ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Transcript

1 e-mal: Τηλ: ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ () ΑΘΗΝΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 1

2 e-mal: Τηλ: ΕΠΕΞΗΓΗΣΗ ΤΥΠΩΝ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ x 1, x,,x κ είναι οι τιμές μίας μεταβλητής Χ, που αφορά τις παρατηρήσεις ενός δείγματος. Συχνότητα ν, είναι ο φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x στο σύνολο των παρατηρήσεων. Σχετική Συχνότητα f της τιμής x είναι το πηλίκο της συχνότητας ν προς το μέγεθος ν του δείγματος, δηλαδή f. Αθροιστική Συχνότητα Ν είναι Ν ν1 ν... ν συχνοτήτων μέχρι και την τιμή. ν, δηλαδή το άθροισμα των Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F είναι F f1 f... f, δηλαδή το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων f μέχρι και την τιμή f. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Για τα ακόλουθα δεδομένα να γίνει ο ΠΙΝΑΚΑΣ 1 κατανομής συχνοτήτων. 15,,11,8,10,11,11,11,9,1 11,,10,10,11,11,1,15,9,6,8,11,7,16,9,10,17,11 Πρώτα διατάσσουμε τις παρατηρήσεις από τη μεγαλύτερη στη μικρότερη. 6,7,8,8,9,9,9,10,10,10,10,11,11,11,11,11,11,11,11,11,1,1,1,15,15,16,17, Έχουμε τις εξής 1 τιμές: x 1 = 6, x = 7, x 3 = 8, x = 9, x 5 =10, x 6 = 11, x 7 =1, x 8 = 1, x 9 = 15, x 10 = 16, x 11 = 17, x 1 = Τιμή x Συχνότητα ν Σχετική Συχνότητα f Σχηματίζουμε τον ΠΙΝΑΚΑ 1 Σχετική Συχνότητα f % Αθροιστική Συχνότητα Ν Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F % ,6 1 0,036 3, ,036 3,6 0,07 7, ,1 0,13 1, , ,53 5,3 10 0, ,393 39, ,31 3,1 0 0,71 71, 1 0,071 7,1 0,785 78, ,036 3,6 3 0,81 8,1 15 0,071 7,1 5 0,89 89, ,036 3,6 6 0,98 9, ,036 3,6 7 0,96 96, 1 0,036 3, Σύνολο

3 e-mal: Τηλ: ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Το ύψος (σε cm) των μαθητών της Γ Λυκείου, έχει καταγραφεί στον παρακάτω πίνακα Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα του πίνακα και να κατασκευάσετε τον ΠΙΝΑΚΑ συχνοτήτων. Έχουμε ν=0 παρατηρήσεις, οπότε χρησιμοποιούμε κ = 1+ 3,3 log0 = 1+ 3,3 1,6 = 1+ 5,3 = 6,3 κλάσεις. Το εύρος του δείγματος είναι R= = 35. R 35 Άρα το πλάτος των κλάσεων είναι δ 5, κ 6 (Συνήθως στις ασκήσεις μας λένε πόσες κλάσεις και τι πλάτος πρέπει να έχει ο πίνακας συχνοτήτων) Η αρχή της πρώτης κλάσης είναι η μικρότερη παρατήρηση, το156. Έτσι κατασκευάζουμε τον ΠΙΝΑΚΑ : ΠΙΝΑΚΑΣ Κλάσεις [, ) Κεντρικός Όρος m Συχνότητα f Σχετική Συχνότητα Αθροιστική Συχνότητα [156 16) 159 0,05 0,05 [16 168) , 10 0,5 [168 17) ,3 0,55 [17 180) , ,85 [ ) ,5 38 0,95 [186 19) 189 0, Σύνολο 0 1 Ν Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F 3

4 e-mal: Τηλ: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Αριθμητικός Μέσος X X =1 x 1 + x x X= = όπου x 1, x,,x οι παρατηρήσεις ο πληθυσμός Aν έχουμε ομαδοποιημένα δεδομένα τότε όπου X= f η συχνότητα στην κλάση ( = 1,,k) m το κέντρο κάθε κλάσης K I=1 = f K fm I=1 Σταθμικός Αριθμητικός Μέσος X W X = W =1 =1 WX W όπου W συντελεστές στάθμισης (βάρη) Διάμεσος Μ Η διάμεσος είναι η τιμή με την ιδιότητα ότι το πολύ το 50% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες από την τιμή αυτή και το πολύ το 50% των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες από την τιμή αυτή. Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μικρό διατάσσουμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά. Αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττό, τότε η Διάμεσος Μ είναι η μεσαία 1 παρατήρηση, δηλαδή η τιμή της είναι η παρατήρηση που αντιστοιχεί στην θέση Αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιο, τότε η Διάμεσος Μ είναι το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων παρατηρήσεων, δηλαδή των παρατηρήσεων που βρίσκονται ανάμεσα της θέσης 1 x +x +1 x και x, δηλαδή M=. 1,

5 e-mal: Τηλ: Αν έχουμε ομαδοποιημένα δεδομένα τότε υπολογίζεται από τον τύπο : δ M=L M + -F f M M-1, όπου είναι : L M : το κατώτερο όριο της κλάσης της διαμέσου f M : η συχνότητα της κλάσης της διαμέσου δ : το πλάτος της κλάσης : το πλήθος FM1 : η δεξιόστροφη αθροιστική συχνότητα της κλάσης που είναι η Διάμεσος Επικρατούσα Τιμή T O Είναι η τιμή εκείνη των δεδομένων που έχει τη μεγαλύτερη συχνότητα εμφάνισης. Όταν δύο οι περισσότερες τιμές συμπίπτουν στη συχνότητα αυτή τότε ονομάζονται όλες επικρατούσες τιμές. Αν έχουμε ομαδοποιημένα δεδομένα τότε υπολογίζεται από τον τύπο : Δ1 TO L T +δ O Δ 1 + Δ, όπου είναι : L TO : το κατώτερο όριο της κλάσης με τη μεγαλύτερη συχνότητα Δ 1 : η διαφορά της μέγιστης συχνότητας και της συχνότητας της προηγούμενης κλάσης Δ : η διαφορά της μέγιστης συχνότητας και της συχνότητας της επόμενης κλάσης δ : το πλάτος της κλάσης 5

6 e-mal: Τηλ: ΜΕΤΡΑ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΘΕΣΗΣ Τεταρτημόρια Q Τεταρτημόρια είναι οι τιμές της μεταβλητής που χωρίζουν τις παρατηρήσεις σε ισοπληθείς ομάδες, όταν οι παρατηρήσεις τοποθετηθούν σε αύξουσα σειρά. Τα τεταρτημόρια σημεία βρίσκονται ως εξής: Βρίσκουμε τη θέση τους έχοντας διατάξει τα δεδομένα κατά αύξουσα σειρά. 1 Το τερτατημόριο Q βρίσκεται στη θέση όπου = 1,,3. Η τιμή του τεταρτημορίου υπολογίζεται από τον τύπο Q X Δ X X όπου: A ρ ρ Aρ1 Aρ A ρ Δ ρ Q 1 = το ακέραιο μέρος του πηλίκου 1 = το δεκαδικό μέρος του πηλίκου Εάν έχουμε ομαδοποιημένα δεδομένα, τότε εντοπίζουμε την κλάση που περιέχει κάθε τεταρτημόριο. Για το τεταρτημόριο είναι η κλάση που περιέχει το δεδομένο. Η τιμή δ του τεταρτημορίου δίνεται από τον τύπο Q L Q F Q1 f, Όπου: Το Το Q 1 Q 3 L Q : το κατώτερο όριο της κλάσης του τεταρτημορίου Q f Q : η συχνότητα της κλάσης του τεταρτημορίου δ : το πλάτος της κλάσης : το πλήθος FM1 : η δεξιόστροφη αθροιστική συχνότητα δηλαδή η αθροιστική συχνότητα της κλάσης που προηγείται εκείνης στην οποία εντοπίζεται το τεταρτημόριο είναι η τιμή που θα έχει κάτω από αυτή το 5% των παρατηρήσεων. είναι η τιμή που θα έχει κάτω από αυτή το 75% των παρατηρήσεων. 6

7 e-mal: Τηλ: Εύρος R R=X -X max m όπου X max X m ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ η μεγαλύτερη παρατήρηση η μικρότερη παρατήρηση Ενδοτεταρτημοριακό Εύρος IR IR = Q - Q. όπου και Q τεταρτημόρια 3 1 Q1 3 Τετατρημοριακή απόκλιση Q Q3 -Q1 Q= όπου Q1 και Q3 τεταρτημόρια Διακύμανση S x-x =1 σ =. όπου x x τιμές μεταβλητών 1,..., X : μέση τιμή και : πληθυσμός X -X =1 ορ Δειγματική Διακύμανση S =. Ακόμα καλύτερη εκτίμηση έχουμε αν στον παραπάνω τύπο χρησιμοποιήσουμε ως διαιρέτη το -1 αντί του. Έτσι η Δειγματική Διακύμανση υπολογίζεται από τον τύπο X -X X =1 1 `S = ή =1 S = -1 X - -1 =1 Όταν έχουμε ομαδοποιημένα δεδομένα ο τύπος της δειγματικής διακύμανσης είναι k fm k 1 k fm -X =1 =1 S = fm -. ή S = -1 =1-1 όπου η συχνότητα στην κλάση ( = 1,,k) f m το κέντρο κάθε κλάσης και K = f I=1 Τυπική Απόκλιση S Τυπική απόκλιση είναι θετική τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης. Δηλαδή S =+ S και ορ ορ S=+ S. σ =+ σ 7

8 e-mal: Τηλ: ΜΕΤΡΑ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ Συντελεστής Μεταβλητότητας CV S CV = όπου S : τυπική απόκλιση X X : αριθμητικός μέσος Υπολογίζεται και χρησιμοποιείται για δύο λόγους (α) για τη σύγκριση της ομοιογένειας δύο δειγμάτων. Το δείγμα που έχει το μικρότερο συντελεστή μεταβολής χαρακτηρίζεται περισσότερο ομοιογενές από το άλλο. (β) για το χαρακτηρισμό ενός δείγματος ως ομοιογενές ή μη ομοιογενές : Ένα δείγμα χαρακτηρίζεται ομοιογενές όταν ο συντελεστής μεταβολής είναι μικρότερος ή ίσος από 0,1 ή 10% ΜΕΤΡΑ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Συντελεστής Ασυμμετρίας SP X-T 0 S P = όπου X : αριθμητικός μέσος S Τ 0.: επικρατούσα τιμή Ισχύει ότι: Αν S P > 0 έχουμε θετική ασυμμετρία. Αν S P = 0 έχουμε ασυμμετρία Αν S P < 0 έχουμε αρνητική ασυμμετρία. Συντελεστής Ασυμμετρίας β 3 β = 3 X-X =1 S 3 3 Αν έχουμε ομαδοποιημένα δεδομένα, τότε β = Ισχύει ότι: Αν β 3 > 0 έχουμε θετική ασυμμετρία. Αν β 3 = 0 έχουμε ασυμμετρία Αν β 3 < 0 έχουμε αρνητική ασυμμετρία. 3 f m -X =1 S 3 3 8

9 e-mal: Τηλ: ΜΕΤΡΑ ΚΥΡΤΩΣΗΣ Συντελεστής Κύρτωσης β β = X -X =1 S Ισχύει ότι: Αν β > 3 έχουμε λεπτόκυρτη. Αν β = 3 έχουμε μεσόκυρτη Αν β < 3 έχουμε πλατόκυρτη Αν έχουμε ομαδοποιημένα δεδομένα, τότε: β = f m -X =1 S 9

10 e-mal: Τηλ: ΑΣΚΗΣΗ 1 Με βάση τα παρακάτω δεδομένα να υπολογιστούν ο αριθμητικός μέσος, η διάμεσος, το εύρος, το ενδοτεταρτημοριακό εύρος, η τυπική απόκλιση των δεδομένων καθώς και ο συντελεστής ασυμμετρίας. Επίσης να κατασκευαστεί το θηκόγραμμα και να σχολιαστεί με βάση αυτό η μορφή της κατανομής: Λύση Αρχικά διατάσσουμε τα δεδομένα : Αριθμητικός μέσος X = X= 85, Διάμεσος Αφού το πλήθος 10 είναι άρτιος και η Διάμεσος βρίσκεται μεταξύ της X5 X πέμπτης και έκτης παρατήρησης και είναι M 8,5 Εύρος R = Xmax Xm = = 5 Ενδοτεταρτημοριακό Εύρος IR Q3 Q1 Πρωτα πρέπει να υπολογίσουμε τα τεταρτημόρια Q 1 και Q 3. Η θέση του είναι Q 1 στο ,75 Η θέση του είναι Q 3 στο ,5 Η τιμή τους δίνεται από τον τύπο Q X X Δ X X 1 AQ Q AQ1 AQ ( 1) όπου Α Q : Το ακέραιο μέρος του πηλίκου ( 1) Δ Q : Το δεκαδικό μέρος του πηλίκου Άρα Q 1 = X + 0,75(X 3 X ) = ,75(8-78) = 81 Q 3 = X 8 + 0,5(X 9 X 8 ) = ,5(93-90) = 90,75 Οπότε IR =90,75 81 = 9,75 10

11 e-mal: Τηλ: Για τον υπολογισμό της διακύμανσης και του συντελεστή ασυμμετρίας κάνουμε τους εξής υπολογισμούς: X X 3 X X , , , , , , , , , ,808 Σύνολο , Διακύμανση S 1 X X 1 = , =53,733 Τυπική απόκλιση S S = 7,333 Συντελεστής ασυμμετρίας 3 (X - X) =1 60, β 3 = = 10 = 0,66 3 S 393,8816 Θηκόγραμμα Για την κατασκευή του θηκογράμματος χρειαζόμαστε τα εξής: X m, X max, M, Q 1, Q 3 Από τη διάταξη των δεδομένων βλέπουμε ότι X m = 76, X max = 101 X m = 76 Q 1 = 81 M = 8,5 Q 3 = 90,75 X max = Παρατηρώ ότι Q 3 - Μ > Μ Q 1 και X max - Q 3 > Q 1 X m, άρα η κατανομή εμφανίζει θετική ασυμμετρία 11

12 e-mal: Τηλ: ΑΣΚΗΣΗ Με βάση τα δεδομένα του παρακάτω πίνακα να υπολογιστούν ο αριθμητικός μέσος, η διάμεσος, η επικρατούσα τιμή, η τυπική απόκλιση, το ενδοτεταρτημοριακό εύρος και ο συντελεστής ασυμμετρίας Pearso Λύση Φτιάχνουμε έναν Πίνακα. Ορια τάξης (συχνότητα) f (αθροιστική συχνότητα) F (1) () Ορια τάξης (συχνότητα) f (κέντρο τάξης) m f m m f m Σύνολο Αριθμητικός. Μέσος 9 fm =1 X = όπου = Σf = X = =3,6 38 Διακύμανση S 9 =1 fm -X * 3,6 =131, Τυπική απόκλιση s=+ s =11,5 1

13 e-mal: Τηλ: Διάμεσος Η Διάμεσος βρίσκεται στην θέση = 38 =17 Από την αθροιστική συχνότητα παρατηρώ ότι η παρατήρηση με αριθμό 17 ανήκει στην τέταρτη τάξη. Υπολογισμός διαμέσου: δ M LM FΜ 1 f Μ όπου: L M = το κατώτερο όριο της τάξης στην οποία ανήκει η διάμεσος (εδώ είναι το 31) δ = το έυρος των τάξεων (εδώ είναι 5) f Μ = η συχνότητα της τάξης στην οποία ανήκει η διάμεσος (εδώ είναι ) F Μ-1 = η αθροιστική συχνότητα της προηγούμενης τάξης από αυτήν στην οποία ανήκει η διάμεσος (εδώ είναι 150). Άρα: 5 M = = 33,86 Τεταρτημόρια Η θέση του Q 1 είναι στο και του Q 3 στο , άρα στην έκτη κλάση. δ Από τον τύπο των τεταρτημορίων για ομαδοποιημένα δεδομένα Q=L Q + -FQ-1 fq έχουμε αντίστοιχα: 5 5 Q 1 = = 5,55 και Q 3 = =, Ενδοτεταρτημοριακό εύρος IR = Q - Q =,03 5,55 = 18,8 3 1 Επικρατούσα Τιμή Για ομαδοποιημένα δεδομένα η επικρατούσα τιμή υπολογίζεται από τον τύπο Δ1 T 0 =L T +δ 0 Δ 1 + Δ Η τάξη στην οποία βρίσκεται είναι αυτή με την μεγαλύτερη συχνότητα (εδώ είναι η τρίτη τάξη), Δ 1 = η διαφορά της συχνότητας της τάξης αυτής από την συχνότητα της προηγούμενης τάξης (εδώ είναι = ), Δ = η διαφορά της συχνότητας της τάξης αυτής από την συχνότητα της επόμενης τάξης (εδώ είναι 58- = 16). Άρα: T 0 =6+5 6,56 18 Συντελεστής Ασυμμετρίας Pearso X-T0 3,6-6,56 S p = = = 0,70 (ελαφρά θετική ασυμμετρία) s 11,5 13

14 e-mal: Τηλ: ΑΣΚΗΣΗ 3 Για τις ανάγκες της διερεύνησης της κατανομής εισοδημάτων κάποιας περιοχής, ο διευθυντής της ΔΟΥ της περιοχής αυτής αποφάσισε δειγματοληπτικά να μελετήσει το φορολογητέο εισόδημα των κατοίκων της περιοχής. Έτσι επέλεξε ένα δείγμα 100 δηλώσεων του τελευταίου έτους. Από το δείγμα αυτό προέκυψαν τα κάτωθι στοιχεία: Φορολογητέο εισόδημα (σε χιλιάδες ευρώ) Αριθμός δηλώσεων [10 0) 1 [0 30) [30 0) [0-50) 15 [50 60) 13 [60 70] 10 ΣΥΝΟΛΟ 100 (A) Να υπολογισθεί ο αριθμητικός μέσος, η διάμεσος και η διακύμανση των εισοδημάτων αυτών. Στη συνέχεια ο διευθυντής της ΔΟΥ θέλει να διερευνήσει το ύψος των εσόδων αν σε αυτούς τους φορολογούμενους, ανεξάρτητα από τον φόρο που πληρώνουν, έκανε και μία συμπληρωματική κράτηση ύψους % επί του φορολογητέου εισοδήματος της κάθε δήλωσης. (B) Πόσο θα ήταν το συνολικό ποσό που θα εισέπραττε η υπηρεσία από την συμπληρωματική κράτηση; Λύση Ύψος εισοδήματος (σε χιλιάδες ευρώ) Αριθμός δηλώσεων f m fm F ΣΥΝΟΛΟ (A) Αριθμητικός Μέσος 6 fm I= X= = =36,9 χιλιάδες Ευρώ f 1

15 e-mal: Τηλ: Διάμεσος Εντοπισμός της θέσης του Μ: 100/=50, Συνεπώς η διάμεσος βρίσκεται στην 3η τάξη (μεταξύ 30 και 0 χιλιάδες Ευρώ). δ δ δ MLM -FM-1 L3 -F3-1 L3 -F f M f 3 f 3 Άρα Μ=35 χιλιάδες Ευρώ. (B) Διακύμανση 6 6 f m -X f m -36, S 35, f-1 I1 Το συνολικό ποσό που θα εισέπραττε η ΔΟΥ από την συμπληρωματική κράτηση θα ήταν: 6 fm χιλιάδες Ευρώ I=1 0,0 0, ,8 ΑΣΚΗΣΗ Ο παρακάτω πίνακας δίνει την κατανομή συχνότητας των μισθών τριάντα υπαλλήλων μιας δημόσιας υπηρεσίας Μισθός ( ) Αριθμός Υπαλλήλων Δίνεται επίσης ότι η τυπική απόκλιση των μισθών τους είναι 10,5. Με βάση τα δεδομένα αυτά να υπολογιστούν: α. Ο αριθμητικός μέσος. β. Το ενδοτεταρτημοριακό εύρος των μισθών. γ. Ο συντελεστής ασυμμετρίας και να σχολιαστεί. Λύση Υπολογισμός βοηθητικών στοιχείων 15

16 e-mal: Τηλ: Μισθός ( ) Κεντρική Τιμή m Αριθμός Υπαλλήλων f Αθροιστική Συχνότητα F f m (α) ΣΥΝΟΛΑ Αριθμητικός Μέσος 5 fm I= X = = = 773, f (β) Ενδοτεταρτημοριακό Εύρος IR Q3 Q1 Πρωτα πρέπει να υπολογίσουμε τα τεταρτημόρια Q 1 και Q 3. Η θέση του είναι Q 1 στο ,5 Άρα το Q 1 ανήκει στην η τάξη (διάστημα < 800) Η θέση του είναι Q 3 στο 30 3,5, άρα στην τρίτη κλάση. δ Από τον τύπο των τεταρτημορίων για ομαδοποιημένα δεδομένα Q=L + -F Q Q-1 fq αντίστοιχα: Q = ,5-7 = Q 1= ,5 = , 6 703, Q 3 = 800+,5-1 = Οπότε IR = ,6 = 16, έχουμε (γ) Συντελεστής Ασυμμετρίας X-T0 SP S Το X έχει ήδη υπολογιστεί και είναι 773,333 Το S δίνεται και είναι S = 10,5 Άρα απομένει ο υπολογισμός του T 0. Για ομαδοποιημένα δεδομένα η επικρατούσα τιμή Δ1 υπολογίζεται από τον τύπο T 0 =L T +δ 0 Δ 1 + Δ Η τάξη στην οποία βρίσκεται είναι αυτή με την μεγαλύτερη συχνότητα (εδώ είναι η η τάξη) 16

17 e-mal: Τηλ: Δ 1 = η διαφορά της συχνότητας της τάξης αυτής από την συχνότητα της προηγούμενης τάξης (εδώ είναι 1-7=7) Δ = η διαφορά της συχνότητας της τάξης αυτής από την συχνότητα της επόμενης τάξης (εδώ είναι 1-5=9). Άρα: T 0 = = 700+ = ,75 = 73, X-T0 773,33-73,75 9,58 Άρα SP 0,9 S 10,5 10,5 Συνεπώς, η κατανομή παρουσιάζει θετική ασυμμετρία. ΑΣΚΗΣΗ 5 Οι αρχικές ετήσιες αποδοχές (σε χρηματικές μονάδες) των 1 πρώτων αποφοίτων του Τμήματος Διοίκησης Επιχειρήσεων ενός Πανεπιστημίου είναι οι ακόλουθες: Να κατασκευαστεί το Θηκόγραμμα των παραπάνω δεδομένων και με βάση αυτό να εξαχθούν συμπεράσματα για τη μορφή της κατανομής τους. Λύση Κατατάσσω τα δεδομένα σε αύξουσα τάξη: X 1 X X 3 X X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 11 X (α) Για να κατασκευαστεί το Θηκόγραμμα χρειάζεται να υπολογιστούν τα ακόλουθα στοιχεία: Xm, Xmax, M, Q1, Q3. Xm = 1910 Xmax = 55 Αφού το πλήθος 1 είναι άρτιος και η Διάμεσος βρίσκεται μεταξύ της 6 ης και 7 ης X6 X παρατήρησης και είναι M 105 Η θέση του είναι Q 1 στο , Η θέση του είναι Q 3 στο 9,75 Q X X Δ X X Η τιμή τους δίνεται από τον τύπο 1 A Q Q AQ1 A Q ( 1) όπου Α Q : Το ακέραιο μέρος του πηλίκου ( 1) Δ Q : Το δεκαδικό μέρος του πηλίκου Άρα Q 1 = X 3 + 0,5(X X 3 ) = ,5(10-090) = 057,5 17

18 e-mal: Τηλ: Q 3 = X 9 + 0,75(X 10 X 9 ) = ,75(50-150) = 5 Με βάση τα στοιχεία αυτά κατασκευάζουμε το Θηκόγραμμα των δεδομένων ΑΣΚΗΣΗ 6 Δίνεται η παρακάτω κατανομή των μηνιαίων εισοδημάτων, σε χιλιάδες νομισματικές μονάδες, 19 ανώτερων στελεχών επιχειρήσεων του ιδιωτικού τομέα. Μηνιαίο εισόδημα (σε χιλιάδες ν.μ.) Αριθμός στελεχών [0 10) 1 [10 0) [0 30) 5 [30-0) 11 [0 50) 16 [50 60) 7 [60 70) 1 [70 80) 6 (Α) Να υπολογισθεί ο αριθμητικός μέσος, η διακύμανση, η τυπική απόκλιση και η επικρατούσα τιμή των εισοδημάτων των στελεχών. (Β) Να υπολογισθεί ο συντελεστής ασυμμετρίας Pearso. Συμφωνείτε με την άποψη ενός ερευνητή ο οποίος υποστηρίζει ότι η κατανομή των μηνιαίων εισοδημάτων παρουσιάζει αρνητική ασυμμετρία; (Γ) Συμφωνείτε με την άποψη ενός αναλυτή ο οποίο σχολίασε ότι το 5% των συγκεκριμένων στελεχών λαμβάνει τουλάχιστον ν.μ. μηνιαίως; Λύση Μηνιαίο εισόδημα (σε χιλιάδες ευρώ) Αριθμός στελεχών (συχνότητα) f Κεντρική τιμή m f m m X fm X F [0 10) [10 0) [0 30) [30-0) [0 50) [50 60)

19 e-mal: Τηλ: [60 70) [70 80) (Α) Αριθμητικός Μέσος 5 fm I=1 505 X = = = 0,3 χιλιάδες νομισματικές μονάδες 5 19 f Διακύμανση k f m -X 1 S 8,885 f 1 Τυπική Απόκλιση 3609,0 18 S S 8,885 16,819 χιλιάδες νομισματικές μονάδες Επικρατούσα τιμή Το κατώτερο όριο της τάξης της επικρατούσας τιμής είναι = 0 αφού η μεγαλύτερη συχνότητα παρατηρείται στην τάξη [0,30) με.f 3 = 5. Η διαφορά μεταξύ της συχνότητας της τάξης της επικρατούσας τιμής και της συχνότητας της προηγούμενης τάξης είναι Δ 1= 5-=5, ενώ η διαφορά μεταξύ της συχνότητας της τάξης της επικρατούσας τιμής και της συχνότητας της επόμενης τάξης είναι Δ =5-11=3. Τέλος το εύρος της τάξης είναι δ=10 Συνεπώς η επικρατούσα τιμή είναι, Δ T =L +δ =0+10 =0+10 =5,7 χιλιάδες ν.μ. 0 T 0 Δ + Δ (Β) Ο συντελεστής ασυμμετρίας Pearso δίνεται από τη σχέση: X-T0 0,3-5,7 SP 0,88 S 16,81 Επειδή SP 0,88 0 η κατανομή του μηνιαίου εισοδήματος παρουσιάζει θετική ασυμμετρία άρα δεν συμφωνούμε με τον ερευνητή (Γ) Πρέπει να υπολογίσουμε το 3 ο τεταρτημόριο αφού αντιστοιχεί στην τιμή η οποία χωρίζει το σύνολο των παρατηρήσεων σε δύο μέρη έτσι ώστε το πολύ 75% να είναι μικρότερες και το πολύ 5% να είναι μεγαλύτερες από την τιμή αυτή Η θέση του είναι Q 3 στο 97,5 Άρα με βάση την αθροιστική συχνότητα, το Q 3 ανήκει στην 6 η τάξη, δηλαδή στο διάστημα [50 60). Το κατώτερο όριο της τάξης του 3 ου τεταρτημορίου είναι =50, η συχνότητα της τάξης του 3 ου τεταρτημορίου είναι f Q3 από αυτή του 3 ου τεταρτημορίου είναι =19. L Q3 =7, η αθροιστική συχνότητα της προηγούμενης τάξης L T0 FQ 3 1=8 και το πλήθος των παρατηρήσεων είναι 19

20 e-mal: Τηλ: δ Q L F ,7 f 7 χιλιάδες ν.μ. 3 Q3 Q31 Q3 Άρα το 75% των στελεχών έχει μηνιαίο εισόδημα το πολύ μέχρι 5,7 χιλιάδες ν.μ. ή το 5% των στελεχών λαμβάνουν τουλάχιστον 570 ν.μ., οπότε δεν συμφωνούμε με τον αναλυτή. ΑΣΚΗΣΗ 7 Δίνονται το μήκος (σε μικροχιλιοστά) και το βάρος (σε γραμμάρια) ενός τυχαίου δείγματος 1 μικροεπεξεργαστών από την ημερήσια παραγωγή ενός εργοστασίου. Μήκος (x) Βάρος (y) Με βάση τα στοιχεία αυτά: (α) Να υπολογισθούν η διάμεσος, το πρώτο και το τρίτο τεταρτημόριο του μήκους των μικροεπεξεργαστών (β) Να διερευνηθεί ποια από τις δύο μεταβλητές (μήκος ή βάρος) παρουσιάζει τη μεγαλύτερη μεταβλητότητα, δεδομένου ότι η μέση τιμή και η διακύμανση του βάρους είναι και 15,091, αντίστοιχα (γ) Εάν υποθέσουμε ότι οι δύο μεταβλητές συνδέονται με γραμμική σχέση, να υπολογισθεί ο συντελεστής συσχέτισης και να ερμηνευθεί. Λύση Διατάσσω τα δεδομένα σε αύξουσα τάξη : Μήκος (x) Αφού το πλήθος 1 είναι άρτιος και η Διάμεσος βρίσκεται μεταξύ της 6 ης και 7 ης X6 X παρατήρησης και είναι M 15 Η θέση του είναι Q 1 στο ,5 Η θέση του είναι Q 3 στο ,75 Q X X Δ X X Η τιμή τους δίνεται από τον τύπο 1 A Q Q AQ1 A Q ( 1) όπου Α Q : Το ακέραιο μέρος του πηλίκου ( 1) Δ Q : Το δεκαδικό μέρος του πηλίκου Άρα Q 1 = X 3 + 0,5(X X 3 ) = 1 + 0,5(16-1) = 1 Q 3 = X 9 + 0,75(X 10 X 9 ) = 0 + 0,75(1-0) = 0,75 Όλα τα βοηθητικά στοιχεία που απαιτούνται για την επίλυση των ερωτημάτων γ και δ συνοψίζονται στον παρακάτω Πίνακα. 0

21 e-mal: Τηλ: Χ Y X X X X Y Y Y Y X XY Y X X Y X Y Χ Y S (β) Ο Συντελεστής Μεταβλητότητας δίνεται από τον τύπο: CV X Επομένως πρέπει να υπολογισθεί πρώτα ο αριθμητικός μέσος και η τυπική απόκλιση των τυχαίων μεταβλητών μήκος και βάρος των μικροεπεξεργαστών. Μήκος των μικροεπεξεργαστών Αριθμητικός Μέσος Τυπική Απόκλιση 1 X X 16 Αρα S S 0,909,573 X-X 1 30 S 0, Οπότε S,573 CV 0,858 ή CV 8,58% X 16 Βάρος των μικροεπεξεργαστών S 3,885 CV 0,1619 X ή CV 8,58% Τελικά, η μεγαλύτερη μεταβλητότητα παρουσιάζεται στο μήκος των μικροεπεξεργαστών. SXY (γ) Ο συντελεστής συσχέτισης δίνεται από τον τύπο: r S S Από τον πίνακα προκύπτει ότι: SXX X X 30 Y 88 SYY Y XX YY 1

22 e-mal: Τηλ: X Y 5596 SXY SYX XY Άρα συμπεραίνουμε ότι υπάρχει ισχυρή θετική συσχέτιση μεταξύ του μήκους και του βάρους των μικροεπεξεργαστών. ΑΣΚΗΣΗ 8 Στο εργοστάσιο Ε 1 παραγωγής κονσερβών κρέατος μετρήθηκε (σε mg) η περιεκτικότητα ενός τυχαίου δείγματος 50 κονσερβών σε κάποια συντηρητική ουσία. Περιεκτικότητα a) Να ταξινομηθούν τα δεδομένα σε Πίνακα Κατανομής Συχνοτήτων. Η ταξινόμηση να γίνει σε τάξεις εύρους 5 mg με κεντρική τιμή της πρώτης τάξης τη μικρότερη παρατήρηση. b) Χρησιμοποιώντας τα ταξινομημένα δεδομένα να υπολογιστούν ο αριθμητικός μέσος, η επικρατούσα τιμή, το πρώτο τεταρτημόριο και η τυπική απόκλιση των περιεκτικοτήτων. c) Να κατασκευασθεί το Θηκόγραμμα των περιεκτικοτήτων και με βάση αυτό να εξαχθούν συμπεράσματα για τη μορφή της κατανομής τους. ΑΣΚΗΣΗ 9 Τα παρακάτω δεδομένα αναφέρονται στα βάρη, σε κιλά, 0 τυχαία επιλεγμένων γυναικών σε μία περιοχή με σκοπό την μελέτη της διατροφής που θα πρέπει να ακολουθηθεί στην συγκεκριμένη περιοχή Να υπολογιστούν η διάμεσος, η επικρατούσα τιμή, το εύρος, το ενδοτεταρτημοριακό εύρος, η τυπική απόκλιση των δεδομένων καθώς και ο συντελεστής ασυμμετρίας ο οποίος και να ερμηνευθεί.

23 e-mal: Τηλ: ΑΣΚΗΣΗ 10 Ο υπεύθυνος πωλήσεων μίας εταιρείας ηλεκτρονικών υπολογιστών ενδιαφέρεται να μελετήσει τις μηνιαίες πωλήσεις σε κάποιο από τα καταστήματα που διαθέτει η εταιρεία. Τα παρακάτω δεδομένα αναφέρονται στις μηνιαίες πωλήσεις, σε τεμάχια Η/Υ, τους τελευταίους 8 μήνες ενός καταστήματος της εταιρείας a) Να κατασκευασθεί Πίνακας Κατανομής Συχνοτήτων των μηνιαίων πωλήσεων χρησιμοποιώντας τάξεις εύρους 10, με κάτω όριο της πρώτης τάξης το 0 και άνω όριο της τελευταίας τάξης το 70. b) Χρησιμοποιώντας τα ταξινομημένα δεδομένα να υπολογιστούν ο αριθμητικός μέσος, η επικρατούσα τιμή, το πρώτο τεταρτημόριο και η διακύμανση των μηνιαίων πωλήσεων c) Από τα στοιχεία που διαθέτει ο υπεύθυνος πωλήσεων παρατηρεί ότι οι μηνιαίες πωλήσεις ενός άλλου κεντρικού καταστήματος είναι οι διπλάσιες από τις αντίστοιχες πωλήσεις στο συγκεκριμένο κατάστημα. Να υπολογιστούν ο αριθμητικός μέσος, η τυπική απόκλιση, το εύρος και η διακύμανση των πωλήσεων στο κεντρικό κατάστημα. d) Σε ποιο από τα δύο καταστήματα παρατηρείται μεγαλύτερη μεταβλητότητα στις μηνιαίες πωλήσεις; ΑΣΚΗΣΗ 11 Ο διευθυντής ενός υποκαταστήματος της τράπεζας συλλέγει ένα τυχαίο δείγμα από 60 πελάτες του υποκαταστήματος και καταγράφει το ποσό των καταθέσεών τους (σε ευρώ, στρογγυλοποιημένο στην πλησιέστερη δεκάδα). Ο παρακάτω πίνακας περιέχει τα δεδομένα αυτά a) Να κατασκευασθεί Πίνακας Κατανομής Συχνοτήτων για το ποσό των καταθέσεων του υποκαταστήματος της τράπεζας χρησιμοποιώντας τάξεις εύρους 500 ευρώ, με κεντρική τιμή της πρώτης τάξης τα 000 ευρώ. b) Χρησιμοποιώντας τα ταξινομημένα δεδομένα να υπολογιστούν ο αριθμητικός μέσος, η επικρατούσα τιμή, το πρώτο τεταρτημόριο και η διακύμανση του ποσού καταθέσεων. - 3

24 e-mal: Τηλ: ΑΣΚΗΣΗ 1 Ο Πίνακας 1 που ακολουθεί παρουσιάζει την κατανομή συχνότητας των υπερωριών (σε ώρες), ενός τυχαίου δείγματος 60 εργαζομένων ενός μεγάλου πολυκαταστήματος για το μήνα Μάρτιο. Πίνακας 1 Υπερωρίες (σε ώρες) Αριθμός Εργαζομένων [0-5) 1 [5-10) 15 [10-15) 1 [15-0) 10 [0-5) 7 [5-30) Σύνολο 60 ()...Ν α υπολογισθεί ο αριθμητικός μέσος, η διάμεσος, το τρίτο τεταρτημόριο και ο συντελεστής ασυμμετρίας S P. Δίνεται ότι η τυπική απόκλιση του δείγματος είναι 7.6 ώρες () Σε ένα άλλο πολυκατάστημα της ίδιας αλυσίδας, από ένα αντίστοιχο τυχαίο δείγμα 60 εργαζομένων υπολογίζεται ότι η μέση τιμή υπερωριών, για το μήνα Μάρτιο, είναι 10.5 και η τυπική απόκλιση είναι 7. ώρες. Με βάση τα στοιχεία αυτά να διερευνηθεί σε ποιο από τα δύο πολυκαταστήματα παρουσιάζεται μεγαλύτερη μεταβλητότητα όσον αφορά τις υπερωρίες των εργαζομένων τους. ΑΣΚΗΣΗ 13 Δίνονται τα παρακάτω ταξινομημένα δεδομένα που αναφέρονται στη βαθμολογία ενός τυχαίου δείγματος 00 σπουδαστών που έλαβαν μέρος σε μια γραπτή εξέταση. Βαθμοί Σπουδαστών Σχετική Συχνότητα [30 0) 0,0 [0 50) 0,3 [50 60) 0,0 [60-70) 0,18 [70-80) 0,1 [80-90) 0,05 ΣΥΝΟΛΟ 1,00 1. Ποια είναι η μέση βαθμολογία των σπουδαστών του δείγματος;. Να υπολογίσετε το ενδοτεταρτημοριακό εύρος των βαθμολογιών. 3. Να χαρακτηρίσετε την κατανομή των δεδομένων από πλευράς ασυμμετρίας.. Πόσοι σπουδαστές έχουν βαθμολογία τουλάχιστον ίση με τη βάση (δηλαδή το 50); ΑΣΚΗΣΗ 1 Σε μια έρευνα για την απασχόληση, σε 500 εργαζόμενους που βρέθηκαν στην ανεργία προέκυψαν τα παρακάτω στοιχεία:

25 e-mal: Τηλ: Χρόνος ανεργίας (σε μήνες) [0, 6) 19,0 [6, 1) 38,6 [1, 18), [18, ) 11, [, 30), [30, 36),6 100 Σχετική Συχνότητα (%) () Ποιος είναι ο αριθμός των εργαζομένων στους οποίους ο χρόνος ανεργίας είναι μικρότερος από 6 μήνες; Σε πόσους εργαζόμενους ο χρόνος ανεργίας είναι τουλάχιστον 18 αλλά και μικρότερος από 30 μήνες; () Να υπολογισθούν ο αριθμητικός μέσος, και ο διάμεσος χρόνος ανεργίας στην εν λόγω έρευνα και να ερμηνευτούν τα αποτελέσματα. Επίσης, να υπολογισθεί η επικρατούσα τιμή και να χαρακτηρίσετε την κατανομή των δεδομένων από την άποψη της ασυμμετρίας. ()Αν το επίδομα ανεργίας ανέρχεται σε 300 ευρώ ανά μήνα και δίνεται στους δικαιούχους σε όλη την διάρκεια του χρόνου που παραμένουν άνεργοι, πόσο επιβαρύνει κατά μέσο όρο ο κάθε άνεργος τον ΟΑΕΔ; ΑΣΚΗΣΗ 15 Ο Πίνακας δίνει την κατανομή συχνότητας των ηλικιών για ένα τυχαίο δείγμα 50 εργαζομένων σε μια μεγάλη εταιρεία. Πίνακας Ηλικία Αριθμός Εργαζομένων 0-<8 8-< < 8 -<5 1 5-< <68 Επιπλέον δίνεται ότι η τυπική απόκλιση των ηλικιών των εργαζομένων είναι 10,5. Με βάση τα στοιχεία αυτά: (α) Να υπολογισθούν ο αριθμητικός μέσος και η τεταρτημοριακή απόκλιση των ηλικιών. (β) Να υπολογισθεί ο συντελεστής ασυμμετρίας S P των ηλικιών και να σχολιασθεί. 5

26 e-mal: Τηλ: ΑΣΚΗΣΗ 16 Ο Πίνακας 5 δίνει την κατανομή συχνότητας της διάρκειας ζωής, σε ώρες, για ένα τυχαία επιλεγμένο δείγμα 85 μπαταριών τύπου Α που παράγει το εργοστάσιο Ε. Πίνακας 5 Διάρκεια ζωής Αριθμός μπαταριών (ώρες) 0 - < < < < < <50 6 Σύνολο 85 Δίνεται επίσης ότι η διακύμανση της διάρκειας ζωής των μπαταριών είναι 50,77 (ώρες). (α) Να υπολογισθούν η διάμεσος, η τεταρτημοριακή απόκλιση της διάρκειας ζωής των μπαταριών καθώς και ο συντελεστής ασυμμετρίας S P ο οποίος και να σχολιασθεί. (β) Από ένα αντίστοιχο τυχαίο δείγμα 60 μπαταριών τύπου Β που παράγει το ίδιο εργοστάσιο υπολογίζεται ότι η μέση διάρκεια ζωής τους και η τυπική απόκλισή της είναι 1 ώρες και 8 ώρες αντίστοιχα. Με βάση τα στοιχεία αυτά να διερευνηθεί ποιού από τους δύο τύπους μπαταριών η διάρκεια ζωής παρουσιάζει μεγαλύτερη μεταβλητότητα. ΑΣΚΗΣΗ 17 Ο παρακάτω Πίνακας 6 συνοψίζει τον αριθμό των μελών (X ) και τον αριθμό των δωματίων της κατοικίας (Y) ενός τυχαίου δείγματος 1 οικογενειών. Πίνακας 6 Αριθμός Μελών (Χ) Αριθμός Δωματίων (Y) Με βάση τα στοιχεία αυτά:. Να υπολογισθούν η διάμεσος, το πρώτο τεταρτημόριο και το τρίτο τεταρτημόριο του αριθμού μελών των 1 αυτών οικογενειών.. Να διερευνηθεί ποια από τις δύο μεταβλητές (αριθμός μελών ή αριθμός δωματίων) παρουσιάζει τη μεγαλύτερη μεταβλητότητα, αν γνωρίζουμε ότι η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση του αριθμού των δωματίων είναι 3,333 και 1,371 αντίστοιχα.. Υποθέτουμε ότι οι δύο μεταβλητές (αριθμός μελών και αριθμός δωματίων) συνδέονται με γραμμική σχέση. Να υπολογισθεί ο συντελεστής συσχέτισης αυτών και να ερμηνευθεί 6

27 ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ e-mal: ΔΕΟ 13 Ν. ΠΑΝΤΕΛΗ Τηλ: ΑΣΚΗΣΗ 18 Μία εταιρεία εισαγωγής τροφίμων προμηθεύει μεγάλο αριθμό καταστημάτων λιανικής πώλησης και οι ετήσιες αξίες των παραγγελιών των πελατών της κατά τη διάρκεια του προηγουμένου έτους κατανέμονται ως εξής (Πίνακας 7): Πίνακας 7 Ετήσιες αξίες παραγγελιών (σε εκατοντάδες Ευρώ) Αριθμός πελατών ΣΥΝΟΛΟ 100. Να υπολογισθεί ο αριθμητικός μέσος, η διάμεσος και το ενδοτεταρτημοριακό εύρος της αξίας των παραγγελιών κατά το προηγούμενο έτος. Να υπολογισθεί η συνολική αξία των παραγγελιών της εταιρείας κατά το προηγούμενο έτος.. Για το τρέχον έτος αναμένεται αύξηση των τιμών της εταιρείας κατά %. Υποθέτοντας ότι η εταιρεία θα έχει τους ίδιους πελάτες, οι οποίοι θα παραγγείλουν ακριβώς τις ίδιες ποσότητες με αυτές του προηγούμενου έτους, να υπολογισθεί ο αριθμητικός μέσος και η διάμεσος της αξίας των παραγγελιών για το τρέχον έτος; ΑΣΚΗΣΗ 19 Ο Πίνακας 8 που ακολουθεί παρουσιάζει την κατανομή συχνοτήτων των ημερομισθίων (σε δεκάδες ευρώ), ενός τυχαίου δείγματος 80 εργαζομένων μιας μεγάλης επιχείρησης. Πίνακας 8 Ημερομίσθια (σε δεκάδες ευρώ) Αριθμός Εργαζομένων [5-10) 0 [10-15) 30 [15-0) 17 [0-5) 13 Σύνολο 80 Δίνεται ότι η τυπική απόκλιση των ημερομισθίων είναι 51,1 ευρώ. () Να υπολογισθεί ο μέσος και η διάμεσος των ημερομισθίων () Να προσδιορισθεί το ποσό πάνω από το οποίο βρίσκονται τα ημερομίσθια του 5% των εργαζομένων. () H διοίκηση της επιχείρησης αποφάσισε να αυξήσει το ημερομίσθιο του κάθε εργαζομένου κατά ευρώ. Να επαναπροσδιορισθεί ο μέσος και η διάμεσος των νέων ημερομισθίων και να υπολογισθεί ο συντελεστής μεταβλητότητάς τους. 7