ΥΟ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Από την θεωρία της Τριγωνοµετρίας είναι γνωστοί δύο νόµοι: ο νόµος του ηµιτόνων και ο νόµος του συνηµιτόνων, οι οποίοι ισχύουν για τυχαίο τρίγωνο. Έστω ένα τυχαίο τρίγωνο ABC: ΓΙΑ ΤΗΝ ΙΣΤΟΡΙΑ Ιδρυτής της Τριγωνοµετρίας θεωρείται ο µαθηµατικός και αστρονόµος Ίππαρχος (19 πχ-12 πχ), ο οποίος έκανε τις επιστηµονικές του µελέτες στη νήσο Ρόδο. Σχ. 1: Ένα τυχαίο τρίγωνο Ο ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ:: Ο νόµος αυτός λέει ότι η κάθε πλευρά ενός τυχαίου τριγώνου είναι ανάλογη του ηµιτόνου της απέναντι γωνίας. Ο µαθηµατικός τύπος είναι ο εξής: a b c = = (1) sina sinb sinc Ο ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ: Ο νόµος αυτός λέει ότι το τετράγωνο της κάθε πλευράς του τριγώνου ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών µειωµένο κατά το διπλάσιο γινόµενό τους επι το συνιµήτονο της περιεχοµένης υπο αυτών γωνίας. Ο µαθηµατικός τύπος είναι ο εξής: a = b + c - 2bccosA b = a + c - 2accosB c = a + b - 2abcosC (2) Παρατήρηση 1η: Ο νόµος των συνηµητόνων είναι επέκταση του Πυθαγορείου θεωρήµατος για τυχαίο τρίγωνο! Πράγµατι, στην περίπτωση ενός ορθογωνίου τριγώνου η µια γωνία είναι ορθή, οπότε το συνηµίτον της είναι µηδέν. Πχ αν η γωνία Α = 9 ο, τότε cos A= ), και δίνει: 2 2 a = b + c a = b + c Παρατήρηση 2η: Στην Γεωµετρία, τα µήκη των ευθυγράµµων τµηµάτων θεωρούνται πάντα θετικές ποσότητες. Ως εκ τούτου, οι τετραγωνικές ρίζες (ή γενικά οι αρτίας τάξεως ρίζες) είναι θετικές και όχι αρνητικές. 1 Απόστολος Κ. Ζαφειρόπουλος, Ph.D., EαρινόEξάµηνο. 211-12
ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΥΟ ΝΟΜΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΥΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟ Ο ΤΟΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ Έστω δύο διανύσµατα A και B τα οποία µεταξύ τους σχηµατίζουν γωνία φ, και C το άθροισµά τους (όπου C= A+ B= B+ A, δηλ. ισχύει η αντιµεταθετική ιδιότητα). Τα διανύσµατα τα προσθέτουµε µε την µέθοδο του παραλληλογράµµου όπως φαίνεται στο Σχ. 2: Σχ. 2: Πρόσθεση διανυσµάτων µε την µέθοδο του παραλληλογράµµου Μέτρο του αθροίσµατος C Απο το τρίγωνο OKL, και σύµφωνα µε τον νόµο του συνηµιτόνου, έχουµε: C = A + B AB ϕ 2 cos(18 ) Αλλά επειδή: ϕ = ϕ, η ανωτέρω σχέση γίνεται: cos(18 ) cos 2 2 C A B 2AB cosϕ = + + (3) ιεύθυνση του αθροίσµατος C Το µήκος του διανύσµατος C, χωρίζει το παραλληλόγραµµο ONKL σε δύο ίσα τρίγωνα, τα ONK και OKL. Αν θεωρήσουµε ένα απο αυτά πχ το OKL, και εφαρµόσουµε τον νόµο των ηµιτόνων, θα έχουµε: C B = ϕ ω sin(18 ) sin Αλλά επειδή: ϕ = ϕ, η ανωτέρω σχέση γίνεται: sin(18 ) sin C B 1 sin B = ω = sinϕ sinϕ sinω C (4) 2 Απόστολος Κ. Ζαφειρόπουλος, Ph.D., EαρινόEξάµηνο. 211-12
Η γωνία ω δίνει την διεύθυνση του διανύσµατος C ως προς το διάνυσµα A, γεγονός το οποίο φαίνεται και απο το Σχ. 2. Αν οι απαιτήσεις του προβλήµατος επιβάλλουν να υπολογισθεί η γωνία που δίνει την διεύθυνση του διανύσµατος C ως προς το διάνυσµα B, τότε εφαρµόζουµε τον νόµο των ηµιτόνων στο επάνω τρίγωνο ONK. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Ένας εναλλακτικός τύπος για τον υπολογισµό της γωνίας ω συνάγεται απο το κατωτέρω Σχ. 3: Σχ. 3: Μια εναλλακτική µορφή του παραλληλογράµµου του Σχ. 2. Απο το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΜΚ, έχουµε: tanω KM B sinϕ B sinϕ OM A + B cosϕ A + B cosϕ 1 = = ω = tan (5) 1) Αν ιερεύνηση των εξισώσεων (3) και (4) ως προς διάφορες τιµές της γωνίας ϕ φ = τότε το παραλληλόγραµµο γίνεται όπως φαίνεται στο κατωτέρω Σχ. 4: και η εξίσωση (3) γίνεται: Σχ. 4: Πρόσθεση παράλληλων και οµόροπων διανυσµάτων C A B 2 AB ( A B) A B = + + = + = + (6) 3 Απόστολος Κ. Ζαφειρόπουλος, Ph.D., EαρινόEξάµηνο. 211-12
ενώ η (4) δίνει: 2) Αν ω= (7) φ = 9 τότε το παραλληλόγραµµο γίνεται όπως φαίνεται στο κατωτέρω Σχ. 5 Η εξίσωση (3) γίνεται: Σχ. 5: Πρόσθεση κάθετων διανυσµάτων 2 2 C= A+ B (8) και η (4) γίνεται: ω 1 B = sin C (9) Τέλος, αν φ = 18 τότε το παραλληλόγραµµο γίνεται όπως φαίνεται στο κατωτέρω Σχ. 6 Η εξίσωση (3) γίνεται: Σχ. 6: Πρόσθεση παράλληλων και αντίροπων διανυσµάτων C A B 2 AB ( A B) A B = + = = (1) Ενώ η (4) γίνεται: ω=, αν A > B (όπως στο Σχ.6) και ω= 18, αν A < B (11) 4 Απόστολος Κ. Ζαφειρόπουλος, Ph.D., EαρινόEξάµηνο. 211-12
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Όταν τα διανύσµατα που προσθέτουµε είναι συγγραµµικά (συγγραµµικά ονοµάζονται δυο διανύσµατα όταν έχουν την ίδια διεύθυνση (ή φορέα) όπως πχ τα διανύσµατα A και B στο Σχ. 4 και Σχ. 6), τότε η διανυσµατική πρόσθεση ( A+ B ) µετατρέπεται σε αλγεβρική ( A+ B ή A B ). ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΥΟ ΝΟΜΩΝ ΣΤΗΝ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΥΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟ Ο ΤΟΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ Ας θεωρήσουµε τα δυο διανύσµατα A και B που είχαµε στην πρόσθεση των διανυσµάτων.επιθυµία µας τώρα είναι να δείξουµε πώς αφαιρούµε το ένα απο το άλλο χρησιµοποιώντας την µέθοδο του παραλληλογράµµου. Απο τον ορισµό της διαφοράς ενός διανύσµατος απο ένα άλλο, πχ D A B = A B = A + ( B) παρατηρούµε ότι αντί για αφαίρεση κάνουµε πρόσθεση στο A το αντίθετο του B. Προφανώς εδώ δεν ισχύει η αντιµεταθετική ιδιότητα, διότι: A B = ( B A). Ανάλογη συµπεριφορά έχουµε και για την διαφορά: D B A = B A = B + ( A) Όλες αυτές τις σχέσεις τις δείχνει το διανυσµατικό διάγραµµα του Σχ. 7. Σχ. 7: ιανυσµατικό διάγραµµα αθροίσµατος και διαφοράς των διανυµάτων A και B 5 Απόστολος Κ. Ζαφειρόπουλος, Ph.D., EαρινόEξάµηνο. 211-12
Αντί τώρα να σχεδιάζουµε όλο το µεγάλο διάγραµµα του Σχ. 7, µπορούµε να σχεδιάσουµε το ακόλουθο διάγραµµα (Σχ.8) του αρχικού παραλληλογράµµου ONKL και εκεί να σχεδιάσουµε τα διανύσµατα της διαφοράς: και. D A B D B A Σχ. 8: Η µέθοδος του παραλληλογράµµου για την διαφορά των διανυσµάτων A και B. Το µέτρο της διαφοράς D Απο το σχήµα συµπεραίνουµε ότι: DA B= DB A D, (όπου D είναι το µέτρο της διαφοράς). Εφαρµόζοντας τον νόµο του συνηµιτόνου έχουµε: 2 2 D A B 2AB cosϕ = + (12) ιεύθυνση της διαφοράς D Στο τυχαίο τρίγωνο ONL, εφαρµόζοντας τον νόµο του ηµιτόνου, έχουµε: B D 1 sin B = θ = sinϕ sinθ sinϕ D (13) Η γωνία θ δείχνει την διεύθυνση του διανύσµατος D ως προς το διάνυσµα A. 6 Απόστολος Κ. Ζαφειρόπουλος, Ph.D., EαρινόEξάµηνο. 211-12
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Έστω, ότι µας δίνονται τα διανύσµατα Q και S µε µέτρα Q Q= 6 και S S= 7, τα οποία σχηµατίζουν µεταξύ τους γωνία ϕ= 144, όπως φαίνεται στο κατωτέρω Σχ. 9: Σχ. 9: ιανυσµατικό διάγραµµα του αθροίσµατος C= Q+ S, όπου ϕ= 144 Μέτρο του αθροίσµατος C Εφαρµόζουµε την εξίσωση (3) για την περίπτωση των διανυσµάτων Q και S 2 cos 2 2 C= Q + S + QS ϕ = 6 + 7 + 2(6)(7) cos144 2 2 = 4,128 ιεύθυνση του αθροίσµατος C Εφαρµόζουµε την εξίσωση (4) για την περίπτωση της γωνίας ω του Σχ. 9 και έχουµε: C S S sin 36 sinω C 1 = ω = sin sin 36 7 4,128 1 = sin sin 36 = 85 21' 52'' 7 Απόστολος Κ. Ζαφειρόπουλος, Ph.D., EαρινόEξάµηνο. 211-12
ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Ο εναλλακτικός τύπος για τον υπολογισµό της γωνίας ω, σύµφωνα µε την εξίσωση (5), συνάγεται απο το κατωτέρω Σχ. 1: Σχ 1: Εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού της διεύθυνσης του διανύσµατος C (γωνία ω ). Εφαρµόζοντας την εξίσωση (5) για το Σχ. 1, έχουµε: ω 1 S sin 36 1 7sin 36 = tan tan 85 19'1'' = = Q S cos36 6 7cos36 Η µικρή διαφορά στην τιµή της γωνίας µεταξύ των δυο µεθόδων ωφείλεται στην προσεγγιστική τιµή του µέτρου του διανύσµατος C ( C= 4,128 ) που χρησιµοποιήσαµε στην πρώτη µέθοδο. Αν θέλουµε να υπολογίσουµε την διαφορά των διανυσµάτων Q και S ενεργούµε όπως περιγράφεται στις σελίδες 6 και 7. Έστω ότι θέλουµε να υπολογίσουµε την διαφορά: C = Q S. Το διανυσµατικό διάγραµµα αυτής της διαφοράς είναι το εξής: Σχ. 11: ιανυσµατικό διάγραµµα της διαφοράς DQ S = Q S, όπου ϕ= 144 8 Απόστολος Κ. Ζαφειρόπουλος, Ph.D., EαρινόEξάµηνο. 211-12
Το µέτρο της διαφοράς DQ S Εφαρµόζοντας την εξίσωση (12), στην περίπτωση του σχήµατος. 11, έχουµε: D D = + = Q S ιεύθυνση της διαφοράς DQ S 2 2 6 7 2(6)(7) cos144 12,37 Απο το τρίγωνο SOQ του σχήµατος 11, εφαρµόζοντας τον νόµο του ηµιτόνου, έχουµε: D S S θ sin sin144 sin144 sinθ D 1 = = 7 12,37 1 = sin sin144 = 19 25' 4'' Τέλος του παραδείγµατος. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.-Η γωνία µεταξύ δυο διανυσµάτων είναι 11. Το µέτρο του ενός διανύσµατος είναι 2 και σχηµατίζει γωνία 4 µε το διάνυσµα του αθροίσµατος. Να υπολογίσετε τo µέτρo του δευτέρου διανύσµατος καθώς και του αθροίσµατος C. (Απαντήσεις: 13,7 και 2) 2.-Να υπολογίσετε την γωνία µεταξύ δυο διανυσµάτων µε µέτρα 8 και 1, όταν το διάνυσµα του αθροίσµατος (C ) σχηµατίζει γωνία 5 µε το µεγαλύτερο διάνυσµα. Επίσης να υπολογίσετε το µέτρο του αθροίσµατος ( C ). (Απαντήσεις: 124 48' και 8,67) Βιβλιογραφία: 1.- Γυµνασιακή Φυσική, τόµος 1 Μηχανική, του Μηνά Μακρόπουλου, 1972, Αθήνα. 2.- Τεχνική Μηχανική, του Π. Α. Βουθούνη, Ζ έκδοση, 22, Αθήνα. 3.- Fundamental University Physics, Vol. I, Mechanics, M. Alonso, E. Finn, 1976, Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 9 Απόστολος Κ. Ζαφειρόπουλος, Ph.D., EαρινόEξάµηνο. 211-12