ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών Θεματική Ενότητα Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος 2009-2010 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (16/06/2010, 18:00) Να απαντηθούν 4 από τα 5 θέματα. Όλα τα θέματα είναι ισότιμα και το κάθε θέμα αντιστοιχεί στο 25% του τελικού βαθμού. Η τελική βαθμολογία της εξέτασης δίδεται με άριστα το 10, με ένα δεκαδικό ψηφίο. Η σχετική βαρύτητα κάθε υπο-ερώτησης, δίνεται σε ποσοστό επί του συνολικού βαθμού. Η χρήση παραδειγμάτων και διαγραμμάτων συνιστάται ακόμη και όπου δεν απαιτείται ρητά. Η συνεργασία ή/και αντιγραφή επισύρουν μηδενισμό των γραπτών των εμπλεκομένων. ΑΠΑΓΟΡΕΥΟΝΤΑΙ ΤΑ ΚΙΝΗΤΑ ΤΗΛΕΦΩΝΑ
Θέμα 1 Τα ακόλουθα στοιχεία αφορούν τα κέρδη μιας φαρμακευτικής εταιρείας (Υ) και τη ερευνητική δαπάνη Χ (σε χιλιάδες ευρώ). Δαπάνες για έρευνα X Κέρδη εταιρίας Y 4 50 4 60 3 40 5 60 6 65 6,5 70 (i) Να κατασκευασθεί το Διάγραμμα Διασποράς των δεδομένων για τα κέρδη της εταιρίας από τις πωλήσεις της έναντι των δαπανών της εταιρείας για την έρευνα. Προκύπτει, κατά τη γνώμη σας, από το διάγραμμα αυτό ένδειξη ότι υπάρχει γραμμική σχέση μεταξύ των δαπανών για την έρευνα και των κερδών της εταιρίας από τις πωλήσεις; (3%) (ii) Να εκτιμήσετε τους συντελεστές a και β του γραμμικού υποδείγματος Y = a+ β X + u. (10%) (iii) Να ερμηνεύσετε τις εκτιμήσεις των συντελεστών. (5%) 2 (iv) Να υπολογισθεί ο συντελεστής συσχέτισης και ο συντελεστής προσδιορισμού R και να ερμηνευθούν. (5%) (v) Με δεδομένο ότι την ερχόμενη περίοδο η εταιρεία πρόκειται να δαπανήσει 5,5 χιλιάδες ευρώ σε έρευνα, να προβλέψετε το κέρδος της. (2%) Θέμα 2 (α) Σε ένα ταμείο αυτόματων συναλλαγών (ΑΤΜ) μιας τράπεζας, οι πελάτες που θέλουν να πραγματοποιήσουν συναλλαγή φθάνουν σύμφωνα με τη διαδικασία Poisson με μέσο ρυθμό 40 πελάτες ανά ώρα. Ο χρόνος εξυπηρέτησης των πελατών ακολουθεί την εκθετική κατανομή με μέση τιμή 1 λεπτό ανά πελάτη. Θεωρούμε ότι ο χώρος αναμονής είναι πρακτικά απεριόριστος και ότι η πηγή των πελατών είναι οι πελάτες της τράπεζας (μεγάλο πλήθος). Σημείωση: Να χρησιμοποιήσετε ως στοιχειώδη μονάδα μέτρησης του χρόνου την μία ώρα και να διατηρήσετε στις πράξεις τουλάχιστον τρία δεκαδικά ψηφία. Με βάση τα παραπάνω στοιχεία και υιοθετώντας το κατάλληλο μοντέλο ουράς αναμονής, να υπολογιστούν τα εξής: (i) Ο μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα. (1%) (ii) Ο μέσος αριθμός πελατών στην ουρά.. (1%) (iii) Ο μέσος χρόνος αναμονής ενός πελάτη στην ουρά.. (1%) (iv) Η πιθανότητα κάποιος πελάτης που φθάνει στο ΑΤΜ να εξυπηρετηθεί αμέσως. (1%) (v) Η πιθανότητα να υπάρχουν ακριβώς τρεις πελάτες στο σύστημα (μαζί με αυτόν που εξυπηρετείται). (2%)
(vi) Το προβλεπόμενο κόστος λειτουργίας ανά ώρα, όταν το κόστος αναμονής ενός πελάτη εκτιμάται σε 3 ανά ώρα, ενώ το κόστος εξυπηρέτησης υπολογίζεται σε 4 ανά ώρα. (3%) (vii) Ποιος θα πρέπει να είναι ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης των πελατών έτσι ώστε ο μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα να ελαττωθεί στο μισό; (3%) (viii) Η τράπεζα εκτιμά ότι για τον επόμενο μήνα, επειδή το ΑΤΜ της διπλανής τράπεζας θα είναι εκτός λειτουργίας, ο ρυθμός άφιξης των πελατών στο ταμείο αυτόματων συναλλαγών θα αυξηθεί κατά 60%. Να εξηγήσετε αν η τράπεζα, με το ισχύον σύστημα εξυπηρέτησης μπορεί να καλύψει τη ζήτηση αυτή. (3%) (β) 3 2 H συνάρτηση κόστους μιας επιχείρησης είναι: TC = Q 11Q + 50Q + 36 (i) Να βρεθούν οι συναρτήσεις του μέσου συνολικού κόστους AC και του μέσου μεταβλητού κόστους AVC. (2%) (ii) Να βρεθεί το σημείο στο οποίο ελαχιστοποιείται το μέσο μεταβλητό κόστος. (5%) (iii) Να επαληθεύσετε, χρησιμοποιώντας τα κριτήρια των παραγώγων, ότι η συνάρτηση μέσου κόστους έχει τοπικό ελάχιστο στο σημείο Q = 6. (3%) Θέμα 3 (α) Σε μια έρευνα για την απασχόληση, σε 500 εργαζόμενους που βρέθηκαν στην ανεργία προέκυψαν τα παρακάτω στοιχεία: Χρόνος ανεργίας (σε μήνες) Σχετική Συχνότητα (%) [0, 6) 19,0 [6, 12) 38,6 [12, 18) 24,4 [18, 24) 11,2 [24, 30) 4,4 [30, 36) 2,6 100 (i) Ποιος είναι ο αριθμός των εργαζομένων στους οποίους ο χρόνος ανεργίας είναι μικρότερος από 6 μήνες; Σε πόσους εργαζόμενους ο χρόνος ανεργίας είναι τουλάχιστον 18 αλλά και μικρότερος από 30 μήνες; (2%) (ii) Να υπολογισθούν ο αριθμητικός μέσος, και ο διάμεσος χρόνος ανεργίας στην εν λόγω έρευνα και να ερμηνευτούν τα αποτελέσματα.. Επίσης, να υπολογισθεί η επικρατούσα τιμή και να χαρακτηρίσετε την κατανομή των δεδομένων από την άποψη της ασυμμετρίας. (10%) (iii) Αν το επίδομα ανεργίας ανέρχεται σε 300 ευρώ ανά μήνα και δίνεται στους δικαιούχους σε όλη την διάρκεια του χρόνου που παραμένουν άνεργοι, πόσο επιβαρύνει κατά μέσο όρο ο κάθε άνεργος τον ΟΑΕΔ; (3%)
(β) Η βραχυχρόνια συνάρτηση παραγωγής μιας επιχείρησης είναι η εξής: Q L L 2 3 = 6 0,2, όπου L είναι ο αριθμός των εργαζομένων. (i) Να υπολογίστε τον αριθμό των εργαζομένων για τον οποίο μεγιστοποιείται η παραγωγή. (7 %) (ii) Να υπολογίστε τη μέγιστη παραγόμενη ποσότητα. (3%) Θέμα 4 (α) Μία νοσοκομειακή μονάδα με ειδικό τμήμα εντατικής παρακολούθησης καρδιακών επεισοδίων βρίσκεται στα βόρεια προάστια των Αθηνών (κόμβος Α). Οι κλήσεις που δέχεται προέρχονται από διαφορετικά σημεία με ιδιαίτερα προβλήματα στην αντιμετώπιση των κλήσεων στις νότιες περιοχές μέχρι και το νοτιότερο άκρο (κόμβος Ν) ιδιαίτερα σε ώρες κυκλοφοριακής αιχμής. Μετά από έρευνα των κυκλοφοριακών συνθηκών οι υπεύθυνοι του κέντρου άμεσης βοήθειας έχουν εντοπίσει εναλλακτικές οδικές αρτηρίες από το νοσοκομείο προς το νότιο άκρο της πόλης. Οι υπόλοιποι κόμβοι εκτός από τους Α και Ν, παριστάνουν συνοικίες τις οποίες επίσης εξυπηρετούν τα ασθενοφόρο. Το σχεδιάγραμμα του παρακάτω σχήματος δείχνει τις αποστάσεις σε χρόνο (λεπτά) των εναλλακτικών αρτηριών. Ο υπεύθυνος δρομολόγησης θέλει να προσδιορίσει (i) Tην συντομότερη απόσταση και την αντίστοιχη άριστη διαδρομή (κόμβους από τους οποίους αυτή θα περάσει) από το νοσοκομείο, κόμβος Α, προς το νότιο άκρο της πόλης, κόμβος Ν. (10 %) (ii) Επιπλέον για κάθε ένα από τους κόμβους 1,2,3, και 4, επιθυμεί να προσδιορίσει τη συντομότερη απόσταση σύνδεσής του με το νοσοκομείο και την αντίστοιχη διαδρομή ώστε να είναι έτοιμος να αντιμετωπίσει κάθε άλλο ενδεχόμενο κλήσης. (5%) Να εφαρμόσετε τον κατάλληλο αλγόριθμο της θεωρίας δικτύων, (τον οποίο και να ονομάσετε), για να λύσετε το πρόβλημα του υπεύθυνου δρομολόγησης. Η παρουσίαση της διαδικασίας επίλυσης του προβλήματος πρέπει να είναι αναλυτική ώστε να είναι διακριτά τα βήματα του αλγορίθμου που οδηγούν στη λύση
(β) Το κέρδος μιας επιχείρησης περιγράφεται ικανοποιητικά από τη συνάρτηση: 2 Π ( Q) = 100 ln( Q+ 5) + 15 Q Q όπου Q η ποσότητα παραγωγής της επιχείρησης. (i) Να υπολογίσετε το οριακό κέρδος της επιχείρησης για Q=25. (5%) (ii) Nα βρείτε τη βέλτιστη ποσότητα παραγωγής της επιχείρησης Q opt. (5%) Θέμα 5 (α) Έστω ότι μετά από x μήνες ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού μιας πόλης είναι 10 x άτομα τον μήνα. Ο πληθυσμός της πόλης είναι τώρα 1500 άτομα. Να βρεθεί ο πληθυσμός της πόλης μετά από 2 χρόνια. (10%) (β) Τα κρουασάν που παρασκευάζονται από την αρτοβιομηχανία FreshFood συσκευάζονται από έναν εκ των τριών εργατών που απασχολούνται αποκλειστικά με τη συγκεκριμένη διαδικασία στο τμήμα συσκευασίας. Τα κρουασάν φθάνουν στο τμήμα συσκευασίας σύμφωνα με τη διαδικασία Poisson με ρυθμό 500 κρουασάν την ώρα. Ο χώρος στο τμήμα συσκευασίας είναι πρακτικά απεριόριστος και τα παραγόμενα κρουασάν είναι μεγάλου πλήθους. Έκαστος των εργατών μπορεί να συσκευάζει κατά μέσο όρο 200 κρουασάν την ώρα και ο χρόνος συσκευασίας ακολουθεί την εκθετική κατανομή. (i) Εάν κάποιο από τα κρουασάν μείνει περισσότερο από 5 λεπτά χωρίς να συσκευαστεί, θεωρείται ότι δεν πληροί τις προδιαγραφές ποιότητας της FreshFood και πετιέται. Πιστεύετε ότι η αρτοβιομηχανία πρέπει να προσλάβει επιπλέον εργάτες προκειμένου να εξασφαλίσει ότι κανένα κρουασάν δεν θα πεταχτεί; (7%) (ii) Να υπολογιστεί το ωριαίο λειτουργικό κόστος όταν κάθε εργάτης αμείβεται προς 8 ευρώ την ώρα και κάθε κρουασάν που καταλαμβάνει χώρο στο τμήμα συσκευασίας κοστίζει 0,10 ευρώ την ώρα. (3%) Υπόδειξη: Ως στοιχειώδη μονάδα μέτρησης του χρόνου να χρησιμοποιήσετε την μία ώρα. Να διατηρήσετε στις πράξεις τουλάχιστον τέσσερα ψηφία. (γ) Δυο τύποι ηλεκτρικών συσκευών Α και Β πωλούνται κατά αποκλειστικότητα από τα καταστήματα I και ΙI. Η πιθανότητα κάποιος να αγοράσει από το κατάστημα I είναι ¾. Επίσης, η πιθανότητα κάποιος να αγοράσει την συσκευή Α είναι 1/3 όταν έχει επιλέξει το κατάστημα I, και ¼ όταν έχει επιλέξει το κατάστημα II. Κάποιος αγοράζει μια συσκευή. Δεδομένου ότι αγοράσθηκε η συσκευή Α, ποια η πιθανότητα να αγοράσθηκε από το κατάστημα I; (5%) Καλή Επιτυχία!