ΦΥΣ - Διαλ.03 Ολική στροφορμή q Ορίζουμε την θέση ενός σημείου I από το κέντρο μάζας: r = r R q Ορίζουμε επίσης τις ταχύτητες: v = " r v = και R " Ø Υπολογίζουμε την ολική στροφορμή L = r p = L = R M v + ( r + R ) m v + v ( ) r m v Η στροφορμή της κίνησης συγκεντρωμένη στο CM Στροφορμή της κίνησης γύρω από το CM
Ολική στροφορμή q Θεωρήστε τη κίνηση ενός πλανήτη γύρω από τον ήλιο (υποθέτουμε ότι εξαιτίας της μάζας του είναι ακίνητος). L πλαν. = L περιστρ. + L spn q Ο διαχωρισμός είναι χρήσιμος γιατί πολύ συχνά τα τμήματα διατηρούνται το καθένα ξεχωριστά: L περιστρ. = R P " Lπεριστρ. = " R P + R "P = R F (e) 0 = " R M "R L περιστρ. μεταβάλλεται σαν ο πλανήτης να ήταν υλικό σημείο με όλη τη μάζα του συγκεντρωμένη στο CM. Αν η δύναμη του ήλιου στο πλανήτη ήταν ακριβώς κεντρική τότε η F (e) //R και η στροφορμή θα ήταν σταθερή. Πολύ κοντά στην πραγματικότητα ΦΥΣ - Διαλ.03 q Η μεταβολή της ιδιο-στροφορμής (spn) βρίσκεται αν γράψουμε: L spn = L πλαν. L περιστρ. Lspn " = Lπλαν ". Lπεριστρ. " () L " πλαν. = r F (e) = ( r + R ) F (e) = r F (e) + R F (e) (3) " Αντικαθιστώντας () και (3) στη () έχουμε: L spn = r F (e) = (e) τ ως προς CM ()
ΦΥΣ - Διαλ.03 3 Ολική στροφορμή q Η μεταβολή της ιδιοστροφορμής ισούται με την εξωτερική ροπή μετρούμενη ως προς το CM L " spn = r F (e) = (e) τ ως προς CM Ø Είναι λίγο απρόσμενο μια και ένα σύστημα αναφοράς συνδεδεμένο με το CM δεν είναι αδρανειακό. Ø Από τη στιγμή που η ροπή που ασκεί ο ήλιος ως προς το CM ενός οποιουδήποτε πλανήτη είναι πολύ μικρή, L spn είναι σχεδόν σταθερή Ø Στην πραγματικότητα υπάρχει μια μικρή ροπή (π.χ. για τη γη, η εξόγκωση του ισημερινού) και L spn δεν είναι σταθερή Σαν αποτέλεσμα προκαλείται περιστροφή του άξονα περιστροφής της γης ως προς τους αστέρες κατά 50 δεύτερα ακτινίου το χρόνο
ΦΥΣ - Διαλ.03 4 Κινητική ενέργεια q Το έργο που παράγεται από δύναμη είναι Οι θέσεις και είναι τώρα καταστάσεις του συστήματος (σύνολο θέσεων) W = T T όπου T = m v T = m ( v + v ) ( v + v ) = m v + m v + v d dt W = F ds q Χρησιμοποιώντας την εξίσωση της κίνησης βρίσκουμε την κινητική ενέργεια W = F d s d v v = m dt d s = m d v d s = dt m v Ø Χωρίζουμε την Τ σε μέρη (θυμηθείτε r = r + R v = v + v) m r 0 Η κίνηση επικεντρώνεται στο CM T = Mv + m v Η κίνηση γύρω από το CM
ΦΥΣ - Διαλ.03 5 Δυναμική ενέργεια,, x y z Υποθέτουμε συντηρητική εξωτερική δύναμη F (e) = V F (e) d S = V d S = V Υποθέτουμε ακόμα συντηρητικές εσωτερικές δυνάμεις F j = V j Για να ικανοποιεί τον ισχυρό νόμο δράσης-αντίδρασης:, j j F j d S V j = V j r r j ( ) Δυναμικό εξαρτάται μόνο από την απόσταση = V j d S πράξεις, j j, j j V j
ΦΥΣ - Διαλ.03 6 Διατήρηση της ενέργειας q Αν όλες οι δυνάμεις είναι συντηρητικές, μπορούμε να ορίσουμε την ολική δυναμική ενέργεια V = V + V j, j j Εσωτερική δυναμική ενέργεια Και έπεται ότι η ολική ενέργεια Τ+ V διατηρείται Εξαρτάται από την ενδο-ατομική απόσταση όλων των υλικών σημείων του συστήματος Είναι σταθερή αν η σχετική ενδοατομική κατάσταση των σημείων είναι καθορισμένη και αμετάβλητη Στερεό σώμα
ΦΥΣ - Διαλ.03 7 Δεσμοί m "" r = F = F q Η εξίσωση της κίνησης (e) + F j υποθέτει ότι σημεία j μπορούν να κινηθούν οπουδήποτε στο χώρο q Αυτό δεν είναι γενικά αληθινό Ø Στην πραγματικότητα δεν ισχύει ποτέ Ελεύθερος χώρος είναι μια κατάσταση ιδανική ü Οι μπάλες του μπιλιάρδου είναι περιορισμένες σε ένα τραπέζι v Πως μπορούμε να πάρουμε όμως υπ όψη τους διάφορους περιορισμούς στην εξίσωση της κίνησης? v Εξαρτάται από το είδος του περιορισμού
ΦΥΣ - Διαλ.03 8 Ολόνομοι Δεσμοί q Οι δεσμοί μπορούν να εκφραστούν από f (r,r,r 3,...,t) = 0 Ολόνομος δεσμός Συναρτησιακές σχέσεις μεταξύ των συντεταγμένων και του χρόνου. Οι ολόνομοι δεσµοί δεν έχουν ταχύτητες Υλικό σημείο στο επίπεδο x-y, z=0 Στερεό σώμα (r r j ) c j = 0 q Όλες οι υπόλοιπες κατηγορίες ονομάζονται μη ολόνομοι δεσμοί Ø Σημαίνει ότι δεν θέλουμε να «ξέρουμε γι αυτούς» Ø Μπορεί να υπάρχουν ανισότητες όπως z>0 Ø Μπορεί να εξαρτώνται από ταχύτητες όπως r " q Θα ασχοληθούµε µόνο µε ολόνοµους δεσµούς
ΦΥΣ - Διαλ.03 9 Ανεξάρτητες μεταβλητές Ένας ολόνομος δεσμός ελαττώνει τον αριθμό των ανεξάρτητων μεταβλητών κατά Οι βαθµοί ελευθερίας ελαττώνονται κατά Αν z=0, τότε απομένουν μόνο τα x, y Ίσως να μπορούμε να λύσουμε τον περιορισμό του δεσμού για τη μια μεταβλητή f (r,r,r 3,...,t) = 0 x = g(y, z,r,r 3,...,t) και επομένως να αποφύγουμε την μια μεταβλητή Ίσως χρειαστεί να αλλάξουμε σε μια τελείως διαφορετική ομάδα μεταβλητών Έστω σημείο στην επιφάνεια μιας σφαίρας x + y + z = c μπορούμε να ορίσουμε μια διαφορετική ομάδα μεταβλητών: (θ,φ) Νέο set των μεταβλητών à γενικευμένες συντεταγμένες
ΦΥΣ - Διαλ.03 0 Γενικευμένες συντεταγμένες (generalzed coordnates) q Ν υλικά σημεία έχουν 3Ν βαθμούς ελευθερίας Εισάγουμε Κ ολόνομους δεσμούς και μειώνουμε τους βαθμούς ελευθερίας σε 3Ν-Κ Χρησιμοποιώντας γενικευμένες συντεταγμένες q, q,.., q 3N-K r = r ( q, q,q 3,...,t) Εξισώσεις μετασχηματισμού από r l σε q l Παράδειγμα: x = csnθ cosϕ y = csnθ snϕ z = ccosθ Μετασχηματισμός από το (x,y,z) στο (θ,φ)
Παράδειγμα x + y + z R = 0, z 0 ΦΥΣ - Διαλ.03 Έστω ότι θέλουμε να βρούμε ένα set από γενικευμένες συντεταγμένες για ένα υλικό σημείο που κινείται πάνω σε ημισφαίριο ακτίνας R του οποίου το κέντρο είναι στην αρχή των αξόνων Ο. Λύση: Εφόσον η κίνηση συμβαίνει πάνω στη σφαιρική επιφάνεια έχουμε: Θεωρώ σαν γενικευμένες συντεταγμένες τα συνημίτονα των γωνιών μεταξύ των x, y και z αξόνων με τη γραμμή που συνδέει την αρχή των αξόνων με το υλικό σημείο. Επομένως θα πάρω: q = x R, q = y R, q 3 = z R Αλλά για τα συνημίτονα κατεύθυνσης μιας ευθείας ισχύει: q + q + q 3 = Το σύνολο των q j δεν αποτελεί κανονικό σύνολο γενικευμένων συντεταγμένων αφού μπορούμε να γράψουμε π.χ. το q 3 συναρτήσει των q και q q 3 = q q z = R x y To αποτέλεσμα είναι προφανές αλλά δείχνει ότι η εξίσωση του δεσμού μπορεί πάντα να δώσει το σωστό σύνολο γενικευμένων συντεταγμένων
ΦΥΣ - Διαλ.03 Είδη δεσμών q Είδαμε ότι δεσμοί που περιγράφονται από τη συναρτησιακή σχέση f (r,r,r 3,...,r N,t) = 0 ονομάζονται ολόνομοι δεσμοί όταν δεν εξαρτώνται από ταχύτητες Όταν εξαρτώνται ρητά από τον χρόνο, όπως στην παραπάνω σχέση, ονομάζονται ρεόνομοι Όταν δεν υπάρχει χρονική εξάρτηση τότε λέγονται σκληρόνομοι f (r,r,r 3,...,r N ) = 0 q Δεσμοί που δεν πληρούν την παραπάνω εξίσωση ή εξαρτώνται από ταχύτητες ονομάζονται μη-ολόνομοι. Παραδείγματα μή ολόνομων δεσμών: (α) Σώμα κινείται στην επιφάνεια σφαίρας υπό την επίδραση της βαρύτητας. Σε κάποιο σημείο χάνει επαφή με την επιφάνεια (β) Τα μόρια ενός αερίου μέσα σε ένα δοχείο (γ) Κύλιση χωρίς ολίσθηση ενός δίσκου πάνω σε μια επιφάνεια
ΦΥΣ - Διαλ.03 3 Κύλιση χωρίς ολίσθηση δίσκου σε επιφάνεια Παράδειγμα μη ολόνομου περιορισμού y φ R θ υ x H θέση του δίσκου μπορεί να προσδιοριστεί από τις συντεταγμένες φ,θ Η θέση του κέντρου του δίσκου όταν προβάλεται στο xy επίπεδο είναι ίδια με τη θέση του σημείου που στιγμιαία είναι ακίνητο (σημείο επαφής) και έχει συντεταγμένες (x,y). Οι εξισώσεις που ισχύουν είναι: υ = R ϕ x = υ snθ = R ϕ snθ y = υ cosθ = R ϕ cosθ dx = Rsnθdϕ dy = R cosθdϕ Αν οι σχέσεις μπορούσαν να ολοκληρωθούν τότε θα είχαµε εξισώσεις f (x,θ,ϕ) = 0, f (y,θ,ϕ) = 0 Μπορεί να υποθέτατε ότι οι εξισώσεις μπορούν να λυθούν και να δώσουν x(θ,ϕ), y(θ,ϕ) Αλλά δεν ισχύει dt
ΦΥΣ - Διαλ.03 4 Μαθηματική απόδειξη Ø Αν για παράδειγμα η σχέση dy = R cosθdϕ ήταν το διαφορικό μιας συνάρτησης f (y,θ,ϕ) = 0 τότε θα είχαμε: f y dy + f θ dθ + f ϕ dϕ = 0 () Από την αρχική εξίσωση dy = Rcosθdϕ dy + Rcosθdϕ = 0 συμπεραίνουμε ότι f θ = 0 και ότι f ϕ = Rcosθ () Αλλά εν γένει για καλά ορισμένη συνάρτηση δεν παίζει ρόλο η σειρά με την οποία εφαρμόζουμε διαφορικά, δηλαδή θα πρέπει να ισχύει: f θ ϕ = f ϕ θ Ωστόσο από την () έχουμε ότι f ϕ θ = 0 f θ ϕ = Rsnθ και επομένως δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση f
ΦΥΣ - Διαλ.03 5 Γιατί όµως δεσµοί? q Οι δεσμοί είναι μια ιδεατή κλασική έννοια Ø Στην QM τίποτα δεν είναι τέλεια περιορισμένο Αβεβαιότητα q Πόσο χρήσιμο είναι να εναλλάσουμε μεταξύ συντεταγμένων? Περισσότερο απ ότι φαίνεται
ΦΥΣ - Διαλ.03 6 Δεσµοί και δύναµη q Ένας ολόνομος δεσμός είναι μια άπειρα ισχυρή δύναμη Ø ή ένα απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού q Η πραγματικότητα είναι κάτι ενδιάμεσο Ø Ηλεκτρόνιο του ατόμου του υδρογόνου ελεύθερο περιορισμένο Το ηλεκτρόνιο υπόκειται σε μια ισχυρή ακτινική (δέσμια) δύναμη Μπορεί ωστόσο να κινείται ελεύθερα γύρω από τον πυρήνα Η δέσμια δύναμη κάνει την ακτινική διεύθυνση,r, ιδιαίτερη
ΦΥΣ - Διαλ.03 7 Συµµετρία και δύναµη q Χωρίς δυνάμεις, όλα τα συστήματα συντεταγμένων είναι ισοδύναμα Ø x-y-z είναι το απλούστερο q Η παρουσία της δύναμης σπάει την συμμετρία Ø κάποια συστήματα συντεταγμένων «δουλεύουν» καλύτερα από άλλα q Οι γενικευμένες συντεταγμένες προσφέρουν ένα φυσικό τρόπο για να περιγράψουν συστήματα με δυνάμεις q Οι δεσμοί είναι ιδιαίτερες ιδιάζουσες τραβηγμένες περιπτώσεις q Ωστόσο ο φορμαλισμός που θα χρησιμοποιήσουμε περιέχει τρόπο για να τους λάβουμε υπ όψην
ΦΥΣ - Διαλ.03 8 Εξισώσεις Lagrange d dt L q j Συνταγή L = 0 L q, q,t q j ( ) T V Lagrangan Ø Εκφράζουμε L = T V ως προς τις γενικευμένες συντεταγμένες, τις παραγώγους τους ως προς το χρόνο { q j } και χρόνο t {q j } Ø Το δυναμικό V = V(q,t) πρέπει να υπάρχει ² Όλες οι δυνάμεις πρέπει να ναι συντηρητικές Κινητική ενέργεια Δυναμική ενέργεια q Ένα γρήγορο παράδειγμα
ΦΥΣ - Διαλ.03 9 Μονοδιάστατη κίνηση υλικού σημείου q Τo υλικό σημείο κινείται στον x-άξονα q Κινητική και δυναμική ενέργεια x = x(t), y = 0, z = 0 T = m x V = V(x) L = m x V(x) d dt L q j L = 0 q j d dt L x L q j = = d mx V(x) = d dt x dt m x V ( x) = V ( x) x x ( mx ) = mx mx + V x = 0 Ισοδύναμη με την εξίσωση του Newton δεδομένου ότι F x = V x