1 ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΡΕΥΣΤΩΝ 1.1 Γενικά 1. Χαρακτηριστικά ενός ρευστού και λοιπά στοιχεία 1..1 Πυκνότητα του ρευστού Το ρευστό ως συνεχές µέσο Ειδικό βαρος 1.. Πίεση 3 1..3 Ταχύτητα ροής Κινηµατικά χαρακτηριστικά 4 1..4 Εσωτερική ενέργεια - Θερµοκρασία 4 1..5 υναµική, κινητική και µηχανική ενέργεια Απώλειες ενέργειας 4 1..6 υναµική και κινηµατική συνεκτικότητα 6 1.3 ιαστάσεις και µονάδες 8 1.4 Είδη, βασικές εξισώσεις και ορισµένα χαρακτηριστικά της ροής 9 1.4.1 Στρωτή και τυρβώδης ροή 9 1.4. Το πείραµα και ο αριθµός Reynolds 10 1.4.3 Βασικές εξισώσεις τρισδιάστατης στρωτής ροής 11 1.4.4 Εξισώσεις τυρβώδους ροής-τυρβώδεις τάσεις 1 1.4.5 Κλείσιµο τύρβης- Μαθηµατικά µοντέλα τύρβης 14 1.4.6 Μόνιµη και µη-µόνιµη ροή - Χρόνος αποκατάστασης µονιµότητας της ροής 14 1.4.7 Οµοιόµορφη και ανοµοιόµορφη ροή - Μήκος ανάπτυξης της ροής 15 1.4.8 Εσωτερική και εξωτερική ροή Τα στερεά όρια και η τραχύτητα τους 15 1.4.9 Οριακό στρώµα και βασικά χαρακτηριστικά του 16 1.4.10 Αποκλίνουσα και συγκλίνουσα ροή - Αποκόλληση της ροής 18 1.5 Ανάλυση της ροής ενός ρευστού 19 1.5.1 Βασικές µέθοδοι ανάλυσης ροής ρευστού 19 1.5. Μέθοδος της µονοδιάστατης ανάλυσης 0 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1.5-1 0 1.5.3 Μέθοδος διαφορικής ανάλυσης ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1.5-. Ροές Couette και Poiseuille 1.5.4 Μέθοδος διαστατικής ανάλυσης 5 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1.5-3 6 1
1 ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΡΕΥΣΤΩΝ 1.1 Γενικά Στo παρόν εισαγωγικό 1 ο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι βασικές γνώσεις που πρέπει να έχετε για να κατανοήσετε εύκολα στη συνέχεια τη ροή σε κλειστούς αγωγούς. Ουσιαστικά, το κεφάλαιο αυτό αποτελεί µια όσο το δυνατό απλή και «εφαρµοσµένη» σύνοψη του µαθήµατος της Μηχανικής Ρευστών. Έχοντας µελετήσει το κεφάλαιο αυτό, θα είσαστε σε θέση 1. Να γνωρίζετε τα βασικά χαρακτηριστικά ενός ρευστού, που είναι η πυκνότητα, η πίεση, η ταχύτητα ροής, η ενέργεια και η συνεκτικότητά του (δυναµική και κινηµατική), καθώς και τις µονάδες τους.. Να περιγράψετε το πείραµα Reynolds, να αναφέρετε τη βασική διαφορά της τυρβώδους από τη στρωτή ροή και να κατανοήσετε τη σηµασία του αριθµού Reynolds. 3. Να γράψετε σε απλή µορφή τις βασικές εξισώσεις της ροής (συνέχειας και ποσότητας κίνησης) και να εξηγήσετε την έννοια του κάθε όρου των εξισώσεων. Επίσης, να σχολιάσετε τη κοινή µορφή των εξισώσεων ροής για τη στρωτή και την τυρβώδη ροή, τονίζοντας τη σηµασία της παρουσίας των τυρβωδών τάσεων που επιφέρουν µεγαλύτερη ανάµιξη στη ροή. 4. Να περιγράψετε τα βασικά είδη της ροής, δηλ. στρωτή-τυρβώδης, µόνιµη-µη µόνιµη, οµοιόµορφη ανοµοιόµορφη, εσωτερική-εξωτερική και αποκλίνουσασυγκλίνουσα, αναφέροντας ένα παράδειγµα για την κάθε µια. 5. Να περιγράψετε το οριακό στρώµα, να αναφέρετε τα βασικά χαρακτηριστικά του και να εξηγήσετε τη σηµασία του στην αποκόλληση της ροής σε αποκλίνουσες ροές δίνοντας τρία πρακτικά παραδείγµατα. 6. Να περιγράψετε συνοπτικά τις 3 βασικές µεθόδους που χρησιµοποιούµε για την ανάλυση της ροής και είναι οι ακόλουθες: (1) της µονοδιάστατης ανάλυσης, () της διαφορικής ανάλυσης και (3) της διαστατικής ανάλυσης. 1. Χαρακτηριστικά ενός ρευστού και λοιπά στοιχεία 1..1 Πυκνότητα του ρευστού Το ρευστό ως συνεχές µέσο Ειδικό βαρος Ένα υγρό αποτελείται από µόρια τα οποία (α) βρίσκονται σε µεγάλη (σχετικά µε το µεγεθός τους) απόσταση και (β) κινούνται συνεχώς. Θεωρείστε ένα πολύ µικρό όγκο του υγρού du, ο οποίος έχει µάζα dm. Ορίζουµε την πυκνότητα ρ του υγρού ως εξής dm ρ = lim (1.-1) du 0 du Ο όγκος du θα πρέπει να είναι αρκετά µεγαλύτερος από έναν ελάχιστο όγκο (mindu=10-9 mm 3 ), ώστε να περιλαµβάνει ένα ικανό και περίπου σταθερό αριθµό µορίων. Στο µάθηµα της Μηχανικής Ρευστών τον όγκο αυτόν ονοµάσαµε ρευστό σωµατίδιο. Σχεδόν σε όλες οι περιπτώσεις που αντιµετωπίζουµε ως µηχανικοί, εξετάζουµε ένα ρευστό σε διαστάσεις πολύ µεγαλύτερες από τον ελάχιστο αυτόν όγκο. Έτσι, η πυκνότητα του ρευστού, αλλά και οι άλλες ιδιότητές του, µεταβάλλονται σχετικά οµαλά - όχι απότοµα- από τον ένα όγκο du στο γειτονικό του και να είναι ουσιαστικά συνεχείς συναρτήσεις της θέσης του όγκου du σε µια συγκεκριµένη χρονική στιγµή t, δηλ. ρ=ρ(x,y,z,t). Αυτή η συνέχεια της µεταβολής της πυκνότητας, αλλά και των λοιπών ιδιοτήτων του ρευστού, επιτρέπει τη
θεώρησή του ως συνεχές µέσο (continuum) και τη µελέτη-ανάλυσή του µε τις συνήθεις µεθόδους που περιγράφονται στο Κεφ. 1.5. Στη συνέχεια θεωρούµε την πυκνότητα ενός ρευστού ίση µε τη µάζα του διά του όγκου που αυτή καταλαµβάνει, δηλ. ρ= m/u. ΣΧΟΛΙΑ 1. Η πυκνότητα ενός ρευστού εξαρτάται από την πίεση p και τη θερµοκρασία T του, δηλ. ρ= ρ(p,t).. Η πυκνότητα ενός υγρού είναι σχετικά σταθερή. Η πυκνότητα του νερού είναι περίπου ίση µε 1000 kg/m 3. Όταν αυξήσουµε την πίεση 0 φορές η πυκνότητα του νερού θα αυξηθεί κατά περίπου 1%. Σηµειώστε ότι στο παρόν βιβλίο θα ασχοληθούµε µε υγρά σταθερής πυκνότητας. 3. Η πυκνότητα των υγρών είναι περίπου τρεις τάξεις µεγαλύτερη της πυκνότητας των αερίων. Το νερό και ο αέρας σε θερµοκρασία Τ=0 ο C και πίεση p=1 atm έχουν πυκνότητα ίση µε ρ w =998 kg/m 3 και ρ a =1.05 kg/m 3, αντίστοιχα, δηλ. ρ w /ρ a =88.. Ο υδράργυρος (Hg) είναι το βαρύτερο υγρό και έχει πυκνότητα ρ Hg =13580 kg/m 3, ενώ το υδρογόνο (H ) είναι το ελαφρύτερο αέριο και έχει πυκνότητα ρ H =0.0838 kg/m 3 σε ατµοσφαιρική πίεση, δηλ. 16053 φορές µικρότερη από αυτή του υδραργύρου. Το ειδικό βάρος γ ενός ρευστού είναι ίσο µε το βάρος του Β ανά µονάδα όγκου U, δηλ. B mg m γ = = = g = ρg (1.-) U U U όπου g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας που είναι ίση µε 9.81 m/s. Το νερό σε θερµοκρασία Τ=0 ο C και πίεση p=1atm έχει ειδικό βάρος ίσο µε kg m kg m 1 N γ = (998.0 )(9.81 ) 9790 ( )( ) = 9790 3 3 3 m s s m m ΣΧΟΛΙΟ 1. Η πυκνότητα µπορεί να εκφραστεί σε αδιάσταστη µορφή που καλείται ειδική βαρύτητα (specific gravity) SG, µετά από διαίρεση µε κατάλληλη πυκνότητα αναφοράς, η οποία είναι ίση µε ρ w =998 kg/m 3 και ρ a =1.05 kg/m 3 για τα υγρά και τα αέρια, αντίστοιχα. Έτσι, η ειδική βαρύτητα του υδράργυρου και του υδρογόνου είναι ίση µε 3 13580 kg / m SGHg = 13.6 και 3 998 kg / m 3 0.0838 kg / m SGH = 0.07, αντίστοιχα. 3 1.05 kg / m 1.. Πίεση Θεωρείστε ένα στοιχειώδη όγκο ρευστού που βρίσκεται σε ηρεµία. Το περιβάλλον ρευστό εξασκεί µια κάθετη θλιπτική - δύναµη στην επιφάνεια του όγκου και µια οριζόντια εφαπτοµενική- δύναµη στην επιφάνεια του στοιχειώδους όγκου. Η πίεση ορίζεται ως η κάθετη τάση που εξασκείται στην επιφάνεια da, δηλ. dp p = lim (1.-3) da 0 da 3
όταν η οριζόντια δύναµη είναι µηδενική. H πίεση στο σύστηµα SI µετρείται σε Pascal, όπου m (kg)( ) 1Pa = = s = 1 m m m s 1 N kg ΣΧΟΛΙΑ 1. Συχνά, αναφερόµαστε σε κανονικές συνθήκες (standard conditions), στις οποίες η πίεση είναι ίση p=1 Atm (standard atmosphere)=10135 Pa. Η τιµή αυτή είναι ίση µε τη µέση τιµή της ατµοσφαιρικής πίεσης στη (µέση) επιφάνεια της θάλασσας. Επίσης, 1 Atm=760 Torr=760 mm Hg σε θερµοκρασία 0 o C.. Όταν πραγµατοποιείται εξάτµιση του νερού σε ένα κλειστό χώρο, όπως π.χ. σε ένα τµήµα σωλήνα µε ροή νερού υπό πίεση, τότε η πίεση από τα µόρια των υδρατµών καλείται πίεση υδρατµών (vapor pressure), p υ. Στην περίπτωση αυτή η συνέχεια της ροής διακόπτεται και το ρευστό δεν είναι πλέον ένα συνεχές µέσο. Η πίεση των υδρατµών αυξάνεται µε την αύξηση της θερµοκρασίας και είναι ίση µε p υ =611, 130 και 340 Pa σε Τ=0, 10 και 0 ο C, αντίστοιχα. 1..3 Ταχύτητα ροής Κινηµατικά χαρακτηριστικά Η ταχύτητα ροής ενός ρευστού V=V(x,y,z,t) είναι συνάρτηση της θέσης του ρευστού (x, y, z) και του χρόνου t. Συχνά, χρησιµοποιούµε ορθογωνικό σύστηµα συντεταγµένων και συµβολίζουµε τις 3 συνιστώσες της ταχύτητας ροής µε u, v και w, κατά τους άξονες x, y και z, αντίστοιχα. Τα βασικά κινηµατικά χαρακτηριστικά του ρευστού είναι η απόσταση ds που διανύει, η επιτάχυνση a και η παροχή dq που διέρχεται από µια επιφάνεια εµβαδού da που ορίζεται κάθετα στη ροή του. Στην απλή περίπτωση της µονοδιάστατης ροής, όπου η ροή γίνεται κατά µια κυρίως διεύθυνση, έστω κατά x (u 0) και στις άλλες δυο διευθύνσεις η ροή θεωρείται ως αµελητέα (v=w=0), οι ιδιότητες αυτές γράφονται ds = udt, du a = και dq = uda (1.-4) dt ΣΧΟΛΙΟ 1. Η ανάλυση των προβληµάτων µονοδιάστατης ροής, π.χ. σε σωλήνες υπο πίεση, γίνεται µε τη µέθοδο της µονοδιάστατης ανάλυσης (βλ. Κεφ. 1.5.1) στην οποία δεν χρησιµοποιούµε τις τοπικές τιµές των διαφόρων µεγεθών (π.χ. ταχύτητα ροής), αλλά τις µέσες τιµές, οι οποίες υπολογίζονται από τις κατανοµές των µεγεθών σε διατοµές πού είναι κάθετες στη ροή (βλ. Νουτσόπουλος και Χριστοδούλου, 1996). 1..4 Εσωτερική ενέργεια - Θερµοκρασία Η εσωτερική ενέργεια ενός ρευστού είναι η ενέργεια που αποθηκεύεται σε αυτό και οφείλεται στην κίνηση των µορίων του και στις δυνάµεις µεταξύ τους. Η θερµοκρασία Τ του ρευστού είναι ένα µέτρο της εσωτερικής ενέργειας που αποθηκεύει αυτό. 1..5 υναµική, κινητική και µηχανική ενέργεια Απώλειες ενέργειας Όπως γνωρίζουµε από τη φυσική, ενέργεια του ρευστού είναι η ικανότητά του να παράγει έργο και έργο είναι το αποτέλεσµα της εφαρµογής µιας δύναµης. Το έργο ισούται µε το γινόµενο «δύναµη» x «µετάθεση=dx». 4
H ολική ενέργεια µάζας m ρευστού που κινείται µε ταχύτητα V, έχει πίεση p και βρίσκεται σε απόσταση z από ένα οριζόντιο επίπεδο αναφοράς, όπως φαίνεται στο Σχ. 1.-1, είναι ίση µε 1 p V p E = mgz + mv + mg = mg(z + + ) (1.-5) γ g γ και έχει µονάδες Joule (J), 1 J=Νm. ΣΧΗΜΑ 1.-1. Ροή µάζας ρευστού Η ολική ενέργεια µπορεί να εκφραστεί ανά µονάδα βάρους, δηλ. έχει µονάδες µήκους [L] και καλείται ύψος ενέργειας. E V p H = = z + + (1.-6) mg g γ Με την εφαρµογή της µεθόδου της µονοδιάστατης ανάλυσης στον όγκο αναφοράς του Σχ. 1.-, ο οποίος καθορίζεται από τα στερεά τοιχώµατα του σωλήνα και τις διατοµές 1 και, η εξίσωση ενέργειας γράφεται µε την ακόλουθη µορφή H1 = H + H1 (1.-7) ΣΧΗΜΑ 1.-. Γραµµή ενέργειας (ΓΕ) και πιεζοµετρική γραµµή (ΠΓ) 5
Η 1 και Η είναι οι ενέργειες στις δυο διατοµές 1 και και Η 1- είναι ίσο µε H = H + h + h (1.-8) 1 w f (1 ) m(1 ) όπου Η w είναι το µηχανικό έργο που αποδίδεται στο περιβάλλον, h f(1-) είναι οι απώλειες εξαιτίας τριβών µεταξύ των διατοµών 1 και, οι οποίες καλούνται γραµµικές απώλειες και h m(1-) είναι οι απώλειες εξαιτίας αλλαγών της γεωµετρίας της ροής, οι οποίες καλούνται τοπικές απώλειες. ΣΧΟΛΙΑ 1. Σηµειώστε, ότι η εξ.(1.-6) είναι προσεγγιστική και ισχύει για οµοιόµορφη κατανοµή ταχυτήτων ροής στη διατοµή της ροής. Η ακριβής έκφραση της εξ.(1.-6) απαιτεί την εισαγωγή ενός συντελεστή συνόρθωσης της κινητικής ενέργειας α, που εκφράζει την επίδραση της ανοµοιοµορφίας της κατανοµής της ταχύτητας ροής. E V p H = = z + α + (1.-9) mg g γ. Όταν δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας, η εξ.(1.-9) λαµβάνει τη γνωστή µορφή της εξίσωσης Bernoulli (βλ. Νουτσόπουλος και Χριστοδούλου,1996) H = H ή 1 V1 p1 V p z1 + α1 + = z + α + (1.-10) g γ g γ 3. Η ολική ενέργεια της ροής απεικονίζεται γραφικά µε µια γραµµή που φαίνεται στο Σχ. 1.-, η οποία καλείται γραµµή ενέργειας και συµβολίζεται µε ΓΕ. Η πίεση της ροής p/γ απεικονίζεται γραφικά µε την πιεζοµετρική γραµµή, η οποία συµβολίζεται µε ΠΓ στο Σχ.1.-. Η ΠΓ σχεδιάζεται κάτω από τη ΓΕ και σε απόσταση ίση µε τo ύψος της κινητικής ενέργειας V /g. 4. Σε ένα αγωγό τα ύψη της ΠΓ και της ΓΕ µπορεί να προσδοριστούν πειραµατικά από τις ενδείξεις του πιεζοµετρικού σωλήνα και του σωλήνα Pitot, αντίστοιχα (βλ. Νουτσόπουλος και Χριστοδούλου,1996). 1..6 υναµική και κινηµατική συνεκτικότητα H δυναµική συνεκτικότητα µ είναι µια ιδιότητα του ρευστού, η οποία εκφράζει την «αντίστασή» του στην επιβολή διατµητικής τάσης. Ας θεωρήσουµε το Σχ. 1.-3, στο οποίο φαίνεται ένα µονοδιάστατο (κατά x) κανάλι (ανοικτός αγωγός) µε ακίνητο νερό, που περιορίζεται κατά την κατακόρυφη έννοια (κατά y) από ένα στερεό όριο (πυθµένας στη θέση y=0) και την ελεύθερη επιφάνειά του (στη θέση y=h). 6
ΣΧΗΜΑ 1.-3. Επιβολή διατµητικής τάσης σε ακίνητο υγρό Θεωρείστε ότι στην επιφάνεια του νερού εξασκείται µια διατµητική τάση τ, π.χ. από τον άνεµο. Στην επιφάνεια το νερό αρχίζει να κινείται µε ταχύτητα ίση µε u(y=h), ενώ κοντά στον πυθµένα η παρουσία του φυσικού ορίου επιβραδύνει την κίνηση και επιβάλλει πάνω σε αυτόν u(y=0)=0. Ένα µικρό ορθογώνιο τµήµα της ροής του νερού παραµορφώνεται εξαιτίας των διαφορετικών ταχυτήτων στην επάνω και κάτω πλευρά του µε ρυθµό du/dy. Αποδεικνύεται (βλ. Νουτσόπουλος και Χριστοδούλου, 1996), ότι η επιβαλλόµενη τάση και ο ρυθµός παραµόρφωσης συνδέονται µεταξύ τους µε τη σχέση τ µ = ή du / dy du τ = µ (1.-11) dy όπου µ είναι ο συντελεστής δυναµικής µοριακής συνεκτικότητας ή απλά µοριακή kg συνεκτικότητα του ρευστού, η οποία έχει µονάδες «τάση»x«χρόνος», δηλ. ms. ΣΧΟΛΙΑ 1. Η δυναµική συνεκτικότητα µ ενός ρευστού εξαρτάται από την πίεση p και τη θερµοκρασία T, δηλ. µ=µ(p,t), όπως η πυκνότητα (βλ. Κεφ.1..1). Η επίδραση της p είναι µικρή, π.χ. όταν αυξήσουµε την p ενός ρευστού από 1 σε 50 Atm, η συνεκτικότητά του θα αυξηθεί κατά περίπου 10%. Η επίδραση της T είναι σηµαντική. Όταν αυξάνεται η T, η µ µειώνεται στα υγρά και αυξάνεται στα αέριa.. Όταν σε ένα ρευστό η µ είναι σταθερή, τότε το ρευστό καλείται νευτώνιο (Newtonian fluid) προς τιµή του Sir Isaac Newton, που ήταν ο πρώτος που διατύπωσε το 1687 το νόµο της «αντίστασης» αυτής του ρευστού στην επιβολή διατµητικής τάσης. Στο βιβλίο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα νευτώνια ρευστά και κυρίως το νερό. 3. Όταν σε ένα ρευστό η συνεκτικότητα είναι ίση µε µηδέν (µ=0), τότε το ρευστό καλείται ιδεατό (βλ.κεφ.1.4.3). H κινηµατική συνεκτικότητα ενός ρευστού ν ορίζεται ως εξής µ ν = (1.-1) ρ και έχει µονάδες m s. 7
Στον Πίν. 1.-1 παρουσιάζονται ενδεικτικές τιµές των ρ, µ και ν για διάφορα ρευστά σε p=1 Atm και T=0 o C. ΠΙΝΑΚΑΣ 1.-1. Ενδεικτικές τιµές των ρ, µ και ν για διάφορα ρευστά Ρευστό ρ (kg/m 3 ) µ (kg/ms) ν (m /s) Υδρογόνο 0.084 8.8 10-6 1.05 10-4 Αέρας 1. 1.8 10-5 1.51 10-5 ιοξείδιο του άνθρακα 1.83 1.6 10-5 8.5 10-6 Βενζίνη 680.9 10-4 4. 10-7 Νερό 998 1.0 10-3 1.01 10-6 Αιθυλική αλκοόλη 789 1. 10-3 1.5 10-6 Υδράργυρος 13580 1.5 10-3 1.16 10-7 Λάδι SAE 30 891 0.9 3.4 10-4 Γλυκερίνη 164 1.5 1.18 10-3 1.3 ιαστάσεις και µονάδες Στο βιβλίο αυτό θα χρησιµοποιήσουµε κυρίως τις µονάδες του διεθνούς συστήµατος SI (συντοµογραφία του γαλλικού όρου Le Système International d'unités), αλλά και κάποιες από τις µονάδες που είναι αποδεκτές από το SI. Το SI είναι ένα σύγχρονο µετρικό σύστηµα που παρουσιάστηκε το 1960 και βασίστηκε στο παλιό MKS (metre-kilogram-second). Οι µονάδες του SI φαίνονται στον Πίν. 1.3-1. ΠΙΝΑΚΑΣ 1.3-1. Μονάδες του SI Μέγεθος Μονάδα του SI Mάζα Kilogram (kg) Μήκος Meter (m) Χρόνος Second (s) Θερµοκρασία o Kelvin ( o K) ύναµη Newton (Ν)= kg m/s Εµβαδό m Όγκος m 3 Ταχύτητα m/s Επιτάχυνση m/s Πίεση ή τάση Pascal (Pa=N/m = kg/ms ) Γωνιακή ταχύτητα 1/s Ενέργεια, θερµότητα, έργο Joule (J=N m) Ισχύς Watt (W=J/s) Πυκνότητα kg/m 3 Μοριακή συνεκτικότητα kg/(m s) Κινηµατική συνεκτικότητα m /s Επίσης, θα χρησιµοποιούµε συχνά τις ακόλουθες µονάδες 1. Atm. Ισχύει 1 Atm =10135 Pa=760 Torr=760 mm Hg. o o o C. Ισχύει T( C) = T( K) 73 8
1.4 Είδη, βασικές εξισώσεις και ορισµένα χαρακτηριστικά της ροής 1.4.1 Στρωτή και τυρβώδης ροή υο είναι τα βασικά είδη της ροής: (α) στρωτή και (β) τυρβώδης. Ο χαρακτηρισµός αυτός της ροής γίνεται από δυναµική άποψη (συσχετισµός δυνάµεων). (α) Κατά τη στρωτή ροή οι γειτονικές στρώσεις του ρευστού κινούνται σχηµατίζοντας λείες (όχι απαραίτητα ευθείες) γραµµές ροής (γραµµή ροής είναι η γραµµή στην οποία είναι εφαπτόµενο το άνυσµα της ταχύτητας ροής), χωρίς να πραγµατοποιείται ανάµιξη µακροσκοπικής κλίµακας µεταξύ δυο γειτονικών στρώσεων. Η στρωτή ροή πραγµατοποιείται όταν οι δυνάµεις συνεκτικότητας (εξαιτίας των διατµητικών τάσεων, δηλ. οι δυνάµεις τριβών που οφείλονται στην παρουσία στερεών τοιχωµάτων) είναι µεγαλύτερες από τις δυνάµεις αδράνειας. Οι στρωτές ροές αποτελούν θεωρητική περίπτωση και πολύ σπάνια συµβαίνουν στη φύση. (β) Στην τυρβώδη ροή τα ρευστά σωµατίδια έχουν ακανόνιστη, σχεδόν τυχαία, διακυµαινόµενη κίνηση. Η ταχύτητα σε κάθε σηµείο του ρευστού µεταβάλλεται µε το χρόνο τόσο κατά µέγεθος, όσο και κατά διεύθυνση. Η ροή κατά στρώσεις µε λείες γραµµές ροής που παρατηρείται στη στρωτή ροή, διασπάται πλήρως και συµβαίνει έντονη µακροσκοπική ανάµιξη µεταξύ δυο γειτονικών στρώσεων. Η τυρβώδης ροή πραγµατοποιείται όταν οι δυνάµεις αδράνειας είναι µεγαλύτερες από τις δυνάµεις συνεκτικότητας. Στο φυσικό περιβάλλον, όλες σχεδόν οι ροές είναι τυρβώδεις. Στο Σχ. 1.4-1 παρουσιάζονται δυο παραδείγµατα ροής στο φυσικό περιβάλλον. Στο Σχ. 1.4-1(α) η ροή του θερµού καπνού του τσιγάρου που καπνίζει ο Humphrey Bogart είναι αρχικά στρωτή. Στη συνέχεια γίνεται ασταθής και τυρβώδης, καθώς επιταχύνει ανερχόµενη προς τα θερµότερα υψηλά στρώµατα του αέρα. Στο Σχ. 1.4-1(β) η ροή των αέριων αποβλήτων στην ατµόσφαιρα από την καµινάδα ενός εργοστασίου φαίνεται ότι είναι σχεδόν από την αρχή τυρβώδης. (α) (β) ΣΧΗΜΑ 1.4-1. Παραδείγµατα ροής στο φυσικό περιβάλλον 9
1.4. Το πείραµα και ο αριθµός Reynolds Ο Osborne Reynolds (184-191) ήταν Βρετανός µηχανολόγος µηχανικός. Σπούδασε στο Πανεπιστήµιο του Cambridge και το 1868 έγινε ο πρώτος καθηγητής στο Πανεπιστήµιο του Manchester. Το 1883 πραγµατοποίησε το πασίγνωστο πείραµά του µε το οποίο εξήγησε τη διαφορά µεταξύ της στρωτής και της τυρβώδους ροής. Στο Σχ. 1.4- φαίνεται µια σύγχρονη µορφή της πειραµατικής διάταξης του Reynolds (1883). ΣΧΗΜΑ 1.4-. Σκαρίφηµα της πειραµατικής διάταξης του Reynolds Σε ένα κύλινδρο µε νερό προσαρµόζουµε ένα µικρό οριζόντιο σωλήνα µε εσωτερική διάµετρο ίση µε D, απ όπου εκρέει νερό παροχής Q. Η παροχή µπορεί να ρυθµίζεται µε δικλίδα που βρίσκεται στο κατάντη άκρο του σωλήνα. Από ένα σωλήνα πολύ µικρής διαµέτρου (< 1mm) διοχετεύουµε χρωµατισµένο υγρό, όπως π.χ. υπερµαγγανικό κάλιο. Στην αρχή του πειράµατος έχουµε λίγο ανοικτή τη δικλίδα, οπότε η παροχή και η ταχύτητα ροής είναι µικρή και η ροή είναι στρωτή, όπως φαίνεται από τη λείες γραµµές ροής στο Σχ. 1.4-3(α). Ανοίγουµε λίγο παραπάνω τη δικλίδα, η παροχή αυξάνεται και παρατηρούµε τις πρώτες ασυνέχειες στις γραµµές ροής («σπάνε» οι λείες γραµµές ροής και δηµιουργούνται οι πρώτοι στρόβιλοι), όπως φαίνεται στο Σχ. 1.4-3(β) (µεταβατική τυρβώδης ροή). Στη συνέχεια ανοίγουµε αρκετά τη δικλίδα, η παροχή αυξάνεται σηµαντικά και οι στρόβιλοι είναι ασταθείς και αλληλοεπιδρούν µεταξύ τους, οπότε η ροή είναι πλήρως τυρβώδης, βλ. Σχήµα 1.4-3(γ). Μπορείτε να δείτε το πείραµα Reynolds στο youtube (http://www.youtube.com/ watch?v=nplrdarmdf8). Ο Reynolds (1883) εισήγαγε τον αριθµό Reynolds για σωλήνες, ο οποίος είναι ίσος µε VD Q D 4Q Re = = = (1.4-1) ν πd ν πdν 4 και παρατήρησε ότι αυτός χαρακτηρίζει το είδος της ροής. Όταν Re>4000 η ροή είναι τυρβώδης, όταν Re<300 η ροή είναι στρωτή και όταν 300<Re<4000, η ροή είναι µεταβατική τυρβώδης. Για αγωγούς µη-κυκλικής διατοµής, ο αριθµός Reynolds προσδιορίζεται από την εξ. (1.4-1), θέτοντας στη θέση της διαµέτρου του σωλήνα D την υδραυλική διάµετρο D h, βλ. Κεφ. 5., εξ. (5.1-4). 10
ΣΧΟΛΙΟ 1. Θυµηθείτε ότι ο αριθµός Reynolds αποτελεί µέτρο σύγκρισης των δυνάµεων αδράνειας προς τις δυνάµεις συνεκτικότητας (βλ. Νουτσόπουλος και Χριστοδούλου, 1996). ΣΧΗΜΑ 1.4-3. (α) στρωτή ροή, (β) µεταβατική τυρβώδης ροή και (γ) πλήρως τυρβώδης ροή 1.4.3 Βασικές εξισώσεις τρισδιάστατης στρωτής ροής Οι βασικές εξισώσεις ροής είναι (1) η εξίσωση συνέχειας, () οι εξισώσεις ποσότητας κίνησης και (3) η εξίσωση ενέργειας. Οι εξισώσεις αυτές προκύπτουν από την εφαρµογή της αρχής της διατήρησης (1) της µάζας, () της ορµής ( ος νόµος του Νεύτωνα) και (3) της ενέργειας, αντίστοιχα, σε στοιχειώδη όγκο νευτώνειου ρευστού σταθερής πυκνότητας ρ και συνεκτικότητας µ και ν, όπως παρουσιάζεται αναλυτικά στους Νουτσόπουλο και Χριστοδούλου (1996). Στη συνέχεια θα ασχοληθούµε µε τις εξισώσεις συνέχειας και ποσότητας κίνησης. Χρησιµοποιούµε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων και εφαρµόζουµε την αρχή της διατήρησης µάζας στο στοιχειώδη όγκο του ρευστού, δηλ. «ρυθµός αύξησης µάζας = καθαρή εισροή µάζας», οπότε προκύπτει η ακόλουθη εξίσωση συνέχειας u v w + + = 0 x y z (1.4-) όπου u, v και w είναι οι ταχύτητες του ρευστού κατά τις διευθύνσεις x, y και z, αντίστοιχα. Εφαρµόζοντας την αρχή διατήρησης της ορµής στο στοιχειώδη όγκο του ρευστού, δηλ. «ρυθµός µεταβολής της ορµής = άθροισµα δυνάµεων που εξασκούνται στο ρευστό» προκύπτουν οι ακόλουθες εξισώσεις ποσότητας κίνησης Du 1 p 1 u u u = + g x + (µ ) + (µ ) + (µ ) Dt ρ x ρ x x y y z z Dv 1 p 1 v v v = + g y + (µ ) + (µ ) + (µ ) Dt ρ y ρ x x y y z z (1.4-3) (1.4-4) 11
Dw 1 p 1 w w w = + g z + (µ ) + (µ ) + (µ ) Dt ρ z ρ x x y y z z (1.4-5) όπου g x, g y και g z είναι οι συνιστώσες της επιτάχυνσης της βαρύτητας κατά τους άξονες x, y z, αντίστοιχα, και p είναι η πίεση. Το αριστερό µέλος των εξισώσεων αποτελεί το ολικό διαφορικό της κάθε συνιστώσας της ταχύτητας και εκφράζει το ρυθµό µεταβολής της ορµής ανά µονάδα µάζας του ρευστού σωµατιδίου, δηλ. Du u u u u = + u + v + w Dt t x y z Dv v v v v = + u + v + w Dt t x y z (1.4-6) (1.4-7) Dw w w w w = + u + v + w (1.4-8) Dt t x y z ΣΧΟΛΙΑ 1. Παρατηρείστε ότι οι όροι των εξισώσεων ποσότητας κίνησης έχουν µονάδες επιτάχυνσης.. Σηµειώστε ότι το δεξιό µέλος των εξισώσεων ποσότητας κίνησης περιέχει τις δυνάµεις (ανά µονάδα µάζας) που εξασκούνται στο ρευστό σωµατίδιο. Οι δυνάµεις αυτές είναι (α) η δύναµη από τις πιέσεις p, (β) η δύναµη από το πεδίο βαρύτητας g και (γ) η δύναµη από τις διατµητικές τάσεις (τριβές). 3. Οι εξισώσεις ροής, εξ.(1.4-) µέχρι εξ.(1.4-5), πολύ σπάνια και σε πολύ απλές περιπτώσεις ροής (βλ. Κεφ. 1.5.3) λύνονται αναλυτικά. Αυτό οφείλεται κυρίως στην παρουσία του δευτεροβάθµιου όρου των τριβών, ο οποίος αναγνωρίζεται εύκολα στις εξισώσεις ποσότητας κίνησης από την παρουσία της συνεκτικότητας, µ (ή ν). Σε αρκετές περιπτώσεις η παράλειψη του όρου αυτού, δηλ. η θεώρηση του ρευστού ως ιδεατό (αµελώντας τις τριβές, οπότε µ=0, βλ. Κεφ.1.4.3), επιτρέπει την αναλυτική επίλυση των εξισώσεων και την εξαγωγή χρήσιµων συµπερασµάτων, που µπορεί να επεκταθούν σε κάποιο βαθµό και σε πραγµατικά ρευστά (βλ. Κεφ.1..6). 1.4.4 Εξισώσεις τυρβώδους ροής-τυρβώδεις τάσεις Η τυχαία συµπεριφορά της τυρβώδους ροής που είδαµε στο Σχ. 1.4-1 και στο Σχ. 1.4-3 δεν µας επιτρέπει να κάνουµε µια αναλυτική µαθηµατική περιγραφή της κίνησης όλων των ρευστών σωµατιδίων. Έτσι, θεωρούµε ότι τα στιγµιαία µεγέθη της τυρβώδους ροής φ (u, v, w και p) συνίστανται από µια µέση τιµή φ ( u, v, w και p ) και µια χρονικά κυµαινόµενη τιµή ή διακύµανση φ' (u', v' w' και p') δηλ. φ = φ + φ, u = u + u, v = v + v, w = w + w και p = p + p (1.4-9) όπως φαίνεται χαρακτηριστικά στο Σχ. 1.4-4 για τα µεγέθη u και p. Οι µέσες τιµές των µεγεθών και των διακυµάνσεών τους για ένα χρονικό διάστηµα t, αρκετά µικρό, αλλά πολύ µεγαλύτερο της χρονικής κλίµακας των διακυµάνσεών της φ, έστω από 3 µέχρι 8 s, είναι ίσες µε 1 t t ' 1 ' φ = φdt t και φ = φ dt 0 0 t = (1.4-10) 0 1
ΣΧΗΜΑ 1.4-4. Μεταβολή της ταχύτητας ροής u και της πίεσης p στην τυρβώδη ροή Εισάγουµε τις εξισώσεις εξ. (1.4-9) στις εξισώσεις συνέχειας, εξ.(1.4-), και ποσότητας κίνησης, εξ.(1.4-3), εξ.(1.4-4) και εξ.(1.4-5), και λαµβάνουµε τις µέσες τιµές για όλους τους όρους των εξισώσεων µετά από ολοκλήρωση στο χρονικό διάστηµα t, οπότε προκύπτουν οι εξισώσεις της τυρβώδους ροής. u v w + + = 0 x y z (1.4-11) Du 1 p 1 u ' u ' ' u ' ' = + g x + µ ρu + µ ρu v + µ ρu w (1.4-1) Dt ρ x ρ x x y y z z Dv 1 p 1 v ' ' v ' v ' ' = + g y + µ ρu v + µ ρv + µ ρv w Dt ρ y ρ x x y y z z (1.4-13) Dw 1 p 1 w ' ' w ' ' w ' = + g z + µ ρw u + µ ρw v + µ ρw Dt ρ z ρ x x y y z z (1.4-14) όπου Du u u u u = + u + v + w Dt t x y z Dv v v v v = + u + v + w Dt t x y z Dw w w w w = + u + v + w Dt t x y z (1.4-15) (1.4-16) (1.4-17) ΣΧΟΛΙΑ 1. Αν θέσουµε στη θέση των στιγµιαίων µεγεθών u, v, w και p των εξισώσεων της στρωτής ροής τα αντίστοιχα χρονικά µέσα µεγέθη u, v και w, οι εξισώσεις της τυρβώδους ροής είναι ίδιες µε τις εξισώσεις της στρωτής ροής µε τη µοναδική διαφορά να παρατηρείται στους όρους των δυνάµεων από τις διατµητικές τάσεις. Οι όροι αυτοί αυξάνονται σηµαντικά µε την προσθήκη 6 νέων όρων της µορφής ' ' ρu v, ' ' ρu w και ' ' ρv w. ' ρu, ' ρv, ' ρw, 13
. Οι πρόσθετοι όροι που οφείλονται στην ύπαρξη της τυρβώδους ροής, έχουν µονάδες τάσης (πίεσης) και καλούνται τυρβώδεις τάσεις. Πρακτικά, αυτό που συµβαίνει είναι ότι η παρουσία της τύρβης «προσθέτει» τάσεις και τριβές στη ροή µε αποτέλεσµα να αναµένεται µεγαλύτερη ανάµιξη της ροής και περισσότερο οµοιόµορφη κατανοµή των ταχυτήτων ροής. 1.4.5 Κλείσιµο τύρβης- Μαθηµατικά µοντέλα τύρβης Οι εξισώσεις της τυρβώδους ροής είναι 4. Οι άγνωστοι των 4 εξισώσεων είναι 10, τα 4 µέσα (χρονικά) µεγέθη u, v, w και p και οι 6 τυρβώδεις τάσεις. Για να µπορούµε να επιλύσουµε το σύστηµα των εξισώσεων, δηλ. το σύστηµα των εξισώσεων να είναι «κλειστό», θα πρέπει να γίνει το λεγόµενο «κλείσιµο» της τύρβης. Αυτό πραγµατοποιείται µε τα µαθηµατικά µοντέλα της τύρβης, τα οποία είναι εξισώσεις που συνδέουν τις 6 τυρβώδεις τάσεις µε τα µέσα µεγέθη της ροής (u, v, w και p). Έτσι, ο αριθµός των εξισώσεων γίνεται ίδιος µε τον αριθµό των αγνώστων (4). Θεωρούµε ότι υπάρχει αναλογία συµπεριφοράς των τυρβωδών τάσεων µε τις τάσεις συνεκτικότητας, οπότε µπορούµε να γράψουµε τις τυρβώδεις διατµητικές τάσεις ως ανάλογες του ρυθµού παραµόρφωσης, βλ. εξ. (1.-14). Ενδεικτικά, για την εξ. (1.4-1), οι τυρβώδεις τάσεις γράφονται ως εξής u u u u x x x x ' µ ρu = µ µ t = (µ + µ t ) (1.4-18) u u u u y y y y ' ' µ ρu v = µ µ t = (µ + µ t ) (1.4-19) u u u u z z z z ' ' µ ρu w = µ µ t = (µ + µ t ) (1.4-0) όπου µ t είναι η τυρβώδης δυναµική συνεκτικότητα σε αναλογία µε τη µοριακή δυναµική συνεκτικότητα (βλ. εξ. (1.-14)), οπότε η εξ. (1.4-1) γράφεται Du 1 p 1 u u u = + g x + (µ + µ t ) + (µ + µ t ) + (µ + µ t ) (1.4-1) Dt ρ x ρ x x y y z z Η εξ. (1.4-1) είναι ίδια µε την εξ. (1.4-3) της στρωτής ροής, αλλά έχει «µεγαλύτερη συνεκτικότητα» κατά µ t. Αντίστοιχα, ορίζεται η τυρβώδης κινηµατική συνεκτικότητα ίση µε ν t = µ t /ρ (βλ. εξ. (1.-15)). Στις συνηθισµένες τυρβώδεις ροές ισχύει ν t >>ν και µ t >>µ. Οι υπόλοιπες εξισώσεις προκύπτουν ανάλογα. Στη συνέχεια του βιβλίου θα παραλείψουµε τα σύµβολα των µέσων τιµών από τις εξισώσεις. 1.4.6 Μόνιµη και µη-µόνιµη ροή - Χρόνος αποκατάστασης µονιµότητας της ροής Ο χαρακτηρισµός της ροής από κινηµατική άποψη ως µόνιµη ή µη-µόνιµη γίνεται µε βάση το χρόνο t. Όταν η ροή δεν µεταβάλλεται µε το χρόνο ή όταν όλες οι χρονικές παράγωγοι των ταχυτήτων ροής στις εξισώσεις ροής είναι ίσες µε µηδέν, δηλ. 14
u = 0 t και v = 0 t και w = 0 t (1.4-) η ροή χαρακτηρίζεται ως µόνιµη. ΣΧΟΛΙΟ 1. Ανοίξτε µια βρύση νερού στο σπίτι σας και παρατηρείστε τη ροή της φλέβας του νερού. Όσο χρόνο διαρκεί το άνοιγµα η παροχή της φλέβας του νερού µεταβάλλεται και λίγο χρόνο µετά την ολοκλήρωση του ανοίγµατος της βρύσης σταθεροποιείται, δηλ. η ροή αρχικά είναι µη-µόνιµη και µετά από κάποιο χρονικό διάστηµα (στην παρούσα περίπτωση πολύ µικρό) γίνεται µόνιµη. 1.4.7 Οµοιόµορφη και ανοµοιόµορφη ροή - Μήκος ανάπτυξης της ροής Ο χαρακτηρισµός της ροής ως οµοιόµορφη ή µη-οµοιόµορφη γίνεται από κινηµατική άποψη µε βάση το χώρο (x, y, z). Όταν η ροή δεν µεταβάλλεται χωρικά ή όταν όλες οι παράγωγοι των ταχυτήτων ροής µε το χώρο είναι ίσες µε µηδέν, δηλ. u u u u + v + w = 0 x y z και v v v u + v + w = 0 x y z και w w w u + v + w = 0 x y z (1.4-3) η ροή χαρακτηρίζεται ως οµοιόµορφη. Η ροή υπό πίεση σε ένα σωλήνα σταθερής διατοµής είναι οµοιόµορφη. Κοιτάξτε το Σχ. 1.4- µε το πείραµα του Reynolds και εστιάστε στο σηµείο που ξεκινά ο σωλήνας. Στην αρχή του σωλήνα το νερό συγκλίνει για να εισέλθει στο σωλήνα µε αποτέλεσµα η ροή να µην είναι οµοιόµορφη, αλλά γίνεται οµοιόµορφη µετά από κάποιο µήκος από την αρχή του σωλήνα. Το µήκος αυτό που χρειάζεται για να γίνει η ροή οµοιόµορφη καλείται µήκος ανάπτυξης της ροής. Θα εξετάσουµε αναλυτικότερα το θέµα αυτό στο Κεφ. 3.. 1.4.8 Εσωτερική και εξωτερική ροή Τα στερεά όρια και η τραχύτητα τους Μια ροή χαρακτηρίζεται ως εσωτερική όταν περιορίζεται από στερεά όρια. Χαρακτηριστικό παράδειγµα αποτελεί η ροή σε αγωγούς υπό πίεση, που αποτελεί το αντικείµενο του παρόντος βιβλίου. Μια ροή χαρακτηρίζεται ως εξωτερική, όταν δεν περιορίζεται από στερεά όρια και µπορεί να επεκταθεί. Οι περισσότερες πρακτικές περιπτώσεις εξωτερικών ροών αφορούν τη σχετική κίνηση ρευστών στην περιοχή στερεών αντικειµένων, όπως η ροή του αέρα σε διάφορες κατασκευές (κτίρια, γέφυρες, ανεµογεννήτριες), η κίνηση των πλοίων στη θάλασσα, η κίνηση των αυτοκινήτων και των αεροπλάνων στον αέρα κ.α. Παρατηρείστε ότι και στις εξωτερικές ροές υπάρχουν στερεά όρια, τα οποία επηρεάζουν τη ροή κοντά σε αυτά. Ένα στερεό όριο χαρακτηρίζεται από την τραχύτητά του k, η οποία πρακτικά είναι ίση µε το µέσο µέγεθος των προεξοχών του. Στην ανάλυση της ροής κοντά σε στερεό όριο χρησιµοποιούµε την ισοδύναµη τραχύτητα k s. Η ισοδύναµη τραχύτητα µιας επιφάνειας είναι ίση µε τη διάµετρο οµοιόµορφων κόκκων άµµου που τοποθετούµε πάνω σε µια λεία επιφάνεια ώστε να παρουσιάζει τις ίδιες απώλειες εξαιτίας τριβών µε την εξεταζόµενη φυσική επιφάνεια. 15
1.4.9 Οριακό στρώµα και βασικά χαρακτηριστικά του Η παρουσία ενός στερεού ορίου στις εσωτερικές ή εξωτερικές ροές επηρεάζει τη ροή κοντά σε αυτό, δηλ. (α) «επιβάλλει» το µηδενισµό της ταχύτητας ροής στο όριο (φυσική οριακή συνθήκη) και (β) επιβραδύνει το ρευστό, εξαιτίας των τριβών. Η επίδραση αυτή του στερεού ορίου περιορίζεται σε ένα χώρο που καλείται οριακό στρώµα. Στο Σχ. 1.4-5 παρουσιάζεται ένα σκαρίφηµα της κατά µήκος τοµής του οριακού στρώµατος που σχηµατίζεται σε ροή πάνω από µια επίπεδη, δισδιάστατη (-D) και λεία πλάκα και ενδεικτικές κατανοµές των ταχυτήτων ροής. ΣΧΗΜΑ 1.4-5. Σκαρίφηµα του οριακού στρώµατος και προσεγγιστικές κατανοµές των ταχυτήτων ροής Τα βασικά χαρακτηριστικά του οριακού στρώµατος είναι τα ακόλουθα: 1. Το πάχος δ του οριακού στρώµατος, το οποίο ορίζεται ως η κάθετη απόσταση από το στερεό όριο y µέχρι το σηµείο όπου η ταχύτητα ροής είναι ίση µε την εξωτερική ταχύτητα της ροής U (πρακτικά διαφέρει κατά 1%, δηλ. είναι u=0.99u).. Η εσωτερική και η εξωτερική περιοχή. Η έννοια του οριακού στρώµατος παρουσιάστηκε το 1904 από τον Ludwig Prandtl (1875-1953). Ο Prandtl, o οποίος ήταν Γερµανός µηχανικός, καθηγητής εφαρµοσµένης µηχανικής στα Πανεπιστήµια του Αννόβερου (1901) και του Goettingen (1904-1953), έθεσε τις βάσεις της αεροδυναµικής τη δεκαετία του 190 και απλοποίησε τη µορφή των εξισώσεων του πεδίου ροής στο οριακό στρώµα θεωρώντας δυο περιοχές: (α) την εσωτερική περιοχή (για y < 0.15 δ), όπου κυριαρχεί η συνεκτικότητα και δηµιουργείται η κύρια αντίσταση στη ροή (drag) ενός βυθισµένου σώµατος και (β) εξωτερική περιοχή (y > 0.15 δ), όπου η επίδραση της συνεκτικότητας µπορεί να αγνοηθεί, δηλ. να θεωρήσουµε ότι το ρευστό είναι ιδεατό (µ=0), βλ. Κεφ. 1.-6. ' 3. Το στρωτό οριακό υπόστρωµα (wall layer), το οποίο είναι µια ζώνη πάχους δ πολύ κοντά στο όριο, όπου επικρατούν οι δυνάµεις συνεκτικότητας και η ροή είναι ' στρωτή. Συνήθως, το δ είναι της τάξης του % του δ. 16
4. Αριθµός Reynolds του οριακού στρώµατος, Re x, ο οποίος ορίζεται µε βάση την εξωτερική ταχύτητα της ροής U και την απόσταση x από την αρχή του στερεού ορίου, βλ. εξ. (1.4-1). Re x Ux = (1.4-4) ν Ο Re x καθορίζει το είδος της ροής στο οριακό στρώµα και χαρακτηρίζει το οριακό στρώµα ως στρωτό ή τυρβώδες. Όταν η πλάκα είναι λεία (βλ. Σχ. 1.4-5), τότε στην αρχή της η ροή είναι στρωτή µέχρι µια απόσταση x για την οποία Re x, <500000 και στη συνέχεια, όσο αυξάνεται το x και το Re x, η ροή γίνεται µεταβατική τυρβώδης και τελικά τυρβώδης. Η τυρβώδης ροή δηµιουργεί µεγαλύτερη ανάµιξη µε αποτέλεσµα (α) το δ να είναι µεγαλύτερο και (β) η κατανοµή ταχυτήτων να είναι περισσότερο οµοιόµορφη (βλ. Κεφ. 1.4-4, σχόλιο ). ΣΧΟΛΙΑ 1. Το ρευστό κατά τη ροή του εξασκεί στο στερεό όριο µια διατµητική δύναµη. ιαιρώντας τη δύναµη αυτή µε την επιφάνεια του ορίου προκύπτει η διατµητική τάση του ορίου, τ w.. Ένα στερεό όριο χαρακτηρίζεται ως υδραυλικά λείο, όταν οι προεξοχές της επιφάνειας του k είναι «βυθισµένες» µέσα στο στρωτό οριακό υπόστρωµα, δηλ. k< ' δ. 3. Στις εξωτερικές ροές η παρουσία των στερεών ορίων δηµιουργεί οριακά στρώµατα. Χαρακτηριστικά, αναφέρονται το ατµοσφαιρικό οριακό στρώµα (atmospheric boundary layer) που είναι το χαµηλότερο στρώµα της ατµόσφαιρας του οποίου η συµπεριφορά επηρεάζεται άµεσα από την επιφάνεια της γης, και το οριακό στρώµα που αναπτύσσεται πάνω στις πτέρυγες των αεροπλάνων ή στα φτερά των πουλιών. 17
1.4.10 Αποκλίνουσα και συγκλίνουσα ροή - Αποκόλληση της ροής Στο Σχ. 1.4-6 βλέπουµε παραδείγµατα αποκλίνουσας και συγκλίνουσας ροής σε σωλήνες. Συγκλίνουσα Αποκλίνουσα (α) Συστολή και διαστολή (β) Στένωση (γ) Σφαίρα στο εσωτερικό της ροής ΣΧΗΜΑ 1.4-6. Παραδείγµατα αποκλίνουσας και συγκλίνουσας ροής σε σωλήνα Στην αποκλίνουσα ροή αυξάνεται η επιφάνεια της διατοµής της ροής, οι γραµµές ροής αποκλίνουν και µειώνεται η µέση ταχύτητα ροής, ενώ στην συγκλίνουσα ροή συµβαίνει το αντίθετο. Παρατηρείστε ότι στις περιοχές µείωσης της ταχύτητας ροής (στη διατοµή του Σχ.1.4-6(α), δεξιά και στη διατοµή 3 των Σχ. 1.4-6(β) και Σχ.1.4-6(γ)) εµφανίζεται το φαινόµενο της αποκόλλησης. Το οριακό στρώµα «αποκολλάται», η ροή αρχίζει να κινείται προς τα ανάντη (ανάστροφη ροή) σχηµατίζοντας στροβίλους (δίνες), που απορροφούν ενέργεια από την ροή προκαλώντας σηµαντικές τοπικές απώλειες ενέργειας (βλ. Κεφ.1..5). ΣΧΟΛΙΑ 1. Περιοχές αποκόλλησης της ροής και σχηµατισµού στροβίλων παρουσιάζονται στις επιφάνειες των αυτοκινήτων και των αεροπλάνων. Στο Σχ. 1.4-7(α) φαίνεται η περιοχή αποκόλλησης στις πτέρυγες ενός αεροπλάνου και στο Σχ. 1.4-7(β) στην πίσω επιφάνεια ενός αυτοκινήτου. 18
(α) (β) ΣΧΗΜΑ 1.4-7. Παραδείγµατα αποκλίνουσας ροής: (α) ροή αέρα σε πτέρυγα αεροπλάνου που βρίσκεται σε µεγάλη κλίση (β) ροή αέρα στο πίσω µέρος ενός αυτοκινήτου. Η αποκόλληση της ροής στα αεροπλάνα και στα αυτοκίνητα οδηγεί συχνά σε σηµαντική αύξηση της αντίστασης του αέρα στην κίνησή τους και τελικά σε αύξηση της κατανάλωσης καυσίµου. Για το λόγο αυτό πραγµατοποιούνται σηµαντικές ερευνητικές εργασίες για το σχεδιασµό των αεροδυναµικών επιφανειών, έτσι ώστε να περιορίζεται όσο το δυνατό περισσότερο η αποκόλληση της ροής πάνω σε αυτές και να µειώνεται η έκταση των στροβίλων.. Παρατηρείστε, ότι στα αυτοκίνητα τύπου «sedan» πραγµατοποιείται ο σχεδιασµός της επιφάνειας της οροφής προς το πίσω τζάµι και τελικά στο καπάκι του πορτµπαγκάζ µε οµαλή καµπύλη, ενώ στα αυτοκίνητα τύπου «hatchback» και «wagon» χρησιµοποιούνται πτερύγια επέκτασης οροφής (roof extension spoilers). 1.5 Ανάλυση της ροής ενός ρευστού 1.5.1 Βασικές µέθοδοι ανάλυσης ροής ρευστού Οι βασικές µέθοδοι ανάλυσης ενός προβλήµατος ροής ρευστού είναι οι ακόλουθες: 1. Μέθοδος της µονοδιάστατης ανάλυσης (one dimensional analysis).. Μέθοδος της διαφορικής ανάλυσης (differential analysis). 3. Μέθοδος της διαστατικής ανάλυσης (dimensional analysis). 19
1.5. Μέθοδος της µονοδιάστατης ανάλυσης Στη µέθοδο αυτή καθορίζεται ο όγκος ελέγχου ή όγκος αναφοράς (control volume), ο οποίος είναι µια πεπερασµένη γεωµετρική περιοχή της ροής που περικλείεται από κατάλληλα επιλεγµένα όρια. Τα όρια αυτά µπορεί να είναι παράλληλα στη διεύθυνση της ροής, όπως π.χ. τα στερεά τοιχώµατα ενός αγωγού, ή κάθετα στη διεύθυνση της ροής, όπως π.χ. οι διατοµές εισροής και εκροής του όγκου ελέγχου. Στον όγκο ελέγχου εφαρµόζουµε ισοζύγια για τις 3 βασικές ποσότητες (µάζας, ποσότητας κίνησης και ενέργειας) που εισέρχονται και εξέρχονται από τις διατοµές εισροής και εκροής του και τελικά µεταβάλλονται µέσα σε αυτόν, χωρίς να δίνουµε σηµασία στις λεπτοµέρειες της γεωµετρίας της ροής. Εφαρµόζοντας τη µέθοδο αυτή καταλήγουµε στις µονοδιάστατες εξισώσεις συνέχειας, ποσότητας κίνησης και ενέργειας (βλ. Νουτσόπουλος και Χρστοδούλου, 1996). Για το λόγο αυτό, η µέθοδος αυτή καλείται και µέθοδος της µονοδιάστατης ανάλυσης. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1.5-1 Στο Σχ. 1 φαίνεται η κάτοψη ροής νερού (ρ=998 kg/m 3 ) σε ένα σωλήνα διαµέτρου D=0.600 m µε µέση ταχύτητα ροής ίση µε V 1 =1.0 m/s. Ο σωλήνας καταλήγει σε δύο µικρότερους σωλήνες διαµέτρου d=d/ ο καθένας, απ όπου πραγµατοποιείται εκροή στην ατµόσφαιρα, δηλ. p =p 3 =0. Αµελώντας τις τριβές, υπολογίστε (α) τις ταχύτητες εξόδου από τους δυο σωλήνες (V και V 3 ) και (β) την πίεση p 1 στη διατοµή 1 χρησιµοποιώντας τη µέθοδο του όγκο ελέγχου. ΣΧΗΜΑ 1. Κάτοψη ροής µε τη διατοµή εισροής 1 και τις διατοµές εκροής και 3 του παραδείγµατος 1.5-1 Λύση 1. Επιλέγουµε τον όγκο ελέγχου, που φαίνεται στο Σχ., ο οποίος περικλείεται από (α) τα στερεά όρια-τοιχώµατα του αγωγού και (β) τη διατοµή εισροής 1 και τις διατοµές εκροής και 3, που είναι κάθετες στη διεύθυνση της ροής. Συµβολίζουµε µε A 1, A και A 3 τα εµβαδά των διατοµών 1, και 3, αντίστοιχα, και µε Q 1, Q και Q 3 τις αντίστοιχες παροχές. 0
ΣΧΗΜΑ. Όγκος ελέγχου του παραδείγµατος 1.5-1. Εφαρµόζουµε ισοζύγιο για την παροχή του νερού. Παροχή νερού που εισέρχεται (m 3 /s) = Παροχή νερού που εξέρχεται (m 3 /s) Q =Q 1 3 + Q ή A1V 1=AV + A3V3 π(0.600 m) Παροχή εισροής=(1.0 m / s) 4 Παροχή εκροής=v π(0.300 m) π(0.300 m) + V 3 4 4 V +V 3=4.0 (m / s) (1) 3. Εφαρµόζουµε την εξίσωση ενέργειας (α) µεταξύ των διατοµών 1 και και (β) µεταξύ των διατοµών 1 και 3. H = H => 1 z V p V p g γ g γ 1 1 1 + + = z + + V p V 0 p 0 + + = 0 + + => V = V + g γ g γ ρ 1 1 1 1 H = H => 1 3 z V p V p g γ g γ 1 1 1 + + = z3 + 3 + 3 V p V 0 p 0 + + = 0 + + => V = V + g γ g γ ρ 1 1 3 1 3 1 Άρα V V V p ρ 1 = 3 = 1 + () 4. Επιλύοντας το σύστηµα των εξ. (1) και () προκύπτει 1
V = V3 =.0 m / s και p1 V3 V1 = = 0.153 m ή γ g g m kg kg p 1 = (0.153 m)(9.81 )(998 ) = 1497 = 1497 Pa 3 s m ms 1.5.3 Μέθοδος διαφορικής ανάλυσης Στη µέθοδο της διαφορικής ανάλυσης επιλύουµε τις βασικές διαφορικές εξισώσεις ροής του Κεφ. 1.4. Η επίλυση των εξισώσεων αυτών γίνεται µε την ολοκλήρωσή τους για τις συγκεκριµένες οριακές συνθήκες του προβλήµατος που εξετάζουµε. Σε απλά προβλήµατα ροής, η επίλυση γίνεται αναλυτικά, ενώ στα περισσότερα πραγµατικά προβλήµατα ροής, η επίλυση γίνεται µε αριθµητικές µεθόδους, όπως των πεπερασµένων διαφορών, των πεπερασµένων όγκων, των πεπεπερασµένων στοιχείων ή των οριακών στοιχείων. Η επίλυση των εξισώσεων µε αριθµητικές µεθόδους έχει οδηγήσει στην ανάπτυξη του σηµαντικού και σύγχρονου κλάδου της Υπολογιστικής Ρευστοδυναµικής (Computational Fluid Dynamics ή CFD). ΣΧΟΛΙΟ 1. Η αναλυτική επίλυση των εξισώσεων ροής µπορεί να γίνει µόνο για τα ιδεατά ρευστά (µ=0 και µηδενικές τριβές, βλ. Κεφ. 1..6) και για συγκεκριµένες οριακές συνθήκες. Οι εξισώσεις των ιδεατών ρευστών δεν έχουν τους δευτεροβάθµιους όρους συνεκτικότητας και έτσι απλοποιούνται και µπορεί να λυθούν αναλυτικά. Η επίλυση των εξισώσεων των ιδεατών ρευστών έχει οδηγήσει στη διατύπωση σηµαντικών θεωριών και συµπερασµάτων, όπως π.χ.στη θεωρία της αστρόβιλης ροής, που µπορεί να εφαρµοστούν υπό προυποθέσεις και σε περιπτώσεις ροής πραγµατικών ρευστών (π.χ. εκροή από οπές). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1.5-. Ροές Couette και Poiseuille Θεωρείστε τη µόνιµη και µονοδιάστατη στρωτή ροή νερού (µ=0.001 kg/ms) του Σχ. 1 ανάµεσα σε δυο παράλληλες πλάκες που απέχουν µεταξύ τους απόσταση ίση µε h=.0m Η ροή πραγµατοποιείται εξαιτίας της κίνησης της µιας πλάκας ή της αρνητικής κλίσης πίεσης (dp/dx<0). Υπολογίστε την κατανοµή της ταχύτητας ροής για τις ακόλουθες περιπτώσεις: (1) Η κάτω πλάκα είναι ακίνητη (u 1 =0), η επάνω πλάκα κινείται µε ταχύτητα ίση µε u =0.0 m/sec και η κατά µήκος κλίση της πίεσης είναι ίση µε µηδέν. () Οι δυο πλάκες είναι ακίνητες και η κατά µήκος κλίση της πίεσης είναι ίση µε dp/dx=-0.0005 kg/m sec.
ΣΧΗΜΑ 1. Σκαρίφηµα της γεωµετρίας των δυο παράλληλων πλακών του παραδείγµατος 1.5- Λύση 1. Γράφουµε τις τρισδιάστατες εξισώσεις ροής εξ. (1.4-) µέχρι εξ. (1.4-8) για την περίπτωση του Σχ. 1 µε την ακόλουθη απλοποιηµένη µορφή Εξίσωση συνέχειας, εξ. (1.4-) u v w + + = 0 x y z ή u + 0 + 0 = 0 x ή u = 0 x (1) δηλ. η ροή είναι οµοιόµορφη, καθόσον u µόνο από τη διεύθυνση y και εποµένως = u(y), δηλ. η ταχύτητα ροής εξαρτάται u du =. x dx Εξίσωση ποσότητας κίνησης για µόνιµη ροή κατά x, εξ. (1.4-3) u u u w 1 p 1 u u u + u + v + w = + g x + (µ ) + (µ ) + (µ ) t x y z ρ x ρ x x y y z z ή 1 p 1 u 0 + 0 + 0 + 0 = + gx + 0 + (µ ) + 0 ρ x ρ y y ή d u dp µ = + () dy dx p dp καθόσον =. Με διπλή ολοκλήρωση της εξ. () προκύπτει η ακόλουθη x dx κατανοµή ταχυτήτων ροής 1 dp µ dx u = y + C1y + C0 (3) δηλ. η κατανοµή της ταχύτητας είναι παραβολική. 3
. Επιλύουµε την πρώτη περίπτωση για dp/dx=0 εφαρµόζοντας τις οριακές συνθήκες: Κάτω πλάκα: y=-h, u= 0 Επάνω πλάκα: y=+h, u= u u 0y C 1( h) C0 0 = + + = ή C1h + C0 = 0 (4) u 0y C 1( h) C0 u = + + + = ή C 1 h + C 0 = u (5) Από τις εξ. (4) και (5) προκύπτουν οι ακόλουθες τιµές των C 1 και C 0 C u h 1 = και C0 u = (6) Εισάγοντας τις τιµές των C 1 και C 0 στην εξ. (5), η τελευταία γράφεται u u u y = + = + h h u y 1 (7) δηλ. η κατανοµή ταχυτήτων ροής είναι γραµµική. H ροή αυτή καλείται ροή Couette (Andereck, 1986). 3. Επιλύουµε τη δεύτερη περίπτωση για dp/dx 0 εφαρµόζοντας τις οριακές συνθήκες: Κάτω πλάκα: y=-h, u=0 1 dp µ dx u = h + C 1( h) + C0 = 0 ή µ dx 1 dp h C 1 h + C 0 = 0 (8) Επάνω πλάκα: y=+h, u=0 µ dx 1 dp h + C 1 h + C 0 = 0 ή µ dx 1 dp h C 1 h + C 0 = 0 (9) Από τις εξ. (8) και (9) προκύπτουν οι ακόλουθες τιµές των C 1 και C 0 C u h 1 = και C 0 1 dp = h µ dx (10) Εισάγοντας τις τιµές των C 1 και C 0 στην εξ. (10), η τελευταία γράφεται h dp y u = 1 µ dx h (11) δηλ. η κατανοµή ταχυτήτων ροής είναι παραβολική. H ροή αυτή καλείται ροή Poiseuille (1841). 4. Για τα δεδοµένα του παραδείγµατος προσδιορίζονται οι εξ. (7) και (11) και σχεδιάζονται στο Σχ.. 4
Περίπτωση 1 η 0. y y : u = 1+ = 0.1+ 0.1 h h σε m/s. Περίπτωση η : ( ) 1.0 m kg y y u = ( 0.0005 ) 1 0.5 1 kg = (0.001 ) m s h h ms σε m/s. 1.0 0.5 y(m) 0.0-0.5 0.00 0.05 0.10 0.15 0.0 0.5-1.0 u(m/s) ΣΧΗΜΑ. Κατανοµές της ταχύτητας ροής του παραδείγµατος 1.5-1.5.4 Μέθοδος διαστατικής ανάλυσης Θεωρείστε ότι έχουµε να αναλύσουµε ένα πρόβληµα ροής, το οποίο δεν µπορούµε να αντιµετωπίσουµε µε τις µεθόδους της µονοδιάστατης ανάλυσης και της διαφορικής ανάλυσης. Αποφασίζουµε να ερευνήσουµε το πρόβληµα πειραµατικά και κατασκευάζουµε ένα φυσικό µοντέλο υπό κλίµακα στο εργαστήριο. Πραγµατοποιούµε µετρήσεις των χαρακτηριστικών της ροής που µας ενδιαφέρουν (τα χαρακτηριστικά αυτά καλούµε εξαρτηµένες µεταβλητές) για διάφορες τιµές των µεταβλητών που επηρεάζουν το πρόβληµά µας (ανεξάρτητες µεταβλητές). Συγκεντρώνουµε τα πειραµατικά στοιχεία και τα αποθηκεύουµε στον ΗΥ για να τα επεξεργαστούµε στη συνέχεια. Κατά την επεξεργασία σχεδιάζουµε τις ανεξάρτητες µεταβλητές σε γραφήµατα για να αναγνωρίσουµε κάποια τάση ή εξάρτησή τους από τις εξαρτηµένες µεταβλητές που επηρεάζουν τη συµπεριφορά τους. Στη συνέχεια βρίσκουµε τη µορφή της εξίσωσης που ταιριάζει περισσότερο σε αυτά και «παίζουµε» µε τους συντελεστές της, ώστε η τελική εξίσωση να ταιριάζει ικανοποιητικά στα πειραµατικά στοιχεία µας. Η παραπάνω διαδικασία συστηµατοποιείται και απλοποιείται σηµαντικά µε τη µέθοδο της διαστατικής ανάλυσης, η οποία µας βοηθά να σχεδιάσουµε τα πειράµατά µας και να επεξεργαστούµε τα πειραµατικά στοιχεία. Πρακτικά, στην ανάλυση αυτή εφαρµόζουµε µια µέθοδο, συνήθως το θεώρηµα π, για να εκφράσουµε τις ανεξάρτητες και εξαρτηµένες µεταβλητές του προβλήµατός µας ως µια σειρά συγκεκριµένου αριθµού αδιάστατων µονωνύµων. Στο βιβλίο αυτό η µέθοδος της διαστατικής ανάλυσης χρησιµοποιείται σε αρκετές περιπτώσεις ανάλυσης ροής. Στη συνέχεια θα εξετάσουµε ένα απλό παράδειγµα εφαρµόζοντας το θεώρηµα π. Περισσότερα στοιχεία µπορείτε να βρείτε στον Χριστοδούλου (1985). 5
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1.5-3 Προσδιορίστε την εξίσωση που συνδέει τη διατµητική τάση ορίου τ w µε τα χαρακτηριστικά του ρευστού, της ροής και του σωλήνα για µόνιµη ροή σε τραχείς σωλήνες. Λύση Θα χρησιµοποιήσουµε το θεώρηµα π, εφαρµόζοντας την ακόλουθη διαδικασία των 5 βηµάτων. 1. Βήµα 1. Η εξαρτηµένη µεταβλητή του προβλήµατός µας είναι η τ w. Επιλέγουµε τις ανεξάρτητες µεταβλητές που επηρεάζουν το πρόβληµά µας. Αυτές είναι οι ακόλουθες: α) χαρακτηριστικά του ρευστού: ρ και ν, αριθµός µεταβλητών =. β) χαρακτηριστικά της ροής: V, αριθµός µεταβλητών =1. γ) χαρακτηριστικά του σωλήνα: D και k s, αριθµός µεταβλητών =. Ο συνολικός αριθµός των µεταβλητών είναι ίσος µε n v =6 και η εξίσωση που αναζητούµε έχει την ακόλουθη γενική µορφή F(τ,ρ, ν, V, D,k ) = 0 (1) w s Ο στόχος µας είναι να εκφράσουµε την εξ. (1) ως συνάρτηση µιας σειράς αδιάστατων µονωνύµων π 1, π, π 3 κλπ, τα οποία περιλαµβάνουν τις 6 µεταβλητές, δηλ. F(π 1, π, π 3,...) = 0 (). Βήµα. Προσδιορίζουµε τις µονάδες των 6 µεταβλητών. τ L Μ ύναµη T Μ Μ = = =, ρ =, Επιφάνεια L L 3 T L w L ν =, T L V =, D = L και k T s = L Το σύνολο των 6 µεταβλητών εκφράζεται µε n u =3 είδη µονάδων που είναι οι ακόλουθες: M (µάζα), L (µήκος) και T (χρόνος). 3. Βήµα 3. Προσδιορίζουµε τον αριθµό των αδιάστατων µονωνύµων, n π, από την εξίσωση n π =n v -n u =6-3=3. Τα 3 µονώνυµα θα περιλαµβάνουν n u =3 κοινές µεταβλητές, οι οποίες καλούνται επαναλαµβανόµενες µεταβλητές. Επιλέγουµε τις 3 κοινές µεταβλητές, έστω τις ρ, V και D, οπότε τα 3 µονώνυµα θα έχουν την ακόλουθη µορφή π x y z 1 x3 y3 z3 1 = ρ V D τ, π = ρ V D ν και π = ρ V D k (3) x1 y1 z1 1 1 w 3 s 4. Βήµα 4. Γράφουµε τις εξισώσεις των µονάδων των 3 µονωνύµων και προσδιορίζουµε τα x 1, y 1, z 1, x, y, z, x 3, y 3 και z 3 ως εξής 6
x1 y1 1 z1 M L M L = 0 L3 T L T Για το π 1 : ( ) x y 1 z M L L L = 0 L3 T T Για το π : ( ) M L T = 0 (4) x1+ 1 3x1+ y1 + z1 1 y1 ή + + + M L T = 0 (5) x 3x y z y1 1 ή x3 y3 M L L3 T z 1 L L = 0 3 Για το π 3 : ( ) ( ) M L T = 0 (6) x3 3x3 + y3 + z3 + 1 y3 ή Από τις εξ. (4), (5) και (6) προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις x1 + 1 = 0, 3x1 + y1 + z1 1 = 0 και y1 = 0 x = 0, 3x + y + z + = 0 και y 1 = 0 x3 = 0, 3x3 + y3 + z3 + 1 = 0 και y3 = 0 από τις οποίες τελικά προκύπτουν οι ακόλουθες τιµές x1 = 1, y1 =, z1 = 0, x = 0, y = 1, z = 1, x3 = 0, y3 = 0, z3 = 1 Με βάση τις παραπάνω τιµές, τα 3 µονώνυµα γράφονται ως εξής π τ ν 1 =, π = = ρv V D Re w 1 και π k D s 3 = (7) 5. Βήµα 5. Γράφουµε την τελική µορφή της εξ. () = 8τ k ρv D ή w s F F(, Re, ) Η εξ. (8) δείχνει ότι η ποσότητα τη σχετική τραχύτητα, k s /D. τ ρv w 8τ ρv w k D s = F'(Re, ) (8) εξαρτάται από τον αριθµό Reynolds, Re, και Ερευνητές που πραγµατοποίησαν πειράµατα επιβεβαίωσαν την εξ. (8) και διαπίστωσαν ότι ισχύει όπου f είναι ο συντελεστής τριβών (βλ. Κεφ. 3.3). 8τw f = (9) ρv 8 7