Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες επιβάλλεται να χρησιμοποιήσουμε διαφορετικές μονάδες μέτρησης στους άξονες x'x και y y. Ένα τέτοιο σύστημα δεν είναι ορθοκανονικό. Συντεταγμένες (τετμημένη, τεταγμένη ) σημείου ονομάζεται ένα μοναδικό για κάθε σημείο, ζευγάρι αριθμών (α, β) που αντιστοιχίζεται στο σημείο και μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε την θέση του στο επίπεδο που είναι εφοδιασμένο με ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων. Το α ονομάζεται τετμημένη και το β τεταγμένη του σημείου. τεταγμένη συντεταγμένες τετμημένη

Κάθε ζεύγος αριθμών αντιστοιχεί σε ένα μόνο σημείο του Μ του επιπέδου. Το σύστημα των αξόνων χωρίζει το επίπεδο σε τέσσερα μέρη που λέγονται τεταρτημόρια. Kάθε σημείο του άξονα χ χ έχει τεταγμένη 0. Kάθε σημείο του άξονα y y έχει τετμημένη 0. www.ma8eno.gr Σελίδα

3 Το σημείο Μ(α,β) βρίσκεται: Πάνω από τον άξονα χ χ, όταν β > 0 Κάτω από τον άξονα χ χ, όταν β < 0 Πάνω από το σημείο Μ( α,β ), όταν β > β www.ma8eno.gr Σελίδα 3

4 Κάτω από το σημείο Μ( α,β ), όταν β < β www.ma8eno.gr Σελίδα 4

5 Συμμετρικό σημείου Το συμμετρικό του σημείου Μ(α,β) ως προς: τον άξονα χ χ είναι το Μ 1 (α,-β) τον άξονα y y είναι το Μ (-α,β) την αρχή των αξόνων Ο είναι το Μ 3 (-α,-β) Παραδείγματα Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Α( 1, 3), i) ως προς τον άξονα ii) ως προς τον άξονα xx yy iii) ως προς τη διχοτόμο της γωνίας ˆ xoy iv) ως προς την αρχή Ο των αξόνων. Απάντηση i) ( 1, 3) A 1 ii) (1, 3) A iii) (3, 1) A 3 iv) (1, 3) A 4 www.ma8eno.gr Σελίδα 5

6 Απόσταση σημείων Η απόσταση των σημείων Α(χ 1, y 1 ) και Β(χ, y ) είναι : ΑΒ = (χ χ 1 ) + (y y 1 ) Η απόσταση του σημείου Α(α,β) από τον άξονα: χ χ είναι β y y είναι α Παραδείγματα Να βρείτε τις αποστάσεις των σημείων : (1, 1) και (1, 4) i) Ο(0, 0) και Α(4, ) ii) Α( 1, 1) και Β(3, 4) iii) Α( 3, 1) και Β(1, 1) iv) Α(1, 1) και Β(1, 4) Λύση i) (ΟΑ) = ( ) ( ) 4 0 + 0) = 16 + 4 = 0 = 5 ii) (ΑΒ) = 3 + 1 + 4 1 = 16 + 9 = 5 = 5 iii) ( ) ( ) (ΑΒ) = ( ) ( ) 1+ 3 + 1+ 1 = 4 + 0 = 4 iv) (ΑΒ) = ( ) ( ) 1 1 + 4+ 1 = 5 = 5 www.ma8eno.gr Σελίδα 6

7 Να δείξετε ότι : i) Τα σημεία Α(1, ), Β(4, ) και Γ( 3, 5) είναι κορυφές ισοσκελούς τριγώνου. ii) Τα σημεία Α(1, 1), Β( 1, 1) και Γ(4, ) είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου. Λύση i) ( ) ΑΒ = ( 4 1) + ( ) = 3 + 4 = 9 + 16 = 5 ( ΑΓ ) = ( ) ( ) 3 1 + 5 = 4 + 3 = 16 + 9 = 5 Άρα ( ΑΒ ) = ( ΑΓ) (ΑΒ) = (ΑΓ) ii) ( ΑΒ ) = ( ) ( ) 1 1 + 1 ( 1) = + = 4 + 4 = 8 ( ΑΓ ) = ( ) ( ) 4 1 + ( 1) = 3 + 3 = 9 + 9 = 18 ( ΒΓ ) = ( ) ( ) 4 ( 1)1 + 1) = 5 + 1 = 5 + 1 = 6 Επομένως ( ΑΒ ) + ( ΑΓ ) = 8 +18 = 6 = ( ΒΓ) το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Α. www.ma8eno.gr Σελίδα 7

8 Να σχεδιάσετε το πολύγωνο με κορυφές τα σημεία : Α(, 5), Β(5, 1), Γ(, 3), Δ( 1, 1) και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι αυτό είναι ρόμβος. Λύση ( ) ( ) (ΑΒ) = 5 + 1 5 = 9 + 16 = 5 y Α ( ) ( ) (ΒΓ) = 5 + 3 1 = 9 + 16 = 5 ( ) ( ) (ΓΔ) = 1 + 1+ 3 = 9 + 16 = 5 ( ) ( ) (ΔΑ) = + 1 + 5 1 = 9 + 16 = 5 Δ 4 - Ο 5 Β x Άρα (ΑΒ) = (ΒΓ) = (ΓΔ) =(ΔΑ) 4 Γ ΑΒΓΔ ρόμβος www.ma8eno.gr Σελίδα 8

9 Γραφική παράσταση συνάρτησης Γραφική παράσταση συνάρτησης f είναι το σύνολο όλων των σημείων M του επιπέδου με συντεταγμένες της μορφής (x, f(x)) με x A. Συμβολισμός C f. Εξίσωση γραφικής παράστασης της f: Είναι η εξίσωση y = f(x), όπου f(x) είναι ο τύπος της συνάρτησης f. Χαρακτηριστική ιδιότητα της y = f(x) : Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει στην γραφική παράσταση C f αν οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση y = f(x) και αντιστρόφως. Έστω (ε) μία ευθεία που τέμνει τον χχ στο Α. Την γωνία ω που διαγράφει η Αχ όταν περιστραφεί κατά την θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την (ε) την λέμε γωνία της (ε) με τον χχ. Αν η ε//χχ τότε ω=0 www.ma8eno.gr Σελίδα 9

10 Συντελεστή διεύθυνσης ευθείας λέμε το λ = εφω (όπου ω είναι η γωνία που σχηματίζει η (ε) με τον χχ ) Παρατηρήσεις Tα σημεία του x x έχουν τεταγμένη μηδέν και τα σημεία του y y έχουν τετμημένη μηδέν. Από τον ορισμό της συνάρτησης, η τιμή της μεταβλητής x αντιστοιχίζεται σε μια μόνο τιμή της μεταβλητής y. Αυτό σημαίνει ότι στη γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν υπάρχουν δύο ή περισσότερα σημεία που να έχουν την ίδια τετμημένη. Θα πρέπει δηλαδή κάθε ευθεία κάθετη στον άξονα χ χ να έχει το πολύ ένα σημείο τομής με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Έτσι για παράδειγμα ο κύκλος δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης. www.ma8eno.gr Σελίδα 10

11 Όταν ένα σημείο βρίσκεται στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν τη συνάρτηση. Όταν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν μια συνάρτηση, τότε το σημείο θα ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Αν μας δίνεται η γραφική παράσταση C f μιας συνάρτησης f μπορούμε να βρούμε: α) Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της C f. Δηλαδή προβάλλουμε την C f στον άξονα x'x. β) Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο f(a) των τεταγμένων των σημείων της C f. Δηλαδή προβάλλουμε την C f στον άξονα y'y γ) Η τιμή της f στο x o A είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας x = x o και της C f. Πεδίο ορισμού Σύνολο τιμών www.ma8eno.gr Σελίδα 11

1 δ) Η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική ως προς τον άξονα x'x της C f γιατί αποτελείται από τα σημεία Μ'(x, -f(x)) που είναι συμμετρικά των Μ(x, f(x)) ως προς τον άξονα x'x. ε) Η γραφική παράσταση της f(x) αποτελείται από τα τμήματα της C f που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x'x και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα x'x, των τμημάτων της C f που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν. στ) Η γραφική παράσταση της g(x) = f(x) + c ή g(x) = f(x) c με c > 0, προκύπτει αν μετατοπίσουμε την C f κατακόρυφα κατά c μονάδες πάνω ή κάτω αντίστοιχα. ζ) Η γραφική παράσταση της g(x) = f(x - c) ή g(x) = f(x + c) με c > 0, προκύπτει αν μετατοπίσουμε την C f οριζόντια κατά c μονάδες δεξιά ή αριστερά αντίστοιχα. www.ma8eno.gr Σελίδα 1

13 Παραδείγματα Να σημειώσετε σε ένα καρτεσιανό επίπεδο τα σημεία : Α( 1, ), Β(3, 4), Ο(0, 0), Γ(3, 0), Δ(0, 5) και Ε(, 3) Απάντηση y 4 B A - -1 O Γ 3 x 5 Ε - -4 Δ Ένα σημείο Μ(x, y) κινείται μέσα στο y 6 Α Β ορθογώνιο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος. M(x,y) Ποιοι περιορισμοί ισχύουν για τα x, y; Απάντηση 1 O Δ Γ 5 x x 5 και 1 y 6 www.ma8eno.gr Σελίδα 13

14 Σημεία τομής με τους άξονες: Για να βρούμε το σημείο τομής με τον άξονα y y, θέτουμε χ = 0 και το σημείο τομής είναι το ( 0,f(0)). Για να βρούμε τα σημεία τομής με τον άξονα χ χ, θέτουμε y = 0 οπότε f(χ 0 ) = 0 και τα σημεία τομής είναι τα ( χ 0,0), όπου χ 0 οι λύσεις της εξίσωσης f(χ) = 0. Σημεία τομής γραφικών παραστάσεων Για να βρούμε τα σημεία τομής δύο γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων f(χ) και g(χ)λύνουμε την εξίσωση f(χ) = g(χ) και αφού βρούμε το χ, βρίσκουμε και το y. Σχετικές θέσεις γραφικής παράστασης συνάρτησης αξόνων Πάνω από τον άξονα χ χ είναι όταν f(χ) > 0 Κάτω από τον άξονα χ χ είναι όταν f(χ) < 0 Σχετικές θέσεις γραφικής παράστασης συναρτήσεων Μια συνάρτηση f(χ) είναι πάνω από την g(χ) όταν f(χ) > g(χ) ή κάτω f(χ) < g(χ). Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε τις συντεταγμένες των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τους άξονες. i) f(x) = x 4 ii) g(x) = (x )(x 3) iii) h(x) = (x 1 ) iv) q(x) = x + x + 1 v) φ(x) = x x 1 vi) ψ(x) = x x 4 www.ma8eno.gr Σελίδα 14

15 Λύση i) D f Για = R x = 0 έχουμε f( 0) = 0 4= 4 Για f( x) = 0 έχουμε x 4= 0 ii) D g = R άρα η C τέμνει τον άξονα yy στο σημείο ( 0, 4) άρα η C τέμνει τον άξονα xx στο σημείο ( 4,0) Για x = 0 έχουμε g(0) = (0 )(0 3) = 6 άρα η C τέμνει τον άξονα yy στο σημείο (0, 6) Για g( x) = 0 έχουμε (x )(x 3) = 0 (3, 0) iii) D h = R x = 0 ή x 3 = 0 x = ή x = 3 άρα η C τέμνει τον άξονα xx στα σημεία (,0) και Για x = 0 έχουμε h(0) = (0 1 ) = 1 άρα η C τέμνει τον άξονα yy στο σημείο (0, 1) Για h( x) = 0 έχουμε (x 1 ) = 0 g f x = 4 g h f x 1 = 0 x = 1 άρα η C τέμνει τον άξονα xx στο σημείο ( 1, 0) f www.ma8eno.gr Σελίδα 15

16 iv) D q = R Για x = 0 έχουμε q(0) = 0 + 0 + 1 = 1 άρα η C τέμνει τον άξονα yy στο σημείο (0, 1) q Για q( x) = 0 έχουμε x + x + 1 = 0 Δ = 1 4 = 3 < 0 άρα η C δεν έχει κοινά σημεία με τον άξονα q xx v) Πρέπει x 1 0 x 1 άρα D ϕ = [1, + ) Ο x δε μπορεί να πάρει την τιμή μηδέν, άρα η σημείο με τον άξονα yy Για φ ( x) = 0 έχουμε x x 1 = 0 C ϕ δεν έχει κοινό vi) = 0 x 1 = 0 x = 1 άρα η τέμνει τον άξονα xx στο σημείο ( 1, 0) Πρέπει x 4 0 x 4 x x ή x x 1 C ϕ Άρα = (, ] [, + ) D ψ Ο x δε μπορεί να πάρει την τιμή μηδέν, άρα η C ψ δεν έχει κοινό σημείο με τον άξονα yy Για ψ ( x) = 0 έχουμε x x 4 = 0 x x x 4 = 0 4 = 0 = 4 www.ma8eno.gr Σελίδα 16

17 x = ή x = άρα η τέμνει τον άξονα xx στα σημεία (,0) και (, 0) C ψ Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 1. Να βρείτε : i) Τα σημεία τομής της μες τους άξονες. ii) Τις τετμημένες των σημείων της που βρίσκονται πάνω από τον άξονα. Λύση D f i) = R Για x = 0 έχουμε f(0) = 1 = 1 άρα η C τέμνει τον άξονα yy στο σημείο ( 0, 1) Για f( x) = 0 έχουμε x 1 = 0 ( 1, 0) ii) xx C f = 1 x = 1 ή x = 1 άρα η C τέμνει τον άξονα xx στα σημεία ( 1, 0) και Πρέπει f(x) > 0 x 1 > 0 f x f x 0 > 1 C f x > 1 x < 1 ή x > 1 www.ma8eno.gr Σελίδα 17

18 Δίνονται οι συναρτήσεις i) Τα κοινά σημεία των C, f(x) = x 5x + 4 και g(x) = x 6 f Να βρείτε : Cg ii) Τις τετμημένες των σημείων της που βρίσκονται κάτω από C f τη C g Λύση Df i) = R και Dg = R Πρέπει f(x) = g(x) x 5x + 4 = x 6 7x + 10 = 0 x = ή x = 5 f() = g() =. 6 = και f(5) = g(5) =. 5 6 = 4 Τα κοινά σημεία των C, C είναι (, ) (5, 4) f x g www.ma8eno.gr Σελίδα 18

19 ii) Πρέπει f(x) < g(x) x 5x + 4 < x 6 x 7x + 10 < 0 < x < 5 (5, 4) (, ) Άρτια και περιττή συνάρτηση Μια συνάρτηση f: Α Β λέγεται άρτια αν για κάθε χ Α, τότε - χ Α και f(χ) = f(-χ) Μια άρτια συνάρτηση έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα ψ ψ Μια συνάρτηση f: Α Β λέγεται περιττή αν για κάθε χ Α, τότε - χ Α και f(- χ) = - f(χ) Μια περιττή συνάρτηση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων www.ma8eno.gr Σελίδα 19

0 Ακρότατα συνάρτησης Τα ακρότατα μιας συνάρτησης είναι η μεγαλύτερη ή η μικρότερη τιμή που ενδέχεται να έχει μία συνάρτηση όταν το x διατρέχει το πεδίο ορισμού της. Ορισμός: Η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x 0 A όταν fx ( ) fx ( 0 ), για κάθε x A To f(x 0 ) λέγεται ελάχιστο της f στο Α, που παρουσιάζεται στο x 0 Το σημείο Μ(x 0,f(x 0 )) είναι το χαμηλότερο σημείο της γραφικής παράστασης Ορισμός: Η f παρουσιάζει μέγιστο στο x 0 A όταν f(x) f(x 0 ), για κάθε x A To f(x 0 ) λέγεται μέγιστο της f στο Α, που παρουσιάζεται στο x 0 Το σημείο Μ(x 0,f(x 0 )) είναι το υψηλότερο σημείο της γραφικής παράστασης Το μέγιστο της f και το ελάχιστο της f λέγονται ακρότατα της συνάρτησης f www.ma8eno.gr Σελίδα 0

1 Δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες όταν: Έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε χ Α είναι f(χ) = g(χ). www.ma8eno.gr Σελίδα 1