ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ. ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Χαρακτηριστικά µεγέθη περιοδικών φαινοµένων Περίοδος Τ (s) Σχνότητα f (Hz) Σχέση περιόδο και σχνότητας Τ = N t f = t N Τ = f Γωνιακή σχνότητα ω (rad/s) ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Κινηµατική προσέγγιση ω = π = πf T Αν οι αρχικές σνθήκες είναι: t=0, x=0, >0 δηλ. µε αρχική φάση φ=0 Εξίσωση αποµάκρνσης Εξίσωση ταχύτητας Εξίσωση επιτάχνσης Μέγιστη ταχύτητα Μέγιστη επιτάχνση x = Α ηµ(ωt) = max σν(ωt) α = -α max ηµ(ωt) max =ωα α max =ω Α Αν οι αρχικές σνθήκες είναι : t=0, x=d δηλ. µε αρχική φάση φ [0, π] Αποµάκρνση x = Α ηµ(ωt + φ) Ταχύτητα = max σν(ωt + φ) Επιτάχνση α = -α max ηµ(ωt + φ) Αρχική φάση φ (rad) ηµφ = A d Φάση της ταλάντωσης (rad) φάση = ωt + φ Σχέση ταχύτητας αποµάκρνσης Σχέση επιτάχνσης αποµάκρνσης ναµική προσέγγιση ύναµη επαναφοράς ( σνθήκη για την παραγωγή ΑΑΤ) Σταθερά επαναφοράς D (N/m) (εξαρτάται από το σύστηµα πο κάνει ΑΑΤ) Νόµος το Hooke = ±ω α = - ω x F=-Dx D = mω F ελ = k l A x

Περίοδος της ΑΑΤ Τ = π D m Ενεργειακή προσέγγιση Κινητική ενέργεια Κ (J) K = m = mω Α σν (ωt) ναµική ενέργεια U (J) U = Dx = mω Α ηµ (ωt) Ενέργεια ταλάντωσης E (J) Ε = Κ+U = DA = m max ιατήρηση της µηχανικής ενέργειας στην ΑΑΤ Κ + U = στ. ΘΕΕ Κ = W ΣF Το έργο της δύναµης F πο µετακινεί το σώµα από τη θέση x=0 στη θέση x=α είναι W= DA και αποθηκεύεται ως δναµική ενέργεια στο σύστηµα. Ρθµός µεταβολής της αποµάκρνσης από τη θέση ισορροπίας Ρθµός µεταβολής της ταχύτητας Έργο της δύναµης το ελατηρίο dx = d =α W ελ = U ελ(αρχ) U ελ(τελ) ναµική ενέργεια ελατηρίο U ελ = k ( l ) Ρθµός µεταβολής της κινητικής ενέργειας Ρθµός µεταβολής της δναµικής ενέργειας Ρθµός µεταβολής της ορµής ιατήρηση της ορµής dk = F du dk = - dp = ΣF p αρχ = p τελ Όταν δύο σώµατα βρίσκονται σε επαφή το ένα µε το άλλο, τότε αλληλεπιδρούν µε δνάµεις αντίθετες (νόµος δράσης αντίδρασης). Όταν για κάποιο λόγο χάνεται η επαφή µεταξύ των δύο σωµάτων, τότε µηδενίζεται η δύναµη αλληλεπίδρασης. Στην περίπτωση ταλάντωσης σστήµατος σωµάτων, η σταθερά επαναφοράς είναι διαφορετική για το σύστηµα και για κάθε σώµα ξεχωριστά. Έτσι το σστήµατος είναι D=(M+m)ω, το Μ είναι D =Mω και το m είναι D = mω

Αποµάκρνση x=-a x=0 x=+a Ταχύτητα =0 =± max =0 Επιτάχνση α=+α max α=0 α=-α max ύναµη F=+DA F=0 F=-DA ναµική ενέργεια U= DA U=0 U= DA Κινητική ενέργεια K=0 K= mmax K=0 Ολική ενέργεια E= DA E= DA E= DA ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Χωρητικότητα πκνωνή C (F) Τάση από ατεπαγωγή στο πηνίο Ε ατ (V) Αν οι αρχικές σνθήκες είναι: t=0, q=q, i=0 Φορτίο το πκνωτή q (C) (το αρχικά θετικού οπλισµού) C= V q di Ε ατ = - L q = Q σν(ωt) Ένταση το ρεύµατος i (A) (θετική φορά το ρεύµατος όταν ατό κατεθύνεται προς τον οπλισµό το πκνωτή πο για t=0 ήταν θετικά φορτισµένος) i = -I ηµ(ωt) Μέγιστη ένταση το ρεύµατος Περίοδος ταλάντωσης Ι = ωq Τ = π LC Ενέργεια ηλεκτρικού πεδίο το πκνωτή U E = q C = E σν (ωt) Ενέργεια µαγνητικού πεδίο το πηνίο U B = Li = E ηµ (ωt) Ολική ενέργεια το κκλώµατος Ε Ε = Q = C LΙ Σχέση τάσεων πκνωτή πηνίο Σχέση έντασης το ρεύµατος - φορτίο V C = V L i = ±ω Q q 3

Αναλογίες ηλεκτρικής και µηχανικής ταλάντωσης Αποµάκρνση x Μηχανική ταλάντωση Φορτίο q Ηλεκτρική ταλάντωση Ταχύτητα ναµική ενέργεια U Κινητική ενέργεια Κ Ρθµός µεταβολής το φορτίο το πκνωτή Ένταση ρεύµατος i Ενέργεια ηλεκτρικού πεδίο U E Ενέργεια µαγνητικού πεδίο U Β dq = i Ρθµός µεταβολής της τάσης το πκνωτή dv C = C i Ρθµός µεταβολής της ενέργειας το ηλεκτρικού πεδίο το πκνωτή Ρθµός µεταβολής της ενέργειας το µαγνητικού πεδίο το πηνίο Ρ C = V C i Ρ L = P C ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ύναµη πο αντιτίθεται στην ταλάντωση F F = -b Σταθερά απόσβεσης b (Kg/s): εξαρτάται από τις ιδιότητες το µέσο, από το σχήµα και το µέγεθος το αντικειµένο πο κινείται. Η περίοδος, για ορισµένη τιµή της σταθεράς b, διατηρείται σταθερή και ανεξάρτητη από το πλάτος. Όταν η b µεγαλώνει το πλάτος της ταλάντωσης µειώνεται πιο γρήγορα και η περίοδος παροσιάζει µια µικρή αύξηση πο θεωρείται αµελητέα. Πλάτος µετά από k ταλαντώσεις Α k Λόγος διαδοχικών πλατών προς την ίδια κατεύθνση ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Α k = Α 0 e -Λ t µε Λ (sec - ) σταθερά πο εξαρτάται από τη b και τη µάζα το ταλαντούµενο σώµατος και t=kτ. A A 0 = A A = A A 3 = =σταθ. Μέγιστο φορτίο το πκνωτή (το αρχικά θετικού οπλισµού) Q k = Q 0 e -Λ t µε t=kt ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Ιδιοσχνότητα f 0 f 0 = Σχνότητα εξαναγκασµένης ταλάντωσης f f 0 = f = f δ π π K m LC στη µηχανική στην ηλεκτρική Σνθήκη σντονισµού f = f 0 Αποτέλεσµα σντονισµού Το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται µέγιστο 4

ιάγραµµα το πλάτος µιας εξαναγκασµένης ταλάντωσης, σε σνάρτηση µε τη σχνότητα το διεγέρτη σε ταλάντωση µε απόσβεση. Ο τρόπος µε τον οποίο το ταλαντούµενο σύστηµα αποδέχεται την ενέργεια είναι εκλεκτικός και έχει να κάνει µε τη σχνότητα πό την οποία προσφέρεται. Κατά το σντονισµό η ενέργεια µεταφέρεται στο σύστηµα κατά το βέλτιστο τρόπο, γι ατό και το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται µέγιστο. ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Α. Ίδιας σχνότητας Εξισώσεις των δύο ταλαντώσεων x = A ηµ(ωt) x = A ηµ(ωt+φ) Σύµφωνα µε την αρχή της επαλληλίας των κινήσεων, η αποµάκρνση το σώµατος κάθε στιγµή θα είναι το άθροισµα των αποµακρύνσεων πο θα είχε αν έκανε την κάθε ταλάντωση ξεχωριστά: x= x + x Σύνθετη ταλάντωση: απλή αρµονική µε την ίδια σχνότητα x = A ηµ(ωt+θ) µε Αν φ=0 τότε Α = Α + Α και θ = 0 Α = εφθ = Α +Α + ΑΑ σνφ Α ηµφ Α +Α σνφ Αν φ = π τότε Α = Α - Α και η θ =0 ή θ = π (η φάση θα είναι ίση µε τη φάση της ταλάντωσης πο έχει το µεγαλύτερο πλάτος) Β. Ίδιο πλάτος και διαφορετικές σχνότητας Εξισώσεις των δύο ταλαντώσεων x = A ηµ(ω t) x = A ηµ(ω t) Εξίσωση σύνθετης ταλάντωσης ω x = x + x x = A σν ω ω t ηµ + ω t Όταν οι γωνιακές σχνότητες διαφέρον πολύ λίγο (ω ω ) τότε το σώµα κάνει µια ιδιόµορφη ταλάντωση πο παροσιάζει διακροτήµατα. Εξίσωση σύνθετης ταλάντωσης Πλάτος της κίνησης x = A ηµ(ω t) ω µε Α =A σν ω t ω και + ω ω = ω ω Α Περίοδος το διακροτήµατος Τ δ = f f 5

Αριθµός ταλαντώσεων Ν = T t Αριθµός διακροτηµάτων Ν δ = t T δ. ΚΥΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Ταχύτητα διάδοσης το κύµατος (εξαρτάται µόνο από τις ιδιότητες πο µέσο) = t x Περίοδος το κύµατος Τ Είναι το χρονικό διάστηµα στο οποίο ένα σωµατίδιο το µέσο ολοκληρώνει την αρµονική ταλάντωση. Είναι επίσης το χρονικό διάστηµα στο οποίο η κµατική εικόνα επαναλαµβάνεται. Σχνότητα το κύµατος f είχνει τον αριθµό των κορφών (εγκάρσια κύµατα) ή των πκνωµάτων (διαµήκη κύµατα) πο φτάνον σε κάποιο σηµείο το µέσο στη µονάδα το χρόνο. Μήκος κύµατος λ Είναι η απόσταση στην οποία διαδίδεται το κύµα σε χρόνο µιας περιόδο το κύµατος ή είναι η απόσταση δύο διαδοχικών κορφών ή είναι η απόσταση µεταξύ δύο διαδοχικών σηµείων το µέσο πο απέχον το ίδιο από τη θέση ισορροπίας τος και κινούνται κατά την ίδια φορά. Θεµελιώδης εξίσωση της κµατικής = λ f Εξίσωση αρµονικού κύµατος (όταν η ταλάντωση της πηγής περιγράφεται από τη σχέση y=aηµωt) διάδοση κατά τη θετική φορά t x y = A ηµ π T λ διάδοση κατά την αρνητική φορά t x y = A ηµ π + T λ t x Φάση το κύµατος (rad) φάση = π T λ Στιγµιότπο το κύµατος t (δίνει τη θέση των διαφόρων σηµείων το µέσο µια y = A ηµ π x ορισµένη χρονική στιγµή t ) T λ x y = A ηµ π σταθ λ µε 0 x t Ταλάντωση ενός σηµείο το µέσο t x (δίνει την αποµάκρνση ενός σγκεκριµένο σηµείο το y = A ηµ π µέσο πο απέχει από την πηγή x ) T λ t y = A ηµ π σταθ T x µε t Ταχύτητα ενός λικού σηµείο το µέσο στη θέση x=x (τα σηµεία το µέσο στο µέτωπο το κύµατος κινούνται προς τα πάνω) = ωα σν π t σταθ T 6

x µε t Επιτάχνση ενός λικού σηµείο το µέσο στη θέση x=x ιαφορά φάσης δύο σηµείων την ίδια στιγµή t Μεταβολή φάσης ενός σηµείο σε χρόνο t α = -ω Α ηµ π x φ=π λ t φ=π T t σταθ T x µε t ΣΥΜΒΟΛΗ ΥΟ ΟΜΟΙΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΥΓΡΟΥ Σύγχρονες πηγές είναι οι πηγές πο βρίσκονται σε φάση (δηµιοργούν τατόχρονα µέγιστα και ελάχιστα). Αρχή της επαλληλίας ή της πέρθεσης y = y + y Αποµάκρνση ενός σηµείο το γρού Πλάτος της ταλάντωσης Α Α = y= A σνπ r r λ r r A σνπ λ t r + Φάση της ταλάντωσης φάση=π r Τ λ Σνθήκη ενίσχσης (Α =Α) φάση=π ηµπ t r + r + π Τ λ t r + r Τ λ αν σνπ r r >0 λ r r αν σνπ <0 λ r r = N λ όπο Ν = 0, ±, ±, ή r -r = N λ όπο Ν=0,,, Σνθήκη απόσβεσης (Α =0) r r = (N+) λ όπο Ν = 0, ±, ±, ή r -r = (N+) λ όπο Ν=0,,, ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ Εξίσωση το στάσιµο κύµατος (στη θέση x=0 έχοµε κοιλία) Πλάτος της ταλάντωσης Α Φάση της ταλάντωσης x t t y = A σνπ ηµπτ ή y=α ηµπ λ Τ x Α = A σνπ λ t x φάση=π αν A σνπ >0 Τ λ φάση=π Τ t +π αν A σνπλ x <0 7

Θέσεις κοιλιών ( Α =Α) x = K λ µε Κ=0,,, Θέσεις δεσµών ( Α =0) Απόσταση δύο διαδοχικών δεσµών ή κοιλιών x = (K+) 4 λ µε Κ=0,,, d = λ Στάσιµο κύµα σε χορδή µε το άκρο x = 0 ελεύθερος (κοιλία) και το άλλο άκρο x= l στερεωµένο (δεσµός) l = (k ) 4 λ όπο k =,, 3, ο αριθµός των δεσµών Στάσιµο κύµα σε χορδή µε τα δύο άκρα στερεωµένα (δεσµοί) ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΚΥΜΑ l = k λ όπο k =,, 3, ο αριθµός των κοιλιών Τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα δηµιοργούνται µε την επιταχνόµενη κίνηση των ηλεκτρικών φορτίων. Όταν τα ηλεκτρικά φορτία ταλαντώνονται σε έναν αγωγό, δηµιοργείται ηλεκτρικό και µαγνητικό πεδίο τα οποία αποµακρύνονται από τον αγωγό (διαδίδονται) µε την ταχύτητα το φωτός c. Το ηλεκτροµαγνητικό κύµα είναι εγκάρσιο. Τα διανύσµατα το ηλεκτρικού και το µαγνητικού πεδίο είναι κάθετα µεταξύ τος και κάθετα στη διεύθνση διάδοσης το κύµατος. Τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα δηµιοργούνται από µεταβαλλόµενα ηλεκτρικά και µαγνητικά πεδία και από ένα πλήθος φσικών φαινοµένων όπως η αποδιέγερση των ατόµων, οι πρηνικές διασπάσεις κ.α.. E c x B Σχέση µέτρων των εντάσεων για κάθε στιγµή Ε Ε max c = ή c = Β Βmax Εξίσωση το ηλεκτρικού πεδίο t x Ε = Ε max ηµπ T λ Εξίσωση το µαγνητικού πεδίο t x Β = Β max ηµπ T λ Θεµελιώδης εξίσωση της κµατικής c = λ f Ραδιοκύµατα. Έχον µήκος κύµατος από 0 5 m έως µερικά εκατοστά. ηµιοργούνται από ηλεκτρονικά κκλώµατα, όπως τα κκλώµατα LC. Χρησιµοποιούνται στη ραδιοφωνία και την τηλεόραση. Μικροκύµατα. Έχον µήκος κύµατος από 30cm έως mm περίπο. Παράγονται από ηλεκτρονικά κκλώµατα. Χρησιµοποιούνται στος φούρνος µικροκµάτων και στα ραντάρ. Υπέρθρα κύµατα. Έχον µήκος κύµατος από mm έως 7 0-7 m περίπο. Εκπέµπονται από τα θερµά σώµατα και απορροφώνται εύκολα από τα περισσότερα λικά. Η πέρθρη ακτινοβολία πο απορροφάται από ένα σώµα αξάνει το πλάτος της ταλάντωσης των σωµατιδίων από τα οποία αποτελείται, αξάνοντας έτσι τη θερµοκρασία το. 8

Το ορατό φως Έχει µήκος κύµατος από 400 nm έως 700 nm. Παράγεται από την ανακατανοµή των ηλεκτρονίων στα άτοµα και στα µόρια. Είναι το µέρος εκείνο της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας πο ανιχνεύει ο ανθρώπινος οφθαλµός. Υπεριώδης ακτινοβολία. Έχει µήκη κύµατος από 3,8 0-7 m έως 6 0-8 m περίπο. Ο Ήλιος είναι ισχρή πηγή περιώδος ακτινοβολίας. Είναι πεύθνες για το µαύρισµα όταν κάνοµε ηλιοθεραπεία, το καλοκαίρι. Μεγάλες δόσεις περιώδος ακτινοβολίας βλάπτον τον ανθρώπινο οργανισµό. Το µεγαλύτερο µέρος της περιώδος ακτινοβολίας, πο φτάνει στη Γη από τον Ήλιο απορροφάται από τα άτοµα και τα µόρια της ανώτερης ατµόσφαιρας. Οι ακτίνες Χ (ή ακτίνες Röntgen) Έχον µήκη κύµατος από0-8 m έως 0-3 m περίπο. Παράγωνται µε την επιβράδνση ηλεκτρονίων πο προσκρούον µε µεγάλη ταχύτητα σε ένα µεταλλικό στόχο. Οι ακτίνες Χ χρησιµοποιούνται στην ιατρική, κρίως για διαγνωστικούς σκοπούς (ακτινογραφίες), και στη µελέτη των διαφόρων κρσταλλικών δοµών. Οι ακτίνες Χ µπορούν να προκαλέσον βλάβες στος ζωντανούς οργανισµούς. Οι ακτίνες γ Τα µήκη κύµατός τος αρχίζον από0-0 m και φτάνον ως τα 0-4 m. Εκπέµπεται από ορισµένος ραδιενεργούς πρήνες καθώς και σε αντιδράσεις πρήνων και στοιχειωδών σωµατιδίων ή ακόµα και κατά τη διάσπαση στοιχειωδών σωµατιδίων. Είναι πολύ διεισδτικές και βλάπτον τος οργανισµούς πο τις απορροφούν. ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ Πειραµατικά προκύπτει: ΙΑΘΛΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ. θ r = θ α. Η προσπίπτοσα ακτίνα, η ανακλώµενη ακτίνα και η κάθετη στην επιφάνεια στο σηµείο πρόσπτωσης, βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο είκτης διάθλασης ενός οπτικού λικού n n = c Πειραµατικά προκύπτει:. ηµθ ηµθ α b n b = Νόµος το Snell n α 9

. Η προσπίπτοσα ακτίνα, η διαθλώµενη ακτίνα και η κάθετη στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο µέσων, στο σηµείο πρόσπτωσης της ακτίνας, βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο Όταν το µονοχρωµατικό φως διέρχεται από ένα λικό σε κάποιο άλλο, η σχνότητά το f δεν αλλάζει. Η ταχύτητα είναι διαφορετική στα δύο µέσα (= n c ) και το µήκος κύµατος είναι διαφορετικό στα δύο µέσα λ 0 (λ= ) n ΟΛΙΚΗ ΑΝΑΚΛΑΣΗ Ολική ανάκλαση σµβαίνει όταν το φως µεταβαίνει από µέσο (α) σε µέσο (b) για τα οποία ισχύει: n α >n b Κρίσιµη γωνία θ crit ονοµάζεται η γωνία θ α για την οποία η διαθλώµενη ακτίνα κινείται παράλληλα προς τη διαχωριστική επιφάνεια των δύο µέσων. Σνθήκη ολικής ανάκλασης ηµθ crit = θ α > θ crit n b n α 3. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Μεταφορική κίνηση Στη µεταφορική κίνηση κάθε στιγµή όλα τα σηµεία το σώµατος έχον την ίδια ταχύτητα. Ταχύτητα Επιτάχνση Εθύγραµµη οµαλή ( = σταθ ) Εθύγραµµη οµαλά επιταχνόµενη ( α = σταθ ) dx = d α = x = t = 0 + α t x = 0 t + α t Στροφική κίνηση Στη στροφική κίνηση πάρχει µια εθεία ( ο άξονας περιστροφής) πο όλα της τα σηµεία παραµένον ακίνητα ενώ τα πόλοιπα σηµεία το σώµατος κάνον κκλική κίνηση µε γωνιακή ταχύτητα ω. 0

Γωνιακή ταχύτητα ω (rad/s) Γωνιακή επιτάχνση α γων (rad/s ) Οµαλή στροφική ( ω = σταθ ) Στροφική οµαλά επιταχνόµενη ( α γων = σταθ ) Σχέση µήκος τόξο ds και επίκεντρης γωνίας dθ Σχέση γραµµικής και γωνιακής ταχύτητας dθ ω = dω α γων = φ = ω t ω = ω 0 + α γων t φ = ω 0 t + αγων t ds = R dθ = ω r Σχέση γραµµικής και γωνιακής επιτάχνσης α = α γων r Κύλιση τροχού ακτίνας R Η κύλιση µπορεί να θεωρηθεί ως το αποτέλεσµα της επαλληλίας µιας µεταφορικής κίνησης και µιας στροφικής κίνησης γύρω από άξονα πο περνάει από κέντρο µάζας το τροχού και είναι κάθετος σ ατόν. Η ταχύτητα κάθε σηµείο το τροχού είναι η σνισταµένη της ταχύτητας cm λόγω µεταφορικής κίνησης και της ταχύτητας λόγω της στροφικής. Κέντρο µάζας (cm) ενός στερεού σώµατος ονοµάζεται το σηµείο εκείνο πο κινείται όπως ένα λικό σηµείο µε µάζα ίση µε τη µάζα το στερεού, αν σε ατό ασκούνταν όλες οι δνάµεις πο ασκούνται στο σώµα. Όταν το κέντρο µάζας µετατοπιστεί κατά ds, κάθε σηµείο της περιφέρειας κατά τόξο στο οποίο αντιστοιχεί επίκεντρη γωνία dθ Ταχύτητα το κέντρο µάζας Επιτάχνση το κέντρο µάζας ds = dθ R cm = ω R α cm = α γων R ΡΟΠΗ ΥΝΑΜΗΣ Ροπή δύναµης ως προς άξονα (N.m) Ροπή δύναµης ως προς σηµείο Ροπή ζεύγος δνάµεων τ = F l τ = F l τ = F d ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Σνθήκη ισορροπίας ΣF = 0 ή ΣF x ΣF y = 0 = 0

Στ = 0 ως προς οποιοδήποτε σηµείο ΡΟΠΗ Α ΡΑΝΕΙΑΣ Εκφράζει την αδράνεια στην στροφική κίνηση όπως η µάζα στη µεταφορική κίνηση. Ροπή αδράνειας ως προς κάποιο άξονα (Kg.m ) Ι = m r + m r + Θεώρηµα παραλλήλων αξόνων ή θεώρηµα Steiner I p = I cm + Md ΘΕΜΕΛΙΩ ΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης Στ = Ι α γων Ισχύει σε στροφικές κινήσεις γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής και σε περιπτώσεις πο ο άξονας περιστροφής µετατοπίζεται, αρκεί να διέρχεται από το κέντρο µάζας το σώµατος, να είναι άξονας σµµετρίας και να µην αλλάζει κατεύθνση κατά τη διάρκεια της κίνησης. Γενικότερη διατύπωση το θεµελιώδος νόµο της στροφικής κίνησης dl Στ = για ένα στερεό dl Στ εξ = για σύστηµα σωµάτων ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ Στροφορµή λικού σηµείο L (Kg m /s) Στροφορµή στερεού σώµατος Στροφορµή σστήµατος L = m r L = I ω L = L + L + ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ Σε ένα σώµα Αν Στ=0 τότε L=σταθ. Σε σύστηµα σωµάτων Αν Στ εξ = 0 τότε L ολ = σταθ. ή L ω = L ω ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Στροφική κίνηση Μεταφορική κίνηση Κύλιση ΕΡΓΟ ΚΑΤΑ ΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Έργο δύναµης µε σταθερή ροπή Ισχύς δύναµης (ρθµός παραγωγής έργο Θεώρηµα έργο - ενέργειας dw ) Αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας Κ = Ι ω Κ = Μ cm Κ = Μ cm + Ι ω W = τ θ Ρ = τ ω ΣW = Κ Κ + U = σταθ. ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗς Μεταφορική κίνηση Στροφική κίνηση Θέση x Γωνία θ

dx Ταχύτητα = d Επιτάχνση α= Μάζα m ύναµη F Θεµελιώδης νόµος της µηχανικής ΣF=mα Ορµή p=m dθ Γωνιακή ταχύτητα ω= dω Γωνιακή επιτάχνση α γων = Ροπή αδράνειας Ι Ροπή τα Θεµελιώδης νόµος της στροφικής Στ = Ι α γων Στροφορµή L=Iω dp εύτερος νόµος το Newton ΣF= (γενικότερη διατύπωση το θεµελιώδη νόµο της dl εύτερος νόµος το Newton Στ = (γενικότερη διατύπωση το θεµελιώδη νόµο της στροφικής) µηχανικής) ιατήρηση της ορµής Αν ΣF εξ =0 p=σταθερό ιατήρηση της στροφορµής Αν Στ εξ = 0 L= σταθερό Κινητική ενέργεια Κ = Μ cm Κινητική ενέργεια Κ = Ι ω dw Ισχύς P= =F dw Ισχύς P= =τω 4. ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ Αρχή διατήρησης της ορµής p πριν = p µετά Στην ελαστική κρούση διατηρείται η κινητική ενέργεια το σστήµατος. Στην ανελαστική κρούση ένα µέρος της αρχικής κινητικής ενέργειας το σστήµατος µετατρέπεται σε θερµότητα. Στην πλαστική κρούση (ειδική περίπτωση της ανελαστικής κρούσης) έχοµε τη δηµιοργία σσσωµατώµατος. Επειδή η κρούση είναι ένα φαινόµενο αµελητέας χρονικής διάρκειας, η δναµική ενέργεια των σωµάτων (πο εξαρτάται από τη θέση τος στο χώρο) δε µεταβάλλεται. ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΥΟ ΣΦΑΙΡΩΝ Ταχύτητες των σφαιρών µετά την κρούση Σχέση των ταχτήτων πριν και µετά την κρούση Αν m = m τότε οι σφαίρες ανταλλάσσον ταχύτητες Αν = 0 τότε: Αν = 0 και m >>m τότε: m = m m = m m + + m m + m m + m + = + = m m + m + m και m m = = m + m m = m + m = και 0 = 3

Αν = 0 και m >>m τότε: = = και ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ Μηχανική ενέργεια πο χάνεται κατά την κρούση Ποσοστό της µηχανικής ενέργειας πο χάθηκε Κ =Κ πριν -Κ µετά Κ 00% Κ πριν Θερµότητα πο παράγεται κατά την κρούση Q= K ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER Ακίνητη πηγή ακίνητος παρατηρητής Ακίνητη πηγή κινούµενος παρατηρητής Κινούµενη πηγή ακίνητος παρατηρητής Κινούµενη πηγή κινούµενος παρατηρητής f A = f S f A = f A = f A = ± Α m f S f S S m Α fs m S µε το «πάνω» πρόσηµο όταν πλησιάζει και το «κάτω» πρόσηµο όταν αποµακρύνεται. 4