Μια ιδιόµορφη ταλάντωση µε εξίσωση αποµάκρυνσης που προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων κίνησης δύο αρµονικών ταλαντώσεων Υλικό σηµείο Σ ενός ελαστικού µέσου εκτελεί περιοδική κίνηση (ιδιόµορφη ταλάντωση) της οποίας η εξίσωση αποµάκρυνσης από τη θέση χ=0, εκφράζεται ως επαλληλία των εξισώσεων κίνησης: x = 0, ηµ (0 πt)( S. I ) και x = 0, ηµ (98 πt)( S. I ) α) Να γραφεί η εξίσωση κίνησης του Σ β) Ποιες χρονικές στιγµές µηδενίζεται ο όρος της περιοδικής κίνησης που µεταβάλλεται αργά µε το χρόνο (περιβάλλουσα); Ποια χρονική στιγµή µηδενίζεται για πρώτη φορά; Ποια η φάση των δύο εξισώσεων χ, χ από την επαλληλία των οποίων προκύπτει η εξίσωση κίνησης του Σ, ποια η διαφορά φάσης µεταξύ τους και ποιες οι τιµές των χ, χ και της αποµάκρυνσης χ τη στιγµή αυτή; γ) Ποιες χρονικές στιγµές γίνεται µέγιστος κατά απόλυτη τιµή ο όρος της περιοδικής κίνησης που µεταβάλλεται αργά µε το χρόνο (περιβάλλουσα); Ποια χρονική στιγµή συµβαίνει αυτό για πρώτη φορά; Ποια η φάση των δύο εξισώσεων χ, χ από την επαλληλία των οποίων προκύπτει η εξίσωση κίνησης του Σ, ποια η διαφορά φάσης µεταξύ τους και ποιες οι τιµές των χ, χ και της αποµάκρυνσης χ τη στιγµή αυτή;
δ) Πόσες πλήρεις ταλαντώσεις της περιοδικής κίνησης εκτελεί το υλικό σηµείο σε χρονικό διάστηµα ίσο µε αυτό που µεσολαβεί µεταξύ δύο διαδοχικών µηδενισµών της περιβάλλουσας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Από την εξίσωση κίνησης x = 0, ηµ (0 πt)( S. I ) έχουµε ότι: ω = 0π rad και f = ω f= 0Hz π ενώ από την εξίσωση κίνησης x = 0, ηµ (98 πt)( S. I ) έχουµε ότι: ω = 98π rad και f = ω f = 99Hz π α) Η εξίσωση αποµάκρυνσης από τη θέση χ=0, της ιδιόµορφης ταλάντωσης, προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων κίνησης x= x+ x x= 0, ηµ (0 πt) + 0, ηµ (98 πt) x= 0, συν ( πt) ηµ (00 πt)( S. I) () Η εξίσωση αυτή µπορεί να γραφεί: x Aηµωt = όπου = 0, ( )(. ) () A συν πt S I ο όρος της περιοδικής κίνησης που µεταβάλλεται αργά µε το χρόνο και αντιστοιχεί στην περιβάλλουσα της γραφικής παράστασης της () και ω= 00π rad/ η γωνιακή συχνότητα της ιδιόµορφης ταλάντωσης... Στο παρακάτω διάγραµµα φαίνεται η ιδιόµορφη ταλάντωση που εκτελεί υλικό σηµείο, της οποίας η αποµάκρυνση από τη θέση χ=0 προκύπτει από την επαλληλία δύο εξισώσεων κίνησης: χ =Αηµ(,πt) µε f =,05 Hz και χ =Αηµ(,9πt) µε f =0,95 Hz.
Η ιδιόµορφη ταλάντωση (κόκκινη γραµµή) έχει ως εξίσωση κίνησης τη: Χ=Ασυν(0,πt)ηµ(πt), t σε ec Η περιβάλλουσα τη γραφική παράσταση (πράσινη γραµµή) έχει εξίσωση: A Aσυν πt = (0, ). (Το διάγραµµα προέρχεται από ανάρτηση του φίλου Νίκου Ανδρεάδη). β) π π κ + + A = 0 συν ( πt) = 0 = συν (κ + ) πt= (κ + ) t=, κ Z (3) 4 Μηδενίζεται για πρώτη φορά τη χρονική στιγµή που προκύπτει αν στην (3) θέσουµε κ=0: (3) t= 4 Οι φάσεις των δύο εξισώσεων χ, χ από την επαλληλία των οποίων προκύπτει η εξίσωση κίνησης του Σ την ίδια στιγµή είναι: 0π π ϕ = 0π = = 50π + rad και 4 99π 3π ϕ = 98π = = 48π + rad. 4 3
π Η διαφορά φάσης είναι: ϕ = ϕ ϕ = = π rad. Οι τιµές των χ, χ τη στιγµή αυτή τη στιγµή αυτή είναι: π 3π x = 0, ηµ (50 π + ) = 0,m και x = 0, ηµ (48 π + ) = 0,m από την επαλληλία των οποίων προκύπτει: x= x+ x = 0. Προφανώς όταν Α =0, την ίδια στιγµή x Aηµ ω t = ( ) = 0. (Στο παραπάνω διάγραµµα αυτό φαίνεται τις χρονικές στιγµές t=5 και t=5) + γ) A = 0, m συν ( πt) = = συν ( κπ ) π t= κπ t= κ, κ Z (4) Αυτό συµβαίνει για πρώτη φορά τη χρονική στιγµή που προκύπτει αν στην (4) θέσουµε κ=0: (4) t= 0 Οι φάσεις των δύο εξισώσεων χ, χ από την επαλληλία των οποίων προκύπτει η εξίσωση κίνησης του Σ την ίδια στιγµή είναι: ϕ = 0 rad και ϕ = 0 rad Η διαφορά φάσης είναι: ϕ= 0 rad. Οι τιµές των χ, χ τη στιγµή αυτή τη στιγµή αυτή είναι: x = 0,ηµ 0= 0 και x = 0,ηµ 0= 0 από την επαλληλία των οποίων προκύπτει: x= x+ x = 0. Ισοδύναµα: x= 0, ηµ 0= 0 4
Βλέπουµε δηλαδή πως όταν Α =0,m, την ίδια στιγµή x= x+ x 0, m, αλλά χ=0 (κάτι ανάλογο συµβαίνει και µε την περιβάλλουσα της ιδιόµορφης ταλάντωσης την χρονική στιγµή t=0, όπως φαίνεται στο παραπάνω διάγραµµα) Επίσης: κ + + A = 0, m συν ( πt) = = συν (κ + ) π πt= (κ + ) π t=, κ Z (5) Αυτό συµβαίνει για πρώτη φορά τη χρονική στιγµή που προκύπτει αν στην (5) θέσουµε κ=0: (5) t= Οι φάσεις των δύο εξισώσεων χ, χ από την επαλληλία των οποίων προκύπτει η εξίσωση κίνησης του Σ την ίδια στιγµή είναι: ϕ = 0π = 0π rad και ϕ = 98π = 99π rad Η διαφορά φάσης είναι: ϕ = ϕ ϕ = π rad. Οι τιµές των χ, χ τη στιγµή αυτή είναι: x = 0, ηµ (0 π ) = 0 και x = 0, ηµ (99 π ) = 0 από την επαλληλία των οποίων προκύπτει: x= x+ x = 0. Ισοδύναµα: x= 0, ηµ (00 π ) = 0 Βλέπουµε δηλαδή πως όταν Α =-0,m, την ίδια στιγµή x= x+ x 0, m, αλλά χ=0 (κάτι ανάλογο συµβαίνει και µε την περιβάλλουσα της ιδιόµορφης ταλάντωσης την χρονική στιγµή t=0, όπως φαίνεται στο παραπάνω διάγραµµα) 5
δ) Η δεύτερη χρονική στιγµή που µηδενίζεται η περιβάλλουσα, δηλαδή Α =0, προκύπτει από την (3) θέτοντας κ=: + 3 (3) t= = 4 4 3 3π Την ίδια στιγµή: ϕ = 0π = 5, 5π = 50π + x = 0,m και 4 3 π ϕ = 98π = 48,5π = 48π + x = 0,m 4 Άρα: x= x+ x = 0 Συµπεραίνουµε ότι µεταξύ δύο διαδοχικών µηδενισµών της περιβάλλουσας Α εκτελείται ακέραιος αριθµός ταλαντώσεων της ιδιόµορφης ταλάντωσης. Ο αριθµός αυτός προκύπτει αν λάβουµε υπ όψη µας ότι µια τέτοια ταλάντωση πραγµατοποιείται σε χρονικό διάστηµα: T = π π T T ω = 00π = 00 ενώ µεταξύ δύο διαδοχικών µηδενισµών της περιβάλλουσας A µεσολαβεί χρονικό διάστηµα : 3 t= =. 4 4 Άρα: N t = N = = 50 ταλαντώσεις. T 00. Ο αριθµός των ταλαντώσεων της ιδιόµορφης ταλάντωσης που εκτελούνται στο χρονικό διάστηµα µεταξύ δύο διαδοχικών µηδενισµών της περιβάλλουσας στο παραπάνω διάγραµµα, είναι: N t 0 = N = = 0 ταλαντώσεις, όπως εύκολα T µπορεί να µετρηθούν. 6
Σχόλιο: Η σχέση x 0, συν ( πt) = (S.I) δεν είναι το πλάτος της ιδιόµορφης ταλάντωσης x= 0, συν ( πt) ηµ (00 πt)( S. I) αλλά µία από τις περιβάλλουσες της χ(t). Το υλικό σηµείο Σ αν και αποκλείεται να βρεθεί σε µέγιστη απόσταση από τη θέση χ=0, µεγαλύτερη από 0,m, δε θα βρεθεί ποτέ σε απόσταση ίση µε 0,m, παρά µόνο ικανοποιητικά κοντά σε απόσταση 0,m. Αυτό φαίνεται εύκολα ως εξής: Για να βρεθεί σε µέγιστη απόσταση από τη θέση χ=0 ίση µε 0,m πρέπει οι όροι συν (π t) και ηµ(00πt) να λάβουν ταυτόχρονα τιµή ίση µε. Αυτό όµως δε µπορεί να γίνει αφού τις χρονικές στιγµές όπου συν (π t) =, δηλαδή τις t= k και k+ t= όπου k Z +, ισχύει: ηµ (00 π k) = 0 και k+ ηµ (00 π ) = ηµ (00π k+ 00 π ) = 0. Άρα τις χρονικές στιγµές όπου A = 0, m θα είναι χ=0. Θοδωρής Παπασγουρίδης papagou@gmail.com 7