή φ 0 = φ1- Β19 Για να λύσετε την άσκηση, θα ρέει να ροσδιορίσετε σε οιες εριτώσεις η ταχύτητα είναι θετική και σε οιες αρνητική rad, /6 rad, 5/6 rad, / rad, / rad Β110 α) x= ημ ( 10t+ ) β) x= 0,4ημ ( t+ 6 ) γ) x= ημ( 4t+ ) Β11 A= 0,4 m Β11 A= 0,4 m Β114 φ 0 = rad, T= 0, s Β141 α) kt β) kt + T γ) kt + T 4 δ) kt+ T, k= 0,1,, σε όλες τις εριτώσεις 4 Β14 α) kt β) kt + T γ) kt + T ή kt+ T, k= 0,1,, σε όλες τις 4 4 εριτώσεις Β14 t T 1 =, t 5T 1 =, t 1T 1 =, t 17T 1 4 = 1 t= k+ 1 T, k= 0,1,, 6 Β144 α) ( ) β) 5 T ( ) t= k+, k= 0,1,, γ) 6 T δ) T Το ρόχειρο σχήμα είναι το αρακάτω:
Ααντήσεις Λύσεις των ασκήσεων 07 Ευθεία στην οοία κινείται το κινητό Χρόνος για το δ ερώτημα x = 0 x = A/ Χρόνος για το γ ερώτημα Προφανώς και δεν έχει καμιά σημασία αν έχει ή όχι αρχική φάση το κινητό Β145 α) t ( k 1 T ) β) t ( k T ) γ) t ( k 1 T 6 ) δ) t ( k 7 T 6 ) ε) t ( k 1 T 6 ) στ) ( ) Β146 ( 1) = -, k= 1,, = +, k= 0,1,, = +, k= 0,1,, = +, k= 0,1,, = -, k= 1,, t= k+ 1 T, k= 0,1,, t= 4 k+ (SI), k= 0,1,, 6 Β151 T= 0,1 s, f = 10 Hz, ω= 0 rad s Β15 x= ημt, υ= συνt, a=- 4 ημt (SI) Β15 Είναι μια δύσκολη άσκηση Αό το x = A/ ερνάει μια φορά, είτε με θετική είτε με αρνητική ταχύτητα, και μετά φτάνει στο x = A Αν κινείται με θετική ταχύτητα, τότε το k είναι ίδιο και για x= A/ και για x= A Αν κινείται με αρνητική ταχύτητα, τότε θέτουμε k για το x = A/ αλλά k+ 1 για το x = A, διότι έχουμε μει στην εόμενη ερίοδο T= 60 s ή T= 1 s Ως συνήθως η αρχική φάση δεν αίζει κανένα ρόλο Αυτό έλειε να εξαρτώνται τα βασικά χαρακτηριστικά της ταλάντωσης αό τη χρονική στιγμή στην οοία εμείς ατήσαμε το χρονόμετρο για να χρονομετρήσουμε την κίνηση του σώματος Ουσιαστικά η αρχική φάση αυτό μας δείχνει: Το αν ξεχάσαμε να ενεργοοιήσουμε το χρονόμετρο τη χρονική στιγμή ου το Γεγονός ου για μια ακόμα φορά αοδεικνύει ότι η αρχική φάση δεν είναι και το χρησιμότερο και σημαντικότερο μέγεθος στη Φυσική σώμα διέρχεται αό τη θέση ισορροίας του κινούμενο με θετική ταχύτητα, και το ενεργοοιήσαμε κάοια στιγμή αργότερα Όταν βέβαια έχουμε δύο ή ερισσότερες διαφορετικές ταλαντώσεις, τότε ασφαλώς αίζει ρόλο η αρχική φάση της κάθε μίας ταλάντωσης Β154 T= 60 s ή T= 1 s Β155 T= 0 s ή T = 15 s Β156 Και αυτή είναι μια δύσκολη άσκηση Πρέει να ροσέξουμε με τα k τι θα κάνουμε, και κυρίως να καταλάβουμε με ένα ρόχειρο σχήμα γιατί το κάνουμε T = 0 s ή T = 15 s Β157 x= 0,1ημ ( t 4 ) (SI) Β158 x= 0,4ημ( t+ 9 6) (SI) Β159 T= 1 s Β1510 A= 0,5m 4t α) φ0 = 0, T = 1, k= 0,1, 1+ 4k 4t β) φ0 = rad, T = 1 4k -, k = 1,, 1 γ) 6t φ 0 = rad, T = 1, k= 0,1, 6 1+ 6k δ) 5 6t φ 0 = rad, T = 1 6 6k -, k= 1, 1 Β161 α) m β) t= k+ (SI) Τις ταχύτητες με αντικατάσταση στον τύο ου τις δίνει 4 Β16 α) Όταν t = k ή t= k + 1 8 β) Κάθε τρεις μισές εριόδους του ρώτου κινητού ου είναι ίσες με έντε μισές εριόδους του δεύτερου Β Η δύναμη και η ενέργεια στην αατ σελ 6 Β11 m = 15m Β1 1% Β1 T= 0, s Β14 T= 0,4 s Β15 α) T = s β) T = s, αν αφαιρεθεί η F Β1 T = s Β T = s Δl = 0,1 m 5 5 Β T = s 5