"ΕΙΣΑΓΩΓΗ στις ΒΑΣΕΙΣ και στις ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ των ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι"

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 Εαρινό Εξάµηνο Ρόδος, Μάιος 2014 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Ι ΑΚΤΙΚΗΣ και ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ Μάθηµα: ΥΓ00003 "ΕΙΣΑΓΩΓΗ στις ΒΑΣΕΙΣ και στις ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ των ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι" ιδάσκων: Ευγένιος Αυγερινός Εργασία Προόδου #2 φυλλάδιο 1 αϖό 1 ίνονται Οµάδες Ερωτήσεων, Προβληµάτων και Ασκήσεων, Παρακαλούµε να απαντήσετε µε προσοχή δίνοντας έµφαση σε όσα ακούσατε στις διαλέξεις του µαθήµατος, αλλά και σε όσα µπορείτε να βρείτε στα αντίστοιχα κεφάλαια των συγγραµµάτων της προτεινόµενης βιβλιογραφίας. Θα πρέπει να απαντήσετε: ΟΛΟΙ οι φοιτητές στις Ερωτήσεις Α, και Ε. οι φοιτητές µε άρτιο αριθµό µητρώου σε (4) (της αρεσκείας σας) για κάθε µια από τις άρτια αριθµηµένες Ασκήσεις ΟΛΩΝ των Οµάδων και οι φοιτητές µε περιττό αριθµό µητρώου σε (4 6) (της αρεσκείας σας) για κάθε µια από τις περιττά αριθµηµένες Ασκήσεις των Ασκήσεις ΟΛΩΝ των Οµάδων Παράδοση Εργασίας Η Εργασία Προόδου #2 θα πρέπει να παραδοθεί την ευτέρα 16 Ιουνιου 2014 και ώρες 12.00-14.00 στο Εργαστήριο Μαθηµατικών στο 1 ο όροφο του κτηρίου της 7 η Μαρτίου. Ρόδος, Τετάρτη 14 Μαΐου 2014 Για το Εργαστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ και της Ι ΑΚΤΙΚΗΣ τους Eυγένιος Αυγερινός ηµητρα Ρεµούνδου Ελενη Χρυσαφινα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ A 1. Τι ονοµάζουµε ζεύγος; Τι διατεταγµένη τριάδα. Τι διατεταγµένη ν-αδα; Ποιο είναι το αντίστροφο του ζεύγους (α, β) ταυτοτικού ή όχι; 2. Υπάρχει µαθηµατική έκφραση για τον ορισµό του ζεύγους; Αντίστοιχα της τριάδας; 3. Πότε δύο ζεύγη (α, β) και (γ, δ) λέγονται ίσα; Πότε δυο τριάδες λέγονται ίσες; 4. Τι ονοµάζουµε καρτεσιανό γινόµενο ενός συνόλου Β επί ενός συνόλου Γ; 5. Τι ονοµάζουµε διαγώνιο ενός καρτεσιανού γινοµένου Α Β ; 6. Πως ορίζεται το καρτεσιανό γινόµενο: Α Β Γ; Αναφέρατε σχετικό παράδειγµα; 7. Πόσους τρόπους αναπαράστασης ενός καρτεσιανού γινοµένου Α Β γνωρίζετε; Μπορείτε να σκεφτείτε και να προτείνετε και άλλο τρόπο αναπαράστασης ισοδύναµο µε αυτούς που αναφέρατε; ΑΣΚΗΣΕΙΣ B 1. Από τα στοιχεία του συνόλου {8, 7, 4} να σχηµατισθούν όλα τα δυνατά ζεύγη. Το ίδιο από τα στοιχεία του συνόλου: {α, {β,α}, *, 0}. 2. Να συµπληρωθούν τα δεύτερα µέλη των παρακάτω τεσσάρων ισοδυναµιών : (α, β) = (1, 4) (;) (12, β) = (α, 7) (;) (α, 1) = (β+3α, β) (;) (γ, δ) = (2γ, 2) (;) 3. Να αποδείξετε ότι: (x, y) A A (y, x) A A. Πως ερµηνεύεται γραφικά η παραπάνω ισοδυναµία; 4. ωστε τροπους αναπαραστασης του καρτεσιανου γινοµενου τριων συνολων Α Β Γ. 5. Ένα σύνολο Α έχει ν στοιχεία. Πόσα στοιχεία έχει το καρτεσιανό γινόµενο A A και πόσα η διαγώνιος του; Πόσα διµελή σύνολα µπορούµε να σχηµατίσουµε από τα ν στοιχεία του Α; 6. Να αποδείξετε ότι : A Β = A Β (Α = Α και Β = Β ). 7. Να αποδείξετε ότι : A Β = A Β = Α = 8. Από τα σύνολα: Α = {4, 2, 3} και Β = {3, 1} να σχηµατισθούν µε αναγραφή των στοιχείων τους τα σύνολα: A Β, Β Α, Α 2 = A Α, Β 2 = Β Β καθώς και τα σύνολα: (A Β) (Β Α) και Α 2 Β 2 Επί πλέον να κατασκευασθούν τα γραφήµατα Venn και τα καρτεσιανά διαγράµµατα των τεσσάρων πρώτων συνόλων. 9. Από τα σύνολα Α = {α, β, γ}, Β = {γ, δ}, Γ = {δ, ε, ζ} να σχηµατισθούν µε αναγραφή των στοιχείων τους τα γινόµενα: A (Β Γ), (Α Β) Γ, A (Β Γ), (Α Β) Γ καθώς και τα σύνολα: (A Β) (A Γ), (A Γ) (Β Γ), (Α Β) (A Γ), (A Γ) (Β Γ) Έπειτα µε την βοήθεια των εξαγοµένων να επαληθευθεί η επιµεριστική ιδιότητα του καρτεσιανού γινοµένου ως προς την ένωση και την τοµή δύο συνόλων. 10. Να αποδείξετε ότι ισχύουν οι συνεπαγωγές: (1) Α Γ και Β Γ Α Β Γ Γ (2) Α Γ και Β Α Β Γ (3) Α Β Α Β Β Β και Α Α Α Β

(4) Α Β Α Α Β Β και Α Γ Β Γ. 11. ίνονται τα σύνολα: Α = {1, 2, 3}, Β = {1, 2}, Γ = {1, 2, 3, 4}. Να σχηµατισθούν τα καρτεσιανά γινόµενα: Α Α Α και Α Β Γ. 11. Έστω U ένα σύνολο και Α1, Α2 U και Β1, Β2 U, Χρησιµοποιείστε τα διαγράµµατα Venn για να διαπιστώσετε ότι (Α1 Α2) (Β1 Β2) = (Α1 Β1) (Α2 Β2). Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι την παραπάνω σχέση γενικά. 12. Αν Α1 U1 και Α2 U2, τότε να εξετάσετε κατά πόσο ισχύει : (U1 U2) (Α1 Α2) = [(U1 - Α1) U2] [U1 (U2 A2)] (*) Στην περίπτωση που δεν ισχύει ποιες είναι οι ελάχιστες παρεµβάσεις που µπορούµε να κάνουµε στην (*) ώστε αυτή να ισχύει. Οµάδα Γ 1. Να γίνει η γραφική παράσταση των εξής σχέσεων: R 1 = {(x, y) R 2 : -1 x 1, -3 y 2} R 2 = {(x, y) N 2 : 1 x 2, 2 y 3} R 3 = {(x, y) Z 2 : x 2, y 3} R 4 = {(x, y) R 2 : -1 < x < 4, -3 < y 2} R 5 = {(x, y) R 2 : y < x 2, -1 x 1} 2. Να γίνει η γραφική παράσταση των εξής σχέσεων: 3 0, x 0 x, x 0 y = f(x) = { y = f(x) = { 2 2 x, x> 0 x, x< 0 R 1 = {(x, y) R 2 : y 2 y y 1, y 1 = x 2, y 2 = -x 3 } R 2 = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 4} R 3 = {(x, y) R 2 : 1 x 2 + y 2 4} R 4 = {(x, y) R 2 : xy 1} 3. Όµοιως: S 1 = {(x, y) R 2 : (x 1) 2 + (y + 3) 2 9} S 2 = {(x, y) Ζ 2 : x + y > 1 x > 0} S 3 = {(x, y) Ρ 2 : x + y > 1 x > 0} 4. Όµοιως: S 1 = {(x, y) R 2 : (x + 1) 2 + (y -5) 2 9} S 2 = {(x, y) R 2 : 2x + y > 1 y > 0} ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1) Τι ονοµάζοµε διµελή σχέση από ένα σύνολο Α προς ένα σύνολο Β ; Τι ονοµάζοµε σχέση µέσα σ ένα σύνολο Α ; 2) R είναι µια σχέση από το Α προς το Β. Τι ονοµάζοµε αντίστροφο αυτής της σχέσεως και πως την παριστάνοµε; 3) Πότε µια σχέση R µέσα σ ένα σύνολο Α λέγεται ανακλαστική; Τι συµβαίνει στο αντίστοιχο γράφηµα µια τέτοιας σχέσεως; 4) Πότε µια σχέση R µέσα σ ένα σύνολο Α λέγεται ταυτοτική; Τι συµβαίνει στο αντίστοιχο γράφηµα µιας τέτοιας σχέσεως;

5) Πότε µια σχέση R µέσα σ ένα σύνολο Α λέγεται συµµετρική; Τι συµβαίνει στο αντίστοιχο γράφηµα µιας τέτοιας σχέσεως; 6) Πότε µια σχέση R µέσα σ ένα σύνολο Α λέγεται αντισυµµετρική; Τι συµβαίνει στο αντίστοιχο γράφηµα µιας τέτοιας σχέσεως; Πότε µια σχέση R µέσα σ ένα σύνολο Α λέγεται µεταβατική; Τι συµβαίνει στο αντίστοιχο γράφηµα µια τέτοιας σχέσεως; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Ε 1) Πότε µια σχέση R µέσα σ ένα µη κενό σύνολο Α λέγεται σχέση ισοδυναµίας; 2) R είναι µια σχέση ισοδυναµίας µέσα σ ένα µη κενό σύνολο Α. Πότε δύο στοιχεία x και y του Α λέµε ότι είναι ισοδύναµα ως προς την σχέση R; 3) R είναι µια σχέση ισοδυναµίας µέσα σ ένα µη κενό σύνολο Α. Τι ονοµάζοµε κλάση ισοδυναµίας ενός στοιχείου x του Α ως προς την σχέση R ; 4) Πότε µια σχέση R µέσα σ ένα µη κενό σύνολο Α είναι διάταξη (σχέση διατάξεως) µε στενή σηµασία; Πότε είναι ολική και πότε µερική; 5) Πότε µια σχέση R µέσα σ ένα σύνολο Α είναι διάταξη (σχέση διατάξεως) µε ευρεία σηµασία; Πότε είναι ολική και πότε µερική; 6) Πότε ένα σύνολο Α λέµε ότι είναι ολικα διατεταγµένο ως προς την σχέση R; Τι λέµε τότε για τα στοιχεία του Α; 7) Πότε ένα σύνολο Α λέµε ότι είναι µερικα διατεταγµένο ως προς την σχέση R; Τι λέµε τότε για τα στοιχεία του Α; ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ζ 1. (α) Πότε µια σχέση R µέσα σ ένα σύνολο Α δεν είναι ανακλαστική; (γ) Πότε µια σχέση R µέσα σ ένα σύνολο Α δεν είναι συµµετρική; (δ) Πότε µια σχέση R µέσα σ ένα σύνολο Α δεν είναι αντισυµµετρική; (ε) Πότε µια σχέση R µέσα σ ένα σύνολο Α δεν είναι µεταβατική; Υποτίθεται Α. 2. Να σχεδιασθούν και να συγκριθούν τα γραφήµατα των δύο σχέσεων που ορίζονται µέσα στο σύνολο: Α = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12} από τις συνθήκες: p 1 (x, y) = x είναι το τρίτο του y και p 2 (x, y) = x είναι το τριπλάσιο του y αντιστοίχως. Κατά τι διαφέρουν τα γραφήµατα των δύο σχέσεων; 3. Στην παρακάτω εικόνα δίνεται ένα σύνολο : Α = {α, β, γ} α β γ β α γ τριών ευθειών του επιπέδου. Να σχηµατισθούν τα γραφήµατα των σχέσεων, που ορίζονται µέσα στο σύνολο Α από τις συνθήκες: p 1 (x, y) = x είναι παράλληλος µε ευρεία σηµασία προς την y και p 2 (x, y) = x δεν είναι παράλληλος µε ευρεία προς την y αντιστοίχως. 4. Ένας µαθητής άφησε µισοτελειωµένο το παρακάτω γράφηµα: Ε µιας σχέσεως R ορισµένης µέσα σ ένα σύνολο Ε ευθειών του επιπέδου από την συνθήκη:

p(x, y) = x είναι παράλληλος µε ευρεία σηµασία προς την y Να συµπληρωθεί το γράφηµα. 5. Ένας µαθητής σχεδίασε το παρακάτω γράφηµα: E µιας σχέσεως R ορισµένης µέσα σ ένα σύνολο Ε ευθειών του επιπέδου από την συνθήκη: p (x, y) = x E είναι κάθετος προς την y E Να αναζητηθούν τα σφάλµατα και οι παραλείψεις του γραφήµατος. 6. Να σχηµατίσετε µε αναγραφή των στοιχείων της την σχέση R, που ορίζεται µέσα στο σύνολο: Α = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} Ως εξής: ( x, y) A A : (x, y) R x y = 2 Να σχεδιάσετε το γράφηµα και το καρτεσιανό διάγραµµα αυτής της σχέσεως και να εξετάσετε, αν είναι ανακλαστική και συµµετρική. 7. Θεωρούµε τα σύνολα : Α = {2, 6, 8, 10, 12} και Β = {5, 9, 10, 11, 15} Η συνθήκη : p (x, y) = (x, y) A B και y = x + 3 ορίζει µια σχέση R από το Α προς το Β. Να αναγραφούν τα ζεύγη που αποτελούν την R. Ποια είναι η αντίστροφος σχέση R -1 της R και πως µπορεί να διατυπωθεί µια συνθήκη, που να ορίζει την R -1 ; Να καταρτισθούν δύο πίνακες µε διπλή είσοδο, ένας για την R και ένας για την R -1 8. Αν R είναι µια οποιαδήποτε σχέση µέσα σ ένα σύνολο Α και Ι Α είναι η ταυτοτική σχέση µέσα στο ίδιο σύνολο, τότε είναι η σχέση R I A ανακλαστική ; 9. Να καθορίσετε µε αναγραφή των στοιχείων της και να σχεδιάσετε το γράφηµα της σχέσεως R, που ορίζεται µέσα στο σύνολο: Ε = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Από την ισοδυναµία: (x, y) E E : (x, y) R x + y x y = 1 Είναι η σχέση αυτή συµµετρική ; 10. Q είναι το σύνολο των ρητών αριθµών, δηλ. των αριθµών της µορφής a, όπου β α Z και β Ζ* = Ζ {0}. Μέσα στο σύνολο Q θεωρούµε την σχέση R, που ορίζεται ως εξής: (x, y) Q Q : (x, y) R x y = 1 Να εξετάσετε, αν η σχέση αυτή είναι ανακλαστική, αντιανακλαστική, συµµετρική, αντισυµµετρική, µεταβατική. 11. Να σχηµατίσετε µε αναγραφή των στοιχείων της την σχέση R που ορίζεται µέσα στο σύνολο: Α = {0, 1, 2, 3, 4} ως εξής : (x, y) Α 2 : (x, y) R [(y = x + 2) v (y = x 2)] Να σχεδιάσετε το γράφηµα και το καρτεσιανό διάγραµµα αυτής της σχέσεως και να εξετάσετε, αν είναι αντιανακλαστική και συµµετρική. 12. Να σχηµατίσετε µε αναγραφή των στοιχείων της την σχέση R, που ορίζεται µέσα στο σύνολο. Α = {1, 6, 12, 18, 24, 36} ως εξής : (x, y) Α Α : x R x και y έχουν Μ.Κ.. το 6.

Να σχεδιάσετε το γράφηµα αυτής της σχέσεως και να εξετάσετε, αν είναι ανακλαστική και συµµετρική. 13. Ένας µαθητής έκανε τον εξής συλλογισµό: Αν θεωρήσουµε µια σχέση R µέσα σ ένα σύνολο Α, που είναι συµµετρική και µεταβατική, δηλ. ισχύουν οι προτάσεις : (x, y) Α Α : (x, y) R ( y, x) R και (x, y, z) Α Α Α : (x, y) R Λ (y, z) R (x, z) R, τότε θα είναι και ανακλαστική, διότι : (x, y) Α Α : (x, y) R Λ ( y, x) R (x, x) R. Είναι ο συλλογισµός του ορθός ; 14. R είναι µια σχέση µέσα σ ένα µη κενό σύνολο Α. Να εξετάσετε ποια από τις παρακάτω προτάσεις ισχύει: 1. Αν η R είναι συµµετρική, τότε η R -1 είναι συµµετρική 2. Αν η R είναι αντισυµµετρική, τότε η R -1 είναι αντισυµµετρική. 15. R είναι µια σχέση µέσα σ ένα µη κενό σύνολο Α. Να εξετάσετε ποια από τις παρακάτω προτάσεις ισχύει: 1. Αν η R είναι ανακλαστική, τότε R R -1. 2. Αν η R είναι συµµετρική, τότε R R -1. 16. R και R είναι δύο σχέσεις µέσα σ ένα µη κενό σύνολο Α. Να εξετάσετε ποια από τις παρακάτω προτάσεις ισχύει: 1. Αν µια τουλάχιστον από τις R και R είναι ανακλαστική, τότε R R είναι ανακλαστική. 2. Αν οι R και R είναι ανακλαστικές, τότε R R είναι ανακλαστική. 17. R και R είναι δύο σχέσεις µέσα σ ένα µη κενό σύνολο Α. Να εξετάσετε ποια από τις παρακάτω προτάσεις ισχύει : 1) Αν οι R και R είναι αντισυµµετρικές, τότε η R R είναι αντισυµµετρική. 2) Αν οι R και R είναι αντισυµµετρικές τότε η R R είναι αντισυµµετρική. 18. R και R είναι δυο σχέσεις µέσα σ ένα µη κενό σύνολο Α. Να εξετάσετε ποια από τις παρακάτω προτάσεις ισχύει: 1) Αν οι R και R είναι µεταβατικές, τότε η R R είναι µεταβατική. 2) Αν οι R και R είναι µεταβατικές, τότε η R R είναι µεταβατική. 19. Να αναφέρεται παράδειγµα µιας σχέσεως µέσα σ ένα σύνολο Α, η οποία να είναι : ανακλαστική και συµµετρική ανακλαστική και αντισυµµετρική ανακλαστική και µεταβατική συµµετρική και µεταβατική αντισυµµετρική και µεταβατική. 20. Να αναφέρεται παράδειγµα µιας σχέσεως µέσα σ ένα σύνολο Α, η οποία να είναι : 1) ανακλαστική, συµµετρική και µεταβατική 2) ανακλαστική, συµµετρική και αντισυµµετρική 3) ανακλαστική, αντισυµµετρική και µεταβατική 4) Τέλος να αναφέρετε παράδειγµα σχέσεως σ ένα µη κενό σύνολο Α, η οποία δεν είναι ούτε ανακλαστική ούτε συµµετρική ούτε αντισυµµετρική ούτε µεταβατική. 21. Θεωρούµε το σύνολο : Α = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} Και την σχέση µέσα στο Α Α, που ορίζεται ως εξής : (x, y), (z, ω) Α Α: (x, y) R (z, ω) min (x, y) min (z, ω), όπου µε min (x, y) παριστάνοµε τον µικρότερο από τους x και y, όταν x y και τον x, όταν x = y. Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς και ποιες είναι ψευδείς:

(-1, 2) R (0, 3), (2, 3) R (1, -2), (0, 0) R (0, 1), (0, 1) R (0, 0), (-1, 3) R (0, 2). Είναι η σχέση αυτή; ανακλαστική; συµµετρική; αντισυµµετρική; µεταβατική; 22. Οι σχέσεις στα αντιστοίχως αναφερόµενα; σύνολα, που ορίζονται από τους παρακάτω προτασιακούς τύπους στα αντίστοιχα καρτεσιανά γινόµενα, είναι ανακλαστικές; αντιανακλαστικές; συµµετρικές; αντισυµµετρικές; µεταβατικές; 1) χ y, x y, µέσα στο R. 2) «x και y δεν είναι πρώτοι προς αλλήλους», µέσα στο Ν {1}. 3) «x είναι πολλαπλάσιο του y», µέσα στο Ν. 4) x > y, x < y, µέσα στο Z. 5) α β > k, όπου k δοσµένος, α, β, k N, µέσα στο Ν. 23. Να ευρεθεί το είδος των παρακάτω σχέσεων (δηλ. ποιες απ αυτές είναι ανακλαστικές, συµµετρικές, κ.λ.π.) µέσα στο σύνολο : Ε = {x x N : x 12}, Που ορίζονται µέσα στο Ε Ε από τις παρακάτω συνθήκες: 1) xy = 24 4) x 2 4y 2 = 0 2) xy = 12 5) x 2y = 0 3) x 2 + y 2 100 6) x + 3y = 1 24. Θεωρούµε τις σχέσεις : S = { (x, y) R R : 2x 3y = 1 } T = { (x, y) R R : 3x 2y = 21 } Παριστάνει το σύνολο S T µια, αντισυµµετρική και µεταβατική σχέση. ΟΜΑ Α Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Η 1. Θεωρούµε το σύνολο: Α = {α, β, γ, δ, ε, ζ} του οποίου τα στοιχεία είναι οι παρακάτω προτάσεις: Α) η Αθήνα είναι πόλις Β) ο αριθµός 2 είναι άρτιος Γ) ο αριθµός 1 είναι άρτιος ) 3 < 6 Ε) 2 + 5 = 3 Ζ) κάθε τετράγωνο είναι ρόµβος Η συνθήκη: p(x, y) = (x, y) Α Α και (x y) ορίζει µια σχέση R στο σύνολο Α. Να καθορίσετε την R µε αναγραφή των στοιχείων της και να εξετάσετε αν είναι σχέση ισοδυναµίας. 2. Ποια είναι η σχέση R, που ορίζεται µέσα στο σύνολο: Α = {1, 2, 3, 4} Από την συνθήκη: p 1 (x, y) = (x, y) Α Α και x + y = y + x; Ποια είναι η σχέση R, που ορίζεται µέσα στο ίδιο σύνολο Α από την συνθήκη: Τι παρατηρείτε; p 2 (x, y) = (x, y) Α Α και xy = yx; 3. Να αποδείξετε ότι στο σύνολο Q των ρητών αριθµών η σχέση R, που ορίζεται ως εξής: x (x, y p(x, y) = Z µε y 0) y

x, y x ' Q : y ' x R y x ' xy = yx y ' είναι σχέση ισοδυναµίας. 5. Στο σύνολο R των πραγµ. Αριθµών θεωρούµε την σχέση S, που ορίζεται ως εξής: (x, y) R R : x S y x - y = x y (1) Να αποδείξετε ότι η S είναι µια σχέση ισοδυναµίας µέσα στο R και να σχεδιάσετε σε καρτεσιανό ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων το σύνολο των σηµείων M(x, y) του επιπέδου, που ικανοποιούν την ισότητα (1), η οποία ορίζει την σχέση S µέσα στο σύνολο R, δηλ. να σχεδιάσετε το διάγραµµα της S. 6. Θεωρούµε το δυναµοσύνολο (E) του συνόλου: Ε = {α, β, γ} Και την σχέση R στο (E), που ορίζεται ως εξής: (Α, Β) (E) (E): (Α, Β) R A {α} = Β {α} 1) Να αποδείξετε ότι η R είναι σχέση ισοδυναµίας στο (E). 2) Να αναγράφουν τα ζεύγη που αποτελούν την R, να σχεδιάσετε το διάγραµµα του καρτεσιανού γινοµένου (E) (E) και να ξεχωρίσετε σ αυτό µ ένα κόκκινο περίγραµµα το διάγραµµα της σχέσεως R. Τέλος να καθορίσετε τις κλάσεις ισοδυναµίας (mod R) και το σύνολο πηλίκο. 7. Να αποδείξετε ότι: αν R και R είναι δύο σχέσεις ισοδυναµίας µέσα σ ένα µη κενό σύνολο Α, τότε και η σχέση R R είναι σχέση ισοδυναµίας µέσα στο Α. 8. Αν R 3 είναι το σύνολο των σηµείων του τρισδιάστατου Ευκλείδειου χώρου, Ρ το σύνολο των σηµείων ενός ορισµένου επιπέδου του R 3 και P c το συµπλήρωµα του Ρ ως προς το R 3 και, δηλ. P c = R 3 P, τότε να αποδείξετε ότι η σχέση στο P c : S = {(x, y) P c P c : (ευθύγραµµο τµήµα) Ρ = }, ηλ. η σχέση S, που ορίζεται µέσα στο σύνολο P c από την συνθήκη: είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο P c ΟΜΑ Α Θ (ευθύγραµµο τµήµα x, y) Ρ = 1. ίνονται τα σύνολα Α = {x, y, ω, z} και Β = {α, β, γ, δ}. Να εξετάσετε αν τα σύνολα αυτά είναι ισοδύναµα και να κάµετε όλες τις δυνατές ένα προς ένα απεικονίσεις του Α στο Β. 2. Τα σύνολα Α = {1, 2, 3} και Β = {x, y} είναι µεταξύ τους ισοδύναµα; Υπάρχουν υποσύνολα του Α που είναι ισοδύναµα µε το Β; Ποια είναι αυτά τα υποσύνολα; 3. Σε ένα χορό υπάρχει ένα σύνολο Α ανδρών και ένα σύνολο Β γυναικών. Πως µπορούµε να διαπιστώσουµε αν τα σύνολα Α και Β είναι ισοδύναµα; 4. ίνονται τα σύνολα Α = {1, 2, 3,, 50} και Β = {2, 4, 6,, 100}. Να εξετάσετε αν τα σύνολα αυτά είναι ισοδύναµα. Σε καταφατική περίπτωση να γράψετε τον τύπο µιας απεικόνισης ως προς την οποία Α Β. 5. Να δείξετε ότι το σύνολο Ζ των ακεραίων είναι αριθµήσιµο. 6. Έστω ότι τα Α, Β, Γ είναι πεπερασµένα σύνολα. Να δείξετε τις παρακάτω ισότητες: (i) Α Β = Α + Β - Α Β και Α Β = Α + Β, αν και µόνο αν (ii) Α Β = Α Β Α Β = (iii) Α - Β = Α Β - 2 Α Β και Α - Β = Α - Β, αν Β Α

(iv) Α (Β Γ) = Α + Β + Γ - ( Α Β + Α Γ + Β Γ ) + Α Β Γ) (v) Α (Β Γ) = Α Β + A Γ - Α (Β Γ). 7. Να εξετάσετε αν τα σύνολα Α (Β Γ) και (Α Β) (Α Γ) είναι ισοδύναµα. 8. Να εξετάσετε αν είναι ισοδύναµα τα παρακάτω σύνολα: Α (Β Γ) και (Α Β) (Α Γ). 9. Να δείξετε ότι το σύνολο C των µιγαδικών αριθµών είναι µη αριθµήσιµο και έχει πληθάριθµο c. 10. Αν Α, Β, Γ είναι τυχαία σύνολα, να δείξετε ότι : (i) A (B Γ) (A B) Γ (ii) Α Β Β Α (iii) (Α Β) Γ Α (Β Γ) (iv) Αν Α Α και Β Β, να δείξετε ότι Α Β Α Β. 11. Να εξετάσετε αν το σύνολο Α = {1, 3, 5, } των περιττών φυσικών αριθµών είναι ισοδύναµο µε το σύνολο Β = {1, 100, 10.000,, 10 2v, } και σε καταφατική περίπτωση να βρείτε µια απεικόνιση ως προς την οποίαν είναι Α Β. 12. Να δείξετε ότι το σύνολο των σηµείων ενός ευθύγραµµου τµήµατος είναι ισοδύναµο µε το σύνολο των σηµείων µιας ηµιευθείας. 13. Να βρεθεί ο πληθάριθµος του συνόλου των άρρητων πραγµατικών αριθµών. 14. Να δείξετε ότι η ένωση πεπερασµένου πλήθους αριθµήσιµων συνόλων είναι σύνολο αριθµήσιµο (Λήµµα, περίπωση (ii)). 15. Αν Α, Β, Γ είναι µη κενά σύνολα, να δείξετε ότι: A (B Γ) (A B) (Α Γ) 16. Να δείξετε ότι το σύνολο των σηµείων µιας ευθείας (ε) είναι ισοδύναµο µε το σύνολο των σηµείων ενός επιπέδου, καθώς και µε το σύνολο των σηµείων του τριδιάστατου χώρου. 17. Να δείξετε ότι τα παρακάτω σύνολα Τ, Κ, Ρ, είναι αριθµήσιµα. Τ = {1, 4, 9,, v 2, } v N. K = {1, 8, 27, v 3, }, v N. P = {2, 3, 5, 7, }, το σύνολο των πρώτων αριθµών = {1, 10, 10 2,, 10 v, }, v N. ΟΜΑ Α Ι 1.1. ίνονται τα γεγονότα Α, Β και C. Να εκφρασθούν µε τη βοήθεια της Θεωρίας Συνόλων τα γεγονότα: α. Μόνο το Β συµβαίνει. β. Τα Α και Β συµβαίνουν αλλά όχι το C. γ. Τουλάχιστον ένα από τα Α, Β, C συµβαίνει. δ. Ακριβώς ένα συµβαίνει. ε. Τουλάχιστον δύο από τα Α, Β, C, συµβαίνουν. 1.2. Αν Α, Β και C παριστάνουν τα σύνολα των φοιτητών που διαβάζουν τις εφηµερίδες Μ 1, Μ 2, και Μ 3 αντίστοιχα, τότε: (i) Να εκφράσεις µε προτάσεις τα σύνολα:

(ii) α. Α Β C γ. (A B) ε. ABC β. ΑBC δ. Α Β C ζ. Α Β C Να εκφράσεις µε σύνολα τις φράσεις: α. Οι φοιτητές που διαβάζουν τουλάχιστον δύο από τις τρεις εφηµερίδες. β. Οι φοιτητές που διαβάζουν το πολύ µια από τις τρεις εφηµερίδες Μ 1, Μ 2, και Μ 3. 1.10. α) Ένα κιβώτιο έχει 5 λαµπτήρες από τους οποίους οι 3 είναι ελαττωµατικοί. Ελέγχουµε τους λαµπτήρες, έναν, έναν χωρίς επανάθεση ίσαµε που να βρούµε τον πρώτο ελαττωµατικό. Ποιος ο δειγµατοχώρος; 1.12. Ρίχνουµε 4 ζάρια µια φορά. Να βρεθεί ο δειγµατοχώρος και τα γεγονότα: Α = {Έρχεται τουλάχιστον ένας άσσος}. Β = { Το άθροισµα των τεσσάρων ενδείξεων είναι 13}. 1.16. Με δύο ζάρια παίζουµε το παρακάτω παιχνίδι: Αν στην πρώτη προσπάθεια έχουµε άθροισµα 2, 3, 7, 11 ή 12 σταµατούµε, αν όχι συνεχίζουµε ίσαµε που να έχουµε άθροισµα 7 ή το άθροισµα που είχαµε την πρώτη προσπάθεια. Ποιος είναι ο δειγµατοχώρος. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κ Συνδυαστική 1. Εάν υποθέσουµε ότι κανένα γράµµα δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί παραπάνω από µια φορά στις παρακάτω λεξεις(*) τοτε πόσες λέξεις τριών γραµµάτων µπορούν να σχηµατιστούν από τα παρακατω σετ γραµµάτων; α. (m, a, t, h) B. (m, e, t, r, i, c) (*)εδώ η έννοια «λεξη» είναι οποιοσδηποτε συνδυασµος γραµµάτων χωρις κατ αναγκη γραµµατική ή εννοιολογική αποδοχή. 2. Επαναλάβετε την άσκηση 1 για να σχηµατίσετε λέξεις τεσσάρων γραµµάτων. 3. Επαναλάβατε την άσκηση 1 εάν οι επαναλήψεις των γραµµάτων επιτρέπονται. 4. Εάν οι επαναλήψεις των γραµµάτων επιτρέπονται πόσες λέξεις τεσσάρων γραµµάτων µπορούν να σχηµατιστούν από τα διδόµενα σετ γραµµάτων; α. (h, o, p, e) β. (a, e, r, i, o) 5. Πόσες διαφορετικές οµάδες-δυαδες αποτελούµενες από έναν πασαδόρο και έναν κυνηγό µπορεί µια οµάδα βόλεϊµπολ να φτιάξει από τα παρακατω γκρουπ; Α. Τέσσερες πασαδόρους και δύο κυνηγούς Β. Πέντε πασαδόρους και τρεις κυνηγούς Γ. Έξι πασαδόρους και τρεις κυνηγούς 6. Πόσους διαφορετικούς συνδυασµούς ρούχων µπορεί να κάνει ο Ροµπέρτ εάν µπορεί να φορέσει οποιοδήποτε συνδυασµό από τις παρακατω µπλούζες και παντελόνια; Α. Τρεις σπορ µπλούζες και τέσσερα παντελόνια Β. Πέντε σπορ µπλούζες και τέσσερα παντελόνια Γ. Έξι σπορ µπλούζες και τέσσερα παντελόνια 7. Πόσους διαφορετικούς συνδυασµούς ρούχων µπορεί να κάνει η Μαρία εάν µπορεί να φορέσει οποιοδήποτε συνδυασµό από τα παρακατω φορέµατα, καπέλα και ζευγάρια παπουτσιών. Α. Τέσσερα φορέµατα, τρία καπέλα, και δύο ζευγάρια παπούτσια. Β. Πέντε φορέµατα, τρία καπέλα και δύο ζευγάρια παπούτσια. Γ. Έξι φορέµατα, τέσσερα καπέλα και τρία ζευγάρια παπούτσια. 8. Ας υποθέσουµε ότι κανένα άτοµο δεν επιτρέπεται να καταλαβει παραπάνω από µια θεση τη φορά και ο αριθµός των µελών του Ροδος Swim Club είναι: Α. 15 Β. 20 Γ. 50. 100

Πόσες διαφορετικές οµάδες υπαλλήλων αποτελούµενες από έναν πρόεδρο, έναν αντιπρόεδρο και ένα γραµµατέα είναι δυνατές να γίνουν; ΑΣΚΗΣΕΙΣ Λ Πιθανότητες-Συνδυαστική-Αντιστοιχήσεις 1. Ποια είναι η πιθανότητα να συµβεί το παρακάτω γεγονός µε το πέταγµα του ζαριού; 1. Ένα µονό νούµερο. 2. Ένας ζυγός αριθµός 3. Ένα νούµερο µεγαλύτερο από το 2 4. Ένας αριθµός µικρότερος του 4. 5. Ένα νούµερο διαφορετικό του 4 6. Ένας αριθµός διαφορετικός του 0 7. Ο αριθµός 0. 8. Ένας αριθµός µικρότερος του 7. 2. Ποια είναι η πιθανότητα να συµβεί το παρακάτω γεγονός τραβώντας ένα χαρτί από µια συνηθισµένη τράπουλα 52 χαρτιών; 1. Ένας άσσος. 2. Ένας βασιλιάς 3. Ένα µπαστούνι. 4. Ένα κόκκινο χαρτί. 3. Πόσοι διψήφιοι αριθµοί µπορούν να σχηµατιστούν από τα παρακατω δεδοµένα σετ ψηφίων; Α. εάν οι επαναλήψεις δεν επιτρέπονται. Β. εάν οι επαναλήψεις επιτρέπονται; 1. (1, 2,, 4) 2. [1, 2, 3, 4, 5] 3. (1, 2, 3, 4, 5, 6) 4. [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] 5. (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) 6. [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] 4. Πόσοι τριψήφιοι αριθµοί µπορεί να σχηµατιστούν από ένα δεδοµένο παρακάτω σετ ψηφίων εάν το 0 δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί σαν πρώτο ψηφίο και Α) οι επαναλήψεις δεν επιτρέπονται Β) οι επαναλήψεις επιτρέπονται; 1. (0, 1, 2, 3, 4) 2. (0, 1, 2, 3, 4, 5) 3. (0, 1,, 3, 4, 5, 6) 4. (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) 5. (0, 1, 2, 3, 4 5, 6, 7, 8) 6. (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) 5. Στις ασκήσεις 1 έως 4 θεώρησε ότι πρέπει να κανονιστεί ραντεβού δυο ατόµων από το σετ Ν= {Αλεκα, Μπαµπης, Καρολινα, Ντινος, Έλενη, Φράνσουα) 1. Πόσες διαφορετικές οµάδες των δυο ατόµων µπορούν να γίνουν; 2. Ποια είναι η πιθανότητα ότι η οµάδα των δυο µπορεί να αποτελείται από 2 αγόρια 3. Ποια είναι η πιθανότητα η οµάδα των δύο να αποτελείται από 2 κορίτσια; 4. Ποια είναι η πιθανότητα ότι η οµάδα των δύο θα αποτελείται από ένα αγόρι και ένα κορίτσι; 6.Βρες τον αριθµό των λέξεων από τρία διαφορετικά γράµµατα που µπορούν να σχηµατιστούν από τα φωνήεντα v = {a, e, i, o, u} εάν Α. το πρώτο γράµµα πρέπει να είναι το i Β. το πρώτο γράµµα πρέπει να είναι ο e και το i

7. Πόσες διαφορετικές πινακίδες αδειών οδήγησης µπορούν να γίνουν χρησιµοποιώντας ένα γράµµα από την αλφάβητό µας ακολουθούµενο από τέσσερα δεκαδικά ψηφία. Α. εάν το πρώτο νούµερο δεν πρέπει να είναι το 0 Β. εάν το πρώτο νούµερο δεν πρέπει να είναι το 0 και κανένα νούµερο δεν πρέπει να χρησιµοποιηθεί παραπάνω από µια φορά; 8. Ποια είναι η πιθανότητα ο συγγραφέας του κειµένου να έχει γεννηθεί τον εκέµβριο; 9. Ποια είναι η πιθανότητα το νούµερο τηλεφώνου του εκπαιδευτή να έχει το 7 σαν τελικό ψηφίο; 10. Η πιθανότητα να έρθουν όλο κεφαλές παίζοντας κορώνα γράµµατα τρία νοµίσµατα είναι 1/8. Ποια είναι η πιθανότητα να µην έρθουν και τα τρία νοµίσµατα κεφαλές; 11. Ποια είναι η πιθανότητα το επόµενο άτοµο που θα γνωρίσεις να µην έχει γεννηθεί Κυριακή; Στις ασκήσεις 12 έως 16 πόσοι τριψήφιοι αριθµοί µπορούν να σχηµατιστούν από το σετ {0, 1, 2, 3, 9} εάν το 0 δεν είναι αποδεκτό σαν πρώτο ψηφίο και οι δεδοµένες συνθήκες πρέπει να ικανοποιούνται 12. Οι επαναλήψεις επιτρέπονται και ο αριθµός πρέπει να είναι διαιρετός µε το Α. 5 Β. 25 13. Οι επαναλήψεις επιτρέπονται και ο αριθµός πρέπει να είναι Α. ζυγός Β. διαιρετός µε το 10 14. Οι επαναλήψεις δεν επιτρέπονται και ο αριθµός πρέπει να είναι Α. διαιρετός µε το 10 Β. ζυγός 15. Επαναλήψεις δεν επιτρέπονται και ο αριθµός πρέπει να διαιρείται από το Α. 5 Β. 25 16. Ο αριθµός πρέπει να ένα µονός και µικρότερος του 600 µε επαναλήψεις Α. να επιτρέπονται Β. να µην επιτρέπονται 17. Επαναλάβετε την Άσκηση 16 µε αριθµούς µικρότερους του 800. 18. Βρες ποσες είναι οι διαφορετικές πινακίδες άδειων κυκλοφορίας εάν κάθε µια αποτελείται από δύο γράµµατα (λατινογενή) από το αλφάβητο µας ακολουθούµενα από 4 δεκαδικά ψηφία (το πρώτο ψηφίο δεν πρέπει να είναι 0 και καµία επανάληψη από γράµµατα ή αριθµούς δεν επιτρέπεται). 19. Επαναλάβατε την άσκηση 18 για πινακιδες άδειων κυκλοφοριας αποτελούµενες από 4 σύµφωνα (λατινογενη) ακολουθούµενα από τρία δεκαδικά ψηφία. 20. Σε ένα κεντρικό συνδυασµό κλειδώµατος υπάρχουν 60 διαφορετικές θέσεις. Για να ανοίξει η κλειδαριά µετακινείς το κεντρικό κουµπί σε έναν συγκεκριµένο αριθµό σε µια κατεύθυνση µετά σε ένα διαφορετικό αριθµό στην αντίθετη κατεύθυνση και τελικά σε έναν τρίτο αριθµό στην αρχική κατεύθυνση. Α. Ποιος είναι ο τελικός αριθµός τέτοιων συνδυασµών εάν το πρώτο στρίψιµο πρέπει να έχει τη φορά των δεικτών του ρολογιού; Β. Ποιος είναι ο τελικός αριθµός τέτοιων συνδυασµών εάν το πρώτο στρίψιµο µπορεί ή να έχει τη φορά των δεικτών του ρολογιού ή να έχει την αντίστροφη; 21. ύο θετικοί ακέραιοι από το 1 έως 7 επιλέγονται στην τύχη Α. Ποια είναι η πιθανότητα ο πρώτος ακέραιος που επελεγει να είναι ζυγός; Β. Ποια είναι η πιθανότητα και οι δύο ακέραιοι να είναι ζυγοί;

22. Επαναλάβετε την άσκηση 21 για ακέραιους από το 1 έως το 13 23. Βρείτε τουλάχιστον ένα κοµµάτι που εµφανίζεται τακτικά σε καθηµερινή εφηµερίδα και είναι βασισµένο σε πιθανότητες ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙς ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 1. Να γίνει ένας πίνακας με 5 τουλάχιστον τιμές για τις παρακάτω συναρτήσεις. Στη συνέχεια να γίνει η γραφική παράσταση. Α f(x) = 3x 2 g(x) = - 4 3 x + 9 F 6 (x) = x 2 +4x-5 h(x) = 120x + 25 Β f(x) = x 2 9x f 2 (x) = ( 2 1 ) x F 3 (x) = 3 2 x 3 4 F 4 (x) = 3 2 x 3 x 2 +4 2. Αν με f(x) = [x] συμβολίζουμε το ακέραιο μέρος του x δηλ. ο μεγαλύτερος ακέραιος, ο μικρότερος ή και του x.. Π.χ. [-4, 1] = -5 [2,5] = 2 Να γίνει το γράφημα της f(x) = [x] για -3 x 3 3. Να γίνει το γράφημα f(x) = [x + 1], 0 x 4 9(x) = [2 x], -1 x 3 h(x) = 5 [x], 0 x 5 x f(x) = 6 2, 2 x 6 4. Να γίνει το γράφημα των: f(x) = x 2, f 2 (x) = 2x 2, f 3 (x) = 2 1 x 2, f 4 (x) = -3x Διερευνήστε πως επηρεάζει ο συντελεστής του x 2 το γράφημα του f. 5. ΌΜοια: F(x) = ( 3 1 ) x f(x) = ( 5 2 ) x γ(x) = 10 3x