Συλλογή & Επεξεργασία Δεδομένων Εργαστήριο 8 Επεξεργασία Σήματος με την Ανάλυση Fourier. Σύστημα Συλλογής & Επεξεργασίας Μετρήσεων Σκοπός Βασική δομή ενός προγράμματος στο LabVIEW. Εμπρόσθιο Πλαίσιο (front panel). Σχεδίαση του front panel για ένα πρόγραμμα Συλλογής & Επεξεργασίας Μετρήσεων. Δομικό Διάγραμμα (block diagram). Δομές προγραμματισμού. Η δομή Επανάληψης. Συνάρτηση δημιουργίας τυχαίων αριθμών.
Μέρος Α : Σκοπός και Περιγραφή της Άσκησης 8.1 ΕΠΙΔΙΩΞΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Έχοντας αναπτύξει στο Α Μέρος, τις βασικές θεωρητικές αρχές / έννοιες, σ αυτή την ενότητα, επιχειρούμε να εφαρμόσουμε αυτές τις αρχές, γράφοντας το πρόγραμμα, για την ανάλυση / μετασχηματισμό Fourier και χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα, για να κάνουμε την ανάλυση Fourier απλών, αλλά πραγματικών ηχητικών σημάτων, όπως Οι μουσικές νότες του πιάνου Συλλαβές μία φυσικής γλώσσας δημιουργώντας τη φασματική παράσταση αυτών των σημάτων. Μέσα από την ανάπτυξη του προγράμματος, θα μπορέσουμε να δούμε / να κατανοήσουμε τη βασική θεωρία της ανάλυσης Fourier, αλλά και το βασικό αλγόριθμο το Γρήγορο Μετασχηματισμό Fourier (Fast Fourier Transform) που χρησιμοποιείται για να προγραμματίσουμε, να γράψουμε δηλαδή ένα πρόγραμμα που να μπορεί να υπολογίζει την ανάλυση Fourier οποιοδήποτε ηχητικού σήματος, οσοδήποτε σύνθετου. Εφαρμογή 8.1 Πιάνο στο LabVIEW Ένα πολύ μεγάλο πλεονέκτημα που έχουμε, χρησιμοποιώντας με τις γλώσσες όπως το LabVIEW ή η Matlab που χρησιμοποιούνται ευρύτατα και για πολλές εφαρμογές, είναι πως σ αυτές τις γλώσσες ήδη υπάρχει μία μεγάλη δεξαμενή από προγράμματα πραγματικών εφαρμογών που έχουν ήδη αναπτυχθεί σ αυτές τις γλώσσες και που μπορούμε ελεύθερα να χρησιμοποιήσουμε ή να τροποποιήσουμε, για δική μας χρήση, χωρίς να χρειάζεται να τα γράψουμε από την αρχή. Ένα τέτοιο πρόγραμμα, ένα πρόγραμμα δηλαδή που έχει γραφεί από άλλους και που έχει προστεθεί στη δεξαμενή των διαθέσιμων προγραμμάτων στο LabVIEW, είναι το piano.vi, ένα πρόγραμμα εξομοιώνει ένα μικρό πιάνο στο LabVIEW. Το πρόγραμμα είναι ένα εξαιρετικό παράδειγμα ενός προγράμματος που αν και πολύ απλό - θα δούμε πως σχετικά εύκολα μπορούμε να γράψουμε το πρόγραμμα, μπορεί να αναπαριστάνει με αρκετά μεγάλη ακρίβεια / προσέγγιση τη μορφή και τη λειτουργία ενός μικρού πιάνου Η λειτουργία του προγράμματος είναι απλή. Πατώντας κάθε πλήκτρο, παράγουμε και να ακούσουμε την αντίστοιχη νότα. Στο δομικό διάγραμμα, μπορούμε να δούμε τη μορφή του προγράμματος. Σ αυτή την άσκηση, χρησιμοποιούμε το piano.vi, για να παράγουμε / δημιουργήσουμε τις νότες ενός πιάνου, να καταγράψουμε και να αποθηκεύσουμε αυτές τις νότες σε ξεχωριστά αρχεία και μετά, να κάνουμε την ανάλυση Fourier κάθε νότας.
Εικόνα 1: Το piano.vi.
Για αυτό, τροποποιούμε το πρόγραμμα, όπως παριστάνεται στην Εικόνα 1. Μ αυτό τον τρόπο, μπορούμε να αποθηκεύσουμε σε αρχεία, τις βασικές νότες A, C, E που μπορούμε να δημιουργήσουμε πατώντας τα πλήκτρα ενός πιάνου. Εφαρμογή 8.2 Γράφοντας ήχο από το μικρόφωνο του υπολογιστή Φυσικά, η τροποποίηση στο πρόγραμμα piano.vi, όχι μόνον για να γράφουμε και να αποθηκεύουμε σε αρχεία ήχου τις νότες ή τα κομμάτια που παίζουμε στο πιάνο, έχει μία γενικότερη εφαρμογή. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτό το κομμάτι του προγράμματος, για να γράφουμε ομιλία / οποιοδήποτε ηχητικό σήμα από το μικρόφωνο του υπολογιστή και να αποθηκεύουμε αυτά τα σήματα ομιλία ή ήχο σε αρχεία ήχου, για να επεξεργαστούμε αυτό τον ήχο ομιλία ή απλά, να παίξουμε το αρχείο ήχου, χρησιμοποιώντας ένα πρόγραμμα όπως το media player. Έτσι, χρησιμοποιώντας αυτό το πρόγραμμα, για να ηχογραφούμε τις νότες ή τα κομμάτια που παίζουμε στο πιάνο, μπορούμε να ηχογραφούμε και ν αποθηκεύσουμε ομιλία στο μικρόφωνοι του υπολογιστή, λέξεις ή συλλαβές. Ο σκοπός είναι να ηχογραφήσουμε συλλαβές, για παράδειγμα το ήχο του «α» και να αποθηκεύσουμε το ηχητικό σήμα που αντιστοιχεί σε κάθε γράμμα του αλφαβήτου ή κάθε συλλαβή, ώστε μετά, να δούμε το φάσμα του γράμματος ή της συλλαβής Έχοντας χρησιμοποιήσει τα τις συσκευές ήχου του υπολογιστή και τα προγράμματα 8.1 και 82, για να ηχογραφήσουμε μερικούς βασικούς ήχους, τους ήχους από τις μουσικές νότες που παίζουμε σ ένα πιάνο ή του ήχους βασικών συλλαβών, μπορούμε τώρα να δούμε την βασική επεξεργασία που γίνεται σε φωνητικά σήματα, εφαρμόζοντας την ανάλυση Fourier, σ αυτούς τους ήχους για να πάρουμε το φάσμα των η- χητικών σημάτων. Εφαρμογή 8.3 Ανάλυση Fourier μίας Μουσικής Νότας Γράψτε ένα πρόγραμμα στο LabVIEW που να κάνει την ανάλυση Fourier μίας οποιασδήποτε μουσικής νότας. Ανάλυση Μέσα από τη φασματική παράσταση / ανάλυση μίας μουσικής νότας, επιχειρούμε να δούμε όλη τη μέθοδο της ανάλυσης Fourier, δηλαδή: Την εφαρμογή της μεθόδου, βήμα - βήμα
Ποια είναι τα αποτελέσματα που επιδιώκουμε να πάρουμε από την ανάλυση Fourier ενός σήματος Πως μπορούμε να προγραμματίσουμε αυτή τη μέθοδο στον υπολογιστή, να γράψουμε δηλαδή ένα πρόγραμμα που να διαβάζει ένα ηχητικό / ακουστικό σήμα, όπως ένα μουσικό κομμάτι, ομιλία ή όποιο άλλο ακουστικό σήμα και να εκτελεί / να κάνει την ανάλυση Fourier αυτού του σήματος, δημιουργώντας τη φασματική παράσταση του σήματος. Πριν επιχειρήσουμε να εφαρμόσουμε βήμα βήμα την ανάλυση Fourier στον ήχο μίας μουσικής νότας και να δούμε πως μπορούμε να γράψουμε ένα πρόγραμμα που να εκτελεί αυτά τα βήματα, όχι μόνον για μουσικές νότες, αλλά για οποιοδήποτε ήχητικό σήμα, ας δούμε ποια είναι η λειτουργία τι αποτελέσματα δηλαδή επιχειρούμε να πάρουμε από την ανάλυση Fourier. Έτσι, αν για παράδειγμα κάνουμε την ανάλυση Fourier της μουσικής νότας C, τότε θα πάρουμε το αποτέλεσμα που παριστάνεται στην Εικόνα. Λέμε ότι η Εικόνα είναι η φασματική ανάλυση του σήματος της μουσικής νότα Κάθε ηχητικό σήμα μπορεί να παρασταθεί στο πεδίο του χρόνου ή στο πεδίο της συχνότητας. Η παράσταση της μουσικής νότας C στο πεδίο του χρόνου φαίνεται στην Εικόνα Aν δηλαδή ηχογραφήσουμε τη μουσική νότα C, παίξουμε στο πιάνο την νότα C και ηχογραφήσουμε στο μικρόφωνο τον ήχο που δημιουργείται όταν παίζουμε στο πιάνο, αυτή τη νότα, τότε στην έξοδο του μικροφώνου δημιουργείται η τάση που παριστάνεται στην Εικόνα 1. Αυτή είναι η παράσταση της νότας C στο χρόνο. Η ανάλυση Fourier θα μας δώσει τη παράσταση της νότας C στο πεδίο της συχνότητας. Το γράφημα στην Εικόνα λέει / δείχνει πως η νότα η τάση που δημιουργείται στην έξοδο του μικροφώνου, όταν ηχογραφούμε τη νότα C είναι μία ημιτονοειδής τάση με πλάτος και συχνότητα 500 Hz Όχι μόνον η νότα C, αλλά κάθε νότα αντιστοιχεί / δημιουργεί μία ημιτονοειδή τάση σε μία αντίστοιχη συχνότητα Για παράδειγμα, η τάση από τη νότα Ε είναι μία ημιτονοειδής τάση, με συχνότητα f = Hz. Στο πεδίο του χρόνου, αυτή η τάση (της νότας Ε) παριστάνεται από το γράφημα, στην Εικόνα. Επειδή η νότα Ε αποτελείται / παριστάνεται από έναν ημιτονοειδή όρο με συχνότητα f = Hz, η παράσταση αυτής της νότας στο πεδίο της συχνότητας, θα είναι μία μη μηδενική τιμή τάσης, στη συχνότητα f = Hz 8.2 Τα βασικά Πλεονεκτήματα της Ανάλυσης Fourier Μέχρι τώρα, βλέπουμε πως η παράσταση ενός σήματος, μίας νότας στο πεδίο της συχνότητας είναι πιο εποπτική από τη παράσταση αυτής της νότας, στο πεδίο του χρόνου. Κάθε νότα στο πεδίο της συχνότητας παριστάνεται από μία κατακόρυφο, δη-
λαδή μία μη μηδενική τιμή τάσης, σε μία αντίστοιχη συχνότητα και όχι από μία κυματομορφή, όπως στο πεδίο του χρόνου. Ένα ακόμα πλεονέκτημα είναι το εξής Εάν στο πιάνο παίξουμε ένα μουσικό κομμάτι από δύο ή περισσότερες νότες, έστω τις νότες στη σειρά, τότε η παράσταση αυτού του κομματιού στο πεδίο του χρόνου, θα είναι μία αρκετά σύνθετη συνάρτηση, στη μορφή που παριστάνεται στην Εικόνα Αν όμως δούμε τη παράσταση αυτού του κομματιού στο πεδίο της συχνότητας, Πως στη πραγματικότητα, θα πρέπει να παριστάνεται ένα μουσικό κομμάτι από διάφορες νότες, στο πεδίο της συχνότητας? Δεν θα πρέπει να παριστάνεται από μη μηδενικές τιμές τάσης στις συχνότητες που αντιστοιχούν στις νότες, από τις οποίες αποτελείται? Αν δούμε τη παράσταση του μουσικού κομματιού στο πεδίο της συχνότητας θα διαπιστώσουμε ότι αυτή ακριβώς είναι η παράσταση του, δηλαδή μη μηδενικές τιμές τάσης στις συχνότητες από τις οποίες αποτελείται, επιτρέποντας να δούμε άμεσα τις νότες που συνθέτουν αυτό το μουσικό κομμάτι. 8.3 Η Συμμετρία γύρω από το Μηδέν στη Φασματική Παράσταση ενός Σήματος Είδαμε στη προηγούμενη ενότητα πως κάθε μουσική νότα αποτελείται από έναν ημιτονοειδή όρο σε μία αντίστοιχη συχνότητα. Για παράδειγμα, η νότα C αναλύεται σε μία ημιτονοειδή τάση με συχνότητα f = 524 Hz. Όμως στη φασματική παράσταση που παίρνουμε από την ανάλυση Fourier, θα δούμε / θα παρατηρήσουμε, όχι μία, αλλά δύο μη μηδενικές τάσεις, μία στη συχνότητα f = και μία ίση τάση στη συχνότητα φ = - 524 Hz. Γιατί συμβαίνει αυτό? Πολύ απλά, η νότα C παριστάνεται από την ημιτονοειδή τάση x(t) = 1 sin (2π 524 t) Όμως, η συνάρτηση ημίτονο μπορεί να γραφεί σε μιγαδική μορφή, σύμφωνα με τη ταυτότητα / τύπο sinx = (e ix e -ix ) / 2i Επομένως, στη βάση του παραπάνω τύπου x(t) = 1 sin (2π 524 t) = (e i2π 524 t e -i 2π 524t ) / 2i Επειδή στη βάση του παραπάνω τύπου, το ημίτονο γράφεται σαν άθροισμα δύο συμμετρικών μιγαδικών όρων με συμμετρικές συχνότητες f και f, η ανάλυση Fourier, παριστάνει κάθε ημιτονοειδή συνάρτηση, όπως η (), όχι σαν μία τάση με τιμή 1 στη συχνότητα f, αλλά σαν δύο συμμετρικές μη μηδενικές τιμές τάσης στις συχνότητες f και f μοιράζει το πλάτος Α1 στις συμμετρικές συχνότητες f και f.
Γενικότερα, η ανάλυση Fourier παριστάνει μία ημιτονοειδή συνάρτηση, γενικότερα μία συνάρτηση που είναι άθροισμα ημιτόνων x(t) = A1 sin 2π f1 t + A2 sin 2π f2 t + A3 sin 2π f3 t + όχι σαν τάσεις Α1 στις συχνότητες f1 αλλά σαν τάσεις A1/2 στις συχνότητες f1 και f1 Α2/2 f2 και f2 όπως στην Εικόνα Για αυτό η συμμετρία γύρω από το μηδέν στη φασματική παράσταση κάθε νότας παριστάνοντας Για αυτό το λόγο, η νότα C, αλλά και κάθε άλλη νότα παριστάνεται όχι σαν μία τιμή τάσης στη συχνότητα, αλλά σαν τιμές τάσης στις συμμετρικές συχνότητες f και f. Έχοντας εξηγήσει τη συμμετρική μορφή του φάσματος / φασματικής παράστασης κάθε μουσικής νότας, αλλά και κάθε ηχητικού σήματος, προχωρούμε να δούμε πως μπορούμε να δημιουργήσουμε τη φασματική παράσταση ενός σήματος, από τη παράσταση του στο πεδίο του χρόνου. Πως δηλαδή μπορούμε να κάνουμε / να γράψουμε το πρόγραμμα για την ανάλυση Fourier ενός σήματος. 8.4 Η Βασική Ιδέα Η βασική ιδέα της ανάλυσης Fourier είναι πως κάθε ηχητικό σήμα μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα ημιτόνων και συνημιτόνων x(t) = A 0 + A 1 cos (2π f 0 t) + A 2 cos (2π 2 f 0 t) + A 3 cos(2π 3 f 0 t) + + B 1 sin (2π f 0 t) + B 2 sin (2π 2 f 0 t) + B 3 sin (2π 3 f 0 t) + Σκοπός της ανάλυσης Fourier είναι να υπολογίσουμε τις συχνότητα κάθε ημιτόνου ή συνημιτόνου στη παραπάνω εξίσωση. Πως υπολογίζουμε αυτά τα μεγέθη / μεταβλητές συχνότητες και συντελεστές? Πρώτα εξετάζουμε πως υπολογίζουμε τις συχνότητες 8.5 Υπολογισμός των Συχνοτήτων στην Ανάλυση Fourier Για να καταλάβουμε οτιδήποτε, χρειάζεται να καταλάβουμε από πού ξεκινάμε και που θέλουμε να καταλήξουμε Οι συχνότητες f k στην ανάλυση ενός ηχητικού σήματος x(t) εξαρτώνται από τη συχνότητα δειγματοληψίας του σήματος. Φυσικά, με τις μουσικές νότες γνωρίζουμε από πριν τη μαθηματική μορφή / παράσταση κάθε νότας. Όμως γενικά, για τους διάφορους ήχους που ακούμε, είτε αυτοί είναι μουσικοί ήχοι είτε ήχοι από ομιλία ή όποια άλλη προέλευση μπορεί να έχουν, δεν ξέρουμε τη μαθηματική παράσταση αυτών των όρων. Όταν δηλαδή έχουμε ηχογραφήσει ένα ηχητικό
σήμα x(t) και θέλουμε να κάνουμε την ανάλυση Fourier αυτού του σήματος, δεν ξέρουμε την μαθηματική παράσταση αυτού του σήματος Αυτό που έχουμε / αυτό που μας δίνει η ηχογράφηση ενός σήματος είναι δείγματα διακριτές τιμές της τάσης στην έξοδο του μικροφώνου, από αυτό το σήμα: x(t 0 ), x(t 0 + Δt), x(t 0 + 2 Δt), x(t 0 + 3 Δt), x(t 0 + 4 Δt), Αυτές οι διακριτές τιμές είναι το σήμα που έχουμε Έστω Ν το πλήθος των διακριτών τιμών. Από αυτές τις διακριτές τιμές, επιχειρούμε να καταλήξουμε στη παράσταση του σήματος, σαν άθροισμα ημιτόνων και συνημιτόνων, όπως στη σχέση (1), μέσα από την ανάλυση Fourier, υπολογίζοντας τις συχνότητες και τα πλάτη, για το συγκεκριμένο σήμα x(t). Πρώτα, υπολογίζουμε τις συχνότητες Οι συχνότητες f k στην ανάλυση ενός ηχητικού σήματος x(t) εξαρτώνται από τη συχνότητα δειγματοληψίας του σήματος. Δηλαδή, το χρονικό διάστημα Δt, ανάμεσα σε διαδοχικά δείγματα του σήματος που είναι η περίοδος δειγματοληψίας. Η συχνότητα δειγματοληψίας είναι: f sampling = 1 / Δt Έχοντας βρει τη συχνότητα δειγματοληψίας του σήματος, αναζητούμε τη μέγιστη συχνότητα που μπορούμε να εντοπίσουμε Ποια είναι η μέγιστη συχνότητα που μπορούμε να εντοπίσουμε με διάστημα δειγματοληψίας Δt? Για να μπορέσουμε να παρατηρήσουμε ένα ημιτονοειδές σήμα με συχνότητα f = 1/ T, θα πρέπει να πάρουμε δείγματα από τη θετική και από την αρνητική πλευρά του σήματος. Επομένως, η συχνότητα δειγματοληψίας θα πρέπει να είναι Τ / 2. Άρα, για συχνότητα δειγματοληψίας f sampling = 1 / Δt, η μέγιστη συχνότητα που μπορούμε να εντοπίσουμε είναι: fc = 1 / 2Δt Αυτή είναι η κρίσιμη συχνότητα ή συχνότητα Nyquist. Ποια είναι η μικρότερη συχνότητα που μπορούμε να εντοπίσουμε από τα δείγματα ενός σήματος? Αν το σήμα αποτελείται από Ν δείγματα που έχουμε πάρει κάθε Δt, ώστε η συνολική διάρκεια του σήματος να είναι Συνολική Διάρκεια Σήματος = Ν Δt τότε η μικρότερη συχνότητα που μπορούμε να εντοπίσουμε είναι το αντίστροφο της συνολικής διάρκειας του σήματος:
f min = 1 / N Δt Επειδή υποθέτουμε πως το σήμα επαναλαμβάνεται μετά το τέλος της διάρκειας του, υποθέτουμε δηλαδή ότι το σήμα είναι περιοδικό με περίοδο Τ = Ν Δt, οι συχνότητες f k των ημιτόνων και των συνημιτόνων στη παράσταση του σήματος, θα είναι πολλαπλάσια της μικρότερης συχνότητας, μέχρι τη μέγιστη συχνότητα που μπορούμε να εντοπίσουμε, δηλαδή: f k = k (1 / N Δt) = k ( f sampling / N) = k Δf, k = 0, 1, 2,, N/2 Αυτές είναι οι συχνότητες που η ανάλυση Fourier μπορεί να εντοπίσει στα δείγματα με διάστημα / περίοδο δειγματοληψίας Δt., γράφοντας / παριστάνοντας το σήμα x(t) από το άθροισμα: x(t) = A 0 + A 1 cos (2π f 0 t) + A 2 cos (2π 2 f 0 t) + A 3 cos(2π 3 f 0 t) + + B 1 sin (2π f 0 t) + B 2 sin (2π 2 f 0 t) + B 3 sin (2π 3 f 0 t) + Επειδή όμως, sinx = (e ix e -ix ) / 2i cosx = (e ix + e -ix ) / 2 επειδή δηλαδή κάθε ημίτονο (και συνημίτονο) στη μιγαδική μορφή, γράφεται σαν άθροισμα δύο μιγαδικών αριθμών με συμμετρικές συχνότητες f και f, η ανάλυση Fourier υπολογίζει και την αρνητική συχνότητα f k κάθε συχνότητας f k, έτσι ώστε οι συχνότητες που εντοπίζει / υπολογίζει η ανάλυση Fourier να είναι: f k = k (1 / N Δt) = k ( f sampling / N) = k Δf, k = -N/2 + 1,, -1, 0, 1, 2,, N/2 8.6 Υπολογίζοντας τα πλάτη Α k και B k Αφού υπολογίσαμε τις συχνότητες f k, χρειάζεται να υπολογίσουμε το πλάτος, δηλαδή το συντελεστή Α k κάθε συνημιτόνου και Β k κάθε ημιτόνου στην ανάπτυξη του σή-
ματαος x(t). Υπολογίζουμε αυτούς τους συντελεστές από το τύπο: C k = - x(t) e i 2π fk t dt = x(t j ) e -ι 2π fk t Δt Επειδή, Βρίσκουμε ότι: f k = (k Δf) (j Δt) = k j f sampling / N Δτ = k j /n όπου, C k = Δt x(t j ) e i 2π j k / N = Δt Χ k Χ k = x(t j ) e i 2π j k / N k = -N/2 + 1,., -1, 0, 1,., N/2 Οι όροι Χ k υπολογίζονται από τη συνάρτηση FFT. Οι όροι από 0 μέχρι Ν/2 αποθηκεύονται στις θέσεις 0, 1, 2,, Ν/2 του πίνακα. Οι όροι για κ = -Ν/2+ 1,, -1, αποθηκεύονται στις θέσεις Ν/2 + 1, Ν/2 + 2,, Ν 1 του πίνακα. Οι όροι Α k που είναι οι συντελεστές των ημιτόνων αντιστοιχούν στους πραγματικούς όρους που υπολογίζονται από τη συνάρτηση Fourier, Οι όροι Β k που είναι οι συντελεστές των ημιτόνων αντιστοιχούν στους μιγαδικούς όρους που υπολογίζονται από τη συνάρτηση Fourier. Μπορούμε τώρα, έχοντας αναλύσει τις βασικές θεωρητικές έννοιες να ξεκινήσουμε να γράφουμε το πρόγραμμα της ανάλυσης Fourier. 8.7 Σχεδιάζοντας το Front Panel του Προγράμματος για την Ανάλυση Fourier Για να δημιουργήσουμε το front panel του προγράμματος, ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 8.7.1 Στo front panel, από τη κατηγορία Text Controls, επιλέγουμε το File Path Ctrl : Text Controls File Path Ctrl
Εικόνα 5: Το front panel του προγράμματος της ανάλυσης Fourier.
Θα χρησιμοποιήσουμε το File Path Ctrl, για να προσδιορίσουμε το όνομα και τη θέση του αρχείου που περιέχει το ηχητικό σήμα που θα αναλύσουμε. Πατώντας στο εικονίδιο του File Path, ανοίγει ο οδηγός εξερεύνησης των Windows, για να προσδιορίσουμε το όνομα και τη θέση του αρχείου που περιέχει το σήμα x(t) που θα αναλύσουμε, μέσα από τον οδηγό εξερεύνησης. 8.7.2 Στo front panel, από τη κατηγορία Graph Indicators, επιλέγουμε το Waveform Graph: Graph Indicators Waveform Graph Στο Waveform Graph θα παριστάνουμε το σήμα x(t), στο πεδίο του χρόνου. 8.7.3 Πάλι στo front panel, από τη κατηγορία Graph Indicators, επιλέγουμε το ΧΥ Graph: Graph Indicators XY Graph Θα χρησιμοποιήσουμε το XY Graph, για τη φασματική παράσταση του σήματος x(t). Στο XY Graph δηλαδή, θα παριστάνουμε το αποτέλεσμα της α- νάλυσης Fourier, δηλαδή το σήμα x(t) στο πεδίο της συχνότητας. 8.7.4 Δημιουργούμε μία ένδειξη, για να παριστάνουμε το διάστημα Δτ της δειγματοληψίας, δηλαδή το διάστημα Δt, ανάμεσα σε διαδοχικά δείγματα του σήματος x(t). Έτσι, από τη κατηγορία Numeric Indicators, επιλέγουμε την ένδειξη Num Ind (Numeric Indicator): Numeric Indicators Num Ind 8.7.5 Κάνουμε διπλό κλικ στο όνομα της ένδειξης που εξορισμού, είναι Numeric και αλλάζουμε την ονομασία του, σε Δt (Εικόνα 5). 8.7.6 Δημιουργούμε μία ακόμα ένδειξη, για να παριστάνουμε το πλήθος Ν των δειγμάτων του σήματος x(t). Πάλι, από τη κατηγορία Numeric Indicators, επιλέγουμε την ένδειξη Num Ind (Numeric Indicator): Numeric Indicators Num Ind
Εικόνα 6: Το δομικό διάγραμμα της ανάλυσης Fourier.
Κάνουμε διπλό κλικ στο όνομα της ένδειξης που εξορισμού, είναι Numeric και αλλάζουμε την ονομασία του, σε Ν (Εικόνα 5). 8.8 Δημιουργία του Δομικού Διαγράμματος Για να δημιουργήσουμε το πρόγραμμα 7.5, της ανάλυσης ημιτόνου, εκτελούμε τα παρακάτω βήματα: 8.8.1 Από τη κατηγορία Programming Graphics & Sound Sound Files, επιλέγουμε τη συνάρτηση Simple Read: Programming Graphics & Sound Sound Files Simple Read 8.8.2 Συνδέουμε την έξοδο του εικονιδίου του File Path, στην είσοδο Path του μπλοκ Simple Read. Έτσι, η εντολή Simple Read θα διαβάσει τις τιμές του σήματος x(t), από το αρχείο όπου έχουμε αποθηκεύσει αυτές τις τιμές και που τη θέση αυτού του αρχείου στον υπολογιστή, προσδιορίζουμε μέσα από το File Path. 8.8.3 Από τη κατηγορία Programming Array, επιλέγουμε το μπλοκ Programming Array Index Array Συνδέουμε την έξοδο data της Simple Read, στην είσοδο array της Index Array. Στην είσοδο index του μπλοκ Index Array, συνδέουμε τη σταθερά 0 (Εικόνα ). Επειδή η ηχογράφηση και μετά, η αποθήκευση του ηχητικού σήματος x(t), σ ένα αρχείο ήχου, μπορεί να περιέχει / να περιλαμβάνει δύο κανάλια δεδομένων, η εντολή Index Array θα αποσπάσει το ένα από αυτά τα κανάλια, δηλαδή τη πρώτη στήλη τιμών (στήλη 0), από το αρχείο ήχου. 8.8.4 Από τη κατηγορία Programming Waveform, επιλέγουμε τη συνάρτηση Get Waveform Components: Programming Waveform Get Waveform Components Η συνάρτηση Get Waveform Components αναλύει μία κυματομορφή στις X και Υ τιμές αυτής της κυματομορφής. Αυτή η συνάρτηση δηλαδή, δίνει:
Τις Y τιμές της κυματομορφής Το σταθερό διάστημα Δt, ανάμεσα σε δύο διαδοχικές τιμές Υ n καιy n+1 της κυματομορφής 8.8.5 Από τη κατηγορία Signal processing Transforms, επιλέγουμε το μετασχηματισμό Fourier FFT (Fast Fourier Transform): Signal Processing Transforms FFT 8.8.6 Συνδέουμε την έξοδο Υ του μπλοκ Get Waveform, στην είσοδο του FFT. H συνάρτηση FFT υπολογίζει τα πλάτη, δηλαδή τους συντελεστές A k των συνημιτόνων και B k των ημιτόνων, στη παράσταση του σήματος x(t), σαν άθροισμα ημιτόνων και συνημιτόνων. 8.8.7 Η συνάρτηση FFT υπολογίζει τους συντελεστές A k και B k, σαν τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη, αντίστοιχα μιγαδικών αριθμών: C k = A k + i B k Γι αυτό, χρειάζεται να χωρίσουμε το πραγματικό από το φανταστικό μέρος κάθε μιγαδικού συντελεστή C k Από τη κατηγορία Programming Numeric Complex, επιλέγουμε τη συνάρτηση Complex to Real / Im: Programming Numeric Complex Complex to Real / Im 8.8.8 Πριν ακόμα συνδέσουμε την έξοδο του μπλοκ FFT στην είσοδο της Complex to Real / Im, διαιρούμε την έξοδο της FFT, δηλαδή κάθε μιγαδικό συντελεστή C k, όπου C k = A k + i B k δια του πλήθους Ν των δειγμάτων του σήματος x(t). 8.8.9 Αφού διαιρέσουμε κάθε μιγαδικό συντελεστή C k που υπολογίζει η FFT δια Ν, συνδέουμε την έξοδο της διαίρεσης στην είσοδο του μπλοκ Complex to Real / Im. Η συνάρτηση Complex to Real / Im θα αποσπάσει το πραγματικό μέρος Α k από το φανταστικό B k, κάθε μιγαδικού συντελεστή C k = A k + i B k, δίνοντας τους συνετλεστές A k των συνημιτόνων και τους συντελεστές B k των ημιτόνων.
Σ αυτό το στάδιο, έχουμε υπολογίσει τους συντελεστές A k των συνημιτόνων και B k των ημιτόνων, στη παράσταση του σήματος x(t), σαν άθροισμα ημιτόνων και συνημιτόνων. Απομένει να υπολογίσουμε τις συχνότητες f k των συνημιτόνων και ημιτόνων που αντιστοιχούν στους συντελεστές A k και B k, για ολοκληρώσουμε την ανάλυση Fourier και να παραστήσουμε το σήμα x(t) στο πεδίο της συχνότητας, δηλαδή σαν συνάρτηση των συχνοτήτων f k από τις οποίες αποτελείται. 8.8.10 Από τη περίοδο dt της δειγματοληψίας, υπολογίζουμε τη συχνότητα της δειγματοληψίας f s. 8.8.11 Διαιρούμε τη συχνότητα της δειγματοληψίας δια του πλήθους των δειγμάτων, για να υπολογίσουμε το διάστημα Δf ανάμεσα σε διαδοχικές συχνότητες. 8.8.12 Χρησιμοποιούμε την εντολή επανάληψης For, για να δημιουργήσουμε τις συχνότητες που θα επιχειρήσουμε να αναλύσουμε το σήμα. Για κάθε συχνότητα, ο μετασχηματισμός Fourier, υπολογίζει το αντίστοιχο πλάτος A k, σ αυτή τη συχνότητα. 8.8.13 Συνδυάζουμε τιμές συχνότητας και πλάτους, χρησιμοποιώντας την εντολή Bundle. 8.8.14 Παριστάνουμε το πλάτος σα συνάρτηση της συχνότητας, στην οθόνη XY Graph 20