v a v av a, τότε να αποδείξετε ότι ν <4.

Transcript

1 ΘΕΜΑ ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει η σχέση: Α. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι ο κύκλος με Κ(,0) και ακτίνα ρ=. Β. Αν οι μιγαδικοί αριθμοί, που ανήκουν στον παραπάνω κύκλο είναι ρίζες της εξίσωσης w w 0, w,, και Im( ) Im( ), τότε να αποδείξετε ότι β=-4 και γ=5. Γ. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς α ο, α, α οι οποίοι ανήκουν στο γεωμετρικό τόπο του Α ερωτήματος. Αν ο μιγαδικός αριθμός ν ικανοποιεί τη σχέση: v a v av a, τότε να αποδείξετε ότι ν < ΘΕΜΑ ο Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς και w για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις: i 3 w i Α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών. Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος των μιγαδικών ; Β. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του, καθώς και τις τιμές του για τις οποίες επιτυγχάνεται. Γ. Αν για τους μιγαδικούς των προηγούμενων ερωτημάτων ισχύει = και Im()>0, τότε να υπολογίσετε την τιμή του 03 Δ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών w και να αποδείξετε ότι η απόσταση των εικόνων των και w είναι ίση με την απόσταση της εικόνας του από το σημείο Α(0,). ΘΕΜΑ 3 ο Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς και w για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις: 6 8i i 6 3i w Α. Να αποδείξετε ότι 3i Β. Να βρείτε το i w Γ. Να αποδείξετε ότι w 0 kw v Δ. Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό : u, k. Να αποδείξετε ότι u, v. w k ΘΕΜΑ 4 ο Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς και w για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις: w, w w 3 Α. Να δείξετε ότι +w = B. Να δείξετε ότι οι εικόνες των και w κινούνται σε κύκλους με κέντρο το Ο και να βρείτε τις ακτίνες των κύκλων.

2 Γ. Να βρείτε την απόσταση των εικόνων των μιγαδικών και w. Δ. Να δείξετε ότι οι εικόνες των, w και το Ο είναι συνευθειακά σημεία. ΘΕΜΑ 5 ο Θεωρούμε τους μιγαδικούς για τους οποίους ισχύει : i i i Α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. Β. Να βρείτε τον αριθμό: ( 4 3i) 5 Γ. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του. Δ. Θεωρούμε ένα μιγαδικό αριθμό 0 για τον οποίο ισχύει η αρχική σχέση και έστω w, w οι ρίζες της εξίσωσης: w 5 w i) Να δείξετε ότι τα w, w δεν είναι πραγματικοί ii) Να βρείτε τα μέτρα των w, w. w 3i iii) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός u, είναι φανταστικός. w 3i ΘΕΜΑ 6 ο Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει: Α. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών. Re Im Β. Μεταξύ των μιγαδικών που ικανοποιούν την αρχική σχέση, να βρείτε εκείνον με το μεγαλύτερο μέτρο. Γ. Αν ο μιγαδικός του προηγούμενου ερωτήματος, να δείξετε ότι: Δ. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του -w όπου οι μιγαδικοί και w ικανοποιούν την αρχική σχέση. Ε. Αν η γραμμή που προκύπτει σαν γεωμετρικός τόπος από την αρχική σχέση, τέμνει τους άξονες σε 4 3 σημεία που είναι εικόνες των μιγαδικών 3 και 4, να αποδείξετε ότι ο u, είναι φανταστικός αριθμός. ΘΕΜΑ 7 ο 04 i 3 4 Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί, w, g για τους οποίους ισχύει: w wg g και οι εικόνες τους δεν συμπίπτουν. Να δείξετε ότι: Α. Κανένας από τους τρεις δεν είναι το 0. Β. Ισαπέχουν από το (0,0). Γ. Αν Α, Β, Γ οι εικόνες τους, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. ΘΕΜΑ 8 ο Έστω ο μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει: Α ( ) 3 Να δείξετε ότι: Β. Οι εικόνες των, είναι ομοκυκλικά σημεία και ισχύει

3 Γ. Αν, τότε ο μιγαδικός w έχει την εικόνα του στον κατακόρυφο άξονα. Δ. Αν a, όπου μιγαδικός που ανήκει στο γεωμετρικό τόπο του ερωτήματος Β, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του μιγαδικού α. ΘΕΜΑ 9 ο Δίνεται η εξίσωση 3 0,. Α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες. Β. Αν για τις εικόνες Μ και Ν των ριζών και της εξίσωσης ισχύει ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΟΜΝ είναι 3,.. τότε: α. Να βρείτε το λ και τις ρίζες της εξίσωσης. 3 3 β. Να αποδείξετε ότι 8 γ. Να αποδείξετε ότι: ΘΕΜΑ 0 ο w w 3 i w w 5 i 8 6i Θεωρούμε τον μιγαδικό αριθμό w για τον οποίο ισχύει: Α. Να βρείτε τον αριθμό w. B. Θεωρούμε τον μιγαδικό αριθμό 50 w : ί ύ α. Να βρείτε τα Re( ) Im( ) β. Να αποδείξετε ότι: Re( ) Im( ) και να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: A ΘΕΜΑ ο Δίνεται μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει: i 3καθώς και ο μιγαδικός w για τον οποίο 5 ισχύει: w i i Α. Να βρείτε το μιγαδικό αριθμό u, όπου u και να δείξετε ότι: u Β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του w. Γ. Να αποδείξετε ότι: 5 w 3 5 Δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο φανταστικοί αριθμοί που να ανήκουν στο γεωμετρικό τόπο του ερωτήματος Β. ΘΕΜΑ ο Δίνεται μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει: i i Α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών. 04

4 5 Β. Να δείξετε ότι ο αριθμός m είναι φανταστικός. 5 Γ. Να αποδείξετε ότι Im Δ. Να αποδείξετε ότι: i i 4 w Ε. Για οποιονδήποτε μιγαδικό w, να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού u w ΘΕΜΑ 3 ο 3 i Δίνεται η συνάρτηση f ( ), i. i Α. Να αποδείξετε ότι: f ( ) i 04 Β. Αν η εξίσωση: f ( ) ( a i ) i, a,, έχει ρίζα τον αριθμό ( 3 4i ) να βρείτε τους α και β. i Γ. Αν ο αριθμός w είναι πραγματικός, τότε: i α. Να βρείτε το β. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του f() δεν είναι εξωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο το Ο και ακτίνα 3. γ. Να βρείτε τον αριθμό: ΘΕΜΑ 4 ο f ( i ) f ( i ) Θεωρούμε τους μιγαδικούς, w, u για τους οποίους ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: 05 i 0 I, i wi i w i ώ ό : 03 i u 3 u 8. Α. Να αποδείξετε ότι: = w = u = Β. Να αποδείξετε ότι: iw 5 iw 5 5 Γ. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των, w, u Δ. Να αποδείξετε ότι: ΘΕΜΑ 5 ο Re Re 0 w u w u i Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: f ( ), f( i ) Α. Να βρείτε τον αριθμό 04 Β. Έστω ότι f ( )I. Τότε: w u uw είναι ομοκυκλικά σημεία. w u α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του.

5 β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του. γ) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός w i,. ΘΕΜΑ 6 ο Θεωρούμε τους μιγαδικούς για τους οποίους ισχύει : 3i i Α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών. είναι πραγματικός με τιμές στο διάστημα i Β. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο ακριβώς τέτοιοι μιγαδικοί αριθμοί των οποίων οι εικόνες απέχουν 0 από το σημείο Α(0,-) και να τους βρείτε. Γ. Έστω και ( όπου Im >0) οι αριθμοί που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα. Αν είναι w, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των ισοσκελές i ΘΕΜΑ 7 ο Δίνονται οι μιγαδικοί i 3 4 i. Α. Να βρείτε το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του μιγαδικού. 3 w, w, w είναι ορθογώνιο και Β. Αν μία ρίζα της εξίσωσης x x 0,,, είναι ο, να βρείτε τις τιμές των β και γ. Γ. Θεωρούμε τους μιγαδικούς για τους οποίους ισχύει α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού. β) Να αποδείξετε ότι η εικόνα του i, ανήκει στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο. i 4 7i w 5i γ) Αν για το μιγαδικό αριθμό w ισχύει ότι: w, να αποδείξετε ότι ο αριθμός u w 5i είναι φανταστικός. ΘΕΜΑ 8 ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 0 και κάθετες. w. Οι διανυσματικές ακτίνες των μιγαδικών και w είναι Α. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του κινούνται σε δύο ευθείες κάθετες μεταξύ τους. 4 Β. Να αποδείξετε ότι: 0. Γ. Έστω ότι επιπλέον ισχύει α) Να δείξετε ότι =..

6 i 5 β) Να δείξετε ότι Im i 5 0 γ) Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού u για τον οποίο ισχύει: 3 4 u i ΘΕΜΑ 9 ο Δίνονται μιγαδικοί αριθμοί και w και πραγματικός αριθμός ρ, 0,, για τους οποίους ισχύουν i i w i wi. Α. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι κύκλος C ακτίνας ρ. Β. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του w ανήκουν σε κύκλο C ο οποίος είναι ομόκεντρος του C, του οποίου να βρείτε την ακτίνα ως συνάρτηση του ρ. Γ. Να αποδείξετε ότι w p i w 4 wi w Δ. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός u I w Ε. Έστω Α, Β οι εικόνες δύο μιγαδικών που ανήκουν στον κύκλο C και Μ η εικόνα ενός μιγαδικού που ανήκει στον κύκλο C. Να αποδείξετε ότι: 3 MA MB 3 ΘΕΜΑ 0 ο Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό w για τον οποίο ισχύει: w 4w 8i, καθώς και τους μιγαδικούς αριθμούς : w i,. Α. Να βρείτε το μιγαδικό αριθμό w. Β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. Γ. Να βρείτε το μιγαδικό ο οποίος απέχει την ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων, καθώς και το μιγαδικό αυτό. Δ. Αν οι μιγαδικοί αριθμοί και ανήκουν στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο και έχουν ίσα μέτρα, να αποδείξετε ότι έχουν σταθερό άθροισμα. ΘΕΜΑ ο 3 Δίνεται η εξίσωση 0, και ονομάζουμε o,, τις ρίζες της, όπου. Α. Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης Β. Να αποδείξετε ότι: o Γ. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης είναι κορυφές ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου. Δ. Να αποδείξετε ότι: ΘΕΜΑ ο o Δίνονται οι μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί και w για τους οποίους ισχύει η σχέση : o

7 w w 0 και Α, Β οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών και w αντίστοιχα. Α. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών και w ισαπέχουν από το Ο(0,0). Β. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Γ. Αν οι εικόνες των μιγαδικών κινούνται σε κύκλο με κέντρο (,-) και ακτίνα, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών w. ΘΕΜΑ 3 ο Έστω ότι για τους μιγαδικούς ισχύει η σχέση: 3 4i 5, ενώ για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει ότι: w 3 w 3 5 Α. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι ευθύγραμμο τμήμα, το οποίο και να βρείτε. Β. Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς του προηγούμενου ερωτήματος, απέχει ελάχιστη απόσταση από το (0,0). Γ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μιγαδικών w και να δείξετε ότι υπάρχει ένα μόνο κοινό σημείο με το γεωμετρικό τόπο του ερωτήματος Α. Δ. Αν w και w μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ανήκουν στο γεωμετρικό τόπο του ερωτήματος Γ, να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του w w, καθώς και τη μέγιστη τιμή του w w. ΘΕΜΑ 4 ο Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς, α και β για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις:,, i i i. Να αποδείξετε ότι: Α. Im( ) Β. a 4 a Γ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών, αν 3. ΘΕΜΑ 5 ο Δίνονται οι μιγαδικοί, w, g ώστε : w w, g w. Α. Να αποδείξετε ότι g g Β. Να δείξετε ότι: w 0 Γ. Να αποδείξετε ότι: w g