Δεύτερο πακέτο ασκήσεων και λύσεων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 04-05 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Δεύτερο πακέτο ασκήσεων και λύσεων Αντιστοιχούν τέσσερις μονάδες σε κάθε ερώτηση (όχι υπο- ερώτηση) για σύνολο 00 μονάδων. Επειδή έγινε λάθος με την αρίθμηση των ασκήσεων (αριθμοί των ασκήσεων 9- υπάρχουν δύο φορές) οι συνολικές μονάδες που θα μπορούσατε να λάβετε είναι 6. Αν κάποιος γράψει τέλεια θα λάβει βαθμό,6 (στα 0). Θα το θεωρήσουμε μπόνους υπέρ σας λοιπόν. Στην αυτοβαθμολόγηση απλά αθροίζετε το σύνολο των μονάδων και διαιρείτε δια 0.. Αν η συνάρτηση παραγωγής είναι ομογενής βαθμού, η οριακή παραγωγικότητα των συντελεστών είναι αύξουσα. Η οριακή παραγωγικότητα των συντελεστών αφορά την μεταβολή (στο όριο) της παραγόμενης ποσότητας, όταν μεταβάλλεται η απασχόληση της μιας εισροής ενώ η απασχόληση της άλλης παραμένει σταθερή. Αντίθετα οι αποδόσεις κλίμακας αφορούν την αύξηση της παραγωγής όταν η απασχόληση και των δύο εισροών αυξάνεται ισόποσα. Έτσι για συνάρτηση παραγωγής q = L α K β όπου α+β=, οι αποδόσεις κλίμακας είναι αύξουσες. Τα οριακά προϊόντα είναι q L = αlα K β Ο ρυθμός μεταβολής της οριακής παραγωγικότητας της εργασίας δίνεται από q L = α(α )Lα K b Έτσι για τιμές του α μικρότερες του, η έκφραση αυτή είναι αρνητική, δηλαδή έχουμε φθίνουσα οριακή παραγωγικότητα. Αν το α=, τότε η οριακή παραγωγικότητα είναι σταθερή, και για α> έχουμε αύξουσα οριακή παραγωγικότητα. Αφού α+β=, Αν α=β=, τότε και οι δύο οριακές παραγωγικότητες είναι σταθερές.. Α. a< και b>, MP L < 0 και MP K > 0 Και το αντίστροφο.. Για να έχουμε Φθίνουσα οριακή παραγωγικότητα η συνάρτηση παραγωγής πρέπει να παρουσιάζει φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας. Από την προηγούμενη απάντηση βλέπουμε ότι αρκεί το α< και β<. Έτσι αν α=0.75 και β=0.75, θα έχουμε φθίνουσα οριακή παραγωγικότητα και αύξουσες αποδόσεις κλίμακας.

. Αν η μέση παραγωγικότητα ενός συντελεστή είναι μικρότερη της οριακής παραγωγικότητας του, τότε συμφέρει η αύξηση της απασχόλησης αυτού του συντελεστή. Το αν συμφέρει να αυξηθεί η να μειωθεί η απασχόληση του συντελεστή θα εξαρτηθεί από την σύγκριση της οριακής παραγωγικότητας του συντελεστή με την τιμή του συντελεστή και όχι με την μέση παραγωγικότητα του. 4. Έστω τέλεια ανταγωνιστική αγορά στο προϊόν και τους συντελεστές. Αν η καμπύλη οριακού προϊόντος ενός συντελεστή έχει παντού θετική κλίση, τότε, για δεδομένη τιμή του προϊόντος και του συντελεστή, η απασχόληση του συντελεστή αυτού θα ήταν ίση με το μηδέν. Αν η οριακή παραγωγικότητα είναι αύξουσα, τότε για κάθε τιμή του συντελεστή θα συμφέρει η αύξηση της απασχόλησης του αφού η αξία του οριακού προϊόντος θα είναι ψηλότερη από την τιμή. 5. Αν το οριακό κόστος είναι ίσο με την τιμή τότε πάντα μεγιστοποιούνται τα κέρδη στην βραχεία περίοδο. Αυτό ισχύει όσο μια επιχείρηση επιλέγει θετική ποσότητα παραγωγής. Ακόμα και αν η επιχείρηση έχει ζημιά στο σημείο ισορροπίας, η ζημιά αυτή ελαχιστοποιείται. Οπότε τα κέρδη μεγιστοποιούνται. Όταν όμως το οριακό κόστος είναι λιγότερο από το μέσο μεταβλητό κόστος τότε επιλέγει μηδενική παραγωγή και δεν ισχύει η πρόταση. 6. Η καμπύλη οριακού κόστους θα τέμνει την καμπύλη συνολικού κόστους στο ελάχιστο αν υπάρχουν θετικές οικονομίες κλίμακας. Αν υπάρχουν θετικές οικονομίες κλίμακας, η καμπύλη μέσου κόστους είναι παντού φθίνουσα, οπότε η καμπύλη οριακού κόστους δεν τέμνει την καμπύλη μέσου κόστους στην περίπτωση αυτή. 7. Αν η τεχνολογία της επιχείρησης παρουσιάζει φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας, το μέσο κόστος θα είναι επίσης φθίνον. Λάθος. Στην περίπτωση αυτή το μέσο κόστος θα έχει θετική κλίση. 8. Η καμπύλη ίσου προϊόντος δείχνει όλους τους δυνατούς συνδυασμούς των εισροών που απαιτούνται για να παραχθεί το μέγιστο δυνατό προϊόν. Λάθος. Η καμπύλη ίσου προϊόντος δείχνει τους ελάχιστους συνδυασμούς εισροών που απαιτούνται για την παραγωγή δεδομένου επιπέδου προϊόντος. 9. Ο ΟΛΤΥ δείχνει τον ρυθμό που η επιχείρηση μπορεί να υποκαταστήσει μια εισροή με μια άλλη χωρίς να αυξήσει το συνολικό κόστος παραγωγής.

Λάθος. Ο ΟΛΤΥ δείχνει τον ρυθμό υποκατάστασης των εισροών που απαιτείται για να διατηρηθεί η παραγωγή σε σταθερό επίπεδο. 0. Η επιχείρηση θα παύσει την παραγωγή της όταν τα οριακά κέρδη είναι αρνητικά. Λάθος. Τα οριακά κέρδη μπορεί να είναι αρνητικά ενώ τα αντίστοιχα συνολικά κέρδη να είναι θετικά.. Αν η τεχνολογία παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις κλίμακας η καμπύλη μέσου σταθερού κόστους έχει θετική κλίση. Λάθος. Η καμπύλη μέσου σταθερού κόστους έχει πάντα αρνητική κλίση.. Δείξτε ότι η καμπύλη οριακού κόστους θα τέμνει την καμπύλη μέσου μεταβλητού κόστους στο ελάχιστο της. Έχουμε ότι AVC = VC q. Οπότε στο ελάχιστο της καμπύλης μέσου μεταβλητού κόστους θα ισχύει davc dq = dvc dq q VC q = [MC VAC] = 0 q. Δείξτε ότι η καμπύλη οριακού κόστους θα τέμνει την καμπύλη μέσου συνολικού βραχυχρόνιου κόστους στο ελάχιστο της Το μέσο βραχυχρόνιο κόστος είναι AC = VAC + AF = VC q + F q Το ελάχιστο σημείο βρίσκεται από dac dq = dvac dq + daf dq = MC VAC q [ MC VAC AF] = 0 q [ ] F q = 4. Αν το οριακό κόστος είναι μικρότερο από το μέσο μεταβλητό κόστος, τότε η καμπύλη μέσου μεταβλητού κόστους έχει θετική κλίση. Από την απάντηση 6. Είναι προφανές. 5. Έστω ότι μια μονάδα προϊόντος, q=, μπορεί να παραχθεί με έναν από τους ακόλουθους τρεις συνδυασμούς δύο εισροών, x, x.

i x x i = για i=,, i x x = ; x = 5 ; 5 x = 5. Σχεδιάστε την καμπύλη ίσου προϊόντος για q=. 5 4 4 5 5. Υποθέστε σταθερές αποδόσεις κλίμακας και σχεδιάστε την καμπύλη ίσου προϊόντος για q=. 0 8 6 4 4 6 8 0 5. Αν υπήρχε και η τεχνική x 4 = προϊόντος για q=;.5 5 πώς θα επηρέαζε την καμπύλη ίσου

Δεν θα επηρέαζε την καμπύλη καθώς θα θεωρούσαμε αυτήν την τεχνική τεχνικά αναποτελεσματική καθώς η τεχνική x παράγει την ίδια ποσότητα χρησιμοποιώντας λιγότερη εισροή x. Φαίνεται και στο διάγραμμα παρακάτω. 5 4 4 5 6. Σε μια τέλεια ανταγωνιστική αγορά οι επιχειρήσεις είναι λήπτες τιμών. Αυτό σημαίνει ότι η ελαστικότητα ζήτησης στην αγορά αυτή είναι ίση με το άπειρο. Λάθος. Η ελαστικότητα της καμπύλης ζήτησης που αντιμετωπίζει η κάθε επιχείρηση είναι ίση με το άπειρο. Η ελαστικότητα ζήτησης της αγοραίας καμπύλης ζήτησης είναι πεπερασμένος αριθμός. 7. Η τιμή της εργασίας είναι 5 και αυτή του κεφαλαίου 0. Για να παραχθεί άλλη μια μονάδα προϊόντος αποκλειστικά με την αύξηση της εργασίας απαιτούνται 6 μονάδες εργασίας. Αντίστοιχα για το κεφάλαιο απαιτείται μια μονάδα κεφαλαίου. Αν το επίπεδο παραγωγής διατηρηθεί σταθερό ποια εισροή συμφέρει την επιχείρηση να αυξήσει και ποια να μειώσει; Η επιχείρηση θα αυξήσει την απασχόληση του κεφαλαίου και θα μειώσει αυτή της εργασίας. 8. Το πλεόνασμα του παραγωγού είναι πάντα ίσο με τα κέρδη της επιχείρησης. Λάθος. Στη βραχεία περίοδο το πλεόνασμα του παραγωγού είναι ίσο με τα κέρδη συν το σταθερό κόστος. Η πρόταση ισχύει μόνο για την μακρά περίοδο. 9. Το πλεόνασμα του καταναλωτή είναι η διαφορά μεταξύ της αγοραστικής ικανότητας του καταναλωτή και της μέσης τιμής απόκτησης ενός αγαθού. Λάθος. Το πλεόνασμα του καταναλωτή εξαρτάται από την διαφορά της τιμής επιφύλαξης του καταναλωτή και της τιμής της αγοράς, για κάθε διαδοχική μονάδα που αποκτά ο καταναλωτής (στο όριο). Αποτελεί το άθροισμα των διαφορών αυτών.

0. Αν η τεχνολογία έχει αύξουσες αποδόσεις κλίμακας, οι καμπύλες ίσου προϊόντος θα βρίσκονται ολοένα πιο κοντά η μια στην άλλη όσο αυξάνει το προϊόν. Σωστό. Μικρότερη απόσταση μεταξύ καμπυλών ίσου προϊόντος σημαίνει ότι απαιτούνται αναλογικά λιγότερες εισροές για την παραγωγής των επιπλέον μονάδων προϊόντος συγκριτικά με ότι ίσχυε μέχρι την αρχική καμπύλη.. Το μακροχρόνιο μέσο κόστος μπορεί να τέμνει τον κάθετο άξωνα πάνω από την τομή των αξόνων C(q);q { }. Σωστό. Αν κάποια παραγωγική διαδικασία απαιτεί ένα ελάχιστο επίπεδο παραγωγής για να ξεκινήσει, τότε ισχύει η πρόταση και στη μακρά περίοδο.. Η παραγωγή ενός προϊόντος απαιτεί μόνο εργασία ως εισροή. Η αγορά εργασίας είναι τέλεια ανταγωνιστική, όπως είναι και η αγορά του προϊόντος. Η επιχείρηση μεγιστοποιεί την συνάρτηση κέρδους. Η συνάρτηση παραγωγής είναι: q = ln(l). Ποια η συνάρτηση ζήτησης για εργασία;. Ποιά η συνάρτηση της αξίας του οριακού προϊόντος;. Ποιό το επίπεδο προσφοράς της επιχείρησης;.4 Ποιά η συνάρτηση κέρδους της επιχείρησης;. Η επιχείρηση μεγιστοποιεί τα κέρδη π = P ln(l) wl οπότε π L = P L w = 0 κατά συνέπεια η συνάρτηση ζήτησης για εργασία είναι: L = P w. Η αξία του ορικού προϊόντος δίνεται από την συνθήκη πρώτης τάξης αφού: PMP L = w. Το το επίπεδο προσφοράς είναι: q = ln P lnw.4 τέλος η συνάρτηση κέρδους της επιχείρησης είναι:

( ) P = P ( ln P ln w) π(w,q) = P ln P lnw 9. Η συνάρτηση παραγωγής μιας επιχείρησης είναι q = K + L. Η επιχείρηση μεγιστοποιεί τα κέρδη της. 9. Υπολογίστε τις συναρτήσεις ζήτησης των εισροών. 9. Ποιο το αριστοποιητικό επίπεδο προϊόντος; 9. Ποια η συνάρτηση κέρδους; 9. Η επιχείρηση μεγιστοποιεί τα κέρδη π = P K + L wl rk Οι συνθήκες ης τάξης είναι π L = PL w = 0 π K = PK r = 0 οπότε οι συναρτήσεις ζήτησης των εισροών είναι L = K = P w P r 9. Το άριστο επίπεδο προσφοράς είναι q = P w + r wr 9. και η συνάρτηση κέρδους είναι π(w.r.q) = 4 P w + r wr

0. Μια επιχείρηση απασχολεί δύο εισροές, τις χ και χ, σε τιμές w και w. Η συνάρτηση παραγωγής είναι: ϕ(χ, χ ) = χ χ. 0. Ποιες οι συναρτήσεις ζήτησης των εισροών; 0. Ποια η συνάρτηση κόστους της επιχείρησης; 0. Τι είδους οικονομίες κλίμακας έχει η επιχείρηση; 0.4 Δείξτε ότι το οριακό κόστος της επιχείρησης είναι ίσο με τον πολλαπλασιαστή του Lagrange, λ. (παραγωγίστε την συνάρτηση κόστους ως προς την ποσότητα. Αντικαταστήστε την συνάρτηση ζήτησης στην λύση του λ.) 0.5 έστω ότι η αγορά προϊόντος είναι τέλεια ανταγωνιστική. Και η τιμή του προϊόντος είναι p. Ποια η συνάρτηση κέρδους της επιχείρησης; 0. Το πρόβλημα της ελαχιστοποίησης κόστους είναι min x,x w x + w x y.π. q = x x Οι συνθήκες πρώτης τάξης είναι w λx = 0 w λx = 0 q = x x λύνοντας το σύστημα έχουμε τις υπό συνθήκη συναρτήσεις ζήτησης. x c = w q w x c = w q w 0. Η συνάρτηση κόστους της επιχείρησης είναι C(q) = w x c + w x c = w w q w + w w q w = w w q 0. Η επιχείρηση έχει αύξουσες οικονομίες κλίμακας. C(tq) = w w tq = t w w q

Κατά συνέπεια το κόστος αυξάνεται με μικρότερο ρυθμό από τον ρυθμό αύξησης του προϊόντος, για t >, οπότε το μέσο κόστος φθίνει. 0.4 Για να δείξετε ότι το οριακό κόστος είναι ίσο με τον πολλαπλασιαστή του Lagrange, λ, παραγωγίστε την συνάρτηση κόστους ως προς την ποσότητα προϊόντος. dc dq = w w q Στην συνέχεια λύστε την Τρίτη συνθήκη πρώτης τάξης και αντικαταστήστε με την συνάρτηση ζήτησης της εισροής. λ = w x = w c w q w 0.5 = w w q Αφού η επιχείρηση έχει φθίνον μέσο κόστος και αντιμετωπίζει σταθερή τιμή προϊόντος, λόγω τέλειου ανταγωνισμού, θα έχει κίνητρο να καλύψει όλη την ζήτηση στην αγορά. Όσο αυξάνει την ποσότητα που προσφέρει τόσο αυξάνονται τα κέρδη της. Οπότε η τεχνολογία αυτή δεν είναι συμβατή με τέλεια ανταγωνιστικές συνθήκες. Για κάθε μια από τις ακόλουθες συναρτήσεις παραγωγής σχεδιάστε μια αντιπροσωπευτική καμπύλη ίσου προϊόντος. Υπολογίστε το οριακό προϊόν για κάθε εισροή και δείξτε αν το ΟΠ είναι αύξον, σταθερό ή φθίνον. Υπολογίστε τον ΟΛΤΥ για κάθε συνάρτηση. Υπολογίστε τις αποδόσεις κλίμακας κάθε συνάρτησης.. F(K, L) = L K...4 F(K, L) = LK F(K, L) = L + K F(K, L) = ( min { L, K }). Η συνάρτηση αυτή είναι της μορφής Cobb- Douglas.

Τα οριακά προϊόντα και οι ρυθμοί μεταβολής τους είναι MP L = F L = L και MP L L = F L K = 9 L > 0 4 K < 0 Το οριακό προϊόν της εργασίας είναι Θετικό και φθίνον. MP K = F K = L K > 0 και MP L L = F L = 4 L K < 0 Το οριακό προϊόν του κεφαλαίου είναι Θετικό και φθίνον. Ο οριακός λόγος υποκατάστασης είναι ΟΛΤϒ = MP L = 4K MP K L Η συνάρτηση παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις κλίμακας, διότι: F(tK,tL) = (tl) (tk) = t 6 LK = t 6 F(K, L). Τα οριακά προϊόντα είναι MP L = F L = K και MP L L = F L = 0 7 7 Το οριακό προϊόν της εργασίας είναι Θετικό και σταθερό για κάθε επίπεδο κεφαλαίου.

MP K = F K = LK και MP L Κ = F Κ = 6LK > 0 Το οριακό προϊόν της εργασίας είναι Θετικό και αύξον. Ο οριακός λόγος υποκατάστασης είναι ΟΛΤϒ = MP L MP K = K LK = K L Η συνάρτηση παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις κλίμακας, διότι: F(tK,tL) = tl(tk) = t 4 LK = t 4 F(K, L). MP L = F L = και MP L L = F L = 0 Το οριακό προϊόν της εργασίας είναι Θετικό και σταθερό. MP K = F K = και MP L Κ = F Κ = 0 Ο οριακός λόγος υποκατάστασης είναι ΟΛΤϒ = Το οριακό προϊόν του κεφαλαίου είναι Θετικό και σταθερό. Η συνάρτηση παρουσιάζει σταθερές αποδόσεις κλίμακας, διότι:

F(tK,tL) = tl + tk = t(l + K) = tf(k, L).4 MP L = F L = και MP L L = F L = 0 αν L K L αν L<K 0 αν L K 9 L 5 αν L<K Το οριακό προϊόν της εργασίας είναι Θετικό και φθίνον για L<K., αλλοιώς είναι μηδενικό MP K = F K = και MP L Κ = F Κ = 0 αν L K K αν L>K 0 αν L K 9 K 5 αν L>K Το οριακό προϊόν του κεφαλαίου είναι Θετικό και φθίνον για L>K., αλλοιώς είναι μηδενικό Ο οριακός λόγος υποκατάστασης είναι ΟΛΤϒ = 0 αν L>K αν L<K Η συνάρτηση παρουσιάζει φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας, διότι:

F(tK,tL) = (min{ tl,tk} ) = (t min{ L, K} ) = t F(K, L). Μια επιχείρηση είναι λήπτης τιμών στις αγορές των εισροών και έχει συνάρτηση παραγωγής f (K, L) = K 4 4 L.. Ποια η συνάρτηση συνολικού κόστους; Είναι ομογενής ως προς τις τιμές των εισροών; Είναι ομογενής ως προς το προϊόν;. Ποια η συνάρτηση μεσου κόστους; Είναι ομογενής ως προς τις τιμές των εισροών; Είναι ομογενής ως προς το προϊόν;. Ποια η συνάρτηση οριακού κόστους; Είναι ομογενής ως προς τις τιμές των εισροών; Είναι ομογενής ως προς το προϊόν;. Από την ελαχιστοποίηση της δαπάνης για συντελεστές wl + rk κάτω από τον περιορισμό Q = K 4 L 4 έχουμε ότι οι υπό συνθήκη συναρτήσεις ζήτησης είναι L * (r,w,q) = Q r 4w K * (r,w,q) = Q w 4r Αντικαθιστώντας τις συναρτήσεις αυτές στην συνάρτηση δαπάνης για εισροές έχουμε την συνάρτηση κόστους της επιχείρησης TC * (r,w,q) = Q w r Η συνάρτηση συνολικού κόστους είναι ομογενής πρώτου βαθμού στις τιμές των εισροών και ου βαθμού στο προϊόν. TC * (tr,tw,q) = Q (tw) (tr) TC * (r,w,q) = (tq) (w) (r) = tq w r = t TC * (r,w,q) = ttc * (r,w,q). Διαιρώντας την συνάρτηση κόστους με το παραγώμενο προϊόν έχουμε την συνάρτηση μέσου κόστους AC * (r,w,q) = Q w r Q = Qw r Η συνάρτηση μέσου κόστους είναι ομογενής πρώτου βαθμού στις τιμές των εισροών και πρώτου βαθμού στο προϊόν.

AC * (tr,tw,q) = Q(tw) (tr) = t Qw r = tac * (r,w,q) AC * (r,w,tq) = tqw r = tac * (r,w,q). Παραγωγίζοντας την συνάρτηση κόστους ως προς το προϊόν έχουμε την συνάρτηση οριακού κόστους. MC * (r,w,q) = Qw r = Qw r η προσφερόμενη ποσότητα είναι Q = P( wr). Έστω ότι η επιχείρηση ελαχιστοποιεί το κόστος της, οι τιμές των εισροών είναι σταθερές, w για L και r για K, και η συνάρτηση παραγωγής είναι: ( { }) F(L,K) = min L,K. Ποιες οι μακροχρόνιες συναρτήσεις ζήτησης των εισροών;. Τι θα συμβεί στην ζήτηση για εργασία αν αυξηθεί ο μισθός;. Ποια η συνάρτηση συνολικού κόστους;.4 Η συνάρτηση συνολικού κόστους παρουσιάζει σταθερές οικονομίες κλίμακας;. Για να υπολογίσουμε τις συναρτήσεις ζήτησης των εισροών L * (w,r,q) K * (w,r,q) παρατηρούμε ότι η συνάρτηση παραγωγής είναι της μορφής σταθερών αναλογιών των εισροών. Άρα τα αποτελεσματικά σημεία παραγωγής χαρακτηρίζονται από L = K Αντικαθιστώντας στην συνάρτηση παραγωγής: Q = ( min{ L, K} ) = ( min{ L, L} ) = L Οπότε η συνάρτηση ζήτησης της εργασίας και του κεφαλαίου είναι L * = Q K * = Q Οι συναρτήσεις αυτές είναι ομογενείς βαθμού 0 ως προς τις τιμές των εισροών

L(tw,tr,Q) = Q = L(w,r,Q). Αν αυξηθεί ο μισθός η ζήτηση για εργασία παραμένει σταθερή. Αφού η επιχείρηση δεν έχει την δυνατότητα υποκατάστασης, δεν μπορεί να αποφύγει μέρος του επιπλέον κόστους που προκύπτει από την αύξηση της τιμής της εργασίας.. Η συνάρτηση συνολικού κόστους είναι TC = wl * (r,q,q) + rk * (r,w,q) = (w + r)q η οποία είναι ομογενής βαθμού στις τιμές των εισροών TC(tr,tw,Q) = (tw + tr)q = t(w + r)q = ttc(r,w,q).4 και παρουσιάζει φθίνουσες οικονομίες κλίμακας Το κόστος αυξάνεται πιο γρήγορα από το προϊόν.) TC(r,w,Q) = (w + r) ( tq) = t (w + r)q = t TC(r,w,Q) 5. Έστω ότι η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι q = K L. 5. Είναι ομογενής; 5. Έστω ότι οι τιμές των εισροών w, r είναι σταθερές και η επιχείρηση ελαχιστοποιεί το κόστος. Δείξτε ότι η δαπάνη για Κ είναι ίση με αυτή για L, ανεξάρτητα από το επίπεδο προϊόντος που παράγεται. 5. Δείξτε ότι το οριακό κόστος ισούται με το ελάχιστο μέσο κόστος στην περίπτωση αυτή. 5.4 Έστω ότι η αγορά Προϊόντος είναι τέλεια ανταγωνιστική και η επιχείρηση μεγιστοποιεί τα κέρδη της. Ποιο το άριστο επίπεδο παραγωγής; 5. ( tk ) ( tl) = tk L = tq άρα έχουμε ομογένεια βαθμού. 5. η συνάρτηση του Lagrange είναι: min Λ = wl + rk + λ q K L

οπότε οι συνθήκες πρώτης τάξης είναι: Λ L = w λ K L = 0 Λ K = w λ K Λ λ = q K L L = 0 κατά συνέπεια η κλίση της καμπύλης ίσου προϊόντος είναι ίση με την κλίση της καμπύλης ίσου κόστους: K L = w r οπότε: rk = wl Δεδομένου ότι η συνάρτηση παραγωγής είναι ομογενής, η σχέση αυτή θα διατηρείται για ισόποσες μεταβολές των εισροών. 5. Οι συναρτήσεις ζήτησης είναι: L = q r w K = q w r οπότε η συνάρτηση κόστους είναι: C(w.r.q) = wq r w w + rq r κατά συνέπεια MC(w,r,q) = wr και AC(w,r,q) = wr άρα η συνάρτηση οριακού κόστους είναι ίση με το ελάχιστο μέσο κόστος σε όλα τα σημεία.

5.4. η επιχείρηση μεγιστοποιεί π = Pq C(q) οπότε πρέπει P = MC = wr αφού και τα δύο είναι σταθερά αν η τιμή του προϊόντος είναι μεγαλύτερη από το οριακό κόστος, το οριακό κέρδος θα είναι θετικό για όλα τα επίπεδα παραγωγής, αρα δεν υπάρχει ισορροπία. 6. Έστω ένας κλάδος όπου όλες οι επιχειρήσεις έχουν την ίδια τεχνολογία. Η συνάρτηση κόστους της επιχείρησης ι είναι: C(q i ) = q i 4q i + 5q i. Η συνάρτηση ζήτησης του κλάδου είναι Q = α βp. 6. Βρείτε το q για το οποίο το οριακό κόστος ισούται με το μέσο κόστος. 6. Πόσες επιχειρήσεις θα δραστηριοποιηθούν στον κλάδο αυτό; 6. Ποιο το συνολικό πλεόνασμα των καταναλωτών; 6.4 Ποιο το συνολικό πλεόνασμα των παραγωγών; 6. Αν δεν υπάρχουν εμπόδια στην είσοδο θα εισέλθουν τόσες επιχειρήσεις ώστε τα κέρδη να μηδενιστούν. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή θα είναι ίση με το ελάχιστο του μέσου κόστους (και ίση με το οριακό κόστος). Οπότε: Το μέσο κόστος είναι AC = q i 4q i + 5 και το ελάχιστο είναι dac dq i = q i 4 = 0 άρα q i = 6. στο σημείο αυτό MC i = AC i = P = MC i = AC i = P Η συνολική προσφορά θα είναι Q = q i = n i

αντικαθιστώντας στην συνάρτηση ζήτησης n = α β άρα θα εισέλθουν n = α β 6. Το πλεόνασμα των καταναλωτών δίνεται από CS = Q α β AC όπου α β είναι η σταθερά της αντίστροφης συνάρτησης ζήτησης. Αντικαθιστώντας CS = α β ( ) α β β 6.4 Το πλεόνασμα των παραγωγών είναι ίσο με τα συνολικά κέρδη. Αφού τα κέρδη μηδενίζονται για τιμή ίση με το ελάχιστο του μέσου κόστους το πλεόνασμα των παραγωγών είναι μηδέν.