Βέλτιστη κβαντική επιτάχυνση: ο αλγόριθμος έρευνας του Grover

δ Μια συζήτηση της ισχύος του αλγορίθμου εύρεσης περιόδου Η δύναμη του αλγόριθμου εύρεσης της περιόδου σε μια πρώτη ματιά φαίνεται να είναι τρυκ. «Δεν είναι καθαρό πως ο κβαντικός υπολογιστής βρίσκει την περίοδο, σαν το λαγό μέσα το καπέλο» []. Σα πιο σημαντικά στοιχεία του, λοιπόν, βρίσκονται στις σχέσεις (4. - 2) και (4. ). Δεν είναι μόνο η κβαντική παραλληλία αλλά επίσης και η συνύφανση και η κβαντική συμβολή που περιπλέκονται λαμπρά στο σημείο (4. - 2). Κάθε τιμή της f(x) διατηρεί ένα δεσμό με την τιμή του x που την παρήγαγε μέσω της συνύφανσης των x και y registers στο άθροισμα (4. - 2). Η μαγεία συμβαίνει όταν μία μέτρηση του y quregister στην (4. ) παράγει την ειδική κατάσταση Χ στον x quregister. Σελικά, ο FT μπορεί να θεαθεί και ως η συμβολή μεταξύ των διαφόρων υπερτιθέμενων στον x register καταστάσεων. Η συμβολή δεν είναι χαρακτηριστικό μόνο του κβαντικού κόσμου. Συμβολή μπορεί να χρησιμοποιηθεί, για παράδειγμα, για υπολογιστικούς σκοπούς, σε συστήματα κλασσικών φωτεινών πεδίων (οπτικοί υπολογιστές, κλπ). Είναι το εκθετικά μεγάλο πλήθος των συμβαλλόμενων καταστάσεων και η συνύφανση (που μέσω της κβαντικής παραλληλίας εξερευνεί πολυωνυμικά τον εκθετικό χώρο) εκείνα τα στοιχεία που δεν υπάρχουν κλασσικά. 4..6 Βέλτιστη κβαντική επιτάχυνση: ο αλγόριθμος έρευνας του Grover Ο Lov Grover το 997 παρουσίασε ένα κβαντικό αλγόριθμο για το ακόλουθο πρόβλημα: Δοθέντος ενός αριθμού t και μιας αδόμητης λίστας τιμών {x i } που περιέχει το t, να βρεθεί η θέση j της λίστας για την οποία t = x j. Οι κλασσικοί αλγόριθμοι πρέπει να ψάξουν τη λίστα, απαιτώντας κατά μέσο όρο Ν/2 βήματα για λίστα Ν αντικειμένων. Ο αλγόριθμος του Grover επιτυγχάνει το ίδιο σε Ν βήματα. Σο πρόβλημα παραμένει υπολογιστικά δύσκολο, αλλά είναι θεαματικό ότι η λύση αυτού του αδόμητου προβλήματος μπορεί κατ αρχήν να επιταχυνθεί. Η κβαντική επιτάχυνση εδώ είναι ( Ν)/2 και είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη που επέτυχε ο Shor στην εύρεση της περιόδου, exp(2(log 2 N) /3 ), και είναι εξαιρετικά σημαντική για μεγάλα σύνολα τιμών (π.χ. Ν 6 ) τα οποία μπορούν π.χ. να προκύψουν σε προσπάθειες σπασίματος κωδικών. Ένα επιπλέον σημαντικό βήμα στα 997 πάλι, από τον Bennett, ήταν η απόδειξη ότι ο αλγόριθμος Grover είναι βέλτιστος για το συγκεκριμένο ζήτημα: κανείς κβαντικός αλγόριθμος δεν μπορεί να πάει γρηγορότερα! Μια σύντομη περιραφή του αλγόριθμου ακολουθεί. Κάθε αντικείμενο έχει ένα δείκτη i, και πρέπει να μπορούμε να ελέγχουμε με μοναδικό τρόπο εάν όντως, ή μη, ένα αντικείμενο είναι αυτό που ψάχνουμε. Δηλαδή πρέπει να υπάρχει ο τελεστής j ώστε j i = i όταν i j και j j = - j, όπου j είναι ο δείκτης του ΕΚΔΟΗ 2.Α-, Μαίου 2. 359/622

ειδικού αντικειμένου που αναζητούμε 6. Η μέθοδος ξεκινά με το να θέσουμε ένα quregister σε υπέρθεση όλων των N «υπολογιστικών» καταστάσεων Χ(θ ) = sinθ j + cosθ Ν- i j i (4. - 22) όπου t = x j. Αρχικά θέτουμε sinθ = / Ν. [Άσκηση 4. - : Δείξτε ότι έτσι όντως ξεκινάμε από την υπέρθεση Ν i = Ν FT. ] i= Εφαρμόζουμε τον j, ο οποίος αλλάζει το πρόσημο ενός μόνο αντικειμένου της υπέρθεσης. Μετά εφαρμόζεται ένας FT και μετά πάλι αλλαγή πρόσημου, όλων των αντικειμένων πλην του 6. Πάλι ένας FT για το τέλος του κύκλου. Ο κύκλος επαναλαμβάνεται αρκετές φορές. Ο τελεστής που αντιστοιχεί σε όλες τις πράξεις ενός κύκλου είναι ο G Χ(θ) = FT( - ( - FT( j Χ(θ) ) ) ) = - FT - FT j Χ(θ) (4. - 23) Οι πράξεις αυτές αντιστοιχούν σε ένα φαινόμενο συμβολής που επιτυγχάνει τον ακόλουθο μετασχηματισμό στρέψης της κατάστασης: G Χ(θ) = Χ(θ+φ) (4. - 24) με sinφ = 2 (Ν-)/ Ν (4. - 25) Για να το δούμε αυτό, ας τελέσουμε τον (4. - 23) στην (4. - 22), αφού πρώτα παρατηρήσουμε ότι Χ - = Χ (4. - 26) [Άσκηση 4. - 2: αποδείξτε αυτή τη σχέση. ] Έτσι 6 Ο τελεστής j μπορεί να είναι η ακόλουθη δομή: j = - 2 j j. Μια τέτοια δομή καλείται ανακλαστικός τελεστής. ημειώστε ότι είναι και ερμιτιανός και μοναδιακός! Για παράδειγμα, αν Ν=2 και i = και j =, τότε j =. 6 Ουσιαστικά ο τελεστής αυτός είναι ο -. ΕΚΔΟΗ 2.Α-, Μαίου 2. 36/622

G Χ(θ ) = - FT j Χ(θ ) = - Χ(θ ) j Χ(θ ) = = - Χ(θ ) -sinθ j + cosθ i = Χ(θ Ν- ) ( 2sinθ j - Χ(θ ) ) = i j = ( - 2 Χ(θ ) Χ(θ ) ) ( 2sinθ j - Χ(θ ) ) = 2 sinθ j + ( - 4sin 2 θ ) Χ(θ ) = = 2 sinθ j + cos(3θ) cosθ Χ(θ ) (4. - 27) Σο cos(3θ ) μας παραπέμπει αμέσως στην Χ(3θ ), αλλά για να το δείξει κάποιος πρέπει να κάνει κάποιες αλγεβρικές πράξεις 62 : Χ(3θ) = sin3θ j + cos3θ i = sin3θ j + cos3θ Ν- cosθ i j cosθ Ν- i j i = = sin3θ j + cos3θ cos3θ Χ(θ) - sinθ j = sin3θ - cosθ sinθ cosθ ( ) j + cos3θ cosθ Χ(θ) = = 2sinθ j + cos3θ cosθ Χ(θ) (4. - 28) Άρα, από τις (4. - 27) και (4. - 28) G Χ(θ ) = Χ(θ +2θ ) (4. - 29) Οπότε αποδείξαμε 63 την (4. - 24). Ο συντελεστής λοιπόν (4. - 25) του ειδικού (προς εύρεση) αντικειμένου είναι τώρα λίγο μεγαλύτερος από των υπολοίπων στην υπέρθεση. Η μέθοδος επαναλαμβάνεται πολλές φορές. Η αργή κίνηση της Χ οδηγεί την υπέρθεση κοντά στην j, οδηγώντας το θ κοντά στο π/2. Για να δούμε σε λίγο μεγαλύτερη λεπτομέρεια τα πράγματα, παρατηρούμε ότι η (4. - 29), ισχύει και στα επόμενα βήματα του αλγορίθμου, και όχι μόνο στο πρώτο βήμα, δηλαδή: 62 Φρήσιμες στο σημείο αυτό, για όποιον κάνει τις πράξεις, είναι οι τριγωνομετρικές σχέσεις: sin3α = 3sinα - 4sin 3 α, cos3α = 4cos 3 α cosα που ποκύπτουν εύκολα από τις (. - 92), και η βασική σχέση sin 2 α + cos 2 α =. 63 Από τις σχέσεις sinθ = / Ν και φ = 2θ, με λίγες πράξεις, χρησιμοποιώντας τις τριγωνομετρικές εξισώσεις sin2α = 2sinα cosα και sin 2 α + cos 2 α = προκύπτει και η (4. - 25), δηλαδή sinφ = 2 (Ν-)/ Ν. ΕΚΔΟΗ 2.Α-, Μαίου 2. 36/622

k G Χ(θ ) = Χ(θ + k 2θ ) (4. ) [Άσκηση 4. : Δείξτε ότι 2 G Χ(θ ) = Χ(5θ ), οπότε μετά εύκολα αναδεικνύεται η (4. ). ] Πότε θα σταματήσουμε την επανάληψη της (4. ); Ποιο είναι το k END ; Πρέπει να εντοπίσουμε το k εκείνο που να ισχύει (2k+)θ για μεγάλο Ν. π/2. Έτσι προκύπτει, χρησιμοποιώντας το sinθ = / Ν ότι k END π 4 N Με πιθανότητα 64 της τάξης του - /Ν ο αλγόριθμος θα «κάτσει» στην j, δηλαδή θα πετύχει! Σο υπολογιστικό κόστος του αλγόριθμου είναι της τάξης του Ν logn. ημειώστε ότι την j και άρα και την j δεν την γνωρίζουμε! Σην τιμή x j ξέρουμε μόνο! Δηλαδή τον τελεστή j δεν τον γνωρίζουμε, απλά έχουμε ένα κλασσικό black box που υλοποιεί την αλλαγή πρόσημου αν πετύχει αυτό που θέλει. Η βασική ιδέα στον αλγόριθμο του Grover είναι η μετακίνηση (στρέψη) της Χ κοντά στην άγνωστη j με διαδοχικές μικρές στρέψεις προς αυτή. Η τακτική αυτή ισοδυναμεί με την επιλεκτική ενίσχυση του πλάτους j Χ στο ανάπτυγμα του Χ στην υπολογιστική βάση: Χ = i i i Χ. Παράδειγμα 4. - 2 [7]: Έστω Ν=8, και το άγνωστο ζητούμενο αντικείμενο στη θέση j=5. Μας δίδεται επίσης το black box που πραγματοποιεί τον άγνωστο σε μας μοναδιακό μετασχηματισμό j = 5 = - 64 Αφού η πιθανότητα επιτυχίας είναι j Χ 2 = sin 2 [(2k+)θ ], η πιθανότητα σφάλματος είναι cos 2 [(2k+)θ ] = /N. ΕΚΔΟΗ 2.Α-, Μαίου 2. 362/622

Φρησιμοποιώντας την (άγνωστη) j ως υπολογιστική συσκευή δημιουργούμε την νέα υπολογιστική συσκευή G = - FT - FT j = - UFT j = 4 - - - - 3 - - - Το πρώτο βήμα είναι: προετοιμασία της κατάστασης (γνωστή) Χ = = 8 (,,,,,,, ) T Το δεύτερο βήμα είναι: Επανάληψη του υπολογιστικού κύκλου για k END = π 4 8 = 2 βήματα: Επανάληψη : Χ = G Χ = 4 2 (,,,, 5,,, ) T Επανάληψη 2: Χ 2 = G Χ = 8 2 ( -, -, -, -,, -, -, - ) T Το τρίτο βήμα είναι: Μέτρηση της άγνωστης Χ 2 για να λάβουμε το 5 με πιθανότητα επιτυχίας ίση με sin 2 [(2k+)θ ] = 2/28 =.9453, και αποτυχίας 7/28 =.547. [Άσκηση 4. - 4: Θεωρείστε ότι στον αλγόριθμο του Grover έχουμε ένα σύνολο στόχο αποτελούμενο από Μ καταστάσεις εκ Ν συνολικών (οι οποιες σχηματίζουν το σύνολο Α). Έτσι το «μαύρο» κουτί λειτουργεί τώρα ως j j Χ = - Χ αν η Χ είναι κατάσταση στόχος, ανήκει δηλαδή στο σύνολο, j Χ = Χ αν η Χ δεν είναι κατάσταση στόχος. Έστω ότι ανακαλύπτουμε ένα στόχο μετά από μία μόνο επανάληψη του αλγορίθμου. Δείξτε ότι Ν/Μ =4. ] ΕΚΔΟΗ 2.Α-, Μαίου 2. 363/622

Σο αποτέλεσμα της άσκησης 4. - 4 ίσως να σημαίνει κάτι βαθύτερο στην βιολογία [43]. Έστω α ο αριθμός των διαφορετικών τύπων κατασκευαστικών μερών και έστω η το μήκος μιας αλυσίδας προς κατασκευή. Σο σύνολο τότε των αντικειμένων που μπορούν να κατασκευαστούν είναι Ν = α η. Αυτό είναι και το μέτρο της πληροφορίας που φέρει μία αλυσίδα. Έστω ότι τα κατασκευαστικά μέρη βρίσκονται τυχαία διαθέσιμα σε μεγάλους αριθμούς για κάθε τύπο μέσα σε μια βιολογική «σούπα». Έστω t D ο χρόνος ανακάλυψης από το βιολογικό σύστημα που κατασκευάζει την αλυσίδα, ενός (όποιου) κατασκευαστικού μέρους, και έστω t A ο χρόνος προσκόλλησης του κατάλληλου κατασκευαστικού μέρους στην αλυσίδα. Αφού το σύνολο των διαθέσιμων κατασκευαστικών μερών είναι τυχαίο, το θέμα της καταλληλότητας κάνει t D t A. Κάποιοι έλεγχοι ιδιοτήτων επιλέγουν το κατάλληλο κατασκευαστικό μέρος κάθε φορά. Αν το ευρεθέν κατασκευαστικό μέρος είναι το κατάλληλο, τότε προσκολλάται, αλλιώς απορρίπτεται και η διαδικασία επαναλαμβάνεται χωρίς μνήμη. Έτσι, η πιθανότητα επιλογής του κατάλληλου κατασκευαστικού μέρους είναι κοντά στο /α. Άρα, (/t A ) (/α) (/t D ). Ο συνολικός χρόνος σύνθεσης μιας αλυσίδας μήκους η είναι Σ(η,α) = t A η = α t D lnn/lnα. Η ελαχιστοποίηση του χρόνου Σ με σταθερά το Ν (σταθερή πληροφορία), και το t D (σταθερή η τυχαία σούπα), καθορίζει το βέλτιστο πλήθος διαφορετικών τύπων κατασκευαστικών μερών ώστε να χτίζεται γρήγορα μια αλυσίδα δεδομένης πληροφορίας. Για α=2, έχουμε Σ 2,885 t D lnn, για α=3 έχουμε Σ 2,73 t D lnn και για α=4 έχουμε Σ 2,885 t D lnn, μετά το Σ αυξάνεται μονοτονικά με το α. Σο βέλτιστο α είναι το α=e, και η βέλτιστη ακέραια τιμή είναι το α=3. Εάν η διαδικασία εύρεσης του κατάλληλου κατασκευαστικού μέρους δεν είναι κλασσική, αλλά κβαντική (τύπου αλγόριθμου Grover), τότε μπορεί να αναπαρασταθεί με μια μοναδιακή εξέλιξη ενός συνόλου καταστάσεων (μια κατάσταση για κάθε ενδεχόμενο) σε ένα χώρο Hilbert. την αρχή, σχηματίζεται η υπέρθεση όλων των ενδεχομένων. Μετά επαναλαμβάνονται δύο βήματα: (i) η ένταση μιας κατάστασης αλλάζει πρόσημο μετά τους ελέγχους ιδιοτήτων, (ii) όλες οι εντάσεις ανακλώνται περί το μέσο όρο τους. Σα βήματα αυτά ενισχύουν την ένταση της επιθυμητής κατάστασης. Με το σταμάτημα των επαναλήψεων τη σωστή στιγμή, η κατάλληλη κατάσταση επιλέγεται με μεγάλη πιθανότητα. Σο πλήθος των επαναλήψεων k, σχετίζεται με το πλήθος των διαφορετικών αντικειμένων προς διάκριση, α, μέσω της σχέσης: (2k+) sin - (/ α) π/2. Όπως ξέρουμε από την άσκηση 4. - 4, αν α = 4, τότε k =! Έστω t R ο χρόνος πρόσθεσης του κατάλληλου κατασκευαστικού μέρους στην αλυσίδα με χρήση του κβαντικού αλγόριθμου, ο οποίος εμπεριέχει και τον χρόνο επιλογής και τον χρόνο ελέγχων ιδιοτήτων και τον χρόνο σύνθεσης της αρχικής υπέρθεσης. Εδώ αναμένουμε t R > t D. Ο συνολικός χρόνος σύνθεσης της αλυσίδας κβαντικά, είναι ανάλογος του k, αλλά με ασυνέχειες. Έτσι, αν α 4: Σ = t R η = t R lnn/lnα, και αν α>4: Σ = 2t R η = 2t R lnn/lnα. Προφανώς, μετά από συνδυασμό όλων των φαινομένων, το ελάχιστο συμβαίνει ΕΚΔΟΗ 2.Α-, Μαίου 2. 364/622

για α=4. Για αλυσίδες DNA ζώντων οργανισμών, το α=4 παραπέμπει βεβαίως στις τέσσερις βάσεις νουκλεοτιδίων A, T και C, G. ΕΚΔΟΗ 2.Α-, Μαίου 2. 365/622

Κεφάλαιο 4. Decoherence και Quantum Error Correction 4.. Εισαγωγή Η decoherence είναι αυτό που συμβαίνει όταν η σύζευξη μεταξύ συστήματος και περιβάλλοντος καταστρέφει τα «θετικά» κβαντικά χαρακτηριστικά ενός Κ.Τ. Μπορεί να θεωρηθεί ως η συνύφανση του συστήματος με το περιβάλλον του. Ένα από τα σημαντικότερα επιτεύγματα της κβαντικής πληροφορικής είναι η ανακάλυψη μεθόδων υπερνίκησης της decoherence. Οι μέθοδοι αυτοί καλούνται μεθοδολογίες Quantum Error Correction ή QEC. Οι μεθοδολογίες αυτές βασίζονται στο ότι η κατάσταση ενός qubit μπορεί να κωδικοποιηθεί πάνω σε συνυφασμένες καταστάσεις πολλών qubits. Οι ιδιότητες συμμετρίας αυτών των συνυφασμένων καταστάσεων, μαζί με το ότι ο κβαντικός θόρυβος μπορεί να ψηφιοποιηθεί μέσω προβολικών μετρήσεων, επιτρέπει και τον εντοπισμό και τη διόρθωση των κβαντικών σφαλμάτων. Επειδή βέβαια οι συνυφασμένες καταστάσεις είναι πιο επιρρεπείς σε decoherence υπάρχει πάντα μια ισορροπία μεταξύ διορθωτικής ικανότητας και πρόκλησης επιπλέον σφαλμάτων. Σχήμα 4.32. Η decoherence. ΕΚΔΟΗ 2.Α-, Μαίου 2. 366/622

4..2 Decoherence Όπως έχουμε ήδη αναφέρει, ένας κβαντικός υπολογιστής μπορεί να θεαθεί ως ένα προγραμματιζόμενο κβαντικό συμβολόμετρο, όπου διαφορετικά υπολογιστικά μονοπάτια σχεδιάζονται έτσι ώστε να συμβάλλουν θετικά προς το επιθυμητό αποτέλεσμα. Για να είναι επιτυχής μία τέτοια διαδικασία, πρέπει η εξέλιξη του κβαντικού συστήματος να είναι μοναδιακή, δηλαδή coherent. Κάθε παρέκκλιση από την μοναδιακότητα λόγω της decoherence, καταστρέφει την «ορατότητα» της συμβολής, δηλαδή τα αποτελέσματα του «υπολογισμού». Η decoherence εμφανίζεται όποτε τα qubits έρχονται σε σύζευξη με το περιβάλλον τους. Ας θεωρήσουμε ότι η σύζευξη συστήματος (Q) περιβάλλοντος (E) επάγει μια μικτή μοναδιακή εξέλιξη (t) της μορφής Ε Ε (t) (4. - α) Ε Ε (t) (4. - β) όπου η Ε είναι κάποια αρχική fixed κατάσταση του περιβάλλοντος. τη (4. - ) το περιβάλλον δρα σα μετρητική συσκευή που κλέβει πληροφορία για την κατάσταση των qubits (information leaking). Έτσι, μια αρχική κατάσταση του συστήματος σε υπέρθεση του και του, θα οδηγήσει στη συνύφανση: Χ() = (α + β ) Ε Χ(t) = α Ε (t) + β Ε (t) (4. - 2) Επειδή στη πλειοψηφία των περιπτώσεων οι καταστάσεις Ε (t), Ε (t) θα γίνονται όλο και πιο ορθογώνιες με το χρόνο αφού όλο και περισσότερη πληροφορία για τη κατάσταση του qubit θα διαρρέει στο περιβάλλον, μπορούμε να γράψουμε προσεγγιστικά, ότι Ε (t) Ε (t) e -Γ(t) για μεγάλο t όπου οι λεπτομέρειες της Γ(t) θα εξαρτώνται από τις λεπτομέρειες της σύζευξης μεταξύ του qubit και του περιβάλλοντος. υνήθως Γ(t) t/τ DEC. Η τιμή του τ DEC παίζει από 4 sec για μαγνητικά σπιν σε παραμαγνητικό άτομο, μέχρι -2 sec για electron-hole excitations μέσα σε ημιαγωγό. ΕΚΔΟΗ 2.Α-, Μαίου 2. 367/622

Σο αποτέλεσμα της συνύφανσης (4. - 2) είναι το να μηδενιστούν τα μη-διαγώνια στοιχεία της μήτρας πυκνότητας του συστήματος Q, όπου: Q = Σr E Χ = Σr E Χ Χ, που καλούνται coherences από τους ατομικούς φυσικούς, δηλαδή Q α 2 β 2 Παράδειγμα 4. - : Ας μελετήσουμε σε πληρέστερη έκταση την συμπεριφορά της (4. - 2). Έχουμε E&Q = Χ Χ = (α Ε (t) + β Ε (t) )(α * Ε (t) + β * Ε (t) ) = = α 2 Ε (t) Ε (t) + αβ * Ε (t) Ε (t) + + βα * Ε (t) Ε (t) + β 2 Ε (t) Ε (t) Έτσι Q = Σr E Χ = Σr E Χ Χ = = α 2 Σr E Ε (t) Ε (t) + αβ * Σr E Ε (t) Ε (t) + + βα * Σr E Ε (t) Ε (t) + β 2 Σr E Ε (t) Ε (t) = = α 2 Ε (t) Ε (t) + αβ * Ε (t) Ε (t) + βα * Ε (t) Ε (t) + β 2 Ε (t) Ε (t) Άρα, Q α 2 Ε (t) Ε (t) βα * Ε (t) Ε (t) αβ * Ε (t) Ε (t) β 2 Ε (t) Ε (t) α 2 βα * e -Γ(t) αβ * e -Γ(t) β 2. Ας δούμε ένα μοντέλο όσων είπαμε παραπάνω (με μια ενδιαφέρουσα παραλλαγή), λίγο πιο αναλυτικά. ΕΚΔΟΗ 2.Α-, Μαίου 2. 368/622

Έστω ότι ένα σύστημα Q, αποτελείται από qubit και ότι το περιβάλλον του, E, αποτελείται από επίσης qubit [23]. Ο χώρος Hilbert του συνολικού συστήματος Q&E είναι H = H Q H E 2 2 Έστω επίσης ότι υπάρχει σύζευξη μεταξύ S και E, η οποία δίνεται από τη χαμιλτονιανή: QE = J z z (4. ) Με J, μια σταθερά, η οποία ελέγχει την ένταση της σύζευξης. Θέλουμε να κωδικοποιήσουμε στο σύστημα Q ένα qubit πληροφορίας ως φ = α + β (4. - 4) Αν J=, μπορούμε να δημιουργήσουμε την (4. - 4) στο σύστημα και αυτή θα παραμείνει ανέπαφη ες αεί. Εάν όμως J, τότε η σύζευξη μεταξύ E και Q, δίνει τον τελεστή εξέλιξης: QE(t) = exp[-ijt z z ] = cos(jt) - i sin(jt) z z Έστω ότι το περιβάλλον είναι αρχικά στη κατάσταση + = 2 ( + ) οπότε η αρχική κατάσταση όλου του συστήματος είναι (η παραγοντοποιημένη) Χ = φ + ε ένα μεταγενέστερο χρόνο, θα έχουμε (την μη-παραγοντοποιήσιμη) Χ(t) = QE(t) Χ = cos(jt) φ + - i sin(jt)( z φ ) - (4. - 5) όπου η - του περιβάλλοντος είναι, κατά τα γνωστά, η ΕΚΔΟΗ 2.Α-, Μαίου 2. 369/622

- = 2 ( - ) Η μήτρα πυκνότητας θα είναι τη στιγμή t: Q(t) = Tr E Χ(t) Χ(t) = cos 2 (Jt) φ φ + sin 2 (Jt)( z φ )( φ z ) (4. - 6) όπου το μερικό ίχνος του περιβάλλοντος το λάβαμε στη βάση { +, - }. Εν τέλει, στη βάση {, } του συστήματος, η μήτρα Q είναι: Q(t) = α 2 α*βcos(2jt) αβ*cos(2jt) β 2 Εδώ λοιπόν παρατηρούμε μία ταλάντωση με το χρόνο. Έτσι, δεν υπάρχει a priori υποβάθμιση της αποθηκευμένης πληροφορίας του Q λόγω της σύζευξης με το Ε. Μαζί με τη σύζευξη χρειάζεται και μια συμπληρωματική υπόθεση μη-προσβασιμότητας στους βαθμούς ελευθερίας του περιβάλλοντος ώστε να προκύψει decoherence. Αν λοιπόν κάποιος, την στιγμή t = π 4J κλείσει τη σύζευξη με το περιβάλλον (μηδενίσει, με άλλα λόγια, το J), αλλά και η κατάσταση του περιβάλλοντος γίνει μη-προσβάσιμη, τότε η πληροφορία του συστήματος έχει χαθεί και έχουν μηδενισθεί οι coherences. Είναι σαφές ότι η decoherence είναι μια ιδιότυπη διεργασία, στην οποία η έννοια της πληροφορίας κατέχει εξέχοντα ρόλο για την κατανόησή της. Αναλυτική της μελέτη και ξεκαθάρισμα πολλών ασαφών σημείων θα γίνει στο κεφάλαιο 4.3. Ας δούμε στη συνέχεια μερικούς τρόπους ελέγχου της decoherence. ΕΚΔΟΗ 2.Α-, Μαίου 2. 37/622