Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ειδίκευση Θεωρητικών Μαθηματικών Σ Σταματάκη Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου Σημειώσεις για το μάθημα Ολική Διαφορική Γεωμετρία Ακαδημαϊκό έτος 06-7 Μια σύντομη εισαγωγή στη θεωρία των διαφορικών μορφών Έστω D ανοικτό σύνολο και a i (u, v) C r (D) (r ), i =,, δυο συναρτήσεις, όπου u, v είναι καρτεσιανές συντεταγμένες Ορισμός Η έκφραση ω (u, v) := a (u, v) du + a (u, v) dv ονομάζεται γραμμική διαφορική μορφή ή διαφορική μορφή του Pfaff της κλάσεως C r με συντελεστές a (u, v) και a (u, v) Η εξίσωση ω = 0 είναι μια ομογενής διαφορική εξίσωση στο D, της οποίας οι ολοκληρωτικές καμπύλες ονομάζονται μηδενικές καμπύλες της ω Οι εφαπτόμενες αυτών ονομάζονται μηδενικές διευθύνσεις της ω (ορίζονται από την dv a du a Ορισμός Δυο γραμμικές διαφορικές μορφές ω = a (u, v) du + α (u, v) dv και ω = b (u, v) du + b (u, v) dv ονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητες, όταν σε κάθε σημείο του D οι μηδενικές διευθύνσεις τους είναι γραμμικά ανεξάρτητες Διαφορετικά ονομάζονται γραμμικά εξαρτημένες Πρόταση Οι γραμμικές διαφορικές μορφές ω και ω είναι ακριβώς τότε γραμμικά ανεξάρτητες, όταν είναι a b a b 0 Η απόδειξη θα γίνει στο μάθημα ) Johann Friedrich Pfaff (765-85) Γερμανός μαθηματικός, καθηγητής στο Helmstedt

Πρόταση Όταν οι γραμμικές διαφορικές μορφές ω και ω είναι γραμμικά ανεξάρτητες, τότε κάθε άλλη γραμμική διαφορική μορφή ω 3 εκφράζεται ως γραμμικός συνδυασμός αυτών Η απόδειξη θα γίνει στο μάθημα Παρατήρηση Το αλγεβρικό γινόμενο δύο γραμμικών διαφορικών μορφών είναι μια τετραγωνική διαφορική μορφή Ορισμός 3 Το εξωτερικό γινόμενο ω ω δυο γραμμικών διαφορικών μορφών ορίζεται έμμεσα ως εξής: ω ω = ω ω, (f ω )ω = f (ω ω ), (ω + ω )ω 3 = ω ω 3 + ω ω 3, όπου f(u, v) είναι τυχούσα συνάρτηση Προφανώς ισχύει ω ω = 0 Πρόταση 3 Ισχύει ω ω = (a b a b ) dudv Η απόδειξη θα γίνει στο μάθημα Πόρισμα Ισχύει ακριβώς τότε ω ω = 0, όταν οι γραμμικές διαφορικές μορφές ω και ω είναι γραμμικά εξαρτημένες Το εξωτερικό γινόμενο ω ω δυο γραμμικών διαφορικών μορφών είναι μια διαφορική μορφή δευτέρου βαθμού Οι διαφορικές μορφές δευτέρου βαθμού «διαφέρουν» κατά μια συνάρτηση Ορισμός 4 Ονομάζουμε εξωτερικό διαφορικό της διαφορικής γραμμικής μορφής ω τη διαφορική μορφή δευτέρου βαθμού dω := da du + da dv Προφανώς είναι dω = (a a ) dudv Εύκολα αποδεικνύεται η επόμενη Πρόταση 4 Όταν η γραμμική διαφορική μορφή ω είναι ολικό διαφορικό, τότε είναι dω = 0 Αναφέρουμε την παρακάτω πρόταση χωρίς απόδειξη Πρόταση 5 Όταν η γραμμική διαφορική μορφή ω είναι ορισμένη σε έναν απλώς συναφή τόπο D και ισχύει dω = 0, τότε η ω είναι ολικό διαφορικό Πρόταση 6 Για κάθε συνάρτηση f(u, v) C(D) ισχύει () d(f ω ) = df ω + f dω Η απόδειξη θα γίνει στο μάθημα Έστω ότι οι ω και ω είναι γραμμικά ανεξάρτητες Θεωρούμε συνάρτηση f(u, v) C(D) Ορισμός 5 Οι συναρτήσεις i f, που ορίζονται με χρήση της df =: f ω + f ω, ονομάζονται παράγωγοι του Pfaff της συνάρτησης f Εύκολα αποδεικνύονται οι επόμενες προτάσεις (οι αποδείξεις θα γίνουν στο μάθημα): Πρόταση 7 Οι παράγωγοι του Pfaff συνδέονται με τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης f με τις σχέσεις

() f = b f ab b f ab / /, f = a f ab a f a b / / Πρόταση 8 Για συναρτήσεις f(u, v), g(u, v) C(D) ισχύουν οι σχέσεις i (f ± g) = i f ± i g, i (f g) = f i g + g i f, f gi f fig i g g Πρόταση 9 Ισχύουν οι τύποι df df f =, f = Θεωρούμε τις συναρτήσεις q i για τις οποίες ισχύει dω i = q i ω ω Προφανώς a/ a/ b/ b/ q =, q = ab a b ab a b Έστω μια συνάρτηση f(u, v) C(D) Θέτουμε i ( j f) =: i j f Ισχύει η επόμενη συνθήκη ολοκληρωσιμότητας, η απόδειξη της οποίας θα γίνει στο μάθημα: Πρόταση 0 Για μια συνάρτηση f(u, v) C(D) ισχύει Έστω γ μια μηδενική καμπύλη της ω Ορισμός 6 Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα f f + q f + q f = 0 s = ω γ ονομάζεται παράμετρος του Pfaff της γ ως προς την ω Κατά μήκος της γ είναι ds = ω = b du + b dv και ω = a du + a dv = 0, άρα b du dv du dv b =, a a = 0, ds ds ds ds οπότε du a (3) ds a b a b dv a, ds ab ab Τέλος έχουμε άρα, λόγω των (3), d f du dv f f ds ds, ds df ds 0 0 a f/ a f/ =, ab a b

από την οποία και την () παίρνουμε df Ανάλογα, με το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα ds 0 s = ω γ, ορίζεται η παράμετρος του Pfaff μιας μηδενικής καμπύλης γ : ω = 0 ως προς την ω Γι αυτήν ισχύει df ds 0 Η έννοια του κινουμένου τριάκμου - Οι εξισώσεις δομής Έστω D απλώς συναφής τόπος του, u, v καρτεσιανές συντεταγμένες και S = {A 0, A, A, A 3 } ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων του 3 Υποθέτουμε, ότι η βάση B = {e i := A 0 A i / i =,, 3} είναι θετικά προσανατολισμένη Δίνονται ακόμη μια προσανατολισμένη επιφάνεια S: x = x(u, v) της κλάσης διαφορισιμότητας C 3, και ένα κινούμενο τρίακμο της S T(u,v) = {ε i (u, v) / i =,, 3} της S, δηλαδή μια διπαραμετρική οικογένεια ορθομοναδιαίων και θετικά προσανατολισμένων βάσεων της κλάσης διαφορισιμότητας C Σε κάθε σημείο P 0 (u 0, v 0 ) S αντιστοιχίζουμε τη βάση T(u 0, v 0 ) Ισχύουν οι επόμενες προτάσεις (οι αποδείξεις θα γίνουν στο μάθημα): Πρόταση Υπάρχουν μονότιμα ορισμένες γραμμικές διαφορικές μορφές ω i (u, v), ω ij (u, v), i, j =,, 3, έτσι ώστε (3) dx = ω ε + ω ε + ω 3 ε 3 και (3) dε i = ω i ε + ω i ε + ω i3 ε 3 Πρόταση Οι γραμμικές διαφορικές μορφές ω i (u, v), ω ij (u, v), i, j =,, 3, συνδέονται με τις σχέσεις (33) ω ij + ω ji = 0, (34) dω j = 3 ωi ω i j, (35) dω ij = 3 ωik ω kj i k Ορισμός Οι σχέσεις (34), (35) ονομάζονται εξισώσεις δομής της Θεωρίας Επιφανειών Οι εξισώσεις δομής γράφονται αναλυτικά ως εξής: dω = ω ω + ω 3 ω 3, dω = ω ω + ω 3 ω 3, 3 f f

(36) dω 3 = ω ω 3 ω ω 3, dω = ω 3 ω 3, dω 3 = ω 3 ω, dω 3 = ω 3 ω 3 Η έννοια του συνοδεύοντος τριάκμου - Οι θεμελιώδεις εξισώσεις Ορισμός 3 Όταν το διάνυσμα ε 3 (u, v) ενός κινούμενου τριάκμου T(u,v) ταυτίζεται με το μοναδιαίο καθετικό διάνυσμα n(u,v) της επιφάνειας S, το T(u,v) ονομάζεται συνοδεύον τρίακμο της S Όταν εργαζόμαστε με κινούμενο τρίακμο της S, είναι ω 3 = 0, και η (3) γίνεται (37) dx = ω ε + ω ε Εξάλλου, οι (3) γράφονται (38) dε = ω ε ω 3 ε 3, (39) dε = ω ε ω 3 ε 3, (30) dε 3 = ω 3 ε + ω 3 ε, και οι εξισώσεις δομής (3) dω = ω ω, (3) dω = ω ω, (33) ω ω 3 + ω ω 3 = 0, (34) dω = ω 3 ω 3, (35) dω 3 = ω 3 ω, (36) dω 3 = ω 3 ω Ορισμός 3 Οι σχέσεις (3)-(36) ονομάζονται θεμελιώδεις εξισώσεις της Θεωρίας Επιφανειών Παρατήρηση 3 Συνήθως θεωρούμε ως διάνυσμα ε ενός κινουμένου τριάκμου το x x g διάνυσμα, οπότε ως διάνυσμα ε παίρνουμε το διάνυσμα n Πρόταση 3 Οι διαφορικές μορφές ω και ω είναι γραμμικά ανεξάρτητες Απόδειξη Από τις dx = x / du + x / du = ω ε + ω ε, μετά από πράξεις, προκύπτει ω i = ε i, x /i du i, και g (37) ω ω = du du 0 Θεωρούμε τις συναρτήσεις q και q, για τις οποίες ισχύει dω = q ω ω, dω = q ω ω 4 g

Με χρήση των (3)-(33) προκύπτει, ότι υπάρχουν συναρτήσεις a, b και c, τέτοιες ώστε (38) Η απόδειξη θα γίνει στο μάθημα Τέλος, οι (34)-(36) γίνονται (39) a b 3 3 b c q q acb q q q q, (30) cb qbq( ac) 0, (3) ba qbq( ac) 0 H (39) είναι το Theorema Egregium και οι (30), (3) οι εξισώσεις των Mainardi- Codazzi Από τα παραπάνω προκύπτουν και οι παρακάτω εξισώσεις (3) Παρατήρηση 3 Επειδή x 0 0 0 q a ε x 0 0 ε q 0 b ε ε 0 q ε, b ε 3 3 a b 0ε q 0 c ε ε ε 3 3 b c 0ε ε x = ε = και x = ε =, έχουμε: α) Η παράμετρος του Pfaff s της μηδενικής καμπύλης γ : ω = 0 ως προς την ω είναι φυσική παράμετρος της επιφανειακής καμπύλης Γ, που αντιστοιχεί στην γ και β) Η παράμετρος του Pfaff s της μηδενικής καμπύλης γ : ω = 0 ως προς την ω είναι φυσική παράμετρος της επιφανειακής καμπύλης Γ, που αντιστοιχεί στην γ 4 Αναλλοίωτες μορφές και γεωμετρική ερμηνεία τους Αν στρέψουμε το συνοδεύον τρίακμο T(u,v) περί το διάνυσμα ε 3 κατά γωνία φ(u,v) [0, π) προκύπτει το συνοδεύον τρίακμο T * (u,v) = {ε * = cosφ ε + sinφ ε, ε * = -sinφ ε + cosφ ε, ε * 3 = ε 3 }, ως προς το οποίο βρίσκουμε (33) ω * = cosφ ω + sinφ ω, ω * = -sinφ ω + cosφ ω, (34) ω * 3 = cosφ ω 3 + sinφ ω 3, ω * 3 = -sinφ ω 3 + cosφ ω 3, ω * = ω + dφ, (35) a * = cos φ a + sinφ b + sin φ c, (36) b * = -sinφ cosφ a + cosφ b + sinφ cosφ c, (37) c * = sin φ a - sinφ b + cos φ c, (38) q * = cosφ (q + φ) + sinφ (q + φ), 5

(39) q * = -sinφ (q + φ) + cosφ (q + φ) Η απόδειξη των παραπάνω τύπων θα γίνει στο μάθημα Με χρήση των παραπάνω σχέσεων προκύπτει με απλή επαλήθευση, ότι οι τετραγωνικές μορφές ω + ω, ω 3 + ω 3, ω ω 3 + ω ω 3, ω ω 3 ω ω 3 και οι διαφορικές μορφές δευτέρου βαθμού ω ω, ω 3 ω 3, dω, ω 3 ω + ω ω 3, είναι ανεξάρτητες από τη γωνία φ Η γεωμετρική ερμηνεία τους είναι η επόμενη Εμβαδικό στοιχείο: da = ω ω = g dudv, Εμβαδικό στοιχείο σφαιρικής εικόνας: da * = ω 3 ω 3 = e dudv, Πρώτη θεμελιώδης μορφή: I = dx = ω + ω = g ij du i du j, Δεύτερη θεμελιώδης μορφή: II = - dx, dn = a ω + b ω ω + c ω = l ij du i du j, Τρίτη θεμελιώδης μορφή: ΙΙΙ = dε 3 = ω 3 + ω 3, IV = (dx, n, dn) = ω ω 3 - ω ω 3 = b (ω - ω ) + (c - a) ω ω, dω = (ac b ) da, ω 3 ω + ω ω 3 = (a + c) da Έστω σημείο P(u 0,u 0) τυχόν σημείο της S Ο αριθμός * da (330) K(P) = = ac b da είναι η καμπυλότητα της S στο σημείο P και ο αριθμός (33) H = ω 3 ω ω ω 3 a c ω ω η μέση καμπυλότητα της S στο σημείο P Πρόταση 4 Η καμπυλότητα μιας επιφάνειας S σε ένα σημείο της P εξαρτάται μόνον από την πρώτη θεμελιώδη μορφή της Η απόδειξη προκύπτει από την (39) και την (330) Τέλος από τα παραπάνω προκύπτει με απλή επαλήθευση η Πρόταση 4 Οι θεμελιώδεις μορφές I, II και III συνδέονται με τη σχέση Η απόδειξη προκύπτει από τις KI - H II + III = 0 6

I = ω + ω, II = a ω + b ω ω + c ω, ΙΙΙ = ω 3 + ω 3, και τις (38), (330), (33) 5 Γωνία επιφανειακών καμπυλών - Ασυμπτωτικές γραμμές Θεωρούμε δυο επιφανειακές καμπύλες Γ i : u i = u i (s), i =,, της S Αποδεικνύεται, ότι για το συνημίτονο της γωνίας τους φ ισχύει ο τύπος (33) cosφ Πρόταση 5 Το δίκτυο μ μμ, όπου μ i = μ ω ω Δ: Αω + Βω ω + Γω = 0 είναι ακριβώς τότε ορθογώνιο, όταν Α + Γ = 0 Η απόδειξη θα γίνει στο μάθημα Πρόταση 5 Οι μηδενικές καμπύλες της γραμμικής διαφορικής μορφής ω (αντίστοιχα της ω ) είναι ακριβώς τότε ασυμπτωτικές γραμμές, όταν c = 0 (αντίστοιχα a = 0) Η απόδειξη θα γίνει στο μάθημα Έστω υπερβολικά καμπυλομένη επιφάνεια S και φ [0, π/) η γωνία των ασυμπτωτικών γραμμών Αποδεικνύονται οι τύποι Γ i H K K (333) cos φ, sin φ, tan φ H K H K H 6 Κάθετη καμπυλότητα - Γεωδαισιακή στρέψη - Κυκλικά σημεία Ας είναι Γ: u i = u i (s), s J, μια καμπύλη της επιφάνειας S, όπου s είναι φυσική παράμετρός της, και φ = προσ (ε, t) [0, π) Τότε έχουμε και άρα (334) t = ω = cosφ, ds t = cosφ ε + sinφ ε dx ω ε + ω ε, ds ds ds ω = cosφ, μ = cotφ ds 6 Κάθετη καμπυλότητα Γνωρίζουμε, ότι γιά την κάθετη καμπυλότητα σε ένα σημείο P S, που αντιστοιχεί στο εφαπτομενικό διάνυσμα t, ισχύει II aω bω ω cω (335) κn R I ω ω 7 = a cos φ + b sinφ + c sin φ Για φ = 0 (αντίστοιχα για φ = π/), δηλαδή όταν t = ε (αντίστοιχα όταν t = ε ) προκύπτει

(336) R 0 = a αντ R 0 = c 6 Γεωδαισιακή στρέψη Γνωρίζουμε, ότι γιά την γεωδαισιακή στρέψη σε ένα σημείο P S, που αντιστοιχεί στο εφαπτομενικό διάνυσμα t, ισχύει IV 3 b 3 ca (337) σ g = I g 0 = b cosφ + c a Για φ = 0 (αντίστοιχα για φ = π/), δηλαδή όταν t = ε (αντίστοιχα όταν t = ε ) προκύπτει (338) = b αντ = b g g 0 sinφ 63 Κυκλικά σημεία Πρόταση 6 Ένα σημείο P S είναι ακριβώς τότε κυκλικό, όταν (339) b = a c = 0 Απόδειξη Ένα σημείο P είναι κυκλικό ακριβώς τότε, όταν η κάθετη καμπυλότητα, που δίνεται από την κ n = a cos φ + b sinφ + c sin φ (βλ (335)), είναι ανεξάρτητη της γωνίας φ Για φ = 0, π/ και π/4 παίρνουμε a c κ n = a = c = b, άρα b = a c = 0 Το αντίστροφο είναι προφανές Πρόταση 6 Η ιδιότητα ενός σημείου P S να είναι κυκλικό είναι ανεξάρτητη του χρησιμοποιούμενου συνοδεύοντος τριάκμου Απόδειξη Από τις (35) και (37) έχουμε Εξάλλου είναι a * c * = cosφ (a c) + sinφ b b * = -sinφ cosφ a + cosφ b + sinφ cosφ c, άρα, όταν a c = b = 0, τότε a * c * = b * = 0 Αντίστροφα, έστω ότι a * c * = b * = 0 Τότε cosφ (a c) + sinφ b = 0, sinφ (a c) cosφ b = 0 Επειδή 8

cos sin 0 sin cos προκύπτει όταν a c = b = 0 7 Οι γραμμές καμπυλότητας ως μηδενικές καμπύλες των διαφορικών μορφών ω και ω Η μέση καμπυλότητα Ο τύπος του Euler Πρόταση 7 Η συνάρτηση (340) a(u, u ) + c(u, u ) είναι ανεξάρτητη της γωνίας στροφής φ Απόδειξη Προκύπτει άμεσα από τις (35) και (37) Πρόταση 7 Οι μηδενικές καμπύλες των γραμμικών διαφορικών μορφών ω και ω είναι ακριβώς τότε οι γραμμές καμπυλότητας της S, όταν b = 0 Η απόδειξη θα γίνει στο μάθημα Υποθέτουμε, ότι οι μηδενικές καμπύλες των γραμμικών διαφορικών μορφών ω και ω είναι οι γραμμές καμπυλότητας της S (b = 0) Οι κάθετες καμπυλότητες των γραμμών καμπυλότητας είναι οι πρωτεύουσες καμπυλότητες R και της S Αν λάβουμε υπόψη R τις (336), έχουμε a, R R 0 c R R 0 Άρα η συνάρτηση (340) ισούται με a + c = = H R R Ώστε, για κάθε συνοδεύον τρίακμο (βλ Πρόταση 7) είναι H = a + c Πρόταση 73 (α) Έστω ότι οι μηδενικές καμπύλες των γραμμικών διαφορικών μορφών ω και ω είναι οι γραμμές καμπυλότητας της S, και, οι πρωτεύουσες καμπυλότητες της S Αν είναι η R R R κάθετη καμπυλότητα μιας επιφανειακής καμπύλης Γ, τότε ισχύει ο τύπος του Euler (34) cos φ sin φ, R R R όπου φ = προσ (ε, t) [0, π) και t το μοναδιαίο εφαπτομενικό διάνυσμα της Γ (γ) Ισχύει ο τύπος 9

(34) π 0 π dφ R = H Οι αποδείξεις θα γίνουν στο μάθημα 0

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [H] Haack W: Elementare Differentialgeometrie Birkhäuser Verlag, 955 [Σ] Στάμου Γ: Ασκήσεις Διαφορικής Γεωμετρίας Εκδόσεις Ζήτη, 990 [Σ] Σταματάκη Σ: Εισαγωγή στην Κλασική Διαφορική Γεωμετρία Εδόσεις Αϊβάζη, 008 [Σ3] Στεφανίδη Ν: Διαφορική Γεωμετρία, 995