. Ιδιότητες φακών 2 Απριλίου 203 Λεπτοί φακοί. Βασικές έννοιες Φακός είναι ένα οπτικό σύστημα με δύο διαθλαστικές επιφάνειες. Ο απλούστερος φακός έχει δύο σφαιρικές επιφάνειες αρκετά κοντά η μία με την άλλη ώστε να μπορούμε να αγνοήσουμε την απόστασή τους (δηλαδή το πάχος του φακού). Ο φακός αυτός ονομάζεται λεπτός φακός.. Ένας φακός του είδους που φαίνεται στο σχήμα, έχει την εξής ιδιότητα: όταν διέρχεται από αυτόν μια δέσμη παραλλήλων ακτινών, οι ακτίνες που εξέρχονται συγκλίνουν σε ένα σημείο F 2 (σχήμα a). Παρομοίως, οι ακτίνες που διέρχονται από το σημείο F εξέρχονται από το φακό ως δέσμη παραλλήλων ακτινών (σχήμα b). Τα σημεία F και F 2 ονομάζονται εστίες. Το F καλείται πρώτη εστία ή εισερχόμενη εστία και το F 2 δεύτερη εστία ή εξερχόμενη εστία. Αν το ίδιο οπτικό μέσο υπάρχει δεξιά και αριστερά του φακού, τότε οι δύο εστίες είναι συμμετρικές ως προς το κέντρο Ο του φακού. Δηλαδή η καθεμία απέχει από το κέντρο του φακού απόσταση ίση με f. Η τιμής της F καλείται εστιακή απόσταση του φακού. Στο φακό του σχήματος, η εστιακή απόσταση είναι θετική και ο φακός καλείται συγκλίνων ή θετικός φακός. Μια δέσμη παραλλήλων ακτινών όταν προσπίπτει στον φακό του σχήματος 2 αποκλίνει μετά τη διάθλαση γι αυτό και ο φακός ονομάζεται αποκλίνων. Η εστιακή του απόσταση είναι αρνητική και επίσης ονομάζεται αρνητικός φακός. Οι εστίες του φακού αυτού έχουν αντίστροφη διάταξη σε σχέση με τις αντίστοιχες εστίες του συγκλίνοντα φακού: η πρώτη εστία είναι δεξιά και η δεύτερη αριστερά του φακού. Η δεύτερη εστία F 2 ενός αποκλίνοντα φακού είναι το σημείο από το οποίο φαίνεται να ξεκινούν ακτίνες παράλληλες αρχικά προς τον οπτικό άξονα φαίνονται ότι αποκλίνουν μετά τη διάθλαση, όπως στο σχήμα 2a. Οι εισερχόμενες ακτίνες που τέμνονται αρχικά στην εστία F 2 όπως στο σχήμα 2b εξέρχονται από το φακό παράλληλες προς τον άξονά του. Σχήμα : Οι δύο εστίες F και F 2 ενός συγκλίνοντος λεπτού φακού. Η εστιακή απόσταση f είναι θετική.
Σχήμα 2: Πρώτh και δεύτερh εστία ενός αποκλίνοντος λεπτού φακού. Η αριθμητική τιμή της f είναι αρνητική.. Σχήμα 3: (a) συγκλίνοντες φακοί: μηνίσκος, επιπεδόκυρτος και αμφίκυρτος. (b) αποκλίνοντες φακοί: μηνίσκος, επιπεδόκοιλος και αμφίκοιλος. Διάφορες μορφές φακών, συγκλίνοντες και αποκλίνοντες, φαίνονται στο σχήμα 3. Κάθε φακός παχύτερος στο κέντρο και λεπτότερος στην περιφέρεια είναι συγκλίνων φακός με θετική εστιακή απόσταση f, και κάθε φακός παχύτερος στην περιφέρεια και λεπτότερος στο κέντρο είναι αποκλίνων φακός με αρνητική εστιακή απόσταση f (υπό την προϋπόθεση ότι ο δείκτης διάθλασης του φακού είναι μεγαλύτερος από τον δείκτη διάθλασης του περιβάλλοντος μέσου)..2 Εξίσωση κατασκευαστών των φακών Η εξίσωση των κατασκευαστών των φακών μας επιτρέπει να συσχετίζουμε την εστιακή απόσταση f ενός φακού με τα κατασκευαστικά χαρακτηριστικά του φακού, δηλαδή με το δείκτη διάθλασης n του υλικού από το οποίο αποτελείται ο φακός με τις ακτίνες καμπυλότητας R και R 2 των σφαιρικών διαθλαστικών επιφανειών που ορίζουν τον φακό. Η εξίσωση κατασκευαστών των φακών είναι ( f = (n ) + ). () R R 2 2
Σχήμα 4: Ένας αμφίκυρτος λεπτός φακός. Η ακτίνα καμπυλότητας της πρώτης επιφάνειας είνα ιr και της δεύτερης R 2. Επειδή οι δύο διαθλαστικές επιφάνειες είναι κυρτές προς τα έξω, τόσο η R όσο και η R 2 παίρνουν θετικές τιμές. Στην εξίσωση (), εφαρμόζουμε την ακόλουθη σύμβαση για το πρόσημο των ακτινών καμπυλότητας. Όταν η διαθλαστική επιφάνεια είναι κυρτή προς τα έξω τότε η ακτίνα καμπυλότητας είναι θετική, εάν είναι κοίλη τότε η ακτίνα καμπυλότητας είναι αρνητική και εάν είναι επίπεδη η ακτίνα καμπυλότητας είναι άπειρη. Για παράδειγμα στο σχήμα 4, οι δύο διαθλαστικές επιφάνειες είναι κυρτές προς τα έξω άρα και η R και η R 2 είναι θετικές..3 Σχηματισμός ειδώλου Η βασική ιδιότητα των φακών που τους κάνει τοσο σημαντικούς για οπτικές εφαρμογές είναι η εξής. Για αντικείμενα κοντά στον οπτικό άξονα του φακού, οι ακτίνες που ξεκινούν από ένα σημείο ενός αντικειμένου καταλήγουν περνώντας μέσα από το φακό σε ένα και μοναδικό σημείο (το οποίο καλείτε είδωλο). Αυτό σημαίνει ότι μέσω ενός φακού ή ενός συστήματος φακών, μπορούμε να απεικονίσουμε με μοναδικό τρόπο ένα αντικείμενο σε ένα είδωλο με ίδιο σχήμα και οπτικά χαρακτηριστικά (φωτεινότητα, χρώματα, κοκ). Αυτή η ιδιότητα ισχύει προσεγγιστικά κυρίως για φωτεινές ακτίνες που σχηματίζουν μικρή γωνία με τον οπτικό άξονα του φακού. Ειδικότερα αν ονομάσουμε ως s την απόσταση του αντικειμένου από τον φακό (συμβατικά θεωρούμε το s θετικό όταντο αντικείμενο βρίσκεται στα αριστερά του φακού), και s την απόσταση του ειδώλου από τον φακό (το s είναι θετικό όταν το είδωλο είναι στα δεξιά του φακού, αλλιώς είναι αρνητικό), τότε ισχύει ο νόμος του Gauss f = s + s. (2) Αν γνωρίζουμε την εστιακή απόσταση f του φακού και την απόσταση s του αντικειμένου από το φακό, η απόσταση s του ειδώλου από το φακό δίνεται από τη σχέση s = sf s f. (3) Όταν s > 0 λέμε ότι το είδωλο είναι πραγματικό (δηλαδή μπορούμε να το δούμε) και όταν s < 0 λέμε ότι το είδωλο είναι φανταστικό (δεν μπορούμε να το δούμε, υπάρχει ιδεατά). 3
Σχήμα 5: Κανόνες για τα διαγράμματα κυρίων ακτινών. Γενικά, το είδωλο έχει το ίδιο σχήμα με το αντικείμενο αλλά διαφορετικό μέγεθος. Αν το μήκος του αντικειμένου είναι L και το μήκος του ειδώλου είναι L, τότε ορίζουμε τη μεγένθυση ως M = L L. (4) Έστω L > 0. Αν το ειδωλο είναι ορθό σε σχέση με το αντικείμενο, τότε θεωρούμε ότι L > 0, οπότε M > 0.Αν το είδωλο αντεστραμμένο σε σχέση με το αντικείμενο, τότε θεωρούμε ότι L < 0, οπότε M < 0. Ο παραπάνω ορισμός της μεγένθυσης και η σχετικοί όροι ισχύουν σε οποιοδήποτε οπτικό σύστημα. Ειδικά για τους λεπτούς φακούς, η μέγένθυση δίνεται από τη σχέση.4 Διαγράμματα κυρίων ακτινών M = s s. (5) Σε ένα λεπτό φακό μπορούμε να βρούμε τη θέση του ειδώλου γραφικά, σχεδιάζοντας απλές ακτίνες που ξεκινούν από το αντικείμενο. Η σχεδίαση των ακτινών γίνεται με βάση τους παρακάτω τρεις απλούς κανόνες που βασίζονται στις ιδιότητες ενός λεπτού φακού (σχήμα 5) Εισερχόμενη ακτίνα παράλληλη με τον οπτικό άξονα εξέρχεται από την εξερχόμενη εστία. Εισερχόμενη ακτίνα που περνά από την εισερχόμενη εστία εξέρχεται παράλληλη στον οπτικό άξονα. Ακτίνα που περνά από το οπτικό κέντρο του φακού εξέρχεται χωρίς εκτροπή. Τα διαγράμματα που κατασκευάζουμε με βάση αυτούς τους κανόνες καλούνται διαγράμματα κυρίων ακτινών. Τα διαγράμματα κυρίων ακτινών και ο σχηματισμός ειδώλου σε απλούς φακούς δίνονται στα σχήματα 6-9. 2 Συστήματα φακών 2. Γενικά Τα περισσότερα οπτικά συστήματα αποτελούνται από δύο ή και περισσότερους φακούς. Ένα οπτικό σύστημα σκοπεύει στη δημιουργία ενός ειδώλου από ένα αντικείμενο. Για τη μελέτη συστημάτων φακών ακολουθούμε τον ακόλουθο κανόνα. Το είδωλο του πρώτου φακού είναι αντικείμενο 4
Σχήμα 6: Διαγράμματα κυρίων ακτινών για συγκλίνοντα φακό, για s > f και s < f. Σχήμα 7: Διαγράμματα κυρίων ακτινών για συγκλίνοντα φακό, για s = f και s =. 5
Σχήμα 8: Διαγράμματα κυρίων ακτινών για αποκλίνοντα φακό, για s > f και s < f. Σχήμα 9: Διαγράμματα κυρίων ακτινών για αποκλίνοντα φακό, για s = f και s =. 6
Σχήμα 0: Διαγράμματα κυρίων ακτινών για σύστημα δύο συγκλινόντων φακών. για το δεύτερο φακό, το είδωλο του δεύτερου φακού αντικείμενο για τον τρίτο, κοκ. Το είδωλο του τελευταιου φακού καλείται είδωλο του συστήματος φακών. Το είδωλο ενός συστήματος φακών καλείται πραγματικό αν βρίσκεται μετά από τον τελευταίο φακό, αλλιώς καλείται φανταστικό. ορθό αν διατηρεί την κατεύθυνση του αντικειμένου, αλλιώς καλείται αντεστραμμένο. Η μεγένθυση ενός συστήματος φακών, ορίζεται πάλι σύμφωνα με τη σχέση (4). Για να χαράξετε το διάγραμμα κυρίων ακτινών σε ένα σύστημα φακών ακολουθείτε την εξής μεθοδολογία.. Χαράζετε τον οπτικό άξονα του συστήματος. 2. Τοποθετείτε υπό κλίμακα κάθε φακό στο διάγραμμα. Ένας λεπτός φακός έχει ιδεατά μηδενικό πάχος, οπότε τοποθετείται στο διάγραμμα ως μία ευθεία κάθετη στον οπτικό άξονα. Οι αποστάσεις μεταξύ των διαφορετικών φακών πρέπει να δίνονται υπό κλίμακα. 3. Εντοπίζετε τις εστίες των φακών. Θυμίζουμε ότι σε έναν συγκλίνοντα φακό η πρώτη εστία είναι πριν το φακό και η δεύτερη μετά, ενώ σε έναν αποκλίνοντα η πρώτη εστία είναι μετά το φακό και η δεύτερη πριν. 4. Τοποθετείτε το αντικείμενο. 5. Φέρνετε διαγράμματα ακτινών ώστε να εντοπίσετε το είδωλο του αντικειμένου ως προς τον πρώτο φακό. Στη συνέχεια θεωρείτε το είδωλο του πρώτου φακού ως αντικείμενο για το δεύτερο και βρίσκετε το είδωλο για το δεύτερο με διαγράμματα κυρίων ακτινών, κοκ, μέχρι να βρεθεί το τελικό είδωλο. 2.2 Σύστημα δύο φακών Θεωρούμε συστημα δύο φακών, εστιακών αποστάσεων f και f 2 που βρίσκονται σε απόσταση ίση με d βλέπε σχήμα 0. Αν το αντικείμενο βρίσκεται σε απόσταση s από τον πρώτο φακό, θα σχηματίσει είδωλο ως προς τον πρώτο φακό, σε απόσταση s από τον πρώτο φακό, όπου s = f s s f. (6) 7
Το είδωλο του πρώτου φακού βρίσκεται σε απόσταση d s από το δευτερό φακό. Θεωρώντας το είδωλο του πρώτου φακού ως αντικείμενο για το δεύτερο, η απόσταση s από το δεύτερο φακό όπου σχηματίζεται είδωλο (το είδωλο του συστήματος φακών) είναι Η μεγένθυση του ειδώλου είναι ( M = s ) ( ) s s d s s = f 2(d s ) d s f 2. (7) = s s.) (8) (d s )s Θεωρούμε σύστημα όπου και οι δύο φακοί είναι συγκλίνοντες, f > 0 και f 2 > 0. Τότε το είδωλο του συστήματος είναι πραγματικό, αν ισχύει η σχέση (d s )(d s f 2 ) > 0. (9) Αν το είδωλο είναι ορθό (M > 0), τότε από τη σχέση (8), d s > 0, οπότε πρέπει να ισχύει d s f 2 > 0. Άρα για επαρκώς μεγάλη απόσταση d ένα σύστημα δυο συγκλινόντων φακών δίνει πραγματικό και ορθό είδωλο. Παρατηρείται ότι πραγματικό και ορθό είδωλο δεν μπορεί να προκύψει αν χρησιμοποιήσουμε μόνο ένα φακό. Για μικρές τιμές της απόστασης d, το είδωλο είναι πραγματικό και φανταστικό. Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα των δύο φακών συμπεριφέρεται ως ένας συγκλίνοντας φακός. Αυτό ισχύει γενικότερα, ακόμα και αν οι δύο φακοί δεν είναι συγκλίνοντες. Για μικρές τιμές της απόστασης d, ένα σύστημα δύο φακών εστιακών αποστάσεων f και f 2 συμπεριφέρεται ως ένας φακός εστιακής απόστασης f, όπου Στην ειδική περίπτωση όπου οι δύο φακοί εφάπτονται (d = 0), τότε 3 Παχιοί φακοί f = + d. (0) f f 2 f f 2 f = f + f 2. () Η έννοια του λεπτού φακού είναι μία ιδεατή περιγραφή ενός πραγματικού φακού κατά την οποία μπορούν να αγνοηθούν όσα φαινόμενα σχετίζονται με το μη μηδενικό πάχος του. Οι πραγματικοί φακοί έχουν μη-μηδενικό πάχος και αυτό μπορεί να επηρεάσει σημαντικά τις οπτικές του ιδιότητες.. Ένας παχύς φακός είναι ένα σώμα πάχους d, από υλικό με δείκτη διάθλασης n, του οποίου τα σύνορα είναι σφαιρικά με ακτίνες καμπυλότητας R και R 2. Θεωρούμε ότι οι ακτίνες καμπυλότητας είναι θετικές αν είναι κυρτές (τα κοίλα προς τα μέσα) και αρνητικές αν είναι κοίλες (τα κοίλα προς τα έξω). Σε αντίθεση με τους λεπτούς φακούς, για τους οποίους οι οπτικές ιδιότητες προσδιορίζονται πλήρως από τον προσδιορισμό των εστιακών τους σημείων, οι οπτικές ιδιότητες ενός παχιού φακού απαιτούν τον προσδιορισμό των κύριων σημείων και 2 επιπλέον των δύο εστιακών σημείων F και F 2. Ειδικότερα, Τα εστιακά σημεία ορίζονται όπως και στους λεπτούς φακούς. Μια δέσμη παράλληλων ακτινών που εισέρχεται στο φακό παράλληλα στον κύριο άξονά του συγκλίνει στο δεύτερο εστιακό σημείο του φακού. Το δεύτερο κύριο σημείο ορίζεται ως εξής. Έστω μία ακτίνα πέφτει στο φακό παράλληλα στον άξονά του. Φέρουμε την προέκταση της ακτίνας μέσα στο φακό, και φέρουμε την προέκταση της εξερχόμενης ακτίνας μέσα στο φακό. Προβάλλουμε το σημείο που τέμνονται στον κύριο άξονα. Αυτό αποτελεί το δεύτερο κύριο σημείο. Ανάλογα ορίζεται και το πρώτο κύριο σημείο. 8
Σχήμα : Εστιακά και κύρια σημεία ενός παχιού φακού. Σχήμα 2: Εστιακές και κύριες αποστάσεις ενός παχιού φακού. Τα κύρια σημεία του φακού είναι ιδιαίτερα σημαντικά. Όπως θα δούμε στη συνέχεια, σε ότι αφορά στο σχηματισμό ειδώλων ένας παχύς φακός δρα όπως ένας λεπτός που το κέντρο του βρίσκεται στο κύριο σημείο. Τα κύρια σημ εία δε χρειάζεται να βρίσκονται στο εσωτερικό του φακού, όπως δείχνεται στο σχήμα 2. Σχήμα 2. Το πρώτο κύριο σημείο P και το δεύτερο κύριο σημείο P για διαφορετικά είδη παχιών φακών. Οι βασικές ποσότητες που χαρακτηρίζουν ένα παχύ φακό είναι οι εξής. Η εστιακή απόσταση f, η οποία ορίζεται ως η απόσταση ενός εστιακού σημείου από το αντίστοιχο κύριο σημείο του φακού. Η τιμή της δίνεται από τη σχέση ( = (n ) + ) d(n ). (2) f R R 2 nr R 2 Οι κύριες αποστάσεις του φακού h και h 2, οι οποίες ορίζονται ως οι αποστάσεις του πρώτου και δεύτερου κύριου σημείου του φακού από το αντίστοιχο άκρο του φακού. Η σύμβαση είναι τέτοια ώστε αν τα δύο κύρια σημεία βρίσκονται εντός του φακού η τιμή των h και h 2 να είναι θετική. Δίνονται από τις σχέσεις h = fd(n ) nr 2 h 2 = Για την εύρεση ειδώλου σε παχύ φακό ισχύει η σχέση του Gauss fd(n ) nr (3) f = s + s, (4) αλλά εδώ s είναι η απόσταση του αντικειμένου από το πρώτο κύριο σημείο και s η απόσταση του ειδώλου από το δεύτερο κύριο σημείο. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα παχύ φακό η περιοχή του φακού μεταξύ των δύο κύριων σημείων είναι ανενεργός οπτικά. 9
Σχήμα 3: Διάγραμμα κυρίων ακτινών για έναν παχύ φακό.. 0