2 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΡΟΗΣ ΚΟΝΤΑ ΣΕ ΣΤΕΡΕΟ ΟΡΙΟ Γενικά Εξισώσεις τυρβώδους ροής-τυρβώδεις τάσεις Κατανοµή στρωτών και τυρβωδών

Transcript

1 2 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΡΟΗΣ ΚΟΝΤΑ ΣΕ ΣΤΕΡΕΟ ΟΡΙΟ Γενικά Εξισώσεις τυρβώδους ροής-τυρβώδεις τάσεις Κατανοµή στρωτών και τυρβωδών τάσεων Περιοχές ροής Κατανοµές ταχυτήτων ροής Μέθοδος ανάλυσης - Μεταβλητές Κατανοµή στο στρωτό οριακό υπόστρωµα - Νόµος του τοιχώµατος Κατανοµή στην εξωτερική περιοχή - Εξωτερικός νόµος Κατανοµή στην ενδιάµεση ζώνη - Λογαριθµικός νόµος Συνολική κατανοµή 5 1

2 2 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΡΟΗΣ ΚΟΝΤΑ ΣΕ ΣΤΕΡΕΟ ΟΡΙΟ 2.1 Γενικά Στo παρόν 2 ο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι κατανοµές (α) των τάσεων και (β) των ταχυτήτων ροής, που πραγµατοποιείται κοντά σε ένα στερεό όριο. Έχοντας µελετήσει το κεφάλαιο αυτό, θα είσαστε σε θέση 1. Να σχεδιάσετε ενδεικτικά τις κατανοµές των ταχυτήτων ροής και των διατµητικών τάσεων κοντά σε στερεό όριο, µε βάση τις οποίες θα διακρίνετε 4 περιοχές ροής και 2. Να προσδιορίσετε την κατανοµή των ταχυτήτων ροής στις 4 περιοχές ροής. 2.2 Εξισώσεις τυρβώδους ροής-τυρβώδεις τάσεις Κατανοµή στρωτών και τυρβωδών τάσεων Ας γράψουµε τις εξισώσεις της ροής πάνω στο στερεό όριο (π.χ. πλάκα) του Σχ , όπου η ταχύτητα είναι συνάρτηση των, y δηλ. (,y) και δ είναι το πάχος του οριακού στρώµατος. ΣΧΗΜΑ Τυπικές κατανοµές της ταχύτητας ροής και των τάσεων σε ροή κοντά σε στερεό όριο Εξίσωση συνέχειας, εξ. (1.4-11) = 0 (2.2-1) Εξίσωση ποσότητας κίνησης, εξ. (1.4-21) 1 p 1 ' 2 ' ' + = + g + µ ρ + µ ρ v t ρ ρ y y (2.2-2) Οι τάσεις κατά τη διεύθυνση της ροής () είναι πολύ µικρότερες αυτών που είναι κάθετες στο στερεό όριο (y), οπότε η εξ. (2.2-2) γράφεται 2

3 1 p 1 + = + + t ρ ρ y y ' ' g µ ρ v ή + = 1 p + g 1 τ + t ρ ρ y (2.2-3) όπου τ είναι η ολική τάση, η οποία είναι ίση µε το άθροισµα της στρωτής τ lam και της τυρβώδους τ trb τάσης, δηλ. = + = y ' ' τ τlam τ trb µ ρ v (2.2-4) Περιοχές ροής Στο Σχήµα φαίνονται πειραµατικές µετρήσεις των τάσεων (White, 1991). Με βάση τις µετρήσεις αυτές διακρίνουµε τρεις περιοχές: 1. Μια περιοχή πολύ κοντά στο όριο (περιοχή Π1), όπου οι στρωτές τάσεις είναι πολύ µεγαλύτερες των τυρβωδών, η οποία καλείται στρωτό οριακό υπόστρωµα (βλ. Κεφ ). 2. Μια περιοχή µακριά από το όριο (πέριοχή Π4), όπου οι τυρβώδεις τάσεις είναι πολύ µεγαλύτερες των στρωτών, επικρατούν οι δυνάµεις αδράνειας και η ροή είναι τυρβώδης. Η περιοχή αυτή καλείται εξωτερική περιοχή (βλ. Κεφ ). 3. Μια ενδιάµεση ζώνη (περιοχή Π3), όπου οι τυρβώδεις τάσεις είναι της ίδιας τάξης µε τις στρωτές. 2.3 Κατανοµές ταχυτήτων ροής Μέθοδος ανάλυσης - Μεταβλητές Ο προσδιορισµός των κατανοµών ταχυτήτων ροής στο στρωτό οριακό υπόστρωµα, την εξωτερική περιοχή και την ενδιάµεση περιοχή έγινε από τους Prandtl (βλ. Κεφάλαιο 1.4.9), Von Karman και Millikan, αντίστοιχα. O Theodore Von Karman ( ) ήταν Ούγγρος µηχανικός, µαθητής του Prandtl, καθηγητής στα Πανεπιστήµια του Gottingen, Aachen ( ) και California Institte of Technology, Caltech (µετά το 1930). Ο Von Karman ήταν αυτός που ανέδειξε την αξία των εφαρµοσµένων µαθηµατικών στις επιστήµες των µηχανικών, ιδιαίτερα της αεροδυναµικής. Ο Clark Millikan ( ) ήταν καθηγητής στο Caltech ( ) και θεωρείται από τους πρωτοπόρους των ΗΠΑ στην έρευνα και ανάπτυξη της αεροπλοίας. Οι ερευνητές αυτοί εφάρµοσαν µόνο τη µέθοδο της διαστατικής ανάλυσης, χωρίς να χρησιµοποιήσουν καµιά εξίσωση ροής. Όσο παράξενο και αν ακούγεται, οι εξισώσεις που διατυπώθηκαν κατά την περίοδο , αποτελούν τη βάση της µέχρι σήµερα θεωρίας ροής κοντά σε στερεά όρια. Πολύ αργότερα, οι εξισώσεις αυτές επιβεβαιώθηκε ότι ισχύουν για ένα ευρύ φάσµα εφαρµογών µε πειράµατα των Hinze (1975), Schlichting (1979) και White (1991). Οι παράµετροι που χρησιµοποιήθηκαν στην ανάλυση είναι οι ακόλουθες: 1. Τα χαρακτηριστικά του ρευστού (ρ και µ ή ν=µ/ρ). 2. Η κάθετη απόσταση από το όριο, y (βλ. Σχ.2.2-1α). 3

4 3. Το πάχος του οριακού στρώµατος, δ (βλ. Σχ.2.2-1α). 4. Η διατµητική τάση του ορίου, τ w (βλ. Κεφ ). 5. Η παράµετρος,η οποία ορίζεται ως εξής τ ρ w = (2.3-1) και ονοµάζεται ταχύτητα τριβής, γιατί έχει µονάδες ταχύτητας. Κατά την εφαρµογή της µεθόδου της διαστατικής ανάλυσης προέκυψαν τα ακόλουθα αδιάστατα µονώνυµα. 1. Η αδιάσταση απόσταση y/δ. 2. Η αδιάσταση απόσταση από το στερεό όριο, y +, η οποία ορίζεται ως εξής y y ν y µ / ρ + = = (2.3-2) δηλ. το y + είναι ένας αριθµός Reynolds µε βάση τα και y. 3. Η αδιάσταση ταχύτητα ροής +, η οποία ορίζεται ως εξής + = (2.3-3) Κατανοµή στο στρωτό οριακό υπόστρωµα - Νόµος του τοιχώµατος O Prandtl (1930) απέδειξε ότι η ταχύτητα ροής στο στρωτό οριακό υπόστρωµα εξαρτάται από τις παραµέτρους µ, τ w, ρ και y, ενώ είναι ανεξάρτητη από το δ, δηλ. και κατέληξε στην ακόλουθη εξίσωση = F 1(µ, τ w,ρ, y) (2.3-4) y F ν ή + + = F 1(y ) (2.3-5) = 1 Η εξ. (2.3-5) ονοµάζεται νόµος του τοιχώµατος (law of the wall) Κατανοµή στην εξωτερική περιοχή - Εξωτερικός νόµος O Von Karman (1930) απέδειξε ότι η ταχύτητα ροής στην εξωτερική περιοχή είναι ανεξάρτητη από τη µ, αλλά η διαφορά της από την εξωτερική ταχύτητα ροής U εξαρτάται από τις παραµέτρους δ, τ w, ρ και y, δηλ. και κατέληξε στην ακόλουθη εξίσωση U (y) = F 3(δ, τ w,ρ, y) (2.3-6) U y δ = F3 U y + = F δ ή 3 (2.3-7) 4

5 Η εξ. (2.3-7) ονοµάζεται εξωτερικός νόµος (velocity-defect law) Κατανοµή στην ενδιάµεση ζώνη - Λογαριθµικός νόµος Ο Millikan (1939) ολοκλήρωσε την κατανοµή των ταχυτήτων ροής προτείνοντας για την ενδιάµεση περιοχή µια εξίσωση που προσαρµόζεται στις εξ. (2.3-5) και (2.3-7) και έχει την ακόλουθη λογαριθµική µορφή 1 y = ln + B κ ν ή = ln y + B (2.3-8) κ Θέτοντας τις τιµές των συντελεστών κ 0.41 και Β 5.0, η εξ. (2.3-8) γράφεται y = + ν 2.44 ln ή = 2.44 ln y (2.3-9) Η εξ. (2.3-8) ή εξ.(2.3-9) καλείται λογαριθµικός νόµος κατανοµής της ταχύτητας (logarithmic overlap layer) Συνολική κατανοµή Οι εξισώσεις που πρότειναν οι 3 πρωτοπόροι ερευνητές επιβεβαιώθηκαν µε πειραµατικά στοιχεία, µε βάση τα οποία προέκυψε η συνολική κατανοµή που φαίνεται στο Σχ ΣΧΗΜΑ Σκαρίφηµα κατανοµής ταχυτήτων ροής Στο Σχ παρατηρούµε τις ακόλουθες 4 ζώνες ή περιοχές: Π1. Ζώνη στρωτού οριακού υποστρώµατος, δηλ. για τιµές του y + µικρότερες από Ισχύει ο νόµος του τοιχώµατος =y (2.3-10) Π2. Μεταβατική ζώνη. Για τιµές του y + από 5.0 µέχρι y + =από 30 µέχρι 60 (προσεγγιστική τιµή). Π3. Ενδιάµεση ζώνη. Για τιµές του y + µεγαλύτερες από 30 µέχρι 60. 5

6 + Ισχύει ο λογαριθµικός νόµος =2.44ln y (2.3-9) Π4. Εξωτερική περιοχή. Για τιµές του y/δ>0.15. Ισχύει ο εξωτερικός νόµος U y =-8.6 log δ (2.3-11) Από το Σχ παρατηρούµε ότι σε όλη σχεδόν την εσωτερική περιοχή (µε εξαίρεση τη µικρή ζώνη του στρωτού οριακού υποστρώµατος) µπορεί να εφαρµοστεί µε ικανοποιητική προσέγγιση η εξ. (2.3-9). ΣΧΟΛΙΑ 1. Την εξ. (2.3-10) θα χρησιµοποιήσουµε για να υπολογίζουµε την κατανοµή της ταχύτητας ροής στην τυρβώδη ροή σε σωλήνες (βλ. Κεφ ). 2. Παρατηρείστε ότι οι ζώνες ή περιοχές του Κεφ είναι ίδιες µε τις περιοχές ροής του Κεφ (στο Κεφ δεν αναφέρεται η µεταβατική ζώνη). 6