Περίληψη Το θέμα της Διδακτορικής Διατριβής του κ. Λαυράνου «Ηλεκτρομαγνητική Προσομοίωση Μη - Επίπεδων Διατάξεων με τη Μέθοδο των Πεπερασμένων Διαφορών» εντάσσεται στο γενικό πλαίσιο του «Υπολογιστικού Ηλεκτρομαγνητισμού». Οι ερευνητικές προσπάθειες στο χώρο αυτόν αφορούν όλο το ηλεκτρομαγνητικό φάσμα και πραγματεύονται υπολογιστικά εργαλεία προσομοίωσης ανάλυσης και σχεδιασμού τηλεπικοινωνιακών διατάξεων. Ιδιαίτερα στο χώρο των μικροκυμάτων, η εξέλιξη είναι απόλυτα συνυφασμένη με την ανάπτυξη ολοκληρωμένων ηλεκτρομαγνητικών προσομοιωτών, που βασίζονται στην επίλυση των εξισώσεων του Maxwell με τη χρήση προηγμένων αριθμητικών τεχνικών. Οι αριθμητικές τεχνικές αυτές αποτελούν το ευρύτερο και ταχύτερα αναπτυσσόμενο πεδίο έρευνας στο χώρο των μικροκυμάτων τις τελευταίες δεκαετίες. Αυτό οφείλεται στη ραγδαία αύξηση της υπολογιστικής ισχύος, σε συνδυασμό με την ανάγκη υλοποίησης όλο και πολυπλοκότερων μικροκυματικών διατάξεων. Σκοπός της προσομοίωσης της ηλεκτρομαγνητικής διάταξης, είναι η εξαγωγή των βασικών χαρακτηριστικών της, όπως η κατανομή του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου ή οι καμπύλες διασποράς. Η επάρκεια σε υπολογιστική ισχύ κάνει τις μεθόδους αυτές ικανές να χειριστούν με ακρίβεια και ταχύτητα περίπλοκες αλλά ταυτόχρονα πρακτικές διατάξεις στις οποίες οι γνωστές αναλυτικές εκφράσεις δεν έχουν εφαρμογή. Έτσι, μπορούν να δώσουν μια ακριβή εικόνα για τη συμπεριφορά του κάθε στοιχείου σε ένα μικροκυματικό σύστημα, κάνοντας το σχεδιασμό του ταχύτερο, φθηνότερο και ακριβέστερο. 1. Ανασκόπηση Ερευνητικού Πεδίου Τα προβλήματα στο χώρο του υπολογιστικού ηλεκτρομαγνητισμού κατηγοριοποιούνται κυρίως με βάση τη φύση της μελετώμενης γεωμετρίας. Ηλεκτρομαγνητικές διατάξεις όπως τυπωμένα μικροκυματικά κυκλώματα ή κεραίες απαιτούν συνήθως ανάλυση στις τρεις διαστάσεις με τη θέση της πηγής διέγερσης να είναι προκαθορισμένη. Αντίθετα, διατάξεις όπως μικροκυματικά φίλτρα, συζεύκτες και διπλέκτες, καθώς και κεραίες οδεύοντος ή διαρρέοντος κύματος είναι αδύνατο να μελετηθούν-σχεδιαστούν χωρίς την γνώση των σταθερών διάδοσης των γραμμών μεταφοράς που απαρτίζουν τις διατάξεις αυτές. Οι σταθερές διάδοσης μπορούν γενικά να εξαχθούν μέσω μιας τεχνικής ανάλυσης ιδιοτιμών. Η ανάλυση ιδιοτιμών (eigenvalue analysis) που είναι ένα από τα πιο σημαντικά ανοικτά προβλήματα στο χώρο του ηλεκτρομαγνητισμού, ορίζεται ως μια ομάδα προβλημάτων αναζήτησης λύσεων, π.χ. σταθερών διάδοσης ή συχνοτήτων συντονισμού, σε μια ηλεκτρομαγνητική διάταξη απουσία πηγών διέγερσης. Στην εξεταζόμενη περίπτωση, οι αναζητούμενες λύσεις είναι οι σταθερές διάδοσης όλων των δυνατών ρυθμών σε ένα συγκεκριμένο φάσμα συχνοτήτων (ιδιοτιμές - eigenvalues) καθώς και η κατανομή του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου για κάθε μία από τις σταθερές αυτές (ιδιοδιανύσματα ή ιδιοσυναρτήσεις - eigenfunctions). Η φύση του προβλήματος συνιστά ανάλυση στις δύο διαστάσεις. Έτσι, η μελετώμενη διάταξη θεωρείται ότι αποτελείται από μια συγκεκριμένη διατομή, η οποία είναι ομοιόμορφη κατά τον άξονα διάδοσης του ηλεκτρομαγνητικού κύματος. Η διατομή αυτή είναι η δισδιάστατη γεωμετρία που προσομοιώνεται στο πεδίο της συχνότητας με σκοπό την εξαγωγή των ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων. Πέραν του σχεδιασμού μικροκυματικών στοιχείων, η γνώση των ιδιοσυναρτήσεων μιας διάταξης είναι βασικό στοιχείο σε αριθμητικές μεθόδους, όπως η μέθοδος Προσαρμογής Ρυθμών (Mode Matching), ενώ με το ανάπτυγμα του πεδίου σε άθροισμα ιδιοσυναρτήσεων είναι δυνατή και η μελέτη προβλημάτων στα οποία μοντελοποιείται και η πηγή διέγερσης. Η ανάλυση αυτή αποτελεί ένα ερευνητικό πεδίο με ιδιαίτερη ανάπτυξη τις τελευταίες δεκαετίες. Αρχικά, ήταν δυνατή μόνο με αναλυτικές ή ημι-αναλυτικές τεχνικές. Η άνθηση όμως των αριθμητικών μεθόδων και κυρίως της μεθόδου των Πεπερασμένων Διαφορών (Finite Difference) και των Πεπερασμένων Στοιχείων (Finite Element) της έδωσε μια νέα ώθηση, ιδιαίτερα τα τελευταία είκοσι χρόνια. Η ύπαρξη σήμερα ενός σημαντικού αριθμού αναλυτικών, ημι-αναλυτικών και κυρίως αριθμητικών τεχνικών δίνει τη δυνατότητα επίλυσης των περισσότερων προβλημάτων ιδιοτιμών. Τα προβλήματα αυτά αφορούν κυρίως κλειστές (μη-ακτινοβολούσες) διατάξεις κυματοδήγησης οι οποίες μπορεί να περιλαμβάνουν ανομοιογενή ή και ανισότροπα υλικά, ενώ πρόσφατα επεκτάθηκαν και σε ανοικτές (ακτινοβολούσες) γεωμετρίες. Η επιλογή της κατάλληλης τεχνικής γίνεται με γνώμονα τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της, λαμβάνοντας υπόψη τις 1
ιδιαιτερότητες της εκάστοτε μελετώμενης διάταξης. Στον τομέα της ανάλυσης ιδιοτιμών για την εύρεση σταθερών διάδοσης υπερτερούν οι μέθοδοι διατυπωμένες στις δύο διαστάσεις στο πεδίο της συχνότητας. Οι μέθοδοι αυτές μοιράζονται επιπλέον κάποια κοινά χαρακτηριστικά, όπως ένα κοινό περιορισμό που έχει να κάνει με τη διεύθυνση διάδοσης του ηλεκτρομαγνητικού κύματος. Ως τέτοια, θεωρείται συνήθως μια ευθεία που εκτείνεται στο άπειρο και έχει σαν αποτέλεσμα τον περιορισμό των μελετώμενων γεωμετριών σε ευθύγραμμες διατάξεις. Η άρση αυτού του περιορισμού με στόχο την μελέτη καμπύλων ή κεκαμένων κυματοδηγών αποτέλεσε το αρχικό κίνητρο αυτής της διατριβής. 2. Καμπύλοι Κυματοδηγοί Οι καμπύλες διατάξεις κυματοδήγησης προσελκύουν έντονο ερευνητικό ενδιαφέρον εξαιτίας της πληθώρας των εφαρμογών που υποστηρίζουν. Οι εφαρμογές αυτές έχουν να κάνουν είτε με κυρτούς μεταλλικούς κυματοδηγούς, είτε με καμπύλες/σύμμορφες επίπεδες μικροκυματικές διατάξεις. Χαρακτηριστικά παράδειγματα αποτελούν τα μικροκυματικά συστήματα εκπομπής-- λήψης ενός αεροσκάφους που σχεδιάζονται σύμμορφα στις κυρτές του επιφάνειες, καθώς και η χρήση καμπύλων μεταλλικών κυματοδηγών για τη μεταφορά του σήματος από την κεραία προς στο σταθμό βάσης σε ένα σύστημα Ραντάρ. Ιδιαίτερο ρόλο διαδραματίζει και η πρόσφατη τάση προς όλο και μικρότερα RF - συστήματα, η οποία απαιτεί την υλοποίηση πολλών μικροκυματικών διατάξεων, όπως μικροταινιακές κεραίες, φίλτρα, συζεύκτες ή διπλέκτες, πάνω σε καμπύλες επιφάνειες. Οι διατάξεις αυτές μπορεί να είναι φορτωμένες με ανομοιογενή ή ανισότροπα υλικά, να έχουν περισσότερα από ένα επίπεδα (multilayer) και περισσότερους από έναν αγωγούς (multiconductor). Επίσης, μπορεί υλοποιηθούν με τη διαδοχική σύνδεση ενός ή περισσοτέρων τμημάτων καμπύλων διατάξεων κυματοδήγησης τυχαίας διατομής. Γίνεται λοιπόν αντιληπτό, ότι η ανάλυση ιδιοτιμών για καμπύλες διατάξεις κυματοδήγησης τυχαίας διατομής είναι ιδιάζουσας σημασίας για την ανάλυση και τον σχεδιασμό σύγχρονων μικροκυματικών συστημάτων. Σε αυτό ακριβώς το σημείο εστιάζεται ο σκοπός αυτής της διατριβής, που είναι η εγκαθίδρυση της κατάλληλης αριθμητικής μεθόδου και η ανάπτυξη του αντίστοιχου λογισμικού για την ανάλυση ιδιοτιμών (εύρεση άγνωστων σταθερών διάδοσης) καμπύλων διατάξεων. 3. Σκοπός της διατριβής Η πρωτοτυπία της παρούσας διατριβής επικεντρώνεται ακριβώς στην ανάπτυξη μιας αριθμητικής μεθόδου, με σκοπό την επίλυση του προβλήματος ιδιοτιμών καμπύλων διατάξεων κυματοδήγησης τυχαίας διατομής, φορτωμένων με ανομοιογενή ή και με ανισότροπα υλικά που χαρακτηρίζονται από πλήρεις τανυστές ηλεκτρικής και μαγνητικής διαπερατότητας. H προτεινόμενη τεχνική βασίζεται σε μια πρωτότυπη ανάπτυξη της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο της συχνότητας (FDFD) για ορθογώνια καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων (Curvilinear FDFD). Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο της συχνότητας αποτελεί μια λύση που συνδυάζει τις ιδιότητες τόσο των πεπερασμένων διαφορών, όσο και των πεπερασμένων στοιχείων (FEM). Εφαρμόζεται η βασική διακριτοποίηση (κυψελίδα του Yee) της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών όπως αναπτύχθηκε για το πεδίο του χρόνου (FDTD) και καταλήγει σε ένα τελικό σύστημα ιδιοτιμών ίδιο με αυτό της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων (FEM). Ουσιαστικά, η FDFD αντιγράφει πλήρως τη λογική της FEM στη διατύπωση του προβλήματος, ενώ παράλληλα διατηρεί όλα τα πλεονεκτήματα των πεπερασμένων διαφορών που έχουν να κάνουν με το χειρισμό ανισότροπων υλικών. Επίσης, μπορεί να υποστηρίξει ακόμη και ανοικτές (ακτινοβολούσες) διατάξεις με συνδυασμό της με κατάλληλη τεχνική περιορισμού του χώρου επίλυσης, όπως το στρώμα τέλειας προσαρμογής (Perfectly Matched Layer). Το κύριο χαρακτηριστικό όλων σχεδόν των FDFD μεθόδων που υπάρχουν στη βιβλιογραφία είναι η διατύπωση τους σε ορθογώνιο Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, με αποτέλεσμα την υποστήριξη γεωμετριών που μπορούν να περιγραφούν με την Καρτεσιανή διατύπωση της κυψελίδας του Yee. Οι εξαιρέσεις είναι λίγες και περιορισμένες σε κατάστρωση κυλινδρικών ή πολυγωνικών πλεγμάτων. Ως εκ τούτου, για την ακριβή προσομοίωση ακόμη και των απλούστερων καμπυλόγραμμων διατάξεων απαιτείται ένα σημαντικά πυκνό πλέγμα με όλα τα μειονεκτήματα που αυτό συνεπάγεται. Βέβαια, η διατύπωση της FDFD στο πεδίο της συχνότητας επιτρέπει τη χρήση τοπικά ανομοιόμορφων πλεγμάτων δίχως προβλήματα ευστάθειας. Παρόλα 2
αυτά, οι προσπάθειες προσομοίωσης καμπυλόγραμμων διατάξεων με την FDFD, όχι μόνο έχουν υψηλές απαιτήσεις σε υπολογιστικούς πόρους, αλλά συνάμα υποφέρουν και από το γνωστό φαινόμενο κλιμακωτής γεωμετρικής προσέγγισης (stair case effect). H δραστική αντιμετώπιση του φαινομένου αυτού απαιτεί τη διατύπωση της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών σε καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων. Έως τώρα η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών έχει συνδυαστεί με καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων μόνο στο πεδίο του χρόνου, όπου μέθοδοι έχουν διατυπωθεί αρκετές σύμμορφες FDTD για καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων. H διατύπωση της FDFD σε καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων παραμένει μια ανοιχτή ερευνητική πρόκληση και προς αυτή την κατεύθυνση κινείται η παρούσα διατριβή. 4. Βασικές Αρχές Πρωταρχικός στόχος της διατριβής ήταν η ανάπτυξη της μεθόδου για την προσομοίωση κλειστών - θωρακισμένων καμπύλων διατάξεων, επιπλέον όμως έγιναν προσπάθειες για την επέκταση της σε ανοικτές - ακτινοβολούσες γεωμετρίες με κατάλληλο συνδυασμό της με την τεχνική του στρώματος τέλειας προσαρμογής (PML). Αφετηρία της μεθόδου είναι η εφαρμογή της διακριτοποίησης των πεπερασμένων διαφορών στις εξισώσεις στροφής του Maxwell για ορθογώνια καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων, (orthogonal curvilinear coordinates). H διακριτοποίηση αυτή ακολουθεί τις βασικές αρχές του Yee 1, με τη διαφορά ότι προσαρμόζεται πάνω σε ένα καθολικά καμπυλόγραμμο πλέγμα. Το σύστημα των δύο διακριτοποιημένων εξισώσεων στροφής του Maxwell σε συνδυασμό με τις οριακές συνθήκες της διάταξης και την προϋπόθεση διάδοσης κατά μήκος του τρίτου άξονα (ο οποίος μπορεί να είναι και καμπυλόγραμμος) δίνουν ένα πρόβλημα ιδιοτιμών στις δύο διαστάσεις για την εύρεση άγνωστων σταθερών διάδοσης. Βασική προϋπόθεση στην οποία στηρίζεται η μέθοδος είναι η θεώρηση της ομοιόμορφης διάδοσης ( ) του κύματος με σταθερό συντελεστή φάσης (β) και εξασθένησης (α). Δηλαδή, θεωρείται σταθερός ρυθμός μεταβολής της φάσης κατά τον άξονα διάδοσης, οπότε και μπορεί να ορισθεί σταθερά φάσης. H θεώρηση αυτή δεν ισχύει γενικά για οποιαδήποτε καμπύλωση της διάταξης κατά τη διεύθυνση διάδοσης, αφού μια ανομοιόμορφη καμπύλωση για παράδειγμα δημιουργεί μεταβαλλόμενο ρυθμό αλλαγής φάσης. Αυτή ακριβώς η προυπόθεση θέτει κάποιους περιορισμούς στην καμπύλωση της γεωμετρίας, με κυριότερο την ομοιόμορφη καμπύλωση στον άξονα διάδοσης. H γενική διατύπωση της μεθόδου στο πεδίο της συχνότητας επιτρέπει την ταυτόχρονη χρήση δύο ή και περισσότερων διαφορετικών συστημάτων συντεταγμένων, με αποτέλεσμα τη σύμμορφη διακριτοποίηση της διατομής τυχαίων καμπυλόγραμμων διατάξεων. Με αυτόν τον τρόπο επιτυγχάνεται η ακριβής προσομοίωση των καμπύλων τμημάτων μιας διάταξης χωρίς το γνωστό φαινόμενο κλιμακωτής προσέγγισης, το οποίο και αποτελούσε το κυριότερο πρόβλημα της μεθόδου όταν υλοποιείται σε Καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων. H βασική πρωτοτυπία και συνεισφορά της παρούσας μεθόδου αφορά αρχικά τη διακριτοποίηση του χώρου απευθείας σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες ενώ ταυτόχρονα μπορεί να χειριστεί καμπύλωση προς όλες τις διευθύνσεις, συμπεριλαμβανομένης και της διεύθυνσης διάδοσης. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα τη δυνατότητα μελέτης καμπύλων διατάξεων κυματοδήγησης για την εξαγωγή των μιγαδικών σταθερών διάδοσης, που αποτελούν τις ιδιοτιμές του προβλήματος. 5. Υλοποίηση Μεθόδου Αρχικά μελετήθηκε το θεωρητικό υπόβαθρο της μεθόδου και υλοποιήθηκε ο βασικός κορμός του προγράμματος. Παράλληλα, εκτελέστηκαν οι πρώτες προσομοιώσεις που αφορούσαν ευθύγραμμους καμπυλόγραμμους κυματοδηγούς. Στις προσομοιώσεις αυτές δόθηκε έμφαση στην ακρίβεια των αποτελεσμάτων καθώς και στην επίτευξη εξαιρετικά χαμηλών απαιτήσεων σε χρόνο επίλυσης και κατανάλωση υπολογιστικών πόρων, [C1]. Στη συνέχεια, προσομοιώθηκαν με ικανοποιητική ακρίβεια αρκετές καμπύλες διατάξεις κυματοδήγησης, όπως καμπύλοι κυματοδηγοί ορθογωνικής ή κυκλικής διατομής, καμπύλες θωρακισμένες μικροταινιακές γραμμές (microstrip lines) ενός ή πολλαπλών αγωγών (multiconductor) και ενός ή πολλαπλών στρωμάτων (multilayer), 1 Κ. S. Yee, Numerical solution of initial boundary value problems involving Μaxwell's equation in isotropic media, IEEE Trans. on Ant. and Propag., vol. 14, no. 3, pp. 302-307, May 1966 3
καθώς και καμπύλες διατάξεις ταινιογραμμής (striplines), [C3]. Στις περιπτώσεις αυτές μελετήθηκε μεταβολή των σταθερών διάδοσης κατά την καμπύλωση των διατάξεων κυματοδήγησης. Παράλληλα, δοκιμάστηκε η εφαρμογή απορροφητικών τοιχωμάτων τέλειας προσαρμογής (PML) στη μέθοδο, με σκοπό την επέκταση της μεθόδου σε ανοικτές - ακτινοβολούσες γεωμετρίες. Τα αποτελέσματα ήταν ενθαρρυντικά, [C2] παρόλα τα γνωστά και δισεπίλυτα προβλήματα της τεχνικής αυτής κατά τον προσδιορισμό ιδιοτιμών. Άλλωστε, ο συνδυασμός της προτεινόμενης μεθόδου με μια ώριμη τεχνική περιορισμού του χώρου επίλυσης, όπως την απεικόνιση δεδομένων Dirichlet σε δεδομένα Newmann (DtN Dirichlet to Newmann mapping), αποτελεί το σημαντικότερο βήμα μελλοντικής έρευνας για την επέκταση αυτής της διατριβής. Τα αποτελέσματα των δραστηριοτήτων αυτών αναπτύχθηκαν σε τρεις εργασίες που παρουσιάστηκαν στα διεθνή συνέδρια PIERS στην Ιταλία το 2004 (Πίζα), [C1] και στην Κίνα το 2005 (Hangzhou), [C2] καθώς και στο διεθνές συνέδριο MMS 2005 στην Αθήνα τον Σεπτέμβριο του 2005, [C3]. H εργασία που παρουσιάσθηκε στο συνέδριο PIERS στη Κίνα δημοσιεύτηκε στο διαδικτυακό περιοδικό PIERS Online μετά από κρίση το Σεπτέμβριο του 2005, [OJ1]. 6. Επιβεβαίωση Μεθόδου για Καμπύλους Κυματοδηγούς Τα αποτελέσματα της μεθόδου για ευθύγραμμες διατάξεις κυματοδήγησης με καμπυλόγραμμη διατομή επιβεβαιώθηκαν άμεσα με τη χρήση τόσο αναλυτικών μεθόδων, όσο και αριθμητικών τεχνικών π.χ. Hwang 2. Το πλέον κρίσιμο σημείο της έρευνας ήταν η επιβεβαίωση των αποτελεσμάτων της μεθόδου κατά την προσομοίωση καμπύλων διατάξεων κυματοδήγησης. Αυτή επετεύχθη αρχικά για άδειους καμπύλους ορθογωνικούς και κυκλικούς κυματοδηγούς συγκρίνοντας τα αποτελέσματα με τα αναλυτικά των προσεγγιστικών τεχνικών των καθηγητών Lewin 3 και Katselenbaum 4. H σύγκριση ήταν ικανοποιητική και οδήγησε στη δημοσίευση μιας σύντομης παρουσίασης της μεθόδου στο περιοδικό Electronics Letters της ΙΕΕ τον Ιούνιο του 2006, [J1]. Στην εργασία αυτή δόθηκε μια σύντομη παρουσίαση της μεθόδου, παράλληλα με τα αποτελέσματα για μια καμπύλη διάταξη κυματοδήγησης τριών αγωγών και δύο ανισότροπων διηλεκτρικών στρωμάτων. 7. Μελέτη Σύζευξης Ρυθμών Ένα από τα σημαντικότερα φαινόμενα που μελετήθηκαν στην πορεία της έρευνας ήταν μελέτη της καμπύλωσης κυλινδρικών κυματοδηγών και συγκεκριμένα η μελέτη του φαινομένου της άρσης του εκφυλισμού ρυθμών και της σύζευξης ρυθμών κατά την καμπύλωση τους. Είναι γνωστό ότι σε έναν ευθύγραμμο κυματοδηγό κυκλικής διατομής όλοι οι δεξιόστροφα και αριστερόστροφα πολωμένοι ρυθμοί είναι εκφυλισμένοι, δηλαδή έχουν τις ίδιες καμπύλες διασποράς. H προσομοίωση καμπύλων κυματοδηγών κυκλικής διατομής έδειξε ότι ο εκφυλισμός αίρεται, οδηγώντας στον διαχωρισμό των δεξιόστροφα και αριστερόστροφα πολωμένων ρυθμών. Επίσης, στην ειδική περίπτωση των ρυθμών ΤΕ01 και ΤΜ11 όπου υπάρχει τριπλός εκφυλισμός (δεξιόστροφα πολωμένος ΤΜ11, αριστερόστροφα πολωμένος ΤΜ11 και ΤΕ01 ρυθμός), όχι μόνο υπάρχει τριπλή άρση του εκφυλισμού κατά την καμπύλωση του κυματοδηγού αλλά προκαλείται και σύζευξη μεταξύ των ρυθμών. H σύζευξη αυτή γίνεται αντιληπτή μέσω της κατανομής των ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων, που αποτελούν τα εξαγόμενα ιδιοδιανύσματα της προτεινόμενης μεθόδου. Τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων για καμπύλους κυματοδηγούς κυκλικής διατομής συγκρίθηκαν επιτυχώς με αυτά της θεωρητικής προσέγγισης του Lewin για διάδοση σε καμπύλες διατάξεις, παρουσιάστηκαν στο διεθνές συνέδριο PIERS στην Πράγα τον Αύγουστο του 2007, [C4] και δημοσιεύτηκαν στο διαδικτυακό περιοδικό PIERS online μετά από κρίση το Σεπτέμβριο του 2007, [OJ2]. 8. Χρήση Πολλαπλών Πλεγμάτων και Προσομοίωση Ανισότροπων Υλικών με Απώλειες 2 J-N Hwang, A compact 2--D FDFD method for modeling microstrip structures with nonuniform grids and perfectly matched layer, IEEE Trans. on MTT., vol. 53, no. 2, pp. 653-659, Feb. 2005 3 L. Lewin and D. C. Chang and E. F. Kuester, Electromagnetic waves and curved structures, UK, 1977 4 B. Z. Katsenelenbaum, L. Mercader del Rio, M. Pereyaslavets and M. Sorolla Ayza, Theory of nonuniform waveguides, the cross - section method, UK, 1998 4
Σο τελευταίο τμήμα της ερευνητικής δραστηριότητας αφορούσε τη χρήση πολλαπλών πλεγμάτων διαφορετικών συστημάτων συντεταγμένων και διαφορετικής πυκνότητας, με σκοπό την ακριβέστερη λύση με τους μικρότερους δυνατούς υπολογιστικούς πόρους. Παράλληλα ιδιαίτερο βάρος δόθηκε και στη μελέτη της συμπεριφοράς καμπύλων κυματοδηγών φορτωμένων με ανισότροπα υλικά, όπως διηλεκτρικά υλικά με απώλειες καθώς και μαγνητισμένους φερρίτες. Σα αποτελέσματα αυτών των δραστηριοτήτων παρουσιάστηκαν σε δύο συνέδρια τον Απρίλιο και Μάιο του 2008, και συγκεκριμένα στο διεθνές συνέδριο 9th International Workshop on FEM στη Βόννη, [C5] και στο διεθνές συνέδριο CEFC 2008 στην Αθήνα, [C6]. Μια εκτενής εργασία που πραγματεύεται τη γενική χρήση πολλαπλών πλεγμάτων διαφορετικών συστημάτων συντεταγμένων και διαφορετικής πυκνότητας, με σκοπό την προσομοίωση διαφόρων περιπτώσεων τυπωμένων μικροταινιακών γραμμών πολλαπλών αγωγών και επιπέδων φορτωμένων με ανισότροπα υλικά, όπως διηλεκτρικά υλικά με απώλειες και μαγνητισμένους φερρίτες, ετοιμάστηκε για να υποβληθεί στο περιοδικό Microwave Theory and Techniques (MTT) της IEEE, αλλά και στο συνέδριο PIERS στη Μόσχα τον Αύγουστο του 2009, [C8]. 9. Συγκεντρωτική Παρουσίαση της Μεθόδου Κατά τη διάρκεια του τελευταίου έτους της Διδακτορικής Διατριβής (2008), ετοιμάστηκε μια εκτενής συγκεντρωτική εργασία που υποβλήθηκε στο διεθνές περιοδικό Microwave Theory and Techniques (MTT) της IEEE. Στην εργασία αυτή δίνεται το πλήρες θεωρητικό υπόβαθρο της μεθόδου καθώς και ένας μεγάλος αριθμός αποτελεσμάτων. Ιδιαίτερη έμφαση δόθηκε στην επιβεβαίωση των αποτελεσμάτων τόσο με αναλυτικές-προσεγγιστικές τεχνικές, π.χ. Lewin και Katselenbaum, όσο και με αριθμητικές μεθόδους, π.χ. Hwang. Στις περιπτώσεις όπου δεν υπήρχαν διαθέσιμα αποτελέσματα στη βιβλιογραφία, χρησιμοποιήθηκαν εμπορικά προγράμματα ηλεκτρομαγνητικής προσομοίωσης, όπως το CST Microwave Studio και το FEMLAB. Δπιλύθηκαν επίσης για πρώτη φορά διατάξεις που με τις υπάρχουσες τεχνικές ήταν αδύνατον να επιλυθούν. H εργασία έγινε δεκτή και δημοσιεύτηκε τον Μάρτιο του 2009, [J2]. Παράλληλα, μια ανασκόπηση της μεθόδου παρουσιάστηκε στο διεθνές συνέδριο MMET 08 στην Οδησσό της Ουκρανίας, [C7]. 10. Μελλοντικές Επεκτάσεις Στη σειρά των δημοσιεύσεων που προέκυψαν από αυτή τη διατριβή, [J1,J2,OJ1,OJ2,C1-C8], έγινε φανερό ότι η παρούσα μέθοδος αποκρίνεται εξαιρετικά στην προσομοίωση μιας πληθώρας κλειστών - θωρακισμένων καμπύλων διατάξεων, με ακριβή αποτελέσματα και πολύ καλές επιδόσεις σε χρόνο επίλυσης, κατανάλωση υπολογιστικής ισχύος και απαιτήσεις σε μνήμη. Παρόλα αυτά, μπορούν να γίνουν μια σειρά μελλοντικών επεκτάσεων και βελτιώσεων, με σκοπό την εξάλειψη των μειονεκτημάτων της μεθόδου και τη δυνατότητα υποστήριξης πολυπλοκότερων μικροκυματικών διατάξεων. Οι επεκτάσεις αυτές αφορούν καταρχάς την ικανότητα της μεθόδου στο χειρισμό ανοικτών ακτινοβολουσών διατάξεων. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί με τον συνδυασμό της προτεινόμενης μεθόδου με μια ώριμη τεχνική περιορισμού του χώρου επίλυσης, όπως την απεικόνιση δεδομένων Dirichlet σε δεδομένα Newmann (DtN). Δπίσης, η προτεινόμενη μέθοδος μπορεί να συνδυαστεί με κατάλληλα τροποιημένη μέθοδο Προσαρμογής Ρυθμών (Μode Matching) για την προσομοίωση περισσότερο πολύπλοκων καμπύλων διατάξεων. Στην περίπτωση αυτή η διάταξη θα χωριστεί σε διαδοχικά τμήματα κυματοδηγών που το καθένα υπακούει στους περιορισμούς της παρούσας μεθόδου και επιλύεται με αυτήν. Οι υπολογιζόμενες ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις σε αριθμητική μορφή αξιοποιούνται από μια μέθοδο προσαρμογής ρυθμών που συνδυάζει τους διαδοχικούς κυματοδηγούς. Δπιπλέον, οι μελλοντικές βελτιώσεις αφορούν κυρίως την ακριβή προσομοίωση τυχαίων διατομών, ιδίως όταν περιλαμβάνουν διαφορετικά μεταξύ τους υλικά. Στην περίπτωση αυτή, όπως προαναφέραμε, μπορεί να χρησιμοποιηθούν περισσότερα του ενός συστήματα συντεταγμένων. Στη μορφή που έχει ήδη υλοποιηθεί ο χωρισμός σε υποχώρους, προϋποθέτει τη διακριτοποίησή τους με πλέγματα που είναι συνεχή και σύμμορφα κατά μήκος των επιφανειών που τους διαχωρίζουν. Σο πρόβλημα στην περίπτωση αυτή παρουσιάζεται κατά την προσομοίωση υλικών με ταυτόχρονη ανισοτροπία στους τανυστές ηλεκτρικής και μαγνητικής διαπερατότητας. Καθώς το ηλεκτρικό πλέγμα ακολουθεί τον τανυστή ηλεκτρικής διαπερατότητας και το μαγνητικό πλέγμα τον τανυστή μαγνητικής διαπερατότητας, το σφάλμα μισής κυψελίδας είναι αναπόφευκτο. Αυτό οφείλεται στην χωρική μετατόπιση μισής κυψελίδας που υπάρχει 5
ανάμεσα στο ηλεκτρικό και στο μαγνητικό πλέγμα των Πεπερασμένων Διαφορών. Μια πιο ώριμη τεχνική όμως, επιβάλει την ανεξαρτητοποίηση του πλέγματος κάθε υποχώρου με τον ορισμό ισοδύναμων ρευμάτων στις διεπιφάνειες, ή ισοδύναμα μέσω «συγκολλητικών μεταβλητών» (cement variables) σε συνδυασμό με τις συνθήκες διάδοσης του Robin (Robin s transmission conditions). H τεχνική αυτή έχει εφαρμοστεί με επιτυχία στη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων (FEM) και θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί και στην προτεινόμενη μέθοδο. 11. Ερευνητικό Έργο ΠΕΝΕΓ 2003 Από τον Οκτώβριο του 2005 ως το τέλος του 2008, η εκπόνηση της Διδακτορικής Διατριβής εντάχθηκε στο ερευνητικό έργο ΠΕΝΕΔ 2003 με τίτλο Ανάπτυξη Λογισμικού Ηλεκτρομαγνητικής Προσομοίωσης και Σσεδιασμού RF-Μικροκυματικών Διατάξεων, στο οποίο ο κ. Λαυράνος διετέλεσε βασικός ερευνητής (τον Ιούνιο του 2007 κατατέθηκε στη ΓΓΕΤ η ενδιάμεση έκθεση του φυσικού αντικειμένου του ΠΕΝΕΔ 2003 στο οποίο εντάσσεται η παρούσα διατριβή). Στα πλαίσια του προγράμματος αυτού υλοποιήθηκε κατάλληλο λογισμικό σε Python, που υποστηρίζει τη προτεινόμενη αριθμητική μέθοδο (Υλοποιημένη σε FORTRAN). Με τη δημιουργία του γραφικού περιβάλλοντος σε Python έγινε ευκολότερη και απλούστερη η χρήση του προγράμματος, ενώ παράλληλα με κατάλληλες μετατροπές και αναβαθμίσεις στην εφαρμογή γίνεται δυνατή η προσομοίωση μιας πληθώρας διατάξεων, που αφορούν ευθύγραμμους ή καμπύλους κυματοδηγούς, ορθογωνικής, κυκλικής ή ομοαξονικής διατομής, φορτωμένους με οποιοδήποτε υλικό σε τυχαίες θέσεις. Επίσης, υπάρχει ειδικό τμήμα για την προσομοίωση τυχαίων καμπύλων μικροταινιακών διατάξεων. Το λογισμικό αυτό διαμορφώθηκε κατάλληλα ώστε να ενσωματωθεί στη συγκεντρωτική εφαρμογή του ΠΕΝΕΔ 2003, ενώ θα είναι σύντομα διαθέσιμο και μέσω διαδικτύου. 6
Δημοσιεύσεις Α Δ. Διατριβής Δημοσιεύσεις σε διεθνή περιοδικά μετά από κρίση [J1]. C. S. Lavranos and G. A. Kyriacou, "Eigenvalue analysis of curved waveguides employing FDFD method in orthogonal curvilinear co-ordinates," IEE Electronics Letters, vol. 42, issue 12, pp. 702-704, June 2006. [J2]. C. S. Lavranos, G. A. Kyriacou, "Eigenvalue analysis of curved waveguides employing an orthogonal curvilinear frequency domain finite difference method", IEEE Microwave Theory and Techniques, Vol.57, No.3, pp. 594 611, March 2009. Δημοσιεύσεις σε διεθνή διαδικτυακά (online) περιοδικά μετά από κρίση [OJ1]. C. S. Lavranos and G. A. Kyriacou, Eigenvalue analysis of curved open waveguides using a finite difference frequency domain method employing orthogonal curvilinear coordinates, PIERS Online, vol. 1, no. 3, pp. 271-275, 2005. [OJ2]. C. S. Lavranos, G. A. Kyriacou, "A finite difference frequency domain study of curvature lifted modes degeneration", PIERS Online, vol. 3, no. 8, pp. 1208-1212, 2007. Δημοσιεύσεις σε πρακτικά διεθνών συνεδρίων μετά από κρίση [C1]. C. S. Lavranos, G. A. Kyriacou, and J. N. Sahalos, A 2-D finite difference frequency domain (FDFD) eigenvalue method for orthogonal curvilinear coordinates, Proc. of Progress In Electromagnetics Research Symposium (PIERS) 2004, Pisa, Italy, pp. 397-400, March 2004. [C2]. C. S. Lavranos, G. A. Kyriacou, Eigenvalue analysis of curved open waveguides using a finite difference frequency domain method employing orthogonal curvilinear coordinates, Proc. of Progress In Electromagnetics Research Symposium (PIERS) 2005, Hangzhou, China, pp. 271-275, August 2005. [C3]. C. S. Lavranos, G. A. Kyriacou, Eigenvalue analysis of multiconductor transmission lines printed on curved substrate using a FDFD method in orthogonal curvilinear coordinates, Proc. of Mediterranean Microwave Symposium 2005, Athens, Greece, pp.150-155, September 2005. [C4]. C. S. Lavranos, G. A. Kyriacou, "A finite difference frequency domain study of curvature lifted modes degeneration", Proc. of Progress In Electromagnetics Research Symposium (PIERS) 2007, Prague, Czech Republic, pp. 188-192, August 2007. [C5]. C. S. Lavranos, G. A. Kyriacou, "A finite difference frequency domain eigenvalue analysis of curved waveguides loaded with anisotropic materials", Proc. of 9 th International Workshop on Finite Elements for Microwave Engineering, Bonn, Germany, p. 34, 8-9 May 2008 [C6]. C. S. Lavranos, G. A. Kyriacou, "A multigrid curvilinear discretization for a two-dimensional finite difference frequency domain eigenvalue technique", Proc. of 13 th Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation (CEFC) 2008, Athens, Greece, p. 461, 11-15 May 2008. [C7]. G. A. Kyriacou, C. S. Lavranos and P.C. Allilomes "Numerical techniques for the eigenanalysis of arbitrary curved and open waveguiding structures", Proc. of International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory 2008 (MMET 08), Odessa, Ukraine, pp. 40-52, 29 June - 02July 2008. [C8]. Christos S. Lavranos, Dimitrios G. Drogoudis, and George A. Kyriacou, "Eigenvalue analysis of waveguides and planar transmission lines loaded with full tensor anisotropic materials", accepted for presentation in PIERS-2009 in Moscow. [C9]. C. L. Zekios, P. C. Allilomes, C. S. Lavranos and G. A. Kyriacou, "A Three Dimensional Finite Element Eigenanalysis of Reverberation Chambers", In proceedings of 2009 EMC Europe Workshop Materials in Applications, Athens, 11-12 June, 2009. Με bold επιζημαίνονηαι οι επγαζίερ ηηρ α πποηεινόμενηρ Διδακηοπικήρ Διαηπιβήρ πος εκπονήθηκαν ππιν ηην έναπξη ηος έπγος. 7