ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2013-2014 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Δεύτερο πακέτο ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης Παρασκευή 28 Μαρτίου (στο μάθημα του κ. Παπανδρέου ή του κ. Χαριτάκη). Οι λύσεις θα αναρτηθούν στο τέλος της 28 Μαρτίου και εργασίες δε θα γίνονται δεκτές μετά από αυτήν την ημέρα. Σας χαρίζουμε J δύο πόντους. Αντιστοιχεί μία μονάδα με κάθε άσκηση οπότε αν λύσετε 8 ασκήσεις σωστά παίρνετε 10 μονάδες. Αν λύσετε και τις δύο τελευταίες (δύσκολες) ασκήσεις μπορείτε να μεταφέρετε τους επιπλέουν βαθμούς στο πρώτο πακέτο. 1) Για ποιες θετικές τιμές του a,b,c η συνάρτηση παραγωγής f (x 1 ) = Cx 1 a x 2 b έχει φθίνον τεχνικό λόγο υποκατάστασης (RTS); Απάντηση: Όλες τις τιμές αφού ο RTS = MP 1 MP 2 = x 2 x 1. 2) Υποθέστε ότι μια επιχείρηση έχει την συνάρτηση παραγωγής f (x 1 ) = x 1 + x 2 2. A) Τα οριακά προϊόντα των x 1 αυξάνονται, φθίνουν ή μένουν σταθερά με αυξήσεις των εισροών; Απάντηση: Τα οριακά προϊόντα των x 1 είναι f (x 1 ) 1 =, f (x 1 ) = 2x 2 οπότε είναι φθίνον το οριακό προϊόν του x 1 2 x 1 x 2 x 1 και αύξον του x 2 (μπορείτε να το δείτε και με την δεύτερη παράγωγο). Β) Αυτή η συνάρτηση παραγωγής δεν μπορεί να χαρακτηριστεί γενικά ότι έχει αύξουσες, φθίνουσες ή σταθερές αποδόσεις κλίμακας. Βρείτε ένα συνδυασμό εισροών που ο διπλασιασμός του θα υπερδιπλασιάσει την παραγωγή και έναν που ο διπλασιασμός του θα υποδιπλασιάσει την παραγωγή. Απάντηση: (x 1 ) = (1,4)και (x 1 ) = (4,0). 3) Η Μαρία έχει μια συνάρτηση παραγωγής για λογισμικό f (x 1 ) = x 1 + 2x 2, όπου x 1 είναι η ποσότητα της ανειδίκευτης εργασίας και x 2 της ειδικευμένης εργασίας. Α) Σχεδιάστε δύο καμπύλες ίσου προϊόντος που σχετίζονται με 20 και 40 μονάδες παραγωγής. Απάντηση: 1
Β) Η συνάρτηση παραγωγής έχει αύξουσες, φθίνουσες ή σταθερές αποδόσεις κλίμακας; Απάντηση: Σταθερές Γ) Η Μαρία χρησιμοποιεί μόνο ανειδίκευτο προσωπικό. Πόσο ανειδίκευτο προσωπικό θα χρειαστεί για να παράξει y μονάδες λογισμικού; Απάντηση: y Δ) Αν η Μαρία αντιμετωπίζει τιμές εισροών (1,3), ποιος είναι ο φθηνότερος τρόπος να παράξει 20 μονάδες προϊόντος; Απάντηση: x 1 =20 =0. Ε) Με τιμές (w 1,w 2 ) ποιο θα είναι το ελάχιστο κόστος παραγωγής y μονάδων προϊόντος (δηλαδή ποια είναι η συνάρτηση κόστους); Απάντηση: c(w 1,w 2, y) = min{w 1,w 2 / 2}y. 4) Υποθέστε την συνάρτηση παραγωγής f (x 1 ) = min{x 1,2x 2 }. A) Σχεδιάστε τρεις καμπύλες ίσου προϊόντος. Απάντηση: 2
Β) Τι αποδόσεις κλίμακας έχει η συνάρτηση; Απάντηση: Σταθερές Γ) Αν η επιχείρηση αντιμετωπίζει τιμές (1,1) των εισροών ποιος είναι ο φθηνότερος τρόπος να παράξει 10 μονάδες προϊόντος και πόσο θα κοστίσει; Απάντηση: Ο συνδυασμός εισροών (10,5) θα είναι ο φθηνότερος και θα κοστίσει 15. Δ) Βρείτε την συνάρτηση κόστους και τις συναρτήσεις παράγωγης ζήτησης των εισροών. c(w 1,w 2, y) = (w 1 + w 2 / 2)y x 1 (w 1,w 2, y) = y και x 2 (w 1,w 2, y) = y / 2 5) Ο Κώστας θέλει ν ανοίξει ένα ανθοπωλείο. Μπορεί να επιλέξει 3 διαφορετικά μεγέθη μαγαζιών (200, 500 και 1000 τετραγωνικά μέτρα). Το μισθωτήριο είναι 1 το μήνα ανά τετραγωνικό. Ο Κώστας υπολογίζει πως αν έχει F τετραγωνικά μέτρα και πουλάει y ανθοδέσμες το μήνα το μεταβλητό του κόστος παραγωγής θα είναι c v (y) = y2 F μηνιαίως. Α) Αν έχει μαγαζί 200 τετραγωνικών μέτρων ποιο είναι το οριακό και μέσο προϊόν του, σε πιο ύψος παραγωγής ελαχιστοποιεί το μέσο κόστος και ποιο είναι το μέσο κόστος σε αυτό το ύψος; Απάντηση: MC = y 200, AC = 100 y + y 200 3
Το μέσο κόστος ελαχιστοποιείται όταν παράγει 200 ανθοδέσμες με μέσο κόστος 2. B) Βρείτε τις αντίστοιχες απαντήσεις στο (Α) όταν το μαγαζί είναι 500 και 1000 τμ. Απάντηση: MC = y 500, AC = 250 y + y 500 Το μέσο κόστος ελαχιστοποιείται όταν παράγει 500 ανθοδέσμες με μέσο κόστος 2. MC = y 1000, AC = + y 500 y 1000 Το μέσο κόστος ελαχιστοποιείται όταν παράγει 1000 ανθοδέσμες με μέσο κόστος 2. Γ) Σχεδιάστε όλες τις καμπύλες βραχυχρόνιου οριακού και μέσου κόστους (για τα μαγαζιά τριών μεγεθών) καθώς και τις καμπύλες μακροχρόνιου οριακού και μέσου κόστους. Απάντηση: 6) Υποθέστε πως το συνολικό κόστος επισκευής s αυτοκινήτων είναι c(s) = 2s 2 +100. A) Ποιο είναι το μέσο κόστος, το μέσο μεταβλητό κόστος και το οριακό κόστος; Απάντηση: AC=2s+100/s, AVC=2s, MC=4s B) Σχεδιάστε τις καμπύλες που βρήκατε στο Α και την συνάρτηση προσφοράς. Απάντηση: 4
Γ) Αν η τιμή επισκευής είναι 20 πόσα αυτοκίνητα θα επισκευάσει η επιχείριση; Απάντηση: 5 Δ) Έστω ότι η τιμή επισκευής είναι 40 και η επιχείρηση μεγιστοποιεί τα κέρδη της, δείξτε στο διάγραμμα το συνολικό κόστος, συνολικά έσοδα και τα κέρδη. Απάντηση: Δείτε το παραπάνω διάγραμμα. 7) Υποθέστε πως το σύνολο παραγωγής είναι αυστηρά κυρτό παντού. Α) Σχεδιάστε πώς θα έμοιαζε αυτή η τεχνολογία με συνάρτηση παραγωγής. Απάντηση: Δείτε το διάγραμμα (α) παρακάτω. 5
Β) Βρείτε την συνάρτηση προσφοράς με την τιμή στον κάθετο άξονα και το προϊόν στο οριζόντιο άξονα γι αυτήν την τεχνολογία. Απάντηση: Στο διάγραμμα (a) δύο γραμμές ίσου κέρδους που αντιστοιχούν με χαμηλή και ψηλή τιμή εφάπτονται στην συνάρτηση παραγωγής και δείχνουν τις βέλτιστες ποσότητες προϊόντος που μεγιστοποιούν τα κέρδη. Στο διάγραμμα (b) δείχνουμε αυτές τις ποσότητες και τις τιμές στον οριζόντιο άξονα. Το διάγραμμα (c) απλά αντιστρέφει τους άξονες δείχνοντας την συνάρτηση προσφοράς. Γ) Βρείτε την συνάρτηση ζήτησης της εργασίας γι αυτήν την τεχνολογία. Απάντηση: Αυτό γίνεται στο διάγραμμα (d) όπου το οριακό έσοδο του προϊόντος (MRP) (που προέρχεται από την κλίση της συνάρτησης παραγωγής) έχει αρνητική κλίση (αφού η συνάρτηση παραγωγής έχει φθίνον οριακό προϊόν). Δ) Τώρα υποθέστε πως η τεχνολογία ήταν τέτοια που το οριακό προϊόν της εργασίας ήταν συνεχώς αύξον. Τι σημαίνει αυτό για το σχήμα του συνόλου επιλογών του παραγωγού; Απάντηση: Αυτό σημαίνει πως η συνάρτηση παραγωγής έχει όλο και μεγαλύτερη κλίση καθώς αυξάνεται η ποσότητα παραγωγής (δηλαδή είναι μη κυρτό το σύνολο παραγωγής) όπως φαίνεται στο διάγραμμα παρακάτω. 6
Ε) Πόσο πρέπει η επιχείρηση να παράξει αν μεγιστοποιεί τα κέρδη σε αυτήν την περίπτωση (κυρτή συνάρτηση παραγωγής); Απάντηση: Αν η επιχείρηση είναι αποδέκτης τιμών, τότε πρέπει να παράξει άπειρη ποσότητα. Αυτό φαίνεται στο διάγραμμα της ερώτησης (Δ) με τρεις γραμμές ίσου κέρδους. Η χαμηλότερη εφάπτεται με την συνάρτηση παραγωγής αλλά δεν μεγιστοποιεί τα κέρδη. Μπορούμε συνεχώς να πετυχαίνουμε ψηλότερες γραμμές ίσου κέρδους οπότε όλο και αυξάνουμε την παραγωγή. 8) Υποθέστε πως η συνάρτηση παραγωγής μιας επιχείρησης είναι x = f (l) = 100l a. A) Για ποιες τιμές του α είναι αυστηρά κυρτό το σύνολο παραγωγής; Για ποιες τιμές είναι μη κυρτό; Απάντηση: Το σύνολο παραγωγής είναι αυστηρά κυρτό όσο το α<1 και μή κυρτό όσο το α>1. Β) Υποθέστε πως το α=0.5. Βρείτε την συνάρτηση προσφοράς της επιχείρησης και την συνάρτηση ζήτησης της εργασίας. Απάντηση: Η μεγιστοποίηση του κέρδους θα μας δώσει την συνάρτηση ζήτησης της εργασίας και την συνάρτηση προσφοράς. max px wl = max p100l a wl l Από τις συνθήκες πρώτης τάξης έχουμε οπότε l(p,w) = w 50 p a100 pl a 1 = w l a 1 = 2 w 100ap = l = w 100ap 2500 p2 w = και x(p,w) = 100 w 2 50 p 1 1 a 1 = 5000 p w Γ) Πώς αντιδρούν η ζήτηση εργασίας και η προσφορά σε μεταβολές των τιμών w και p;. 7
Απάντηση: Η παράγωγος της συνάρτησης ζήτησης της εργασίας είναι αρνητική ως προς το w και θετική ως προς την τιμή p, δηλαδή η επιχείρηση θα προσλάβει λιγότερη εργασία καθώς αυξάνεται ο μισθός και περισσότερη με την αύξηση της τιμής του προϊόντος. Αντίστοιχα η συνάρτηση παραγωγής έχει θετική παράγωγο ως προς την τιμή και αρνητική ως προς το μισθό (δηλαδή η προσφορά αυξάνεται με την τιμή και μειώνεται με το μισθό). Δ) Υποθέστε ότι το α=1.5. Πώς αλλάζει η απάντησή σας; Απάντηση: Αν κάνουμε χρήση των συνθηκών πρώτης τάξης θα βρούμε λάθος λύση καθώς βρίσκουμε τοπικό ελάχιστο και όχι μέγιστο. Μπορούμε να το διαπιστώσουμε αυτό βάζοντας τις «λύσεις» για να σχηματίσουμε την συνάρτηση κέρδους όπου θα δούμε πως το κέρδος είναι αρνητικό. Φαίνεται επίσης από το τρόπο που αντιδρούν οι συναρτήσεις ζήτησης της εργασίας και προσφοράς προϊόντος ως προς τις τιμές. Η σωστή απάντηση είναι πως η επιχείρηση θα παράξει άπειρη ποσότητα. 9) Υπάρχουν δύο τρόποι να εξηγήσουμε το πώς μεγιστοποιεί τα κέρδη ένας παραγωγός: είτε άμεσα είτε πρώτα ελαχιστοποιώντας το κόστος και στην συνέχεια επιλέγοντας την ποσότητα που μεγιστοποιεί τα κέρδη. Αυτή και η επόμενη άσκηση δείχνουν την ισοτιμία αυτών των τρόπων στην περίπτωση μιας συνάρτησης παραγωγής όπου το οριακό προϊόν της εργασίας αυξάνει αρχικά αλλά μετά από κάποιο σημείο φθίνει. Υποθέστε μια τέτοια συνάρτηση παραγωγής σε όλη την άσκηση. Α) Ξεκινήστε σχεδιάζοντας την συνάρτηση παραγωγής με εργασία στον οριζόντιο άξονα και προϊόν στον κάθετο άξονα. Δείξτε στο διάγραμμα το σημείο (σχέδιο παραγωγής A = (l A, x A )) όπου οι αποδόσεις κλίμακας από αύξουσες γίνονται φθίνουσες. Απάντηση: Αυτό φαίνεται στο διάγραμμα (α) παρακάτω όπου στο Α η συνάρτηση παραγωγής σταματάει να αυξάνεται με αύξοντα ρυθμό και αρχίζει να αυξάνεται με φθίνοντα ρυθμό. Δηλαδή, στο σημείο Α η κλίση σταματάει να αυξάνεται και αρχίζει να μειώνεται. 8
Β) Υποθέστε ότι ο μισθός w = 1. Δείξτε στο διάγραμμα την τιμή p 0 στην οποίο η επιχείρηση αποκομίζει μηδενικά κέρδη χρησιμοποιώντας το σχέδιο παραγωγής Β. Αυτό είναι αναγκαστικά σε χαμηλότερο ή υψηλότερο σημείο από το Α στην συνάρτηση παραγωγής; Απάντηση: Αυτό φαίνεται στο διάγραμμα (α) όπου το Β βρίσκεται σε μια γραμμή ίσου κέρδους που εφάπτεται με την συνάρτηση παραγωγής στο ίδιο σημείο και τέμνει την αρχή των αξόνων στο μηδέν (δηλαδή μηδενικά κέρδη). Η κλίση της γραμμής ίσου κέρδους είναι 1 p 0 αφού w=1. Φαίνεται στο διάγραμμα πως το Β βρίσκεται πιο ψηλά από το Α στην συνάρτηση παραγωγής. Αναγκαστικά το σημείο που μηδενίζονται τα κέρδη (από αρνητικά) πρέπει να βρίσκεται εκεί που οι αποδόσεις κλίμακας φθίνουν (σε αυτήν την περίπτωση όπου το οριακό προϊόν της εργασίας φθίνει. Γ) Σχεδιάστε δεύτερο διάγραμμα δίπλα στο πρώτο με τιμή στον κάθετο άξονα και προϊόν στον οριζόντιο άξονα. Δείξτε την ποσότητα x B που παράγει η επιχείρηση στην τιμή p 0. Απάντηση: Φαίνεται στο διάγραμμα (β) όπου το σημείο (x B, p 0 ) δείχνει την χαμηλότερη τιμή στην οποία παράγει θετική ποσότητα η επιχείρηση. 9
Δ) Υποθέστε πως η τιμή ανεβαίνει πιο ψηλά από το p 0. Τι αλλάζει στο διάγραμμα με την συνάρτηση παραγωγής και πώς μεταφράζεται αυτό στην καμπύλη προσφοράς στο διάγραμμα (β); Απάντηση: Αν η τιμή αυξηθεί πάνω από το p 0, η γραμμή ίσου κέρδους παίρνει χαμηλότερη κλίση που σημαίνει πως η νέα βέλτιστη ποσότητα του προϊόντος βρίσκεται σε σημείο επαφής πιο ψηλά στην συνάρτηση παραγωγής. Η νέα γραμμή ίσου κέρδους θα τέμνει τον κάθετο άξονα σε θετική ποσότητα που σημαίνει πως θα υπάρχουν θετικά κέρδη. Οπότε η προσφορά αυξάνεται όσο αυξάνεται η τιμή p πάνω από το p 0 και η καμπύλη προσφοράς έχει θετική κλίση (στο διάγραμμα β). Ε) Τι θα γίνει αν η τιμή πέσει κάτω από το p 0 ; Απάντηση: Η γραμμή ίσου κέρδους παίρνει μεγαλύτερη κλίση. Όταν εφάπτεται με την συνάρτηση παραγωγής με την μεγαλύτερη κλίση θα τέμνει τον κάθετο άξονα σε αρνητικά σημεία (δηλαδή αρνητικά κέρδη). Οπότε είναι καλύτερο η επιχείρηση να μην παράγει καθόλου σε αυτές τις τιμές. Για αυτό η καμπύλη προσφοράς είναι κάθετη στο μηδέν για τιμές κάτω από το p 0 (διάγραμμα β). ΣΤ) Σχεδιάστε την συνάρτηση κόστους σε διάγραμμα κάτω από το διάγραμμα της συνάρτησης παραγωγής. Ποιες ομοιότητες έχουν τα δύο διαγράμματα (και σε τι διαφέρουν) γύρω από το σημείο Α (σχέδιο παραγωγής Α); Απάντηση: Η συνάρτηση κόστους στο διάγραμμα (c) έχει το αντίστροφο σχήμα με την συνάρτηση παραγωγής. Για το τμήμα της συνάρτησης παραγωγής όπου το οριακό προϊόν αυξάνεται το κόστος της παραγωγής αυξάνεται με φθίνοντα ρυθμό (και το αντίθετο για το υπόλοιπο τμήμα). Στο σημείο Α γίνεται η αλλαγή από εκεί που η αύξηση του κόστους φθίνει στο να αυξάνεται ο ρυθμός της αύξησης του κόστους. Ζ) Δίπλα στο διάγραμμα της συνάρτησης κόστους σχεδιάστε τις συναρτήσεις οριακού και μέσου κόστους. Ποιο από τα δύο φτάνει στο χαμηλότερο σημείο του στην ποσότητα προϊόντος x A ; Ποιο φτάνει στο χαμηλότερο σημείο του στο σημείο x B ; Απάντηση: Φαίνεται στο διάγραμμα (d). Η καμπύλη οριακού κόστους (MC) είναι η κλίση της συνάρτησης κόστους οπότε φτάνει στο χαμηλότερο σημείο στο ύψος παραγωγής x A όπου η κλίση της συνάρτησης κόστους αρχίζει να αποκτά μεγαλύτερη κλίση. Η καμπύλη μέσου κόστους φτάνει στο χαμηλότερο σημείο του εκεί που η καμπύλη οριακού κόστους την τέμνει που είναι και το σημείο όπου αρχίζει η καμπύλη προσφοράς (το σημείο x B ). Η) Δείξτε την καμπύλη προσφοράς στο διάγραμμα σας και συγκρίνετε το με αυτό που βρήκατε στα διαγράμματα στην ερώτηση (γ) και (δ). 10
Απάντηση: Η καμπύλη προσφοράς είναι στο τμήμα της καμπύλης οριακού προϊόντος που βρίσκεται πάνω από την καμπύλη μέσου κόστους (με προσφορά μηδενική από κάτω). Φαίνεται στο διάγραμμα (d) όπου η καμπύλη προσφοράς είναι ίδια με αυτήν στο διάγραμμα (β). 10. Υποθέστε ότι η συνάρτηση παραγωγής έχει την μορφή x = f (l) = a / (1+ e (l b) ). Α) Υποθέτοντας πως η εργασία l έχει κόστος w και το προϊόν x μπορεί να πωληθεί σε τιμή p, δείξτε το πρόβλημα μεγιστοποίησης του κέρδους. Απάντηση: Το πρόβλημα μεγιστοποίησης του κέρδους είναι a max px wl υπό τον περιορισμό x = l,x 1+ e (l β ) που μπορεί να γραφτεί ως μεγιστοποίηση χωρίς περιορισμό: pa max wl. l (l β ) 1+ e B) Βρείτε την συνθήκη πρώτης τάξης αυτού του προβλήματος. Απάντηση: Η συνθήκη πρώτης τάξης είναι ape (l β ) [1+ e (l β ) ] 2 wl. Γ) Αντικαταστήστε το y = e (l β ) στην συνθήκη πρώτης τάξης και βρείτε τις δύο λύσεις για y στην δευτεροβάθμια εξίσωση. Αναγνωρίζοντας ότι y = e (l β ) σημαίνει ότι ln y = (l β), βρείτε τις δύο λύσεις για την εισροή εργασίας και βρείτε ποια μεγιστοποιεί τα κέρδη (υποθέτοντας πως υπάρχει εσωτερική λύση). Απάντηση: Με την αντικατάσταση του y = e (l β ), η συνθήκη πρώτης τάξης γίνεται apy / (1+ y 2 ) = w που μπορεί να γραφτεί ως Οι δύο λύσεις είναι και wy 2 + (2w ap)y + w = 0. y 1 = (2w ap) + (2w ap)2 4w 2 2w y 2 = (2w ap) (2w ap)2 4w 2 2w = ap 2w + a2 p 2 4awp 2w = ap 2w a2 p 2 4awp 2w Με δεδομένο ότι y = e (l β ) και ln y = (l β) έχουμε l = β ln y οπότε βρίσκουμε 11
ap 2w + l 1 = β ln a2 p 2 4awp και 2w ap 2w l 2 = β ln a2 p 2 4awp 2w Εφόσον y 1 > y 2 ξέρουμε πως l 1 < l 2 οπότε η ποσότητα της εισροής εργασίας που μεγιστοποιεί το κέρδος είναι ap 2w l(w,r, p) = β ln a2 p 2 4awp. 2w Δ) Τώρα βρείτε την συνάρτηση προσφοράς (υποθέτοντας εσωτερική λύση). Απάντηση: Βάζοντας το l = β ln y στην συνάρτηση παραγωγής έχουμε a x = 1+ e = a a =. (β ln y 2 β ) 1+ e ln y 2 1+ y 2 Υποκαθιστώντας το y 2 που έχουμε βρει και με απλοποίηση έχουμε 2aw x(w,r, p) = ap a 2 p 2 4awp Αν θέλουμε πολλαπλασιάζοντας τον ονομαστή και τον παρανομαστή με ap + a 2 p 2 4awp γίνεται x(w,r, p) = ap + a2 p 2 4awp 2 p E) Τώρα κάνετε χρήση της εναλλακτικής μεθόδου (ελαχιστοποίηση του κόστους και στην συνέχεια μεγιστοποίηση του κέρδους) για να επιβεβαιώσετε το αποτέλεσμα. Ξεκινήστε επιλύοντας την συνάρτηση παραγωγής για l ώστε να βρείτε πόση εργασία χρειάζεται για κάθε ποσότητα παραγόμενου προϊόντος υποθέτοντας ότι δεν γίνεται σπατάλη. Απάντηση: Πρώτα λύνουμε την συνάρτηση παραγωγής ( x = f (l) = a / (1+ e (l b) ) ) για l. Μπορούμε να το πετύχουμε αυτό πολλαπλασιάζοντας με (1+ e (l b) ) και διαιρώντας με x: οπότε e (l b) = a x 1 = a x x 12
που γίνεται (l β) = ln( a x x ) l = β ln( a x x ). ΣΤ) Κάνετε χρήση της απάντησης σας για να βρείτε την συνάρτηση κόστους και οριακού κόστους. Απάντηση: Το ελάχιστο κόστος στο οποίο μπορεί η επιχείρηση να παράξει οποιαδήποτε ποσότητα x είναι απλά η αντίστροφη συνάρτηση παραγωγής πολλαπλασιαζόμενο με το ωρομίσθιο w, δηλαδή η συνάρτηση κόστους είναι C(w, x) = wβ wln( a x x ) Η συνάρτηση οριακού κόστους είναι MC(w, x) = C x = aw (a x)x. Z) Εξισώστε την τιμή με το οριακό κόστος και λύστε για την συνάρτηση προσφοράς. Μπορείτε να επαληθεύσετε αν είναι ίδια με την συνάρτηση προσφοράς που βρήκατε επιλύοντας κατευθείαν το πρόβλημα μεγιστοποίησης του κέρδους; Απάντηση: Θέτοντας MC=p, μπορούμε να λύσουμε για την συνάρτηση προσφοράς, δηλαδή p = aw / ((a x)x) που γίνεται Βρίσκουμε δύο «λύσεις» x 2 ax + aw p = 0 ή px2 apx + aw = 0. x 1 = ap + a2 p 2 4 paw και x 2 = ap a2 p 2 4 paw 2 p 2 p Το x 1 είναι η πραγματική λύση (αφού είναι το μεγαλύτερο από τα δύο). Η συνάρτηση προσφοράς είναι x(w,r, p) = ap + a2 p 2 4awp 2 p που όπως αναμέναμε είναι ίδιο με την προηγούμενη λύση (απευθείας μεγιστοποίηση της συνάρτησης κέρδους). Η) Κάντε χρήση της συνάρτησης προσφοράς και την απάντηση από το (Ε) για να βρείτε την συνάρτηση ζήτησης της εργασίας. Είναι το ίδιο με αυτό που βρήκατε στο (γ); Απάντηση: Υποκαθιστώντας την συνάρτηση προσφοράς στην συνάρτηση l = β ln( a x ). βρίσκουμε x 13
a ap + a2 p 2 4awp 2 p l = β ln = β ln ap a2 p 2 4awp ap + a 2 p 2 4awp ap + a 2 p 2 4awp 2 p Πολλαπλασιάζοντας τον ονομαστή και παρανομαστή με (ap a 2 p 2 4awp) μπορούμε να βρούμε ap 2w l(w,r, p) = β ln a2 p 2 4awp 2w που είναι η λύση για την συνάρτηση ζήτησης της εργασίας που είχαμε βρει από το πρόβλημα μεγιστοποίησης κέρδους απευθείας. 14