Σύνθεση δύο ΑρµονικώνΤαλαντώσεων που εξελίσσονται στην ίδια ευθεία γύρω από την ίδια θέση µε ίδιο πλάτος και γωνιακές συχνότητες που διαφέρουν πολύ λίγο Έστω ότι υλικό σηµείο εκτελεί ταυτόχρονα τις ταλαντώσεις: x = Aηµ ( ωt και x = Aηµ ( ωt που εξελίσσονται στην ίδια ευθεία γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. α Πως ερµηνεύεται η φράση: «µε γωνιακές συχνότητες που διαφέρουν πολύ λίγο»; β Να γραφεί η εξίσωση της σύνθετης κίνησης γ Να βρεθούν η γωνιακή συχνότητα ω, η συχνότητα f και η περίοδος Τ των ταλαντώσεων που επιβάλλει ο ηµιτονοειδής παράγοντας ( ω ω δ Να βρεθεί ποιες χρονικές στιγµές µηδενίζεται ο όρος: A = Aσυν t ( ω ω ε Να βρεθεί ποιες χρονικές στιγµές ο όρος: A = Aσυν t αποκτά τιµή A =± A στ Να βρεθεί το χρονικό διάστηµα που µεσολαβεί µεταξύ δύο διαδοχικών µηδενισµών του ( ω ω όρου: A = Aσυν t ζ Να βρεθεί το χρονικό διάστηµα που µεσολαβεί µεταξύ δύο διαδοχικών µεγίστων κατά ( ω ω απόλυτη τιµή του όρου: A = Aσυν t ΑΠΑΝΤΗΣΗ α Δύο γωνιακές συχνότητες ω και ω διαφέρουν πολύ λίγο όταν η απόλυτη τιµή της διαφοράς τους ω ω είναι πολύ µικρότερη από την καθεµιά ξεχωριστά γωνιακή συχνότητα ω και ω : και ω ω << ω ω ω << ω β Σύµφωνα µε την αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων ισχύει:
x x x A t A t A t t x A ω t ω t ω t ω t = = ηµω ηµω = ( ηµω ηµω = συν ηµ ( ω ω t ( ω ω t x= Aσυν ηµ ( ω ω Η σχέση αυτή µπορεί να γραφεί στη µορφή: x= A ηµ t ( ( ω ω όπου A = Aσυν t ( Ο όρος Α µεταβάλλεται αργά µε το χρόνο σε σχέση µε τον ηµιτονικό όρο, αφού : ω ω << ω ω, άρα η περίοδος µεταβολής του είναι σηµαντικά πιο µεγάλη από την αντίστοιχη του ηµιτονικού όρου. Η απόλυτη τιµή σχολικό βιβλίο της σύνθετης κίνησης. A ονοµάζεται και πλάτος (σύµφωνα µε το Η σχέση ( αντιστοιχεί σε περιοδική µη αρµονική κίνηση. ( ω ω γ Αν συγκρίνουµε την (: x= A ηµ t µε την x= A ηµω t βρίσκουµε: ω ( ω ω = (α Οπότε: ( ω ω π ( f f f f ω f f = π = = (β Αντίστοιχα: T = T = T = T = T = T T TT f f f T T T T TT (γ δ ( ω ω π ω ω π A = 0 συν t= 0 = συν (κ t= (κ (3 π f f π κ t κ t κ Z f f = ( =,
ε ( ω ω ( ω ω = συν = συν = = συν ( κπ (4 ω ω π f f κ κπ κπ κ Z f f A A A t A t t= t= t=, ( ω ω ( ω ω = συν = συν = = συν (κ π (5 ω ω π f f κ t (κ π t (κ π t, κ Z f f A A A t A t = = = στ Από την (3 έχουµε: ( κ (κ 3 T = tk tk = T = T = f f f f f f f f (6α ζ Έστω ότι κάποια στιγµή t k ισχύει A = A και κάποια στιγµή t ισχύει k A = A. Τότε από (4 και (5 έχουµε: κ κ T = tk tk = T = f f f f f f (6β ΕΦΑΡΜΟΓΗ Υλικό σηµείο Σ ενός ελαστικού µέσου εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρµονικές ταλαντώσεις, που εξελίσσονται πάνω στην ίδια ευθεία και γύρω από την ίδια θέση. Οι εξισώσεις αποµάκρυνσης των δύο ταλαντώσεων περιγράφονται από τις σχέσεις: x = 0, ηµ (0 πt( S. I και x = 0, ηµ (98 πt( S. I α Να γραφεί η εξίσωση της συνισταµένης ταλάντωσης του Σ
β Ποιες χρονικές στιγµές µηδενίζεται ο όρος της σύνθετης κίνησης που µεταβάλλεται αργά µε το χρόνο («πλάτος»; Ποια χρονική στιγµή µηδενίζεται για πρώτη φορά; Ποια η φάση των δύο ταλαντώσεων, ποια η διαφορά φάσης µεταξύ τους, ποια η τιµή του «πλάτους» και ποιες οι τιµές των επιµέρους αποµακρύνσεων τη στιγµή αυτή; γ Ποιες χρονικές στιγµές γίνεται µέγιστος κατά απόλυτη τιµή ο όρος της σύνθετης κίνησης που µεταβάλλεται αργά µε το χρόνο; Ποια χρονική στιγµή συµβαίνει αυτό για πρώτη φορά; Ποια η φάση των δύο ταλαντώσεων, ποια η διαφορά φάσης µεταξύ τους, ποια η τιµή του «πλάτους» και ποιες οι τιµές των επιµέρους αποµακρύνσεων τη στιγµή αυτή; δ Πόσες ( περίπου πλήρεις ταλαντώσεις της σύνθετης κίνησης εκτελεί το υλικό σηµείο σε χρονικό διάστηµα ίσο µε αυτό που µεσολαβεί µεταξύ δύο διαδοχικών µηδενισµών του «πλάτους»; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Από τη σχέση x = 0, ηµ (0 πt( S. I έχουµε ότι: 0 rad ω = π και f = ω f= 0Hz s π ενώ από τη σχέση x = 0, ηµ (98 πt( S. I έχουµε ότι: 98 rad ω = π και f = ω f = 99Hz s π α Σύµφωνα µε τη σχέση ( της θεωρητικής επεξεργασίας, η σύνθετη κίνηση περιγράφεται από τη σχέση: x= 0, συν ( πt ηµ (00 πt( S. I (7 β π π κ A = 0 συν ( πt = 0 = συν (κ πt= (κ t=, κ Z (8 4 Στο ίδιο συµπέρασµα φθάνουµε και από τη σχέση (3: (κ κ κ t= = =, κ Z f f 4 Μηδενίζεται για πρώτη φορά τη χρονική στιγµή που προκύπτει αν στην (8 θέσουµε κ=0:
(8 t= s. 4 0π π Οι φάσεις των ταλαντώσεων την ίδια στιγµή είναι: ϕ = 0π = = 50π rad και 4 99π 3π π ϕ = 98π = = 48π rad. Η διαφορά φάσης είναι: ϕ = ϕ ϕ = = π rad. 4 Αυτό δηλώνει ότι τα περιστρεφόµενα διανύσµατα που παριστάνουν τις συνιστώσες ταλαντώσεις είναι αντίθετα τη δεδοµένη χρονική στιγµή, άρα το «πλάτος» είναι µηδενικό. Ισοδύναµα: A = 0, συν ( π = 0. 4 Οι τιµές των επιµέρους αποµακρύνσεων τη στιγµή αυτή είναι; π 3π x = 0, ηµ (50 π = 0,m και x = 0, ηµ (48 π = 0,m οι οποίες ικανοποιούν την αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων αφού: x= x x = 0. Προφανώς όταν Α =0, την ίδια στιγµή x Aηµ ω t = ( = 0. γ A = A= 0, m συν ( πt = = συν ( κπ π t= κπ t= κ, κ Z (9 Στο ίδιο συµπέρασµα φθάνουµε και από τη σχέση (4: κ κ t= = = κ, κ Z f f Συµβαίνει αυτό για πρώτη φορά τη χρονική στιγµή που προκύπτει αν στην (9 θέσουµε κ=0: (9 t= 0 Οι φάσεις των ταλαντώσεων την ίδια στιγµή είναι: ϕ = 0 rad και ϕ = 0 rad Η διαφορά φάσης είναι: ϕ= 0 rad. Αυτό δηλώνει ότι τα περιστρεφόµενα διανύσµατα που παριστάνουν τις συνιστώσες ταλαντώσεις είναι ίσα τη δεδοµένη χρονική στιγµή, άρα το «πλάτος» είναι µέγιστο: A = A A A = A= 0, m.
Ισοδύναµα: A = 0, συν (π 0 = 0,m. Οι τιµές των επιµέρους αποµακρύνσεων τη στιγµή αυτή είναι; x = 0,ηµ 0= 0 και x = 0,ηµ 0= 0 οι οποίες ικανοποιούν την αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων αφού: x= x x = Aηµ 0= 0. Προφανώς όταν Α =0,m=A, την ίδια στιγµή x= x x A, αλλά χ=0 (σχήµα.37 σελίδα 8 σχολικού Επίσης: A = A= 0, m συν ( πt = = συν (κ π πt= (κ π κ t=, κ Z (0 Στο ίδιο συµπέρασµα φθάνουµε και από τη σχέση (5: κ κ t= =, κ Z f f Συµβαίνει αυτό για πρώτη φορά τη χρονική στιγµή που προκύπτει αν στην (0 θέσουµε κ=0: (0 t= s Οι φάσεις των ταλαντώσεων την ίδια στιγµή είναι: ϕ = 0π = 0π rad και ϕ = 98π = 99π rad Η διαφορά φάσης είναι: ϕ = ϕ ϕ = π rad. Αυτό δηλώνει ότι τα περιστρεφόµενα διανύσµατα που παριστάνουν τις συνιστώσες ταλαντώσεις είναι ίσα τη δεδοµένη χρονική στιγµή, άρα το πλάτος είναι µέγιστο: A = A A A = A= 0, m Όµως : A = 0, συν ( π = 0, συνπ = 0, m. Οι τιµές των επιµέρους αποµακρύνσεων τη στιγµή αυτή είναι;
x = 0,ηµ 0π = 0 και x = 0,ηµ 99π = 0 οι οποίες ικανοποιούν την αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων αφού: x= x x = Aηµ (00 π = 0. Προφανώς όταν Α =-0,m=-A, την ίδια στιγµή x= x x A αλλά χ=0 (σχήµα.37 σελίδα 8 σχολικού δ Η δεύτερη χρονική στιγµή που µηδενίζεται το «πλάτος» Α =0 προκύπτει από την (8 θέτοντας κ=: 3 (8 t= = s 4 4 3 3π Την ίδια στιγµή: ϕ = 0π = 5, 5π = 50π x = 0,m και 4 3 π ϕ = 98π = 48,5π = 48π x = 0,m 4 Άρα: x= x x = 0 Συµπεραίνουµε ότι µεταξύ δύο διαδοχικών µηδενισµών του «πλάτους» Α εκτελείται ακέραιος αριθµός ταλαντώσεων της σύνθετης κίνησης. Ο αριθµός αυτός προκύπτει αν λάβουµε υπ όψη µας ότι µια ταλάντωση της σύνθετης κίνησης πραγµατοποιείται σε χρονικό διάστηµα: π ω 00π 00 T = = T = s ενώ µεταξύ δύο διαδοχικών µηδενισµών του «πλάτους» A µεσολαβεί χρονικό διάστηµα 3 t= = s. 4 4 Άρα: t N = N = = 50 T 00
Σχόλιο: Ο όρος «πλάτος» χρησιµοποιείται σε αντιστοιχία µε το σχολικό βιβλίο και σύµφωνα µε αυτά που διδάσκουµε δεσµευόµενοι από το συγκεκριµένο βιβλίο. Θοδωρής Παπασγουρίδης papasgou@gmail.com