ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει σε δύο αγώνες στη σειρά ή σε δύο αγώνες ανεξαρτήτως σειράς. Να βρείτε: α) Το δειγματικό χώρο Ω των αποτελεσμάτων των αγώνων της συνάντησης. β) Τα ενδεχόμενα: i) Ακριβώς μία νίκη της ομάδας Ο, καμία νίκη της ομάδας Ο, i τουλάχιστον μία νίκη της ομάδας Ο. γ) Πόσους αγώνες το πολύ θα είχε μία τέτοια ποδοσφαιρική συνάντηση;. Σε ένα Λύκειο οι μαθητές της Α' τάξης είναι 5. Αν εκλέξουμε τυχαία ένα μαθητή του Λυκείου η πιθανότητα να είναι μαθητής της Α' τάξης είναι 6% και η πιθανότητα να είναι της Β' τάξης %. Να βρείτε: ί. το πλήθος των μαθητών του Λυκείου. ίί. το πλήθος των μαθητών της Β' τάξης. ίίί. την πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ' τάξης.. Θεωρούμε ενδεχόμενα Α, Β ενός πειράματος τύχης για τα οποία ισχύουν Ρ (Α Β) =, Ρ (Α ) = και Ρ (Α Β) =. Να βρείτε τις: α) Ρ (Α). β) Ρ (Β).. Έστω A, B δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου τέτοια ώστε να ισχύει: P A / 5, PB / και P A B 7 / 0 ενδεχομένων: Α. Να μην πραγματοποιηθεί το A Β. Να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα τα A και B Γ. Να πραγματοποιηθεί μόνο το B Δ. Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα A και B Ε. Να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα A και B. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των 5. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει: η πιθανότητα: α να πραγματοποιείται το Α και να μην πραγματοποιείται το Β είναι 6. β να μην πραγματοποιούνται συγχρόνως το Α και Β είναι. γ να πραγματοποιείται το Α ή το Β είναι. Να βρείτε τις πιθανότητες:
ί. να πραγματοποιείται το Α. ii. να πραγματοποιείται μόνο το Β ή μόνο το Α. iii. να πραγματοποιούνται και τα δύο ή κανένα. iv. να πραγματοποιείται το Α ή να μην πραγματοποιείται το Β. 6. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, για τα οποία ισχύει Ρ(Α) = και P(A B) Να αποδείξετε ότι P(B). 6 7. Αν B A, είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου με P 0, 7 και 0, Α. εξετάστε αν τα A, B είναι ασυμβίβαστα Β. δείξτε ότι P A B 0, 8 και A B 0, 8. Έστω Ω =,, P. ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης. ί. Αν P( ) και P( ) να βρείτε την πιθανότητα P( ) ii. Αν ( ) P( ) ( ) να βρείτε τις ( ),P( ), P( ). P P A P P B. 9. Να αποδείξετε ότι: i) i 0. Εάν α β να δείξετε ότι α β α αβ. α β. Εάν, να δείξετε ότι αβ. Εάν να δείξετε ότι ( ). Εάν 0 να συγκρίνετε τους αριθμούς. Να δείξετε ότι ισχύει α β αβ β α 5. Να δείξετε ότι ισχύει α β γ 6β αβ και 6. Εάν a και β να βρεθεί μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκονται οι παραστάσεις: α β α β α β α β 7. Αν α β γ να γραφεί χωρίς απόλυτες τιμές η παράσταση: α β γ α β γ 8. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: 5
i) B i iv) 9. Να λυθεί η ανισωση: y 0 0. Να δείξετε ότι: i) i Αν ισχύει ότι τότε δείξτε : iv) α α α α 6. Να λυθεί η εξίσωση:. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) i. Να λυθεί η εξίσωση: 5 6 0 iv) 0. Να λύσετε τις ανισώσεις : α) > 5, β), γ) 8, δ) < 8, ε) 5 ς) + > 5 θ) 8 ζ) < η) 5 0 7 5. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) + 6 i 6 6. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ορίζονται οι παραστάσεις: ι) A Β= 5 i Γ= iv) Δ= 7. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: i) 8 50 6 5 75 5 00 8 5 6 6
i 7 5 0 0 vi) 5 5 50 7 6 8. Αν και y να βρείτε τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων: ι) Α=y Β= i Γ= y 9. ι) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 5 Απλοποιείστε την παράσταση: 0. Να υπολογισθούν οι παραστάσεις: i) 6 και 5 5 5 y y 5 5 5 5 5. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Γ Β= ι) A 5 5. Να υπολογίσετε την παράσταση: A. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: i) i α α α iv) α α v) α α vi) αβ. Να μετατρέψετε τα κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρανομαστή. ι) iv) v) 7 α α 77 i 8 5. Να μετατρέψετε τα κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρανομαστή. ι) 5 7 i 5 5 6. Nα συγκριθούν οι αριθμοί: i), 5 8 7, 5 i, i, 7. Να συγκρίνετε τους αριθμούς: ι) και 6 και 5 7 7
i, iv) και 8. Να αποδείξετε ότι: y z 9. Αν τότε να δείξετε ότι: yz 0. Δείξτε ότι: α α. Έστω 5 6 5 6 ι) Να δείξετε ότι:α>0 Να βρείτε το i Να βρείτε το α. Έστω η παράσταση με 8 5 ι) Να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκεται η παράσταση Α. Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της παράστασης Α και τις τιμές του α που τις παρουσιάζει.. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: ( ) 5 ( ).. Να εξετάσετε για ποιες τιμές των α,β η εξίσωση: ( ) ( ) έχει: i) Μοναδική λύση. Είναι ταυτότητα. iείναι αδύνατη. 5. Να προσδιορίσετε το R ώστε η εξίσωση (5 ) 5 ( ) 6. Να λυθούν οι εξισώσεις: ι) 6 0 5 8 0 i 6 0 iv) 5 0 v) 8 7 0 vi) 5 8 0 5 v 5 0 vi 0 0 0 7. Να λυθούν οι εξισώσεις: 7 ι) ( ) 8 0 ( ) 8 0 i 6 0 8. Να βρεθεί ο R άλλη ρίζα της εξίσωσης; λ, αν η εξίσωση 0 5 να είναι αδύνατη. έχει ρίζα τη μονάδα. Ποια είναι η 9. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση: 0 ι) να έχει δύο ρίζες άνισες να έχει μια ρίζα διπλή 8
i να έχει πραγματικές ρίζες iv) να μην έχει καμιά πραγματική ρίζα. 50. Να βρεθεί το ë R ώστε η εξίσωση λ - 5 + 6 = 0 (λ 0) να έχει ρίζες πραγματικές και άνισες. 5. Να βρείτε το είδος των ριζών της - 8 + λ = 0 για τις διάφορες τιμές του λ R 5. Δίνεται η εξίσωση - - = 0. Αν, οι ρίζες της χωρίς να λυθεί να υπολογιστούν οι παραστάσεις: i) i v) iv) - vi) 5. Να βρεθούν οι εξισώσεις που έχουν ρίζες τα ζεύγη των αριθμών: i) -, +, 9 i, iv), 5. Να βρεθεί το R 55. Να βρεθεί το R αντίθετες. λ ώστε η εξίσωση 5 0 λ ώστε η εξίσωση 0 να έχει δύο ρίζες θετικές. να έχει δύο ρίζες 56. Έστω η εξίσωση ( 5) 0 () ι) Να δείξετε ότι η εξίσωση () έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε R Να βρείτε το λ ώστε η () να έχει δύο ρίζες αντίθετες. 57. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 58. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ( ) 0 5 0 59. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 0 9 6 0 60. Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις: i) 7 5 i iv) 5 v) 5 0 6. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: i) f ( ) 6 6 f ( ) 5 i f ( ) iv)f ( ) ë ë
6. Να λυθούν τα συστήματα ανισώσεων: 0 0 i) 0 0 6. Να βρεθεί το λ R ώστε το f ( ) = (λ +) - + λ είναι θετικό για κάθε R. 6. Να προσδιορισθεί ο R κάθε R λ ώστε η ανίσωση 5 7 0 65. Να αποδείξετε ότι αν η ανίσωση 9 0 5,7, να αληθεύει για αληθεύει για κάθε R, τότε 66. Για ποιες τιμές του λ R η εξίσωση 0 έχει: i)δύο ρίζες άνισες μια ρίζα διπλή iδεν έχει πραγματικές ρίζες 67. Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ( ) 0 για τις διάφορες τιμές του λ R 68. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 6 και 9. Να βρείτε τη διαφορά και τον 0 ο όρο της προόδου. 69. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι και 7. α) Να βρείτε το πλήθος των πρώτων όρων της προόδου που δίνουν άθροισμα ίσο με 679. β) Ποιος θα είναι ο τελευταίος όρος σ αυτή την περίπτωση; 70. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 9 5 και S 65. α) Να βρείτε τον 5 ο όρο της προόδου και β) το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της. 7. α) Να βρείτε την αριθμητική πρόοδο αν α = και α 6 = β) Πόσοι πρώτοι όροι της έχουν άθροισμα που δεν υπερβαίνει το 0; 7. Να αποδείξετε ότι για κάθε όροι αριθμητικής προόδου. 7. Αν οι αριθμοί,, οι αριθμοί, και είναι διαδοχικοί,, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να δείξετε ότι το ίδιο ισχύει και για τους,,. 7. Να σχηματισθούν οι γεωμετρικές πρόοδοι με: α) α = 5 και λ = β) α = και λ = γ) α = - 0 και λ = 75. Ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε στους αριθμούς, 6, 58 για να γίνουν τρεις διαδοχικοί 0
όροι γεωμετρικής προόδου; 76. α) Αν α = και λ = να βρεθεί ο α6 β) Αν α 6 = 8 και λ = να βρεθεί ο α γ) Αν α = 9 και α 5 = να βρεθεί ο λ δ) Αν α = και λ = και α ν = 6 να βρεθεί ο ν 77. Να ορισθεί μία γεωμετρική πρόοδος, αν α = - 6 και α 8 = 78. Έστω η συνάρτηση f() β f( ) f() και f() f(5) 79. Έστω η συνάρτηση f() β f( ) f() και f() f(6) α 0,. 7, 0 α,0 να βρεθούν τα α β, R εάν, 0 α,0 5 να βρεθούν τα α, β R ώστε: α, 5 80. Να βρεθεί σε ποιο σύνολο ορίζονται οι συναρτήσεις: i) () f() 5 6 f() iv) f() f i 8. Να βρεθεί σε ποιο σύνολο ορίζονται οι συναρτήσεις: i) f() f() i f( ) iv) f() 8. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β. Να βρείτε τον αριθμό α. γ. Να απλοποιήσετε τον τύπο της f. δ. Να λύσετε την ανίσωση f ( ) 5. για την οποία ισχύει f ( ). 6 8. Δίνεται η συνάρτηση: f ( ) για την οποία ισχύει f ( 5). 9 α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β. Να βρείτε τον αριθμό α.
γ. Να απλοποιήσετε τον τύπο της f. δ. Να λύσετε την εξίσωση f ( ). ε) Να λύσετε την ανίσωση f ( )., a 8. Δίνεται η συνάρτηση: f ( ),, α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β. Να λύσετε τις επόμενες εξισώσεις: ι) f ( 5) f (0) f () f ( ) f () 0 () i f f ( ) f () f () f (),,8 5, 85. Δίνεται η συνάρτηση: f ( ) 5 α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) 0 έχει και λύσεις πραγματικές και άνισες για κάθε R. β. Να βρείτε την τιμή του λ, ώστε για τις ρίζες και της εξίσωσης f ( ) 0 να ισχύει: γ. Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β, να λύσετε τις ανισώσεις: i) f f ( ) f f ( ) 86. Δίνεται το σημείο Μ( 6, 5). Να βρείτε τις συντεταγμένες του Μ, αν αυτό είναι σημείο: α) του άξονα ' β) του άξονα y' y 87. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α(,), Β(5,) και Γ(-,-) είναι ορθογώνιο. 88. Δίνονται τα σημεία: Α(-,) και Β(,5) α) Να βρείτε την απόσταση (ΑΒ) β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΟ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, όπου Ο η αρχή των αξόνων γ) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΟ 89. Δίνονται τα σημεία Α(,-), Β(-,) και Γ, ισόπλευρο.. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι 90. Να βρείτε τα R, ώστε για τα σημεία Α(-,-) και Β(,) να ισχύει (ΑΒ)=5. 9. Να βρείτε ποια σημεία του άξονα ' απέχουν από το σημείο Α(,6) απόσταση ίση με 0.
9. Να βρεθούν τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες όταν: i) f () 6 f () 8 i f () iv) f (), 0 v) f () vi) f () 9, 0 9. Να βρείτε το k R ώστε το ζεύγος που δίνεται να ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης : i) f (), (7,k) f (), (k,7) i f () k,(, ) iv) f () k,(0,0) 9. Δίνεται η επόμενη συνάρτηση:, f ( ), Να εξετάσετε αν τα παρακάτω σημεία ανήκουν στη γραφική παράσταση της f : α)α 5,0 β)β, γ)γ, δ)δ,0 ε)ε,0 στ)ζ, 95. Δίνεται η συνάρτηση f () i)να βρείτε τα, R ώστε να ισχύει f () και f ( ) 0 Για τις τιμές των α,β που βρήκατε σε ποια σημεία τέμνει η γραφική παράσταση της f τους άξονες; 96. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων με τους άξονες: α) 5 7 β) f ( ) 97. Δίνεται η συνάρτηση f() 5. Να βρείτε: α)το πεδίο ορισμού της f β)τα σημεία τομής της C με τους άξονες f γ)τα διαστήματα στα οποία η C f βρίσκεται: i) πάνω από τον άξονα ' κάτω από τον άξονα ' 98. Δίνονται οι συναρτήσεις: f() και g ( ) 5 Να αποδείξετε ότι: α) ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα '
β) ότι η γραφική παράσταση της g βρίσκεται κάτω από τον άξονα ' 99. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι επόμενες ευθείες ε και ζ είναι παράλληλες. α) ε : y λ και ζ : y 5 β) ε : y λ και ζ : y και ζ : y γ) ε : y λ 5 5 δ) ε : y λ και ζ : y λ 7 5 00. Δίνεται η συνάρτηση: f() α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f 0. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης: διέρχεται από τα σημεία Α(,5) και Β(-,-). α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ. β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f λ, αν f () μ λ, αν 0. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των επόμενων συναρτήσεων:, αν 6, αν α) f (), αν β) f (), αν 8, αν, αν 0. Η ευθεία ε : y λ λ α) Να βρείτε τον αριθμό λ β) Να σχεδιάσετε την ευθεία ε σχηματίζει με τον άξονα ' γωνία 5. 0. Δίνονται οι ευθείες ε : y λ 8 λ και ζ : y λ λ, οι οποίες είναι παράλληλες. α) Να βρείτε τον αριθμό λ β) Αν η ε τέμνει τον άξονα ' στο σημείο Α και η ζ τέμνει τον y ' y στο σημείο Β, να βρείτε το μήκος του τμήματος ΑΒ. 05. Δίνονται οι ευθείες ε : Y α 7α και ζ : y β α β α ευθεία ε διέρχεται από το σημείο Μ(-,) και ισχύει ότι, με α,β R. Η ε // ζ. Να βρείτε: α) τις τιμές των α και β β) το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η ευθεία ζ με τους άξονες 06. Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ και διέρχεται από το σημείο Α. α)λ= και Α(-,) β)λ=- και Α(,-) γ)λ= και Α(-,) δ)λ=- και Α(,-5)
ε)λ=0 και Α(-,) 07. Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β. α) Α(-,0) και Β(0,) β) Α(0,-) και Β(,-) γ) Α(0,) και Β(,) δ) Α(,) και Β(-,-5) ε) Α(0,-) και Β(,-) 5