Τα Πεδία Τάσεων και Παραμορφώσεων γύρω από Σήραγγα Τυπικής Πεταλοειδούς Διατομής ΝΑΤΜ

Τα Πεδία Τάσεων και Παραμορφώσεων γύρω από Σήραγγα Τυπικής Πεταλοειδούς Διατομής ΝΑΤΜ Stress Field and Strain Field around Tunnel with NATM Typical Cross- Section ΑΓΓΕΛΟΠΟΥΛΟΥ, Ο. Φ. Αγρονόμος Τοπογράφος Μηχανικός, Ε.Μ.Π. ΚΑΡΑΝΑΣΙΟΥ, Σ. Σ. Αγρονόμος Τοπογράφος Μηχανικός, Ε.Μ.Π. ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ, Μ. Γ. Αναπληρωτής Καθηγητής, Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Σε τυπική πεταλοειδή διατομή σήραγγας διανοιγόμενης με τη Νέα Αυστριακή Μέθοδο αναπτύσσεται μεθοδολογία για τον υπολογισμό των προκαλούμενων λόγω της διάνοιξης τάσεων, παραμορφώσεων και μετατοπίσεων. Το πρόβλημα θεωρείται επίπεδο εντός γραμμικού ελαστικού, ομογενούς και ισότροπου μέσου και προκύπτει αναλυτική λύση για ΝΑΤΜ με την τεχνική της σύμμορφης απεικόνισης της θεωρίας των μιγαδικών συναρτήσεων. Τα αποτελέσματα των αναλύσεων συγκρίνονται με σήραγγα κυκλικής διατομής με εφαρμογή των εξισώσεων Kirsch. Παράλληλα, με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων προσδιορίζεται η έκταση της ζώνης επιρροής της εκσκαφής για βαθιές σήραγγες και η επιρροή του συνόρου σε αβαθείς σήραγγες. ABSTRACT : A methodology is developed for calculation of the induced stresses, strains and displacements occurring around tunnel constructed with the New Austrian Method. The excavation is considered to be realised in a homogeneous, isotropic and linearly elastic continuum. An analytic solution is obtained by using the conformal mapping technique of the complex variable method. The results are compared to the results of Kirsch equations applied to a circular tunnel. Finally, the extent of the zone of influence of an excavation for deep tunnels and the influence of the boundary for shallow tunnels are determined by using the finite element method. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η κατασκευή υπόγειων έργων προκαλεί μεταβολή των πεδίων τάσεων και παραμορφώσεων που έχουν ως αποτέλεσμα μετατοπίσεις των σημείων των επιφανειών εκσκαφής. Η διάνοιξη σηράγγων με τη Νέα Αυστριακή Μέθοδο χρησιμοποιείται ευρέως σε σύγχρονα έργα και για αυτό οι μελέτες που σχετίζονται με αυτήν παρουσιάζουν έντονο γεωτεχνικό ενδιαφέρον. Στην παρούσα εργασία θεωρείται τυπική διατομή με δεδομένη και γνωστή γεωμετρία (διαδοχικά κυκλικά τόξα με έναν άξονα συμμετρίας), η οποία ικανοποιεί τις αρχές και τις απαιτήσεις της μεθόδου ΝΑΤΜ. Σχήμα 1. Δεδομένη τυπική διατομή ΝΑΤΜ Figure 1. Specified NATM typical cross-section 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/2006 1

Στην παρούσα εργασία υπολογίζονται οι τάσεις, οι ανηγμένες παραμορφώσεις και οι μετατοπίσεις που προκαλούνται από τη διάνοιξη της σήραγγας. Για τον προσδιορισμό αυτών των μεγεθών επιλύεται το πρόβλημα με βάση τη θεωρία ελαστικότητας, όπου το συνεχές μέσο θεωρείται γραμμικά ελαστικό, ισότροπο και ομογενές. Πρόκειται για πρόβλημα επίπεδης παραμόρφωσης, εφόσον μελετάται η διατομή σε θέση της σήραγγας μακριά από τα στόμια, όπου η μελέτη ανάγεται σε πρόβλημα επίπεδης έντασης και μακριά από το μέτωπο, όπου έχουμε τρισδιάστατη εντατική κατάσταση. Η σήραγγα θεωρείται ότι βρίσκεται σε άπειρο χώρο (βαθιά σήραγγα). Πολύ σημαντική είναι η παραδοχή ελαστικής συμπεριφοράς χωρίς θεώρηση κριτηρίου αστοχίας. Η βασική τοποθέτηση του προβλήματος δίνεται στο Σχήμα 2. (Αγγελοπούλου, Καρανάσιου, Σακελλαρίου, 2005). Στη συνέχεια, με βάση τα πορίσματα της αναλυτικής λύσης για άπειρο χώρο, εφαρμόζεται η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων με το λογισμικό πακέτο ΜΑΤLAB και προσδιορίζεται η έκταση της ζώνης επιρροής της εκσκαφής για βαθιές σήραγγες (συνθήκες άπειρου χώρου), καθώς και η επιρροή του συνόρου στο τασικό και παραμορφωσιακό πεδίο αβαθών σηράγγων (συνθήκες ημίχωρου). Τέλος, τα αποτελέσματα των αναλύσεων συγκρίνονται με την περίπτωση σήραγγας κυκλικής διατομής με εφαρμογή των εξισώσεων Kirsch. 2. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΛΥΣΗ 2.1 Μαθηματική διατύπωση του προβλήματος Μαθηματικό εργαλείο για τους υπολογισμούς είναι η σύμμορφη απεικόνιση ως τεχνική της θεωρίας των μιγαδικών συναρτήσεων. Συγκεκριμένα, εφαρμόζεται η μέθοδος Kolosov - Muskhelishvili με την οποία επιλύονται προβλήματα επίπεδης παραμόρφωσης βάσει των εξισώσεων: Σχήμα 2. Ορισμός του προβλήματος Figure 2. Problem definition σ + σ = 2 ϕ + ϕ ( z ) ( z ) = 4Re ϕ ( z ) x y ( ) σ σ + 2 iτ = 2 ϕ + χ z z ( z ) x y xy (1) (2) Το εξωτερικό πεδίο των αρχικών τάσεων (επί τόπου τάσεις) δίνεται από τις κύριες συνιστώσες (P, kp). Οι τάσεις λόγω της διάνοιξης ανακατανέμονται. Σε σύστημα πολικών συντεταγμένων οι εξ ανακατανομής τάσεις είναι η ακτινική σ ρ, η εφαπτομενική σ θ και η διατμητική τ ρθ. Οι μετατοπίσεις κατά την ακτινική και εφαπτομενική διεύθυνση είναι αντίστοιχα οι u,u με θετική φορά αυτή που ρ θ φαίνεται στο Σχήμα 2. Οι τιμές των εντατικών μεγεθών προσδιορίζονται με αναλυτικό τρόπο και πραγματοποιούνται εφαρμογές για διαφορετικά αρχικά τασικά πεδία. Συγκεκριμένα, τα αποτελέσματα αναφέρονται στην κατανομή των τάσεων γύρω από τη σήραγγα, στις προκαλούμενες λόγω της διάνοιξης παραμορφώσεις και μετατοπίσεις στις θέσεις της οροφής και του δαπέδου της διατομής επί του άξονα συμμετρίας αυτής 2 Gu ( + iv) = κϕ( z) zϕ ( z) χ ( z ) (3) Από τις παραπάνω σχέσεις, αφού προσδιοριστούν οι συναρτήσεις ϕ( z ) και χ( z ), υπολογίζονται οι τιμές των τάσεων. Το πραγματικό μέρος των συναρτήσεων δίνει τις ορθές τάσεις ενώ το φανταστικό μέρος τις διατμητικές. Οι διαθέσιμες λύσεις για πρόβλημα οπών με μορφή διάφορη της κυκλικής σε ελαστικά μέσα άπειρης έκτασης, με δεδομένο αρχικό τασικό πεδίο, είναι περιορισμένες. Η παρούσα εργασία αναπτύσσει και προτείνει μία πρωτότυπη αναλυτική λύση για την τυπική διατομή ΝΑΤΜ. Η επεξεργασία πραγματοποιείται με βάση τη συνάρτηση απεικόνισης που προτείνει ο Gerçek (1997) για ανοίγματα με τοξοειδή οροφή. Γίνεται εφαρμογή για διατομή διπλά τοξοειδή 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/2006 2

(σήραγγα τύπου ΝΑΤΜ) (Αγγελοπούλου, Καρανάσιου, Σακελλαρίου, 2004) και προσδιορίζεται η συνάρτηση που δίνει τη συνεχή καμπύλη, η οποία προσεγγίζει βέλτιστα τη γεωμετρία της δεδομένης τυπικής διατομής ΝΑΤΜ, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3. Η συνάρτηση απεικόνισης που χρησιμοποιείται σε αυτή την εργασία εμπνεύστηκε από το cardeloid σχήμα των Bjorkman & Richards (1979). Σχήμα 3. Σύγκριση της προκύπτουσας διατομής με τη δεδομένη διατομή ΝΑΤΜ Figure 3. Comparison of predicted crosssection with specified NATM cross-section 2.2 Υπολογισμός εντατικών μεγεθών Τα εντατικά μεγέθη που ενδιαφέρουν και υπολογίζονται είναι τα προκαλούμενα από τη διάνοιξη. Οι συνολικές τάσεις υπολογίζονται από τις σχέσεις (1) και (2) και οι προκαλούμενες μεταβολές των ορθών τάσεων, λόγω της διάνοιξης, δίνονται από τις σχέσεις: Δσ = σ -k P x x (4) Δσ = σ -P y y (5) Δσ =v(δσ z x Δσ ) y + (6) Οι σχέσεις για τον υπολογισμό των προκαλούμενων παραμορφώσεων προκύπτουν με αντικατάσταση των σχέσεων (4), (5), (6) στις εξισώσεις ανηγμένων παραμορφώσεων τάσεων (Νόμος του Hooke) και είναι οι εξής: 1 2 Δε = ( 1-ν )( σ -kp)-ν( 1+ ν)( σ -P) x x y E (7) 1 2 Δε = ( 1-ν )( σ -P)-ν( 1+ ν)( σ -kp) y y x E (8) Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει ο προσδιορισμός των προκαλούμενων μετατοπίσεων στον κατακόρυφο άξονα (άξονας συμμετρίας), δηλαδή στην οροφή και στο δάπεδο της κατασκευής. Σημειώνεται ότι οι θέσεις αυτές είναι τα σημεία ελέγχου για τον Μηχανικό που παρακολουθεί τη σύγκλιση οροφής και δαπέδου στη σήραγγα. Στις θέσεις αυτές σημειώνονται οι απολύτως μεγαλύτερες συγκλίσεις του έργου λόγω συμμετρίας. Οι προκαλούμενες μετατοπίσεις υπολογίζονται με ολοκλήρωση των εξισώσεων παραμορφώσεων μετατοπίσεων (9). Η διαδικασία δεν είναι πάντα εύκολη και εδώ ο υπολογισμός πραγματοποιείται με τη μέθοδο της αριθμητικής ολοκλήρωσης, σύμφωνα με τον κανόνα του τραπεζίου (10), που θεωρείται μία προσεγγιστική, αλλά ικανοποιητικής ακρίβειας μέθοδος. ε = u/ x xx, ε = v / y yy (9) h 9 β i f ( x) dx = ( f + f i 1 i) α (10) i= 1 2 Το αρνητικό πρόσημο στη σχέση (10) επιβάλλεται, γιατί τα μεγέθη της παραμόρφωσης και της μετατόπισης είναι ετερόσημα, εφόσον οι συναρτήσεις που περιγράφουν τα μεγέθη είναι αντίστροφες (παράγωγος - ολοκλήρωμα). 3. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 3.1 Προκαλούμενες τάσεις Πραγματοποιούνται εφαρμογές σε τέσσερα διαφορετικά αρχικά τασικά πεδία, δηλαδή για τέσσερις διαφορετικούς λόγους τάσεων k στο άπειρο, στις οποίες αυξάνεται σταδιακά το μέγεθος της οριζόντιας συνιστώσας της αρχικής τάσης. Η αύξηση αυτή εκφράζεται μέσω της τιμής του λόγου k, ο οποίος παίρνει τις εξής τιμές: k=0, k=1/3, k=1, k=3. Για τον υπολογισμό των εντατικών μεγεθών θεωρούνται σταθερές οι τιμές του μέτρου ελαστικότητας Ε, του λόγου Poisson ν, της αρχικής τάσης P και της γωνίας β. Λαμβάνονται ίσες με Ε=1GPa, ν=0.3, Ρ=1MPa, β=0 ο αντίστοιχα. (Αγγελοπούλου, Καρανάσιου, Σακελλαρίου, 2004). 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/2006 3

Το αρχικό τασικό πεδίο με λόγο k=0 αντιστοιχεί στο μοντέλο της μονοαξονικής θλίψης και έχει θεωρητική αξία. Αποτελεί την πιο απλοποιημένη μορφή τασικού πεδίου από την οποία, με την αρχή της επαλληλίας, μπορούν να προκύψουν πιο σύνθετα προβλήματα. Τασικά πεδία με λόγο τάσεων k=1/3 συναντώνται συχνά στη φύση και κυρίως σε ιζηματογενή εδάφη με οριζόντια επιφάνεια, δηλαδή χωρίς έντονο ανάγλυφο. Το τασικό πεδίο με λόγο τάσεων k=1 αντιστοιχεί στο υδροστατικό μοντέλο και βρίσκει εφαρμογή σε κατακόρυφο φρέαρ και σε διάνοιξη σε έντονο ανάγλυφο. Τέλος, το τασικό πεδίο με λόγο k=3 συναντάται σε περιοχές με έντονη τεκτονική δραστηριότητα, όπου συγκεντρώνονται «παγωμένες» τάσεις. Στα διαγράμματα που ακολουθούν απεικονίζεται η διακύμανση των τιμών των ορθών και των διατμητικών τάσεων περιμετρικά της διατομής ενδεικτικά για δύο αρχικά τασικά πεδία. α) β) γ) σθ, σρ, τρθ σθ, σρ, τρθ 4 3 2 1 0 0-1 2 4 6 8 1,5 1 0,5-1 θ (rad) 0 0-0,5 2 4 6 8 θ (rad) σp - θ σθ - θ τρθ - θ σp - θ σθ - θ τρθ - θ Σχήμα 4. α) Τιμές γωνίας θ, β) διάγραμμα τάσεων στο σύνορο της διατομής και γ) διάγραμμα τάσεων στο θεωρούμενο ως άπειρο για k=1/3, Ε=1GPa, ν=0.3, P=1MPa, β=0 Figure 4. a) Values of angle θ, b) diagram of stresses around the boundary of the tunnel and c) diagram of stresses at the considered as infinity for k=1/3, Ε=1GPa, ν=0.3, P=1MPa, β=0 Σχήμα 5. Κατανομή εφαπτομενικής τάσης σ θ γύρω από τη διατομή για k=1, Ε=1GPa, ν=0.3, P=1MPa, β=0 Figure 5. Distribution of tangential stress σ θ around the tunnel for k=1, Ε=1GPa, ν=0.3, P=1MPa, β=0 Παρατηρείται ότι αύξηση της οριζόντιας αρχικής τάσης προκαλεί αύξηση των τάσεων στην οροφή της σήραγγας. Μεγαλύτερη συγκέντρωση τάσεων παρατηρήθηκε στη θέση μεγαλύτερης καμπυλότητας, εκτός από το τασικό πεδίο με λόγο τάσεων k=3, στο οποίο η μεγαλύτερη τιμή της τάσης εμφανίστηκε στην οροφή. Επίσης, η κατανομή των τάσεων προέκυψε συμμετρική ως προς τον κατακόρυφο άξονα, όπως αναμενόταν λόγω της συμμετρίας του προβλήματος. Στο σύνορο της σήραγγας, το οποίο θεωρήθηκε ελεύθερο τάσεων και χωρίς επένδυση, προέκυψαν μηδενικές οι τιμές της ακτινικής ορθής τάσης και της διατμητικής τάσης. Τιμή στο σύνορο είχε μόνο η εφαπτομενική τάση λόγω της διαταραχής που προκαλεί η διάνοιξη στο πεδίο. Εξαιτίας της διαταραχής αυτής, το άθροισμα των ορθών τάσεων είναι μεγαλύτερο από το αρχικό τασικό πεδίο και επανέρχεται κατά την απομάκρυνση από το σύνορο. Στο άπειρο επαληθεύονται οι συνοριακές συνθήκες, δηλαδή οι τιμές των ορθών τάσεων είναι σταθερές και το άθροισμά τους ισούται με το αρχικό τασικό πεδίο, ενώ η διατμητική τάση στον άξονα συμμετρίας της οπής είναι μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι η επιρροή του τασικού πεδίου στην κατασκευή του έργου, λόγω της ανακατανομής των τάσεων που προκαλείται από τη διάνοιξη, σταματά. 3.2 Προκαλούμενες μετατοπίσεις Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται συγκεντρωτικά οι τιμές των προκαλούμενων 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/2006 4

μετατοπίσεων επί του άξονα της διατομής, όπως υπολογίστηκαν με την προτεινόμενη μέθοδο για όλα τα πεδία που εξετάζονται. Πίνακας 1. Προκαλούμενες μετατοπίσεις για Ε=1GPa, ν=0.3, P=1MPa, β=0 Table 1. Induced displacements for Ε=1GPa, ν=0.3, P=1MPa, β=0 Αρχικό Τασικό Πεδίο Προκαλούμενη Μετατόπιση Οροφής Προκαλούμενη Μετατόπιση Δαπέδου k=0 7.6mm 8.2mm k=1/3 7.0mm 7.9mm k=1 5.9mm 7.2mm k=3 2.5mm 5.0mm Διαπιστώνεται ότι οι μεγαλύτερες μετατοπίσεις εμφανίζονται στη θέση του δαπέδου διότι η καμπυλότητα σε αυτή τη θέση είναι μικρότερη από την καμπυλότητα στην οροφή. Επίσης, παρατηρείται ότι η αύξηση της οριζόντιας επιβαλλόμενης τάσης στο άπειρο έχει ως αποτέλεσμα τη μείωση της μετατόπισης στην οροφή και στο δάπεδο. 3.3 Εξισώσεις Kirsch Σε οπή κυκλικού σχήματος εφαρμόζονται οι εξισώσεις Kirsch και υπολογίζονται οι προκαλούμενες από τη διάνοιξη μετατοπίσεις θεωρώντας το μέσον ομογενές, ισότροπο και γραμμικά ελαστικό. Η εφαρμογή πραγματοποιείται για κυκλική οπή ακτίνας R=4.3m, η οποία έχει το ίδιο εμβαδόν με τη δεδομένη διατομή ΝΑΤΜ και προκαλεί μετατοπίσεις ίδιας τάξης. Πίνακας 2. Προκαλούμενες μετατοπίσεις σε κυκλική οπή (εξισώσεις Kirsch) για Ε=1GPa, ν=0.3, P=1MPa, β=0 Table 2. Induced displacements (Kirsch equations) for Ε=1GPa, ν=0.3, P=1MPa, β=0 Αρχικό Τασικό Προκαλούμενη Μετατόπιση Πεδίο Οροφής/Δαπέδου k=0 7.8mm k=1/3 7.1mm k=1 5.6mm k=3 1.1mm Συγκρίνοντας τις μετατοπίσεις για τη διατομή ΝΑΤΜ με τις μετατοπίσεις από τις εξισώσεις Kirsch προκύπτει ότι για k 1 οι αποκλίσεις τους είναι πολύ μικρές. Η μεθοδολογία μπορεί πρακτικά να χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση των αναμενόμενων προκαλούμενων μετατοπίσεων κατά τη διάνοιξη μιας σήραγγας ΝΑΤΜ, αφού στηρίζεται στην πραγματική γεωμετρία του σχήματος της οπής και όχι σε μια προσεγγιστική, όπως αυτή του κύκλου. Είναι σημαντικό το γεγονός ότι λόγω της μοναδιαίας τάσης που εφαρμόζεται και του μέτρου ελαστικότητας που επιλέγεται, η λύση διατυπώνεται σε γενικευμένη μορφή. Η αξία της γενικευμένης μορφής της λύσης και η ακρίβεια της μεθόδου επιβεβαιώνεται και μέσω της σύγκρισης με πραγματικά δεδομένα. Συγκεκριμένα, στη σήραγγα του Δρίσκου για Ε=0,9GPa, ν=0,25 (άρα k=ν/(1-ν)=1/3)), γ=0,027κν/m 3 και βάθος σήραγγας 161m (επί τόπου τάση σ 0 =γz=4,3μpa) οι επί τόπου μετρήσεις έδωσαν μετατόπιση 3cm στην οροφή και 4cm στο δάπεδο (Νίκα, 2002). Με την προτεινόμενη μέθοδο η μετατόπιση στην οροφή υπολογίζεται με βάση τον Πίνακα 1: u οροφής (σ 0 /Ε)=3,3cm. Αντίστοιχα στο δάπεδο: u δαπέδου (σ 0 /Ε)=3,8cm. 4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ 4.1 Υπολογισμός συνολικών τάσεων με πεπερασμένα στοιχεία Αντικείμενο της ενότητας είναι ο υπολογισμός των συνολικών τάσεων με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Η εφαρμογή πραγματοποιείται με το Partial Differential Equation Toolbox (PDE) του μαθηματικού εμπορικού πακέτου MATLAB 6.5. Στο γραφικό περιβάλλον του MATLAB εισάγεται η γεωμετρία της δεδομένης τυπικής διατομής ΝΑΤΜ, ορίζονται οι συνοριακές συνθήκες του προβλήματος και αποδίδονται τιμές στις κατάλληλες παραμέτρους. Με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων του MATLAB υπολογίζονται οι συνολικές τάσεις για τα πεδία που υπολογίστηκαν και με την αναλυτική μέθοδο. Από τη σύγκριση των αποτελεσμάτων επιβεβαιώνεται η ακρίβεια της προτεινόμενης αναλυτικής μεθόδου (Αγγελοπούλου, Καρανάσιου, Σακελλαρίου, 2004). Είναι σημαντικό να αναφερθεί ότι ο κυριότερος λόγος επιλογής του MATLAB ως πρόγραμμα προσομοίωσης και ανάλυσης είναι η δυνατότητα ελέγχου της ποιότητας του πλέγματος και βελτιστοποίησής του (Σχήμα 6), ώστε τα αποτελέσματα να είναι όσο το δυνατόν πιο αξιόπιστα (The MathWorks, 2004). Παράλληλα, ο υπολογισμός των συνολικών τάσεων με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων δίνει τη δυνατότητα προσδιορισμού 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/2006 5

της έκτασης της ζώνης επιρροής της εκσκαφής για βαθιές σήραγγες (συνθήκες άπειρου χώρου) και της επιρροής του συνόρου στο τασικό και παραμορφωσιακό πεδίο αβαθών σηράγγων (συνθήκες ημίχωρου). Σχήμα 5. Κατανομή εφαπτομενικής τάσης σ θ για k=3 Figure 5. Distribution of tangential stress σ θ around the tunnel for k=3 Σχήμα 7. Έκταση ζώνης επιρροής τασικού πεδίου k=0 Figure 7. Extent of the zone of influence of stress field with k=0 Σχήμα 8. Έκταση ζώνης επιρροής τασικού πεδίου k=1/3 Figure 8. Extent of the zone of influence of stress field with k=1/3 Σχήμα 6. Ποιότητα πλέγματος-βελτιστοποίηση Figure 6. Triangle quality-optimization 4.2 Έκταση της ζώνης επιρροής Από τις ισοτασικές καμπύλες που προκύπτουν από τον υπολογισμό των συνολικών τάσεων προσδιορίζεται η έκταση της ζώνης επιρροής της εκσκαφής για όλα τα πεδία στο γραφικό περιβάλλον του MATLAB. Στο μονοαξονικό τασικό πεδίο η επιρροή εκτείνεται έως τα 110m (25,6R), εφόσον εκεί οι τιμές των ορθών τάσεων εξισώνονται με τις αρχικές συνθήκες στο άπειρο και στο πεδίο με k=1/3 έως τα 108m (25,1R) (Σχήμα 7, Σχήμα 8). Αντίστοιχα, στο υδροστατικό τασικό πεδίο η ζώνη επιρροής φτάνει έως τα 107m (24,9R) και στο πεδίο με k=3 (26,7R) τα 115m (Σχήμα 9, Σχήμα 10). Σχήμα 9. Έκταση ζώνης επιρροής τασικού πεδίου k=1 Figure 9. Extent of the zone of influence of stress field with k=1 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/2006 6

4.3 Επιρροή του συνόρου του χώρου σε αβαθείς σήραγγες (συνθήκες ημίχωρου) Σχήμα 10. Έκταση ζώνης επιρροής τασικού πεδίου με k=3 Figure 10. Extent of the zone of influence of stress field with k=3 Κατά μέσο όρο η ζώνη επιρροής εκτείνεται σε απόσταση 110m από το σύνορο της σήραγγας για τα τέσσερα πεδία. Το γεγονός αυτό επιβεβαιώνει τα κριτήρια που διατύπωσε ο J. W. Bray βασισμένος στις λύσεις των Kirsch και Mindlin για κυκλική οπή ακτίνας R σε ημίχωρο, όπου θεωρείται ότι σε απόσταση > 25R δεν υπάρχει επιρροή του συνόρου του ημίχωρου. Προσομοιώνοντας τη δεδομένη τυπική διατομή ΝΑΤΜ με το βέλτιστο κύκλο ακτίνας 4,3m προκύπτει ότι η ζώνη επιρροής του πεδίου σε πολλαπλάσια της ακτίνας του κύκλου είναι περίπου της τάξης των 25,5R. Παράλληλα, για πρακτικούς λόγους είναι σημαντικός ο προσδιορισμός της απόστασης εκείνης, όπου οι τάσεις αποκλίνουν κατά ± 4% των αρχικών. Για κυκλική διατομή η απόσταση αυτή συναρτήσει της ακτίνας (κατά την κατακόρυφη διεύθυνση) αναγράφεται στον Πίνακα 3 για τα θεωρούμενα τασικά πεδία. Παράλληλα, προσδιορίστηκαν οι αντίστοιχες αποστάσεις για τη διατομή ΝΑΤΜ μέσω της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων. Πίνακας 3. Απόσταση απόκλισης ορθών τάσεων κατά ±4% Table 3. Extent of deviation of normal stresses by ±4% Αρχικό τασικό πεδίο Απόσταση (NATM) k=0 8,6R 7,5R k=1/3 7,8R 7R k=1 5,6R 5R k=3 7,4R 7R Απόσταση (Κυκλική Διατομή) Παρατηρείται ότι στη ΝΑΤΜ οι αποστάσεις είναι συστηματικά μεγαλύτερες σε σχέση με τις αποστάσεις στην κυκλική διατομή και σε κάθε πεδίο μεταβάλλονται με παρόμοιο τρόπο. Όπως αναφέρεται σε προηγούμενη παράγραφο, ο J. W. Bray βασισμένος στις λύσεις των Kirsch και Mindlin για κυκλική οπή ακτίνας R σε ημίχωρο, διατύπωσε το κριτήριο σύμφωνα με το οποίο δεν υπάρχει επιρροή του συνόρου του ημιχώρου για απόσταση >25R. Πραγματοποιείται εφαρμογή στο MATLAB με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων κατά την οποία υπολογίζονται οι συνολικές τάσεις σε ημίχωρο για τη δεδομένη τυπική διατομή ΝΑΤΜ. Το σύνορο του ημίχωρου θεωρείται ελεύθερο τάσεων, όπως και το σύνορο της σήραγγας. Ορίζονται οι κατάλληλες συνοριακές συνθήκες στα όρια του ημίχωρου και αποδίδονται τιμές στις κατάλληλες παραμέτρους. Στην συγκεκριμένη εφαρμογή λαμβάνεται υπόψη το βάρος του υπερκείμενου εδάφους, το οποίο θεωρείται βράχος με ειδικό βάρος γ=25kν/m 3. Το σύνορο του ημίχωρου τοποθετείται σε απόσταση 120m από τη σήραγγα και πραγματοποιείται η επίλυση στο γραφικό περιβάλλον του MATLAB. Το τασικό πεδίο φαίνεται στα Σχήματα 11, 12 και είναι εμφανές το γεγονός ότι ομαλοποιείται σε απόσταση μεγαλύτερη από 25R=107,5m, όπως ορίζει το κριτήριο που διατύπωσε ο J. W. Bray. Συνεπώς, σε τέτοιας τάξης αποστάσεις από το όριο της σήραγγας δεν υπάρχει επιρροή του συνόρου του ημίχωρου στο τασικό πεδίο. Αντιθέτως, σε αποστάσεις μικρότερες των 25R είναι εμφανής η επιρροή του συνόρου του ημίχωρου στο τασικό πεδίο. Πραγματοποιείται επίλυση της ίδιας εφαρμογής με το σύνορο του ημίχωρου στα 30m (7R) από τη σήραγγα. Το τασικό πεδίο επηρεάζεται από το σύνορο, όπως φαίνεται στα Σχήματα 13, 14. Σχήμα 11. Επιρροή συνόρου του ημίχωρου (όριο στα 120m, σ θ ) Figure 11. Influence of the boundary of the half plane (boundary at 120m, σ θ ) 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/2006 7

Σχήμα 12. Επιρροή συνόρου του ημίχωρου (όριο στα 120m, σ ρ ) Figure 12. Influence of the boundary of the half plane (boundary at 120m, σ ρ ) στις θέσεις οροφής και δαπέδου που είναι και οι δυσμενέστερες. Αξίζει να σημειωθεί ότι η ανάλυση μπορεί να επεκταθεί και στις άλλες διευθύνσεις με κατάλληλη διατύπωση των εξισώσεων. Τέλος, πρέπει να αναφερθεί ότι κατά τον προσδιορισμό της έκτασης της ζώνης επιρροής της εκσκαφής για βαθιές σήραγγες, μελετάται η περιοχή πάνω από την κλείδα της σήραγγας, γιατί εκεί η ζώνη επιρροής εκτείνεται κατά το μέγιστο. Για το γεγονός αυτό ευθύνεται η γεωμετρία της τυπικής διατομής ΝΑΤΜ. 6. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Σχήμα 13. Επιρροή συνόρου του ημίχωρου (όριο στα 30m, σ θ ) Figure 13. Influence of the boundary of the half plane (boundary at 30m, σ θ ) Σχήμα 14. Επιρροή συνόρου του ημίχωρου (όριο στα 30m, σ ρ ) Figure 14. Influence of the boundary of the half plane (boundary at 30m, σ ρ ) 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η προτεινόμενη λύση της συγκεκριμένης εργασίας προσεγγίζει το φυσικό πρόβλημα με ακριβή μέθοδο, την τεχνική της σύμμορφης απεικόνισης της θεωρίας των μιγαδικών συναρτήσεων, και παράλληλα, υπολογίζει τα εντατικά μεγέθη με ακρίβεια. Δηλαδή, στηρίζεται στην πραγματική γεωμετρία του σχήματος της σήραγγας ΝΑΤΜ και όχι σε μια προσεγγιστική, όπως αυτή του κύκλου. Επιπλέον, η μελέτη των μετατοπίσεων επικεντρώνεται στην κατακόρυφη διεύθυνση, Αγγελοπούλου, Ο. Φ., Καρανάσιου, Σ. Σ. (2004), Υπολογισμός τάσεων, παραμορφώσεων και μετατοπίσεων σε σήραγγα διατομής ΝΑΤΜ με σύμμορφη απεικόνιση (εφαρμογή σε τασικά πεδία με λόγο τάσεων k=0, k=1/3, k=1, k=3) Διπλωματική Εργασία, Ε.Μ.Π., Ελλάδα. Αγγελοπούλου, Ο. Φ., Καρανάσιου, Σ. Σ. και Σακελλαρίου, Μ. Γ. (2005), Αναλυτικός υπολογισμός των πεδίων τάσεων και παραμορφώσεων γύρω από πεταλοειδείς διατομές ΝΑΤΜ, Πρακτικά, 2 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Οδοποιίας, Βόλος, Ελλάδα. Νίκα, Δ.Α. (2002), Ανάδρομη ανάλυση σήραγγας με βάση καταγραφή μετατοπίσεων κατά τη διάνοιξη, Μεταπτυχιακή Εργασία, Ε.Μ.Π., Ελλάδα. Bjorkman G.S. and Richards R. (1978), Optimum shapes for unlined tunnels and cavities, Engineering Geology. Vol 12, pp. 171-179. Bray J.W. (1981-1982), Σημειώσεις από τις παραδόσεις, Imperial College of Science and Technology, London, UK. Gerçek H. (1997), An elastic solution for stresses around tunnels with conventional shapes, International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, paper No.096. Mindlin R.D. (1939), Stress Distribution around a tunnel, American Society of Civil Engineers Transactions, paper No.2082. Muskhelishvili N.I. (1954), Some basic problems of the mathematical theory of elasticity, Noordhoff International Publishing Company B.V, Leyden, The Netherlands. The MathWorks (2004), Partial Differential Equation Toolbox, User s Guide Version 1.0.5, The MathWorks Inc., Natick, USA. 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/2006 8