Παραγοντικά Πειράµατα

Παραγοντικά Πειράµατα Όπως αναφέρθηκε στο προηγούµενο κεφάλαιο, ο παραγοντικός σχεδιασµός εµφανίζει πολύ µεγάλη χρησιµότητα στην ανάλυση πειραµάτων, στα οποία εµπλέκονται διαφορετικοί παράγοντες και οι αλληλεπιδράσεις τους. Ωστόσο υπάρχουν και ορισµένες ειδικές περιπτώσεις των παραγοντικών πειραµάτων που παρουσιάζουν µεγάλο ενδιαφέρον, διότι χρησιµοποιούνται σε ερευνητικά προγράµµατα και επίσης διότι αποτελούν τη βάση για άλλους σχεδιασµούς πειραµάτων µε µεγάλη πρακτική αξία. Η πιο σηµαντική από αυτές τις ειδικές περιπτώσεις είναι τα παραγοντικά πειράµατα. Το αναφέρεται στον αριθµό των παραγόντων που µετέχουν στο πρόβληµα που µελετάµε και το στον αριθµό των επιπέδων που έχουν οι παράγοντες αυτοί. ηλ στα πειράµατα υπάρχουν παράγοντες που έχουν επίπεδα το «χαµηλό» και το «υψηλό». Καταλαβαίνουµε λοιπόν ότι, ένα ολοκληρωµένο πείραµα αυτής της µορφής θα πρέπει να έχει τουλάχιστον παρατηρήσεις. Στα παρακάτω υποθέτουµε ότι υπάρχουν n επαναλήψεις του πειράµατος. Παραγοντικός Σχεδιασµός Έστω ότι σε µια χηµική αντίδραση θέλουµε να µελετήσουµε τη συγκέντρωση του χηµικού αντιδραστηρίου και την ποσότητα του καταλύτη. Ονοµάζουµε παράγοντα Α συγκέντρωση του χηµικού αντιδραστηρίου µε επίπεδα 5% και 5%, και παράγοντα Β την ποσότητα του καταλύτη µε επίπεδα Kgr και Kgr. Το πείραµα επαναλαµβάνεται τρείς φορές οπότε προκύπτουν οι παρακάτω παρατηρήσεις: ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΣΥΝ ΥΑΣΜΟΙ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΣΥΝΟΛΟ Α Β ΕΠΙΠΕ ΩΝ I II III - - Α χαµηλό, B χαµηλό 8 5 7 80 + - υψηλό, B χαµηλό 36 3 3 00 - + χαµηλό, B υψηλό 8 9 3 60 + + υψηλό, B υψηλό 3 30 9 90 Το πείραµα µπορεί επίσης να παρασταθεί και µε τη βοήθεια του παρακάτω σχήµατος: 64

B b 60 (8+9+3) b 90 (3+30+9) H L () 80 (8+5+7) 00 (36+3+3) Συµβολισµός: L H (): Είναι το άθροισµα των παρατηρήσεων της εξαρτηµένης µεταβλητής όταν όλοι οι παράγοντες είναι στο χαµηλό επίπεδο. : Είναι το άθροισµα των παρατηρήσεων της εξαρτηµένης µεταβλητής όταν µόνο ο παράγοντας Α βρίσκεται στο υψηλό επίπεδο. b: Είναι το άθροισµα των παρατηρήσεων της εξαρτηµένης µεταβλητής όταν µόνο ο παράγοντας B βρίσκεται στο υψηλό επίπεδο. b: Είναι το άθροισµα των παρατηρήσεων της απαντητικής µεταβλητής όταν οι παράγοντες Α, Β είναι στο υψηλό επίπεδο. Υπολογισµός της Κύριας Επίδρασης των Παραγόντων Min ffect Στα παραγοντικά πειράµατα µπορούµε να υπολογίσουµε τη µέση επίδραση ενός παράγοντα µετρώντας την αλλαγή που επέρχεται στην απαντητική µεταβλητή όταν αυτός µετακινείται από το ένα επίπεδο στο άλλο. Έτσι θα έχουµε: n n B n {[ b b] + [ () ]} [ b + b () ] 8. 33 n {[ b ] + [ b () ]} [ b + b () ] 5. 00 n n {[ b b] [ () ]} [ b + () b]. 67 Επίσης, η επίδραση των Α, Β και ΑΒ µπορεί να υπολογιστεί σαν τη διαφορά µεταξύ της µέσης τιµής της απαντητικής µεταβλητής στα δύο επίπεδα του κάθε παράγοντα αντίστοιχα. Έτσι θα έχουµε: 65

y + y B y + y B b + n B () b + b + n n b + b + n n + b n n () () n n [ b + () b] [ b + b () ] [ b + b () ] Ο υπολογισµός της κύριας επίδρασης των παραγόντων και των αλληλεπιδράσεών τους στην εξαρτηµένη µεταβλητή µας δίνει µια πρώτη αλλά συνάµα σηµαντική ιδέα για το ποιοι παράγοντες επιδρούν περισσότερο στην y. Οι παράγοντες και οι αλληλεπιδράσεις που παρουσιάζουν µεγάλο min effect είµαστε σχεδόν σίγουροι ότι επιδρούν στην y ενώ αυτοί που έχουν µικρό πιστεύουµε ότι δεν είναι στατιστικά σηµαντικοί. Στο παράδειγµά µας, οι παράγοντες Α, Β επιδρούν σηµαντικά στην y ενώ η αλληλεπίδρασή τους δεν πρέπει να είναι σηµαντική. ιαφορές Contrst Στα πειράµατα σαν διαφορές ορίζουµε τη συνολική επίδραση totl effect των παραγόντων και των αλληλεπιδράσεων τους. Θα έχουµε: Contrst [ b + b () ] Contrst B [ b + b () ] Contrst [ b + () b] Τα αθροίσµατα τετράγωνων των παραγόντων και των αλληλεπιδράσεων τους, θα είναι: SS [ b + b ( ) ] SS B [ b + b ( ) ] SS [ b + () b] SS T n i j y ij y Σύµφωνα µε τους παραπάνω τύπους προκύπτει ο παρακάτω πίνακας NOV για το πρόβληµα: Πηγή µεταβλητότητας Sum of squres Βαθµοί ελευθερίας Men squres F 0 P Vlue Α 08,33 08,33 53,5 0,000 Β 75,00 75,00 9,3 0,004 8,33 8,33,3 0,86 rror 3,34 8 3,9 Totl 33,00 66

Παρατηρούµε ότι τα συµπεράσµατα που είχαµε βγάλει από τα min effect ήταν ορθά, δηλαδή παρατηρούµε ότι οι παράγοντες Α, Β επιδρούν στην εξαρτηµένη µεταβλητή ενώ η αλληλεπίδραση ΑΒ δεν επιδρά στατιστικά σηµαντικά. Πολλές φορές είναι βολικό να καταγράφουµε τους συνδυασµούς µε τη σειρά (), α, b, αb. Αυτή η σειρά είναι γνωστή ως stndrd (τυπική) σειρά. Έτσι, µε αυτή τη σειρά ο πίνακας των συντελεστών των διαφορών (contrst coefficients) που χρησιµοποιείται για την εκτίµηση των επιδράσεων είναι ο παρακάτω Επιδράσεις () α b αb Α - + - + Β - - + + ΑΒ + - - + Αν τώρα παραλείψουµε από τον παραπάνω πίνακα τις µονάδες τότε θα έχουµε τον πίνακα των πλην και των συν δηλαδή τον Συνδυασµός Παραγοντική επίδραση Παραγόντων Ι Α Β ΑΒ () + - - + α + + - - b + - + - αb + + + + Ο πίνακας αυτός χρησιµοποιείται για τον προσδιορισµό του πρόσηµου για κάθε συνδυασµό των παραγόντων. Τα Α, Β, ΑΒ παριστάνουν τις κύριες επιδράσεις των αντίστοιχων παραγόντων ενώ το Ι παριστάνει το µέσο ή το σύνολο όλου του πειράµατος. Παρατηρήστε επίσης ότι η στήλη του Ι έχει µόνο συν. Για να βρει κανείς οποιαδήποτε επίδραση απλώς πολλαπλασιάζει κάθε συνδυασµό παραγόντων µε το αντίστοιχο πρόσηµο που βρίσκεται στη στήλη των παραγοντικών επιδράσεων και τα προσθέτει. Για παράδειγµα για να εκτιµήσουµε την επίδραση του παράγοντα Α στο πείραµα έχουµε () + α b + αb. Κατάλοιπα και έλεγχος επάρκειας το µοντέλου Για τον έλεγχο του µοντέλου που χρησιµοποιήσαµε αρκεί να υπολογίσουµε τα κατάλοιπα του και να κατασκευάσουµε ορισµένα διαγράµµατα µε τα οποία θα διαπιστώνουµε αν ικανοποιούνται ή όχι οι αρχικές συνθήκες. Με ένα στατιστικό πακέτο εύκολα βρίσκουµε τις τιµές αυτών των καταλοίπων. Ακόµα µε τη βοήθεια των γνωστών γραφηµάτων µπορούµε να ελέγξουµε όλες τις υποθέσεις του µοντέλου. Το 3 Πείραµα Ας υποθέσουµε τώρα πως θέλουµε να ελέγξουµε τρεις παράγοντες, έστω, B, C, ο καθένας από τους οποίους κινείται σε δύο επίπεδα. Το πείραµα αυτό καλείται 3 παραγοντικό πείραµα. Χρησιµοποιώντας τους συµβολισµούς + και - για να παραστήσουµε το υψηλό και το χαµηλό επίπεδο ενός παράγοντα κατασκευάζουµε ένα πίνακα µε τους οκτώ συνδυασµούς ο οποίος καλείται και πειραµατικός πίνακας (design mtrix). 67

Συνδυασµός B C Ετικέτες B C - - - () 0 0 0 + - - α 0 0 3 - + - b 0 0 4 + + - αb 0 5 - - + c 0 0 6 + - + αc 0 7 - + + bc 0 8 + + + αbc Επίσης µπορούµε να παραστήσουµε τον κάθε συνδυασµό µε µία ετικέτα δηλ. (), α, b,, αbc κατά τα γνωστά (υπενθυµίζεται ότι η σειρά µε την οποία είναι διατεταγµένες οι ετικέτες λέγεται τυπική ή stndrd σειρά). Τέλος, υπάρχει και ένας τρίτος τρόπος συµβολισµού κάθε συνδυασµού και ο οποίος φαίνεται στο τρίτο µέρος του πίνακα (τελευταίες τρεις στήλες). Αυτός χρησιµοποιεί αντί για + το και αντί για το 0. Υπάρχουν επτά βαθµοί ελευθερίας µεταξύ των οκτώ συνδυασµών στο 3 παραγοντικό πείραµα. Οι τρεις από αυτούς αφορούν τις κύριες επιδράσεις των Α, Β, C και οι υπόλοιποι τέσσερις βαθµοί σχετίζονται µε τις αλληλεπιδράσεις, C, BC και C. Υποθέστε ότι θέλουµε να εκτιµήσουµε τις κύριες επιδράσεις. Έστω ότι πρώτα εκτιµούµε την κύρια επίδραση του παράγοντα Α. Η επίδραση του Α όταν οι παράγοντες B και C είναι στο χαµηλό επίπεδο είναι [α ()]/n όπου n είναι ο αριθµός των επαναλήψεων του πειράµατος. Παροµοίως όταν ο παράγοντας Β είναι σε υψηλό και ο C σε χαµηλό επίπεδο η επίδραση του Α είναι [αb b]/n. Όταν ο Β είναι σε χαµηλό και ο C σε υψηλό επίπεδο τότε η επίδραση του Α είναι [αc c]/n. Τελικά, η επίδραση του Α όταν και οι δύο άλλοι κύριοι παράγοντες είναι σε υψηλό επίπεδο είναι [αbc bc]/n (όλοι οι παραπάνω συνδυασµοί φαίνονται στο παρακάτω σχήµα). Έτσι, η µέση επίδραση του Α είναι ο µέσος αυτών των τεσσάρων δηλαδή [ ( ) + b b + c c + bc bc] Στην ίδια εξίσωση καταλήγουµε επίσης µε τη διαφορά των τεσσάρων συνδυασµών στην δεξιά πλευρά του κύβου στο παρακάτω σχήµα (όπου ο παράγοντας Α είναι στο υψηλό επίπεδο) και των τεσσάρων συνδυασµών στην αριστερή πλευρά (όπου ο παράγοντας Α είναι στο χαµηλό επίπεδο). Εποµένως, η επίδραση του Α είναι απλώς ο µέσος των τεσσάρων συνδυασµών όπου το Α είναι στο υψηλό επίπεδο ( y + )µείον το µέσο των τεσσάρων συνδυασµών όπου το Α είναι στο χαµηλό επίπεδο ( y ) δηλαδή y y + + b + c + bc ( ) + b + c + bc ή αλλιώς [ + b + c + bc ( ) b c bc] το οποίο είναι το ίδιο µε την παραπάνω εξίσωση. Με εντελώς ανάλογο τρόπο η επίδραση του Β υπολογίζεται ως B y B y Για τον παράγοντα C έχουµε C + B ) 68 [ b + b + bc + bc ( c c] y C + y C

[ c + c + bc + bc ( ) b b] Η αλληλεπίδραση δύο παραγόντων υπολογίζεται το ίδιο εύκολα. Αν για παράδειγµα θέλουµε να υπολογίσουµε την επίδραση του ΑΒ τότε αυτό ισούται µε τη ηµιδιαφορά της µέσης επίδρασης του Α στα δύο επίπεδα του Β. Παραστατικά αυτό γίνεται ως εξής Β Υψηλό (+) Χαµηλό (-) ιαφορά Μέση επίδραση του Α [( bc bc) + ( b b) ] n {( c c) + [ ( ) ]} n bc bc + b b c + c + n [ ( ) ] Όµως η επίδραση του ΑΒ ισούται µε την ηµιδιαφορά δηλαδή [ bc bc + b b c + c + ( ) ] ΑΒ Αν τώρα γράψουµε το δεξί µέλος της παραπάνω ισότητας σαν τη διαφορά δύο άλλων παραγόντων δηλαδή bc + b + c + ( ) bc + b + c + ΑΒ έχουµε την αλληλεπίδραση ΑΒ γραµµένη µε τη µορφή της διαφοράς των µέσων µεταξύ των επαναλήψεων. Με την ίδια λογική έχουµε για τις αλληλεπιδράσεις C και BC [() + b b c + c bc + bc] C [() + b b c c + bc + bc] BC Τέλος για την αλληλεπίδραση C έχουµε [ bc bc c + c b + b + ( ) ] C Για τον ευκολότερο υπολογισµό των προσήµων των α, b, c κτλ. στην επίδραση ενός παράγοντα κατασκευάζουµε τον πίνακα των συν και πλην. Υπενθυµίζουµε ότι µε συν συµβολίζουµε τον εκάστοτε παράγοντα της στήλης να είναι σε υψηλό επίπεδο ενώ µε πλην ο παράγοντας στην οποία στήλη βρίσκεται το πλην να είναι στο χαµηλό επίπεδο. Τα πρόσηµα για τις στήλες Α, B, C προκύπτουν µε τον τρόπο που έχουµε ήδη περιγράψει. Τα πρόσηµα στις στήλες µε τις αλληλεπιδράσεις προκύπτουν από το γινόµενο των προσήµων της ίδιας γραµµής των παραγόντων της αλληλεπίδρασης. Έτσι για παράδειγµα αν θέλουµε το πρόσηµο του παράγοντα ΑΒ πολλαπλασιάζουµε τα πρόσηµα της στήλης του παράγοντα Α µε τα αντίστοιχα πρόσηµα (γραµµή µε γραµµή) της στήλης του παράγοντα Β. Συνδυασµός Παραγόντων Παραγοντική Επίδραση I B C C BC C () + - - + - + + - α + + - - - - + + b + - + - - + - + αb + + + + - - - - c + - - + + - - + 69

αc + + - - + + - - bc + - + - + - + - αbc + + + + + + + + Ο παραπάνω πίνακας έχει ορισµένες ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Πρώτον, εκτός από τη στήλη Ι όλες οι υπόλοιπες στήλες έχουν τον ίδιο αριθµό συν και πλην. εύτερον, το άθροισµα των γινοµένων των προσήµων δύο οποιονδήποτε στηλών είναι πάντα µηδέν. Τρίτον, οποιαδήποτε στήλη πολλαπλασιαστεί µε το Ι µένει η ίδια ενώ το τετράγωνο οποιουδήποτε παράγοντα κάνει πάντα Ι. Έτσι, η στήλη Ι λέγεται ταυτοτικό στοιχείο. Τέλος, το γινόµενο οποιονδήποτε δύο στηλών υπάρχει στον πίνακα. Για παράδειγµα Α*Β ΑΒ ενώ ΑΒ*Β ΑΒ Α Τα αθροίσµατα τετραγώνων υπολογίζονται εύκολα αν κάθε επίδραση έχει µόνο ένα βαθµό ελευθερίας. Στο 3 παραγοντικό πείραµα µε n επαναλήψεις το άθροισµα τετραγώνων για κάθε επίδραση είναι Παράδειγµα 7- SS ( ιαφορά) 8n Στο προηγούµενο κεφάλαιο στο παράδειγµα 6-3 είχαµε περιγράψει µια διαδικασία παραγωγής ενός αεριούχου ποτού και εξετάζαµε τρεις παράγοντες που υποψιαζόµασταν ότι επηρέαζαν τη στάθµη το ποτού µέσα στο µπουκάλι. Οι παράγοντες ήταν το επί τοις εκατό (%) ποσοστό σε ανθρακικό, η πίεση που ασκούνταν και η ταχύτητα µεταφοράς. Ας υποθέσουµε τώρα πως χρησιµοποιούνται µόνο δύο επίπεδα για το ποσοστό σε ανθρακικό έτσι ώστε να αντιµετωπίζουµε ένα 3 παραγοντικό πείραµα µε δύο επαναλήψεις. Τα δεδοµένα, δηλαδή οι αποκλίσεις από το επιθυµητό επίπεδο στάθµης δίνονται στον παρακάτω πίνακα Πίεση (B) Ποσοστό 5 psi 30 psi ανθρακικού (Α) Ταχύτητα γραµµής (C) Ταχύτητα γραµµής (C) 00 50 00 50-3 - - 0-0 0-4 () - c - b b 0 6 3 5 α 3 αc 5 αb αbc Χρησιµοποιώντας τους παραπάνω τύπους εκτιµούµε τις επιδράσεις των παραγόντων [ () + b b + c c + bc bc] [ 4] 3, 00 8 B, 5 C 75, 0, 75 70

C 0, 5 BC 0, 50 C 0, 50 Τις µεγαλύτερες επιδράσεις φαίνεται να τις έχουνε οι παράγοντες του ανθρακικού (Α 3,00), πίεση (Β,5), ταχύτητα (C,75) και οριακά η αλληλεπίδραση του ανθρακικού και της πίεσης (ΑΒ 0,75). Υπολογίζουµε το ίδιο εύκολα και τα αθροίσµατα τετραγώνων ( 4) SS 36, 00 6 SS B 0, 5 SS C, 5 SS, 5 SS C 0, 5 SS BC, 00 SS C, 00 Το συνολικό άθροισµα τετραγώνων είναι SS T 78, 00 και µε αφαίρεση έχω SS 5, 00. Παρακάτω έχουµε τον πίνακα ανάλυσης διακύµανσης Πηγή Άθροισµα τετραγώνων Βαθµοί ελευθερίας Μέσο άθροισµα τετραγώνων Όλα τα παραπάνω που ισχύουν για τα πειράµατα µε παράγοντες που κινούνται σε δύο επίπεδα µπορούν να γενικευθούν στο παραγοντικό πείραµα. Αυτό είναι ένα πείραµα µε παράγοντες οι οποίοι κινούνται σε δύο επίπεδα. Το στατιστικό µοντέλο για ένα πείραµα περιέχει κύριες επιδράσεις, αλληλεπιδράσεις δύο παραγόντων, αλληλεπιδράσεις τριών παραγόντων,, 3 και µία αλληλεπίδραση παραγόντων. Εποµένως για ένα πείραµα το πλήρες µοντέλο θα περιέχει επιδράσεις. Ο συµβολισµός που χρησιµοποιήθηκε προηγουµένως για τους συνδυασµούς των παραγόντων συνεχίζει να ισχύει. Βέβαια, καλό θα ήταν οι συνδυασµοί που θα 7 F 0 P-Vlue Ποσοστό ανθρακικού (Α) 36,00 36,00 57,60 <0,000 Πίεση (Β) 0,5 0,5 3,40 0,0005 Ταχύτητα γραµµής (C),5,5 9,60 0,00 ΑΒ,5,5 3,60 0,0943 C 0,5 0,5 0,40 0,5447 BC,00,00,60 0,45 C,00,00,60 0,45 Σφάλµα 5,00 8 0,65 Σύνολο 78,00 5 Όπως βλέπουµε από τον παραπάνω πίνακα το ποσοστό του ανθρακικού, η πίεση και η ταχύτητα της γραµµής είναι στατιστικά σηµαντικοί παράγοντες σε επίπεδο 5% ενώ η αλληλεπίδραση ΑΒ είναι και αυτή σηµαντική σε επίπεδο 0% περίπου (9,43%). ΤΟ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΕΙΡΑΜΑ

αναφέρονται από τώρα και στο εξής να αναγράφονται µε την τυπική τους σειρά δηλαδή την stndrd σειρά. Για ένα 4 πείραµα η stndrd σειρά είναι (), α, b, αb, c, αc, bc, αbc, d, αd, bd, αbd, cd, αcd, bcd και αbcd. Για την επίλυση και πλήρη διερεύνηση ενός πειράµατος ακολουθούµε κάποια βήµατα τα οποία σε γενικές γραµµές ακολουθούσαµε ως συνήθως. Αυτά είναι:. Εκτίµηση των παραγοντικών επιδράσεων και εύρεση του προσήµου τους. Αντιµετωπίζουµε έτσι όλους τους παράγοντες αρχικά δίχως να έχουµε πρότερη γνώση για τη σηµαντικότητα αυτών.. Κατασκευή αρχικού µοντέλου. Συνήθως για την επιλογή του αρχικού µοντέλου διαλέγουµε το πλήρες µοντέλο µε όλες τις κύριες επιδράσεις και όλες τις αλληλεπιδράσεις. 3. Κατασκευή του πίνακα ανάλυσης διακύµανσης και ελέγχος της στατιστικής σηµαντικότητας των διάφορων κύριων επιδράσεων και αλληλεπιδράσεων. 4. Απορρίπτοντας από το νέο µοντέλο τους στατιστικά µη σηµαντικούς παράγοντες µπορούµε να επαναπροσδιορίσουµε το µοντέλο. 5. Ανάλυση και εξέταση καταλοίπων. Ελέγχουµε µε τα κατάλοιπα την επάρκεια του µοντέλου όσον αφορά την ικανότητα του διεξαγωγής ασφαλών συµπερασµάτων καθώς επίσης επιβεβαιώνουµε τις αρχικές υποθέσεις που κάναµε για την περαιτέρω ανάλυση µας. Πολλές φορές συµβαίνει να επαναπροσδιορίζουµε το µοντέλο µας µετά από παραβίαση των συνθηκών για τα κατάλοιπα και τέλος, 6. Ερµηνεία αποτελεσµάτων. Η εξαγωγή συµπερασµάτων και αποφάσεων από το πείραµα ολοκληρώνεται µε την γραφική ανάλυση δηλαδή την ανάλυση µε γραφικές παραστάσεις είτε των κύριων επιδράσεων είτε των αλληλεπιδράσεων. Σε πειράµατα µε µεγάλο αριθµό παραγόντων (µεγάλο ) είναι σχετικά δύσκολη η γραφική απεικόνιση όλων των συνδυασµών των επιπέδων των παραγόντων εποµένως προτείνεται εδώ ένας ευκολότερος και ευκολοµνηµόνευτος τρόπος. Αν θέλουµε να προσδιορίσουµε τη διαφορά (contrst) για την επίδραση των ΑΒ Κ αποδεικνύεται πως ισούται µε το παρακάτω γινόµενο Contrst K (α ± )(b ± ) ( ± ) Το πρόσηµο µέσα σε κάθε παρένθεση εξαρτάται από το αν ο εν λόγω παράγοντας περιέχεται στην επιθυµητή διαφορά. Για παράδειγµα για ένα 3 πείραµα η διαφορά ΑΒ είναι Contrst (α )(b )(c + ) αbc + αb + c + () αc bc α b Έτσι κατά τα γνωστά η κύρια επίδραση του παράγοντα ΑΒ Κ είναι και... K ( Contrst )...K n n ( Contrst ) SS... K... K όπου n ο αριθµός των επαναλήψεων του πειράµατος. κ έχοντας µία µόνο επανάληψη 7

Ας υποθέσουµε ότι οι συνθήκες του κ παραγοντικού πειράµατος επιτρέπουν µία µόνο επανάληψη (unreplicted fctoril). Μία µέθοδος ανάλυσης του παραπάνω πειράµατος στηρίζεται στην υπόθεση ότι συγκεκριµένες υψηλού βαθµού αλληλεπιδράσεις είναι αµελητέες οπότε και αποµακρύνονται από το µοντέλο κάνοντας την ανάλυση ευκολότερη. Ο Dniel (959) απέδειξε ότι για να βρούµε ποιοι παράγοντες έχουν αµελητέα επίδραση στο µοντέλο αρκεί να κατασκευάσουµε ένα Norml Probbility Plot µε τις επιδράσεις (effects) όλων των παραγόντων. Τότε, δεδοµένου (αποδεικνύεται) ότι οι αµελητέες επιδράσεις κατανέµονται κανονικά, κρατάµε στο µοντέλο µόνο τους παράγοντες εκείνους που οι επιδράσεις τους απέχουν σηµαντικά από την κεντρική γραµµή. Παρατήρηση Στην περίπτωση που σε ένα κ πείραµα µε µία µόνο επανάληψη βγάλουµε το συµπέρασµα εξετάζοντας το αντίστοιχο Norml Probbility Plot- ότι η επίδραση ενός κύριου παράγοντα είναι αµελητέα, µπορούµε να αγνοήσουµε τον παράγοντα. Το πείραµα τότε γίνεται κ- µε δύο επαναλήψεις σε κάθε επίπεδο των εναποµεινάντων κ- παραγόντων και η ανάλυση αποκτά περισσότερη ισχύ. Γενικότερα, αν έχουµε ένα κ πείραµα µε µία επανάληψη, και h (h<κ) από τους παράγοντες είναι αµελητέοι οπότε και αγνοούνται, µετατρέπεται σε πείραµα κ-h µε h επαναλήψεις. Ο αλγόριθµος του Ytes για τον κ σχεδιασµό Ο αλγόριθµος του Ytes είναι µία απλή τεχνική για τον γρήγορο υπολογισµό των επιδράσεων και των αθροισµάτων των τετραγώνων στον κ παραγοντικό σχεδιασµό. Παρακάτω εµφανίζεται ένας πίνακας για έναν 3 σχεδιασµό στον οποίο αποτυπώνεται η διαδικασία.. stimte Sum of Tretment of ffect Squres Combintion Response () () (3) ffect (3)/(n - ) (3) /(n ) () -4-3 6 I - - α 4 5 4 3.00 36.00 b - 8 B.5 0.5 αb 5 3 3 6 0.75.5 c - 5 7 4 C.75.5 αc 3 6 C 0.5 0.5 bc 4 4 BC 0.50.00 αbc 9 5 4 C 0.50.00 Σχολιασµός πίνακα Οι πρώτες δύο στήλες του πίνακα περιγράφουν τις τιµές (ή το άθροισµα των τιµών στην περίπτωση πολλών επαναλήψεων) που παίρνει η απαντητική µεταβλητή (Response) για κάθε συνδυασµό επιπέδων (Tretment Combintion). Οι πρώτες τέσσερις παρατηρήσεις της στήλης () προκύπτουν προσθέτoντας ανά δύο (ζευγαρωτά) τις παρατηρήσεις της στήλης Response ενώ οι τέσσερις επόµενες προκύπτουν οµοίως αλλάζοντας όµως το πρόσηµο του πρώτου αριθµού σε κάθε ζευγάρι. Για παράδειγµα, το πέµπτο στοιχείο της στήλης Response προέκυψε ως 5 - ( - 4) + ενώ το έκτο ως 6 - ( - ) + 5. Η στήλη () προκύπτει από την στήλη () ακριβώς όπως η () 73

προέκυψε από την στήλη Response. Οµοίως και για την στήλη (3). Οι δύο τελευταίες στήλες οι οποίες δίνουν τις επιδράσεις και τα αντίστοιχα αθροίσµατα τετραγώνων προκύπτουν µε εφαρµογή της πράξης που αναγράφεται στο πάνω µέρος της στήλης. Εδώ θα πρέπει να σηµειωθούν δύο πράγµατα :. Θα πρέπει να είµαστε προσεκτικοί και να σηµειώνουµε στον πίνακα τους διάφορους συνδυασµούς των επιπέδων µε την σειρά µε την οποία φαίνονται στον πίνακα.. Το πρώτο στοιχείο της (κ) στήλης στο συγκεκριµένο παράδειγµα ο αριθµός 6 της στήλης (3)- δηλώνει πάντοτε το συνολικό άθροισµα y των παρατηρήσεων. Blocing και Confounding για τα παραγοντικά πειράµατα Εισαγωγή Η έννοια confounding σηµαίνει σύµµειξη ή σύγχυση. Πολλές φορές είναι αδύνατο να κάνουµε τις επαναλήψεις ενός πειράµατος κάτω από τις ακριβώς ίδιες συνθήκες. Για παράδειγµα, µια παρτίδα από πρώτη ύλη µπορεί να µην φτάνει για να γίνουν οι απαιτούµενες επαναλήψεις του πειράµατος. Ετσι αυτές πρέπει να πραγµατοποιηθούν σε blocs Κάνοντας bloc σε ένα fctoril design. Ας υποθέσουµε ότι το πείραµα µας θα πρέπει να επαναληφθεί n φορές. Για ένα 3 παραγοντικό πείραµα θα έχουµε 4 περιπτώσεις (,b,b,() ), ενώ για ένα θα έχουµε οκτώ, για µία όµως επανάληψη. Ας φανταστούµε πόσες δοκιµές θα πρέπει να κάνουµε για n3 επαναλήψεις! Άρα για αυτό το λόγο χρησιµοποιούµε την διαδικασία blocing. Έτσι αν έχουµε n επαναλήψεις τότε κάθε επανάληψη µπορεί να θεωρηθεί και ένα bloc. Όµως είναι βέβαιο ότι θα πρέπει να υπάρχει τυχαιότητα µέσα στο κάθε bloc. Η ανάλυση γίνεται µε τον ίδιο τρόπο που έγινε και στο προηγούµενο κεφάλαιο. Παράδειγµα Ας υποθέσουµε ότι κάνουµε το πείραµα που παρουσιάστηκε στον παραγοντικό σχεδιασµό µε 3 επαναλήψεις. Ακόµη υποθέτουµε ότι µόνο τέσσερις δοκιµές µπορεί να γίνουν µε παρτίδα πρώτη ύλης. Άρα για να πραγµατοποιηθεί ο αριθµός επαναλήψεων που θέλουµε θα χρειαστούµε τρεις παρτίδες υλικού. Η κάθε µία είναι και ένα bloc. Bloc Bloc Bloc 3 () 8 ()5 ()7 36 3 3 b8 b9 b3 b3 b9 b9 B 3 B 06 B 3 Το άθροισµα τετραγώνων των blocs είναι: 74

SS blocs (3) 3 Bi 4 i y +... + () 4 (330) 6.50, όπου B i ()+ + b + b, για κάθε bloc. Έτσι ανάµεσα στα τρία bloc υπάρχουν δύο βαθµοί ελευθερίας, και παρακάτω δίνεται ο πίνακας ανάλυσης διακύµανσης. Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης Πηγή Άθροισµα Τετραγώνων Βαθµοί Ελευθερίας Μέσο άθροισµα τετραγώνων F 0 P-Vlue Blocs 6.50 3.5 08.33 08.33 50.3 0,0004 B 75.00 75.00 8. 0,0053 8.33 8.33.0 0,060 Σφάλµα (rror) 4.84 6 4.4 Σύνολο (Totl) 33.00 Στην ουσία αυτό που κάναµε είναι να «αναλύσουµε» το σφάλµα, µιας και αν κοιτάξει κανείς το παράδειγµα όπως έγινε στο προηγούµενο κεφάλαιο θα δει ότι το άθροισµα τετραγώνων του error είναι: 3,34. ηλαδή ίσο µε το SS blocs + SS error (4,84+6,50). Τέλος από το παράδειγµα βλέπουµε ότι η διαδικασία µας επηρεάζεται τόσο από τον παράγοντα Α όσο και από τον παράγοντα Β και όχι από την αλληλεπίδραση των Α και Β. Confounding σε ένα παραγοντικό πείραµα Σε πολλά προβλήµατα είναι αδύνατο µέσα σε ένα µπλοκ να περιέλθουν όλες οι δυνατές περιπτώσεις, ο συνδυασµός δηλαδή των διαφόρων επιπέδων (π.χ. Α, Β,Γ, ΑΒ κ.τ.λ.) του πειράµατος. Έτσι confounding είναι µια τεχνική µε την οποία θα µπορέσουµε να «χωρίσουµε» σε blocs ένα fctoril, στα οποία όµως το µέγεθος των bloc θα είναι µικρότερα από τον δυνατό αριθµό συνδυασµών των επιπέδων. Confounding σε ένα παραγοντικό πείραµα σε δύο blocs Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να «τρέξουµε» µε µια επανάληψη ένα πείραµα. Κάθε ένας από τους τέσσερις συνδυασµούς απαιτεί µια συγκεκριµένη παρτίδα πρώτης ύλης και η κάθε παρτίδα φτάνει µόνο για δύο συνδυασµούς επιπέδων. Άρα για αυτό το λόγο χρειάζονται δύο παρτίδες υλικού. Αν τώρα, κάθε παρτίδα θεωρείται bloc τότε σε κάθε bloc θα είναι από τους δυνατούς συνδυασµούς των επιπέδων. ύο bloc για παράδειγµα είναι τα παρακάτω: Bloc Bloc 75

() b b Βέβαια η σειρά ανάµεσα στα bloc είναι τυχαία, όπως και το πιο bloc θα κατασκευασθεί πρώτα είναι τυχαίο. Ας δούµε τώρα τις κύριες επιδράσεις των Α και Β: Α/{ b + b - () } B/{b + b + - () } Είναι φανερό ότι τα Α και Β δεν επηρεάζονται από τα blocs από την στιγµή που για κάθε bloc, σε κάθε µια από τις επιδράσεις υπάρχει ένας µε θετικό και ένας µε αρνητικό πρόσηµο συνδυασµός των επιπέδων. Ετσι οι επιδράσεις του κάθε bloc πάνω στον παράγοντα Α αναιρείται. Έχουµε τώρα την επίδραση του ΑΒ: ΑΒ/{ b + () b } Βλέπουµε ότι από την διαφορά (Bloc Bloc ) προκύπτει η αλληλεπίδραση ΑΒ. Από την στιγµή τώρα που ο συνδυασµός των επιπέδων µε θετικό πρόσηµο είναι ο (b () ) και ο συνδυασµός των επιπέδων µε αρνητικό πρόσηµο είναι ο (,b ) τότε η επίδραση των blocs και της αλληλεπίδρασης ΑΒ είναι ίδια και αυτό σηµαίνει ότι συγχέεται µε τα blocs. Ετσι, το πειραµατικό σχέδιο υποθέτει ότι δεν ενδιαφερόµαστε για την αλληλεπίδραση και προτιµούµε αυτή να συγχέεται µε την επίδραση των bloc. Είναι δυνατό να θεωρήσουµε άλλη επίδραση η οποία θα συγχέεται µε τα blocs. Αν η διάταξη µέσα στα δυο bloc είναι Bloc Bloc α () b b τότε µπορούµε να δούµε ότι η επίδραση του παράγοντα Α συγχέεται µε τα blocs. Ετσι µπορώ να έχω εκτιµήσεις για την αλληλεπίδραση ΑΒ και την επίδραση του παράγοντα Β. Άλλη µέθοδος κατασκευής των Bloc. Η µέθοδος αυτή βασίζεται στον γραµµικό συνδυασµό: L α x + α x +... + α κ x κ () όπου x i είναι το επίπεδο του i παράγοντα και α i είναι ένας δείκτης παρουσιαζόµενος στον i παράγοντα στην επίδραση που συγχέεται µε τα blocs. Έτσι για ένα παραγοντικό πείραµα, έχουµε α 0 ή και x 0 (χαµηλό επίπεδο) ή (υψηλό επίπεδο) i i Η εξίσωση καλείται defining contrst. Tα επίπεδα που δίνουν το ίδιο αποτέλεσµα του L (mod ) { δηλαδή το υπόλοιπο της διαίρεσης του L µε το }, τοποθετούνται στο ίδιο bloc. 76

3 Για ένα παραγοντικό πείραµα µε το C να γίνεται confound. Έτσι το xαντιστοιχεί στο Α, το x στο Β και το x 3 στο Γ και α α α3 Έτσι έχουµε: L x + x + x 3 Ο συνδυασµός των επιπέδων () γράφεται ως 000 δηλαδή: () (0) + (0) + (0) 0 0 (mod ) Ο συνδυασµός του : L () + (0) +(0) (mod ) b: L (0) +() +(0) 0 (mod ) b: L () + () + (0) 0 (mod ) c: L (0) + (0) +() (mod ) c: L () + (0) + () 0 (mod ) bc: L (0) + () + () 0 (mod ) bc: L () + () + () 3 (mod ) Άρα θα έχουµε στο ένα bloc : (), b, c, bc και στο άλλο bloc :, b, c, bc Εστω για παράδειγµα ότι το πείραµα είναι 3 και υλοποιείται µε 4 επαναλήψεις κάθε µια από τις οποίες χωράει σε blocs. Το σύνολο των παρατηρήσεων είναι 3. Σε κάθε δυάδα bloc η αλληλεπίδραση ΑBC θεωρείται ότι συγχέεται µε την επίδραση των bloc. Η ανάλυση διασποράς για ένα τέτοιο πειραµατικό σχεδιασµό φαίνεται παρακάτω: Πηγή διασποράς df Επαναλήψεις 3 Blocs (C) Σφάλµα για το C 3 (επαναλήψεις blocs) B C C BC Σφάλµα 8 (επαναλήψεις επιδράσεις 77

Σύνολο 3 Prtil Confounding Όπως προαναφέραµε, όταν χρησιµοποιούµε Bloc Design στα παραγοντικά πειράµατα ο παράγοντας βάση του οποίου δηµιουργούµε τα Bloc συγχέεται µέ τα blocs. Επειδή δε τα blocs αποτελούν και τις επαναλήψεις του πειράµατος που έχουν να κάνουν µε τα σφάλµατα, δεν µπορούµε να ελέγξουµε αν ο παράγοντας αυτός επιδρά στην εξαρτηµένη µεταβλητή. Το πρόβληµα αυτό µπορεί να λυθεί εάν οι επαναλήψεις του πειράµατός τοποθετηθούν στα blocs µε τέτοιο τρόπο ώστε ανά επανάληψη (ανά δυο bloc) να υπάρχει και διαφορετικός παράγοντας που να συγχέεται µε τα blocs. Χρησιµοποιώντας την τεχνική της προηγούµενης παραγράφου βλέπουµε ότι οι επαναλήψεις θα έχουν ως εξής: Επανάληψη : bloc : bloc : Επανάληψη : bloc : bloc : Επανάληψη 3: bloc : bloc : Επανάληψη 4: bloc : bloc : (), b, c, bc, b, c, bc (), c, b, bc, b, c, bc (),, bc, bc b, c, b, c (), b, c, bc, c, b, c Ανάλυση Τυχαίων Επιδράσεων Το µοντέλο τυχαίων επιδράσεων ενός παράγοντα θιοθετείται όταν τα επίπεδα του παράγοντα αυτού µπορούν να θεωρηθούν ως πραγµατοποιήσεις µιας τυχαίας µεταβλητής. Για παράδειγµα, έστω ότι θέλουµε να διαπιστώσουµε την απώλεια ισχύος ενός φάρµακου το οποίο είναι συσκευασµένο σε κουτάκια και αποθηκευµένο σε κούτες για µεγάλο χρονικό διαστηµα. Θα θέλαµε επίσης να διαπιστώσουµε αν η απώλεια αυτή είναι ίδια για όλες τις κούτες. Το πείραµα που πραγµατοποιείται είναι να πάρουµε ένα δείγµα από κούτες και από κάθε µια από αυτές να πάρουµε τυχαία ένα δείγµα από κουτάκια φαρµάκου. Μετράµε την απώλεια ισχύος για κάθε ένα από τα κουτάκια. Αυτή είναι η εξαρτηµένη µεταβλητή. Οι κούτες είναι ο παράγοντας του οποίου την επίδραση θέλουµε να µετρήσουµε. Υπάρχει µια διαφοροποίηση σε σχέση µε το κλασσικό πείραµα όπου ο παράγοντας είναι σταθερός (για παράδειγµα το φύλο). Αν επαναλάβουµε το πείραµα θα πάρουµε ενδεχοµένως ως δείγµα άλλες κούτες. Ετσι, οι κούτες, ως παράγοντας, είναι τυχαία µεταβλητή µε µέση τιµή και διασπορά. Συνήθως υποθέτουµε ότι η µέση τιµή αυτού του παράγοντα είναι 0 και η διασπορά του σ τ. Ο συνήθης έλεγχος για την ισότητα των µέσων των επιπέδων του παράγοντα (όταν τα επίπεδα του είναι σταθερά) µετατρέπεται σε έλεγχο ισότητας της διασποράς του παράγοντα µε το 0. ηλαδή, Η 0 : σ τ 0 Το µοντέλο που ελέγχεται είναι όπου µ σταθερό, yij µ + τ ε ij τα σφάλµατα τα οποία είναι ανεξάρτητα και ακολουθούν Ν (0, σ ), 78 i + ε ij

τ i επιδράσεις του τυχαίου παράγοντα, ανεξάρτητες τ.µ. που ακολουθούν Ν(0,σ τ ). Οι τ.µ ε ij και τ i είναι ανεξάρτητες. Οι υποθέσεις αυτές δείχνουν ότι V(y ij )σ τ +σ, Cov(y ij,y ij )σ τ όπου y ij, y ij είναι δυο παρατηρήσεις από το ίδιο επίπεδο του παράγοντα (στο παράδειγµα παρατηρήσεις από κουτάκια από φάρµακα που έχουν ληφθεί από την ίδια κούτα). Με τον τρόπο αυτό µπορέσαµε να µοντελοποιήσουµε παρατηρήσεις οι οποίες είναι συσχετισµένες. Η ιδιότητα αυτή ισχύει για όλα τα µοντέλα τυχαίων επιδράσεων. Κάποια πιθανή (θετική) συσχέτιση µεταξύ των παρατηρήσεων µπορεί να µοντελοποιηθεί µε αυτόν τον τρόπο. Προσέξτε επίσης ότι θεωρώντας δυο παρατηρήσεις από το ίδιο επίπεδο του παράγοντα και δεσµεύοντας πάνω στην τιµή της επίδρασης του παράγοντα, οι παρατηρήσεις γίνονται ανεξάρτητες. Τα µοντέλα των τυχαίων επιδράσεων εισάγουν την έννοια της δεσµευµένης ανεξαρτησίας. Τα µαθηµατικά του µοντέλου είναι ακριβώς ίδια µε αυτά του µοντέλου για επιδράσεις ενός σταθερού παράγοντα. Η µηδενική υπόθεση αλλάζει. Λαµβάνοντας υπ όψι το µοντέλο που φαίνεται παραπάνω µπορούµε να δείξουµε ότι yi. y.. ( SSTret ) ( ) ( )( nσ τ + σ ) i n n Βέβαια, το µέσο άθροισµα τετραγώνων των σφαλµάτων αποτελεί πάντα εκτίµηση της διασποράς σ. Ετσι ο πίνακας ανάλυσης διασποράς είναι: Source of Vrition Sum of Squres Degrees of Freedom Men Squre F 0 Tretments SS Tretments α- SS Tretments /(α-) ΜS Tretments / ΜS rror SS (n-) SS /(n-) Totl SS T n- Κάτω από τη µηδενική υπόθεση, η έκφραση F 0 ακολουθεί την κατανοµή F µε α- και nα-α βαθµούς ελευθερίας. Τυχαίες Επιδράσεις σε Τυχαιοποιηµένο Bloc Σχεδιασµό Μπορούµε εδώ να διακρίνουµε δυο περιπτώσεις: α. όταν µόνο τα blocs είναι τυχαία β. όταν τα blocs και ο παράγοντας είναι τυχαίες µεταβλητές. Γενικά, και στις δυο περιπτώσεις τα µαθηµατικά δεν αλλάζουν. Το µοντέλο είναι: yij µ + τ + β + ε i j ij i,,..., α j,,..., b όπου µ σταθερό, ε ij τα σφάλµατα τα οποία είναι ανεξάρτητα και ακολουθούν Ν (0, σ ), και για την περίπτωση α. β j επιδράσεις του παράγοντα bloc, ανεξάρτητες τ.µ. που ακολουθούν Ν(0,σ β ). και για την περίπτωση β. β j επιδράσεις του παράγοντα bloc, ανεξάρτητες τ.µ. που ακολουθούν Ν(0,σ β ). τ i επιδράσεις του τυχαίου παράγοντα, ανεξάρτητες τ.µ. που ακολουθούν Ν(0,σ τ ). Σε όλες τις περιπτώσεις τα τυχαία σφάλµατα καθώς και οι τυχαίες επιδράσεις είτε αυτές είναι των blocs είτε είναι του παράγοντα, είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές. Είναι ενδιαφέρον να δει κανείς ότι κάτω από την περίπτωση α. 79

Η συνδιασπορά µεταξύ δυο παρατηρήσεων από διαφορετικά blocs (ίδιο tretment) είναι 0 Η συνδιασπορά µεταξύ δυο παρατηρήσεων από το ίδιο bloc (διαφορετικό tretment) είναι σ β. Η διασπορά κάθε παρατήρησης είναι σ β +σ. Κάτω από την περίπτωση β. Η συνδιασπορά µεταξύ δυο παρατηρήσεων από διαφορετικά blocs (ίδιο tretment) είναι σ τ. Η συνδιασπορά µεταξύ δυο παρατηρήσεων από το ίδιο bloc (διαφορετικό tretment) είναι σ β. Η διασπορά κάθε παρατήρησης είναι σ β +σ τ +σ. Οι µηδενικές υποθέσεις που ελέγχονται µε την ανάλυση διασποράς είναι για την περίπτωση α: H 0 : τ τ... τ 0, ενώ για την περίπτωση β: H 0 : σ β Τα µαθηµατικά της ανάλυσης δεν αλλάζουν καθόλου εκτός από τις αναµενόµενες τιµές των µέσων τετραγώνων όπου για την περίπτωση α. είναι: Στην περίπτωση β. έχουµε 0 i ( Tretmments ) σ + ( ) σ ( ) Blocs σ + σ H : σ b τ i ( Tretmment s ) σ + bσ τ ( ) σ ( ) Blocs σ + σ Οι πίνακες ανάλυσης διασποράς µαζί µε τους κατάλληλους ελέγχους F είναι: H 0 0 τ : σ β 0 0 b b Source of Vrition Sum of Squres Degrees of Freedom Men Squre F 0 Tretments SS Tretments α- SS Tretments /(α-) ΜS Tretments / ΜS Blocs SS Blocs b- SS Blocs / (b-) ΜS Βλοψκσ / ΜS rror SS (α-)(b-) SS /(α-)(b-) Totl SS T N- Είτε βρισκόµαστε στην περίπτωση α., είτε στην περίπτωση β. Γίνεται φανερό ότι κάτω από τις µηδενικές υποθέσεις οι εκφράσεις F 0 ακολουθούν κατανοµές F µε βαθµούς ελευθερίας α-, (α- )(b-) και (b-), (α-)(b-) αντίστοιχα. Τυχαίες Επιδράσεις στο Σχεδιασµό Παραγοντικού Πειράµατος µε υο Παράγοντες Το µοντέλο των τυχαίων παραγόντων γίνεται εδώ: 80

i,, K, yij µ + τi + β j + ( τβ) ij + εij, όπου j,. K, b,, K, n Οι υποθέσεις του µοντέλου είναι ανάλογες µε αυτές παραπάνω: ε ij σφάλµατα τα οποία είναι ανεξάρτητα και ακολουθούν Ν (0, σ ), β j επιδράσεις του παράγοντα bloc, ανεξάρτητες τ.µ. που ακολουθούν Ν(0,σ β ). τ i επιδράσεις του τυχαίου παράγοντα, ανεξάρτητες τ.µ. που ακολουθούν Ν(0,σ τ ). (τβ) ij επιδράσεις της αλληλεπίδρασης, ανεξάρτητες τ.µ. που ακολουθούν Ν(0,σ τβ ). Κάτω από τις παραπάνω υπθέσεις εύκολα µπορούµε να δούµε ότι Η συνδιασπορά µεταξύ δυο παρατηρήσεων από διαφορετικά blocs (ίδιο tretment) είναι σ τ. Η συνδιασπορά µεταξύ δυο παρατηρήσεων από το ίδιο bloc (διαφορετικό tretment) είναι σ β. Η συνδιασπορά µεταξύ δυο παρατηρήσεων από το ίδιο bloc, ίδιο tretment είναι σ β + σ τ + σ τβ. Η διασπορά κάθε παρατήρησης είναι σ β +σ τ +σ τβ +σ. Οπως και παραπάνω, οι µηδενικές υποθέσεις που ελέγχονται µε τις τεχνικές ανάλυσεις που γνωρίζουµε είναι: Οι αναµενόµενες τιµές των µέσων τετραγώνων είναι: ( Α ) σ + bnσ τ + nσ τβ ( ) σ + nσ n B b + ( ) σ Ετσι ο πίνακας ανάλυσης διασποράς µε τους ελέγχους F γίνεται: H H H 0 0 3 0 : σ τ : σ β : σ τβ 0 0 0 σ + nσ ( ) τβ σ τβ ΠΗΓΗ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Α Β ΑΒ rror Totl ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΒΑΘΜΟΙ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ SS SS B b SS ( )( b ) SS b( n ) SS T bn ΜΕΣΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ SS B SSB b SS ( )( b ) SS b ( n ) F 0 F 0 F 0 F 0 B 8

Κάτω από τις τρεις µηδενικές υποθέσεις που φαίνονται παραπάνω οι εκφράσεις F 0 ακολουθούν κατανοµές F µε βαθµούς ελευθερίας οι οποίοι προσδιορίζονται από τον πίνακα ανάλυσης διασποράς παραπάνω. Σε µερικά πειράµατα υπάρχει η ανάγκη να εκτιµηθούν οι επιµέρους διασπορές σ β, σ τ, σ τβ και σ. Οι εκτιµήσεις αυτές µπορούν να προέλθουν ως σηµειακές εκτιµήσεις εξισώνοντας τις αναµενώµενες τιµές των µέσων τετραγώνων µε τις αντίστοιχες διασπορές. Ετσι, για το παραπάνω πείραµα ˆ σ ˆ σ τβ n B ˆ σ β n ˆ σ τ bn Οι εκτιµήσεις αυτές αυξάνουν την πιθανότητα αρνητικής εκτίµησης για κάποια διασπορά. Το πρόβληµα µπορεί να αντιµετωπιστεί αλλά όχι µε οριστικό τρόπο. Οι τρόποι αντιµετώπισης όµως δε θα µας απασχολήσουν εδώ. Μοντέλα µικτών επιδράσεων στο σχεδιασµό µε δυο παράγοντες Τα µοντέλα µικτών επιδράσεων προκύπτουν όταν κάποιες από τις επιδράσεις είναι τυχαίες µεταβλητές και κάποιες όχι. Τα µοντέλα αυτά αποτελούν τη γενίκευση όλων των παραπάνω µοντέλων και είναι ιδιαίτερα χρήσιµα στην πράξη. Θεωρούµε όπως και παραπάνω το παραγοντικό µοντέλο µε δυο παράγοντες και αλληλεπίδραση. i,, K, yij µ + τi + β j + ( τβ) ij + εij, όπου j,. K, b,, K, n Οι υποθέσεις του µοντέλου είναι: ε ij σφάλµατα τα οποία είναι ανεξάρτητα και ακολουθούν Ν (0, σ ), β j επιδράσεις του τυχαίου παράγοντα, ανεξάρτητες τ.µ. που ακολουθούν Ν(0,σ β ). τ i επιδράσεις του σταθερού παράγοντα, τ i 0. i (τβ) ij επιδράσεις της αλληλεπίδρασης, ανεξάρτητες τ.µ. που ακολουθούν Ν(0,(α-)/ασ τβ ). Η πρόσθετη υπόθεση εδώ είναι ότι αθροίζοντας την αλληλεπίδραση όσον αφορά τους δείκτες του σταθερού παράγοντα παίρνουµε 0, δηλ. i ( τβ ) ij 0, j, K, b Η διασπορά της αλλελεπίδρασης είναι ορισµένη µε τέτοιο τρόπο ώστε οι αναµενόµενες τιµές των µέσων τετραγώνων να απλοποιούνται πολύ. Σε όλα τα προηγούµενα µοντέλα είχε υιοθετηθεί η υπόθεση ότι όλες οι τυχαίες µεταβλητές είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους. Το ίδιο ισχύει και εδώ µε µια διαφορά η οποία οφείλεται στον περιορισµό ότι i ( τβ ) ij 0, j, K, b. Μπορούµε να δείξουµε 8

Cov(( τβ ) ij, ( τβ ) i' j ) σ τβ Κάτω από αυτές τις υποθέσεις µπορούµε να δείξουµε ότι Η συνδιασπορά µεταξύ δυο παρατηρήσεων από το ίδιο επίπεδο του σταθερού παράγοντα είναι 0. Η συνδιασπορά µεταξύ δυο παρατηρήσεων από το ίδιο επίπεδο του τυχαίου παράγοντα είναι σ β -(/α) σ τβ. Η συνδιασπορά µεταξύ δυο παρατηρήσεων από τον ίδιο συνδυασµό επιπέδων των παραγόντων Α και Β είναι σ β +(α-)/ασ τβ. Η διασπορά κάθε παρατήρησης είναι σ β +(α-)/ασ τβ +σ. Το µοντέλο ονοµάζεται περιορισµένο µικτό µοντέλο. Είναι εύκολο να δούµε ότι bn i Α σ + nσ τβ + B σ + nσ ( ) ( ) σ + nσ ( ) τβ ( ) σ Ετσι ο πίνακας ανάλυσης διασποράς φαίνεται παρακάτω b τ i ΠΗΓΗ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Α Β ΑΒ rror Totl ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΒΑΘΜΟΙ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ SS SS B b SS ( )( b ) SS b( n ) SS T bn ΜΕΣΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ SS B SSB b SS ( )( b ) SS b ( n ) F 0 F 0 F 0 F 0 B Εναλλακτικά έχουν εµφανιστεί και άλλα µοντέλα µικτών επιδράσεων στη βιβλιογραφία τα οποία µοιάζουν να έχουν περισσότερο καθαρές υποθέσεις. Για παράδειγµα, θα µπορούσαµε να µη δεχτούµε τον περιορισµό i ( τβ ) ij 0, j, K, b και επίσης να δεχτούµε ότι οι αλληλεπιδράσεις είναι τυχαίες µεταβλητές που ακολουθούν κανονική κατανοµή µε µέσο 0 και διασπορά σ τβ. Τότε µπορούµε να δείξουµε ότι ( ) Α σ + nσ τβ 83 τ i i bn + + nσ n ( ) σ B b + σ + nσ ( ) τβ σ τβ

( ) σ Η διαφορά δε φαίνεται µεγάλη και πραγµατικά δεν είναι εκτός από το ότι ο έλεγχος για την επίδραση του τυχαίου παράγοντα (παράγοντας Β) χρησιµοποιεί το αντί του. Γενικά ωστόσο προτιµάται το περιορισµένο µοντέλο γιατί αυτό µπορεί να δεχτεί και µοντελοποίηση αρνητικής συσχέτισης µεταξύ δυο παρατηρήσεων από το ίδιο επίπεδο του τυχαίου παράγοντα. Κανόνες για τις αναµενόµενες τιµές των µέσων τετραγώνων Ενα σηµαντικό κοµµάτι του σχεδιασµού πειραµάτων αφιερώνεται στον υπολογισµό των αναµενώµενων τιµών των µέσων τετραγώνων. Αυτό είναι δικαιολογηµένο µια και οι έλεγχοι F για τον έλεγχο της επίδρασης κάποιου σταθερού ή τυχαίου παράγοντα κατασκευάζονται από το λόγο µέσων τετραγώνων. Οι αναµενώµενες τιµές αυτών των µέσων τετραγώνων πρέπει να διαφέρουν κατά µια ποσότητα. Η ποσότητα αυτή πρέπει να εµφανίζεται στον αριθµητή και πρέπει να είναι µια γραµµική συνάρτηση της επίδρασης του σταθερού ή του τυχαίου παράγοντα. Οι παρακάτω κανόνες µπορούν να δώσουν µε σχετικά αυτόµατο τρόπο, τις αναµενώµενες τιµές των µέσων τετραγώνων για όλα τα µοντέλα σταθερών, τυχαίων ή µικτών επιδράσεων. Η περιγραφή τους θα συνοδεύεται και από το παράδειγµα του παραγοντικού µοντέλου µε δυο σταθερούς παράγοντες. Κανόνας : Ο όρος του σφάλµατος ε ij... m γράφεται ως ε (ij...) m όπου ο δείκτης m υποδεικνύει την επανάληψη της παρατήρηση (repliction). Για το παραγοντικό µοντέλο µε δυο σταθερούς παράγοντες και έτσι όπως έχει οριστεί στα προηγούµενα κεφάλαια, όρος γίνεται ε. Κανόνας : Εκτός από τη σταθερά στο µοντέλο υπάρχουν όροι απλών επιδράσεων και όροι αλληλεπιδράσεων. Κανόνας 3: Για κάθε όρο στο µοντέλο διαιρέστε τους δείκτες σε τρεις κατηγορίες: (α) ζωντανούςείναι οι δείκτες που βρίσκονται στον όρο αλλά όχι σε παρένθεση (β) πεθαµένους-είναι οι δείκτες που βρίσκοντα στον όρο και είναι σε παρένθεση (γ) απώντες-είναι οι δείκτες που βρίσκονται στο µοντέλο αλλά όχι στο συγκεκριµένο όρο. Για παράδειγµα, στον όρο (τβ ) ij οι δείκτες i και j είναι ζωντανοί ενώ στον όρο ε (ij) ο δείκτης είναι ζωντανός ενώ οι δείκτες ι και j είναι πεθαµένοι. Κανόνας 4: (Βαθµοί ελευθερίας). Οι βαθµοί ελευθερίας για κάθε όρο στο µοντέλο είναι το γινόµενο του αριθµού των επιπέδων για κάθε πεθαµένο δείκτη µε τον αριθµό των επιπέδων για κάθε ζωντανό δείκτη. Για παράδειγµα, οι βαθµοί ελευθερίας του όρου i παράδειγµα η επίδραση του παράγοντα Α αναπαριστάται ως. Κανόνας 6: (αναµενώµενες τιµές µέσων τετραγώνων). Για να κατασκευάσουµε τις αναµενώµενες τιµές ετοιµάζουµε τον παρακάτω πίνακα. Ο πίνακας έχει µια γραµµή για κάθε µέσο τετράγωνο και µια κολώνα για κάθε δείκτη. Πάνω από κάθε δείκτη γράφεται ο αριθµός των επιπέδων του παράγοντα ο οποίος συνδέεται µε το δείκτη αυτό. Γράφεται επίσης εαν ο κάθε παράγοντας είναι σταθερός (Σ) ή τυχαίος (Τ) Σ Σ Τ b n 84 (ij) (τβ ) ij είναι (α-)(b-) ενώ του όρου ε (ij) αb(n-). Κανόνας 5: Κάθε όρος στο µοντέλο έχει µια τυχαία επίδραση ή µια σταθερή επίδραση που συνδέεται µαζί του. Αν µια αλληλεπίδραση περιέχει τουλάχιστον µια τυχαία επίδραση, τότε ολόκληρο ο όρος της αλληλεπίδρασης θεωρείται τυχαίος. Μια τυχαία επίδραση αναπαριστάται από τον ποσότητα διασποράς της. Μια σταθερή επίδραση αναπαριστάται από το άθροισµα τετραγώνων των επιδράσεων των επιπέδων του παράγοντα διαιρεµένο από τους βαθµούς ελευθερίας. Για τ i είναι

Παράγοντας i j τ β i j (τβ ) ij ε (ij) (α). Σε κάθε γραµµή γράψτε εαν κάποιος από τους πεθαµένους δείκτες σε κάθε επίδραση ταιριάζει µε το δείκτη σε κάθε κολώνα Σ Σ Τ b n Παράγοντας i j τ β i j (τβ ) ij ε (ij) (β). Σε κάθε γραµµή, εαν κάποιοι από τους δείκτες κάθε όρου ταιριάζουν µε το δείκτη της κολώνας, γράψτε 0 εαν η κολώνα προσδιορίζεται από σταθερό παράγοντα και εαν η κολώνα προσδιορίζεται από τυχαίο παράγοντα. Σ Σ Τ b n Παράγοντας i j τ 0 i β 0 j (τβ ) ij 0 0 ε (ij) (γ). Στις άδειες θέσεις που αποµένουν, γράψτε τον αριθµό των επιπέδων που φαίνονται πάνω από τους δείκτες κάθε κολώνας Σ Σ Τ b n Παράγοντας i j τ 0 b n i β 0 n j (τβ ) ij 0 0 n ε (ij) (δ). Οι αναµενώµενες τιµές των µέσων τετραγώνων κάθε όρου λαµβάνονται µε τον παρακάτω αλγόριθµο: Αρχικά, καλύψτε όλες τις κολώνες οι οποίες αφορούν σε ζωντανούς δείκτες του όρου για τον οποίο ενδιαφερόµαστε να υπολογίσουµε την αναµενόµενη τιµή των µέσων τετραγώνων. Μετά, σε κάθε γραµµή η οποία περιέχει τουλάχιστον τους ίδιους δείκτες µε αυτούς του όρου για τον οποίο ενδιαφερόµαστε, πάρτε το γινόµενο των αριθµών που δεν είναι καλυµµένοι και πολλαπλασιάστε µε τον κατάλληλο, σταθερό ή τυχαίο, παράγοντα όπως αυτός προκύπτει από τον 85

κανόνα 5. Το άθροισµα όλων αυτών των ποσοτήτων δίνει την αναµενώµενη τιµή τετραγώνων του παράγοντα. Για παράδειγµα, για να βρούµε την ( ) καλύπτουµε την κολώνα i. Το γινόµενο όλων των ορατών αριθµών στις γραµµές που περιέχουν τουλάχιστον το δείκτη i, είναι bn (γραµµή ), 0 (γραµµή 3) και (γραµµή 4). Προσέξτε ότι ο δείκτης i λείπει στη γραµµή. Ετσι η τιµή του αναµενώµενου µέσου τετραγώνου είναι bn τ i i ( ) σ + Με παρόµοιο τρόπο δουλεύουµε και για τους υπόλοιπους όρους. 86