Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Να δίνει τον ορισμό του διανύσματος και των εννοιών που είναι κλειδιά όπως: κατεύθυνση φορά ή διεύθυνση, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, συγγραμμικά διανύσματα ομόρροπα, αντίρροπα, σημείο αναφοράς, διάνυσμα θέσης, γραμμικός συνδυασμός, συντελεστής διεύθυνσης Να βρίσκει και να δικαιολογεί την ισότητα δύο διανυσμάτων, γεωμετρικά και αναλυτικά Να βρίσκει την γωνία δύο διανυσμάτων γεωμετρικά και αναλυτικά Να διατυπώνει, να αποδεικνύει και να εφαρμόζει τις πράξεις μεταξύ διανυσμάτων και μεταξύ των μέτρων τους Να βρίσκει και να εξηγεί πότε ή γιατί δύο ή περισσότερα διανύσματα είναι συγγραμμικά ή κάποια σημεία είναι συνευθειακά Να κάνει βασικές πράξεις και να υπολογίζει συντεταγμένες σημείων και διανυσμάτων στο επίπεδο Να υπολογίζει τα μέτρα των διανυσμάτων Να διατυπώνει τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων και να δικαιολογεί την αναλυτική του έκφραση Να διατυπώνει, να δικαιολογεί και να εφαρμόζει όπου χρειάζεται τις βασικές ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου Να αναλύει ένα διάνυσμα σε συνιστώσες παράλληλες σε γνωστές εκ των προτέρων διευθύνσεις Να προβάλει ένα διάνυσμα πάνω σε ένα άλλο διάνυσμα

0 Διανύσματα Τύποι - Βασικές έννοιες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ : Τύποι - Βασικές έννοιες Έννοια διανύσματος - Πράξεις Ισότητα Διανυσμάτων A AB = ΓΔ όταν είναι ομόρροπα κι έχουν ίσα μέτρα AB = ΓΔ AΓ = ΒΔ ΔΒ = ΓΑ ΔΓ = ΒΑ Αν α, β, γ διανύσματα με λ,μ R τότε: Ã α+ β= β+ α ( α+ β) + γ= α+ ( β+ γ) 3 α+ 0= α 4 α+ ( α) = 0 5 α+ γ= β+ γ α= β 6 α+ = α = 0 7 α+ = 0 = α 8 ( α+ β) = ( α) + ( β) 9 Αν Ο σταθερό σημείο του χώρου AB = ΟB ΟA 0 α β α+ β α + β Ειδικές περιπτώσεις: α β α+ β = α + β α β α β = α+ β 0 α= 0, λ 0= 0 λα ( + β) = λα+ λβ 3 ( λ+ μ) α= λα+ λβ 4 λμα ( ) = ( λμα ) 5 α = α 6 λα = 0 λ = 0 ή α = 0 7 ( ) λ α= λ( α) = ( λα) 8 λα ( β) = λα λβ 9 ( λ μ) α= λα μα 0 Αν λα = λβ και λ 0 τότε α= β Αν λα = μα και α 0 τότε λ = μ Ισχύουν επίσης: α//β α= λβ για λ R, β 0 Αν α//β και το γ ανήκει στο διανυσματικό επίπεδο των α, β τότε υπάρχουν μοναδικοί λ,μ R ώστε γ= λα+ μβ Τότε το γ λέγεται γραμμικός συνδυασμός των α και β ΟΑ + ΟΒ Αν Μ είναι το μέσο του ΑΒ τότε: ΟΜ = (Ο σημείο αναφοράς) Ä B

Τύποι - Βασικές έννοιες Διανύσματα ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Αν Οy ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και α ένα διάνυσμα σ αυτό, τότε γράφουμε α= (,y) όπου τα,y είναι οι μοναδικοί πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους α= i + y j Έστω α= (,y ),β=(,y) τότε α= β = και y = y Αν α= (,y ),β=(,y) τότε α + β = ( +,y + y) 3 Για λ R και α= (,y) είναι λα = ( λ,λy) 4 Αν Α(,y ),Β(,y ) δύο σημεία του καρτεσιανού επιπέδου τότε: ΑΒ =, y y ΑΒ = + y y ( ) ( ) ( ) + y+ y Αν Μ(,y) το μέσο του ΑΒ τότε: =, y = y α =,y,β =,y τότε: α β = 0 y y = 0 y y y λ α =, λ = για β 0, 0 α β λ α = λ, εφόσον λ,λ β α ορίζονται β 5 Αν ( ) ( ) ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ α β = α β συν( α,β ),(α,β 0) Aν α = 0 ή β = 0, τότε αβ = 0 Αν α αβ = + y y = (,y ),β = (,y) τότε: ( ) αβ + y y συν α,β = = α β + y + y ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ αβ = βα ( λα) β = λ( αβ) = α( λβ) 3 αβ ( + γ) = αβ + αγ 4 α = α α = α Η ιδιότητα αυτή μας μεταφέρει από διανύσματα σε μέτρα και αντίστροφα 5 α β α β= α β 6 α β α β= α β 7 α β α β = 0 8 α β + y y = 0 α β λ λ = εφόσον ορίζονται οι συντελεστές 9 α β λ α, λ β 0 α ν = α ν (όπου ν = προβ ν α )

Διανύσματα Βήμα ο µ µ µ µ µ µµ µ µ µ OA µ µ µ AM O µ µ µ OA A M OAOA M AM A M A, OO A AA M µ, OO MM, µ OM OM M O µ µ µ - µµ, o :

Βήμα ο Διανύσματα 3 A µ µ µ µ OA OB, µ - O µµ µ O µ µ µ- () (µ ) () ( ) ( ) ( ) () µ µ µ µ: OA AM OM OB BM OM () µ µ: ( ) ( OA AB) B OB B O ( ) OA( AB B ) OA A O ( ) ( ) 3 µµ µ µ µ :

4 Διανύσματα Βήμα ο µ µ µ µ µ µ - µ µ µ A, µ O µ µ AB OB OA µ AB = OB- OA 4 µ µ, - µ : ( OA) ( AB) ( OB) ( OA) ( AB) 5, 0, //, R µ, µ 0, µ, µ ( µ µ µ µ

Βήμα ο Διανύσματα 5 µ) µ, µ 0, µ µ : µ, µ :,, 0, 0 µ µ,, 6 µ OM µ µµ µµ : OA OB OM µ µ AB µ - µ µµ µ: OM µ OM OA AM () OM OBBM () µ, µ µ () () µ : OM OA AM OB BM OA OB OAOB OM

6 Διανύσματα Βήμα ο 7 µ,, - µµ µ µ - µ i j µ µ µ µ µ Oy µ µ - µ OA A A y µ: yy, OA OA OA (), y µ A, j i A A : OA OA yj µ () i yj () µ µµ µ i j µ y µ µ µµ µ i j µ µ, µ :: i yj (3) () (3) : i yj i yj ( ) i ( y y) j y y µ, 0, i j, µ, i // j,, i j µµ µ, y y

Βήμα ο Διανύσματα 7 8 µ µ, µ µ, µ, R - µ µµ µ µ µ, y ), y ), µ: ( ( ( i yj) ( i y j) ( ) i( y y) j ( i y j) ( ) i ( y) j µ (, y y) (, y ) µ, y ) (, y ) (, y ) ( y (, y) (, y ), µµ µ µ:, y ) (, y ) (, y ( y ) 9 µ µ (, y) (, y ) - µ (, y) - µ µ µ µ, y ) ( y y y y B(,y ) (, y ) µ (, y) µ µ µ : (,y) A(,y )

8 Διανύσματα Βήμα ο OM ( OAOB ), OM (, y), OA (, y ) OB, y ),, ( y y µ (, y) [(, y) (, y )], y y y 0 µ (, y) µ- µµ A(, y) (, y ) - : y y y µ µ (, y) y (, y ) µ (, y) µ- A(,y ) µ AB, AB OBOA, AB (, y), OB (, y ), OA (, y ), µ: (, y) (, y ) (, y) (, y y) µ: µ (, y) µ µ µ A, y ) ( B(,y ) (, y ) y y y (, y) µ µ µ µ: y

Βήμα ο Διανύσματα 9 (, y) µ - µ µ- µ OA µ y A(,y) yy µ µµ µ y, - A ( ) ( ) y µ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y µ: y µ (, y) (, y ) µ ) ( y ) ( ) ( y µ µ (, y) (, y ) ( ) µ y B(,y ) µ µ µ A(,y ) AB (, y y), µ µ : ( ) AB ( ) ( y y ) µ: µ (, y), y ) ( µ ) ( y ) ( ) ( y

0 Διανύσματα Βήμα ο 3, µ, (, y) (, y ) µ - : // µ (, y) (, y ) µ, µ µ : y // 0 y y y y y 4 µµµ µ µ (, y) (, y) µ µ µ OA OB µ µ- µ (,y ) y (,y ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) µ,, µ ( ) ( ) ( y y ), ( ) µ, µ : y ( ) y

Βήμα ο Διανύσματα ( ) ( y y) y y y y y y y y ( )( ) ( )( ) ( )( ), µ : yy 5 µ : ( ) ( ), R ( ) =-,, (, // yy ) (, y ), (, y) ( 3, y3 ), µ: ( ) (, y )(, y ) ( ) ( y ) y ( y y ) ( ) ( ) (, y )(, y ) ( ) y ( y ) ( y y ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) (, y )(, y y ) ( ) y ( y y ) 3 3 3 3 ( 3) ( yy yy 3) ( yy ) ( 3 yy 3) y y y y 0 y y 0 6 (, y) (, y) µ µ - µ µ A y y y y

Διανύσματα Βήμα ο µ µ yy, µ, y y y y y y 7, v µ µ 0 µ µ µ OA OM µ OA M µ OM µ µµ µ µ : OM (H µ ) µ µ: v ( OM M M ) OM M M OM v M M A µ:

Βήμα ο Διανύσματα 3 Α Από το σχολικό βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 003 3 Α Ομάδα: 6, 7, 9 Β Ομάδα: 5, 6, 8 4 Α Ομάδα: 3, 5, 6, 8 Β Ομάδα:, 3, 5 5 Α Ομάδα: 6, 7,, 3 Β Ομάδα:, 4, 5 Γενικές ασκήσεις:, 3 Β Από τα Βιλιομαθήματα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ εκδόσεις ΟΡΟΣΗΜΟ Βιβλιομάθημα ο : Λυμένες ασκήσεις: 3, 5 Προτεινόμενες ασκήσεις: 7, Βιβλιομάθημα ο : Λυμένες ασκήσεις: 3 Προτεινόμενες ασκήσεις:, 5, 6 Βιβλιομάθημα 3 ο : Λυμένες ασκήσεις:, 3, 5, 7, 8, Προτεινόμενες ασκήσεις: 3, 4, 5

4 Διανύσματα Βήμα 3 ο Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς και τα διανύσματα: AΔ = AB, AΕ = AΓ, ΒΖ = ΒΓ 3 5 i Εκφράστε τα ΖΔ και ΔΕ ως γραμμικό συνδυασμό των AB = α και AΓ= β και δείξτε ότι τα σημεία Ζ, Δ, Ε είναι συνευθειακά ii Εκφράστε τα ΒΕ και ΓΔ ως γραμμικό συνδυασμό των α και β και δείξτε ότι ΒΕ ΓΔ Λύση: Ισχύουν: AΔ = AB= α 3 3 i AΕ = AΓ = β 5 5 ΒΖ = ΓΒ = ΓΑ + AB = AB AΓ = α β 5 ΖΔ = ΖΒ + ΒΔ = BΖ AΔ = β α α = β α 3 3 () 5 ΔΕ = ΔΑ + ΑΕ = ΑΕ AΔ = β α = β α = ΖΔ 5 3 5 3 5 Άρα ΖΔ ΔΕ και επειδή έχουν κοινό σημείο το Δ βρίσκονται στον ίδιο φορέα άρα Δ, Ε, Ζ συνευθειακά ii ΒΕ = ΒΑ + AΕ = β α 5 ΒΕ ΓΔ = β α α β 5 3 ΓΔ = ΓΑ + AΔ = AΔ AΓ = α β 3

Βήμα 3 ο Διανύσματα 5 αβ β α + αβ = αβ β α 5 5 3 5 5 3 6 Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο με πλευρά οπότε: αβ = αβσυν60 = ( α = β = ) Άρα 6 ΒΕ ΓΔ = = 0 Άρα BE ΓΔ 5 5 3 0 Δίνονται τα σημεία Α(6,-), Β(,3), Γ(,), Δ(-,-) και Ε(,-) i Να βρεθούν συναρτήσει του λ οι συντεταγμένες του σημείου Μ αν ΒΜ = λ ΜΑ, λ ii ΝΑ υπολογίσετε το λ αν τα σημεία Γ, Δ και Μ είναι συνευθειακά iii Αν Γ, Δ και Μ συνευθειακά και ακόμα ισχύει ΔΕ = κ ΔΑ, ΓΒ = ν ΓΕ και ΜΑ = τ ΜΒ, να δείξετε ότι κ ν τ= Λύση: i Έστω Μ(,y) ( ) = λ( 6 ) ΒΜ = λ ΜΑ (, y 3) = λ( 6, y) y 3 = λ y + 6λ 3 λ απο όπου παίρνουμε: = και y= () + λ + λ ΓΜ =, y ΔM = +, y + ii Είναι ( ) και ( ) ( ) y ΓΜ ΔM = 0 3 y + = 0 η οποία λόγω της () γράφεται: + y+ + 6λ 3 λ 3 + = 0 λ = + λ + λ iii Ε = k Α (,0) = k( 7,0) κ= 7 ΓΒ = ν ΓΕ ( 0,) = ν( 0, 3) ν = 3 05 84 0 8 ΜΑ = τ ΜΒ, = τ, τ = 3 3 3 3

6 Διανύσματα Βήμα 3 ο Άρα: κ ν τ= = 7 3 3i Να βρεθεί το συμμετρικό Α του σημείου Α (3,) ως προς κέντρο συμμετρίας το Β (-, 4) ii Aν Γ(κ,5) να βρεθεί το κ ώστε τα σημεία Α,Α και Γ να είναι συνευθειακά Λύση: i Έστω Α (,y) το συμμετρικό του Α ως προς Β Τότε το Β είναι το μέσο του ΑΑ και ισχύει: 3+ = 3+ = = 5 Αρα A 5,6 + y 4= + y= 8 y= 6 ( ) ii Αφού τα Α, A, Γ είναι συνευθειακά ισχύει : ΑA ΑΓ det ( AΑ, AΓ) = 0 () ΑΑ = 8,4 απο την () έχουμε: Επειδή ( ) και ΑΓ = ( κ 3, 3) 8 4 κ 3 3 = 0 4 4κ+ = 0 4κ = κ = 3 4 Έστω α,β 0 δείξετε ότι: γ ( α β) Λύση: Επειδή α ( β+ γ) και ανά δύο μη συγγραμμικά Αν α ( β+ γ) + και β ( α+ γ) τότε υπάρχει λ R τέτοιος ώστε: β+ γ= λα () Επειδή β ( α+ γ) τότε υπάρχει μ R τέτοιος ώστε: α+ γ= μβ ( ) Με αφαίρεση κατά μέλη των () και () παίρνουμε: β+ γ α γ = λα μβ β+ μβ= λα+ α + μ β = λ+ α 3 ( ) ( ) ( ) Αν οι αριθμοί + μ και +λ δεν είναι και οι δύο μηδέν, για παράδειγμα αν + μ 0 να

Βήμα 3 ο Διανύσματα 7 τότε η (3) γράφεται: ( λ+ ) β= α δηλ β α, που είναι άτοπο + μ Άρα: + μ = 0 μ = και + λ = 0 λ =, β + γ= α γ= α+ β δηλ γ α+ β οπότε από (): ( ) ( ) 5 Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με Α(,y ) με Β(,y ) και Γ( 3,y 3 ) έτσι ώστε: - =3 - Αν λ, λ, λ 3 οι συντελεστές διεύθυνσης των ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ Λύση: αντίστοιχα, να δείξετε ότι: λ + λ = λ3 y ΑΒ =, y y, λ = y 3 ( ), ΒΓ = (,y y ), λ = y AΓ= 3,y3 y, λ 3 = y ( ) 3 3 3 3 y y 3 y y y y y y + y y λ + λ = + = αφού = ( ) () 3 3 3 3 Επίσης: 3 = 3 = + 3 = () Έτσι η () λόγω της () γράφεται: y3 y λ +λ = + 3 y y y y + 3 3 = = = λ3 3 3, 6 Αν ˆφ, ˆω οι γωνίες που σχηματίζουν τα διανύσματα α= (,) και β= ( 3,) με τον άξονα, να δείξετε ότι: π φˆ + ωˆ = 4 Λύση: εφφ λ = = 3 = = και εφω λ

8 Διανύσματα Βήμα 3 ο 5 5 + εφφ + εφω π εφ( φ + ω) = = 3 = 6 = 6 = = εφ εφφ εφω 5 4 3 6 6 π Άρα φˆ + ωˆ = 4 7 Αν για διανύσματα α, β, γ Λύση: ισχύουν: α = β = γ =, α β, ( π α,γ) = και 6 ( π γ,β) =, να βρεθεί το μέτρο του 3α+ β γ και να γραφεί το γ ως 3 γραμμικός συνδυασμός των α και β 3α + β γ = 3α + β γ = 3α + β + 4γ + 3αβ 4 3αγ 4βγ = ( ) = 3 α + β + 4 γ 4 3 α γ συν α,γ 4β γ συν β,γ ( ) ( ) 3 = 3 + + 4 4 3 4 = 8 6 = 0 Άρα 3α+ β γ = 0 οπότε 8 Έστω ότι τα α, β,, y 3 3α+ β γ = 0 γ = α+ β είναι διανύσματα ενός επιπέδου, μη μηδενικά, με α β α Αν α = α y και β = β y, τότε ποια απάντηση είναι σωστή; i y ii y iii = y β Αν α = α β β, να δείξετε ότι: ( ) Λύση: α α = α y α α y= 0 α( y) = 0 α = 0 ή = y α y ή ( )

Βήμα 3 ο Διανύσματα 9 και β = β y β β y= 0 β( y) = 0 β= 0 ή = y ή β ( y ) Η περίπτωση α = 0 ή β= 0 απορρίπτεται διότι α, β μη μηδενικά Η περίπτωση α ( y ) και β ( y) απορρίπτεται διότι τότε θα ήταν α β ως κάθετα στο ίδιο διάνυσμα Άρα = y α β = β τότε ( ) αβ = β α βσυνα,β = β ( ) α = α β συν α,β = β ( ) συν α,β = συν α,β = συν α,β =± άρα α β α β β Έστω ( ) ( ) ( ) β άτοπο Άρα ( ) 9 Δίνονται δύο μη μηδενικά διανύσματα α και β Αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί κ, λ ώστε να ισχύει: προβ αβ κ + β λ = α () και α κ + προβ α λ = β β () να δείξετε ότι: α = β Λύση: θπροβολών Από την () παίρνουμε: α προβ αβ κ+ αβλ= α α αβκ + αβλ = α αβκ ( + λ) = α (3) θπροβολών Από την () παίρνουμε: β α κ+ βπροβ α λ= β β Από (3) και (4) συνάγουμε ότι: β ( ) α β κ+ α β λ = β α β κ+ λ = β α = β α = β (4) και ( π α,β) = 3 α Να βρεθεί ο λ για τον οποίο ισχύει: προβν = β β 0 Έστω τα μοναδιαία διανύσματα α, β και ν= α+ λβ β Η γωνία των διανυσμάτων βκαιν

30 Διανύσματα Βήμα 3 ο Λύση: α Είναι: προβ ν = β προβ ν = β, οπότε β προβ ν = β β β β β ν= β β( α+ λβ) = β βα+ λβ = β ( βασυνα,β) + λβ = β αλλά α = β = π άρα: συν + λ = + λ = λ = 3 β Για λ = έχουμε: ν= α β ( β ν ) ( α β) β αβ β συν β, ν = = = () β ν β ν β ν π αλλά: αβ β = α βσυν β = = 3 ν = α β = ( α β) = α αβ+ β = α + β = + = άρα ν = Οπότε από () έχουμε: συν( β, ν) = =, δηλαδή: ( π π β, ν) = π = 3 3 Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα α, β και γ για τα οποία ισχύει ότι: προβ β =, και προββ = (,) α ( ) i Να δείξετε ότι τα διανύσματα α και γ είναι κάθετα ii Να βρεθεί το διάνυσμα β Λύση: * λ R α i προβ β α προβ β = λα λα = (, ) α γ προβ β γ προβ β = μγ μγ =, * μ R γ = Τότε: λα μγ (, )(,) ( ) λμ 0 α,γ 0 λμ αγ = + λμ αγ = 0 αγ = 0 α γ γ

Βήμα 3 ο Διανύσματα 3 ii Αν β = προβ αβ και β = προβ γβ αφού α γ θα ισχύει: β= β + β =, +, = +,+ =,3 ( ) ( ) ( ) ( ) Έστω ΑΒΓ τρίγωνο και α, β, γ τα μήκη των πλευρών ΒΓ, ΑΓ, ΑΒ αντίστοιχα i Να αποδειχθεί ότι: α + β + γ = ( AB AΓ + BΓ BΑ + ΓA ΓΒ) ii Αν Δ σημείο της πλευράς ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΔ = λβγ, να αποδειχθεί ότι: ΑΔ = λ λ α + λβ + λ γ ( ) ( ) Λύση: i α ΒΓ ΒΓ ΒΓ ( AΓ AB) = = = = = AΓ AΓ AB + AB = ΑΓ ΑΓ ΑB + ΑB = β ΑΓ ΑB + γ δηλαδή: α = β ΑΓ ΑB+ γ, οπότε ΑΒ ΑΓ = β + γ α () Ακριβώς όμοια αποδεικνύονται οι σχέσεις : ΒA ΒΓ = α + γ β () και ΓΑ ΓB = α + β γ (3) Προσθέτουμε κατά μέλη τις σχέσεις (), () και (3) : ΑΒ ΑΓ + BΓ BA + ΓA ΓB = β + γ α + α + γ β + α + β γ ( ) ΑΒ ΑΓ + ΒΓ ΒΑ + ΓΑ ΓΒ = α + β + γ ii Είναι ΑΔ = ΑΔ = ( ΑB + BΔ) = ( ΑB + λβγ) = ΑΒ + λαβ ΒΓ + λ ΒΓ = ΑΒ λβα ΒΓ + λ ΒΓ = γ λβα ΒΓ+ λ α και επειδή ΒA ΒΓ = α + γ β (σχέση () του ερωτήματος i) η προηγούμενη σχέση γίνεται : ( ) AΔ = γ λ α + γ β + λ α = γ λα λγ + λβ + λ α = = ( ) ( ) + + λ λ α λβ λ γ

3 Διανύσματα Βήμα 4 ο να βρεθεί ο κ R ώστε τα διανύσματα γ = κα β να είναι παράλληλα Αν α//β και δ= α+ 3β Έστω τα α, β, γ που δεν είναι παράλληλα ανά δύο Αν α// ( β γ ) β// γ ( α) να δείξετε ότι γ = α+ β και και ΑΔ = δ και ΔΓ = ΑΒ Αν Μ, Ν είναι τα μέσα των ΒΓ και ΓΔ να εκφράσετε τα ΔΒ, ΒΓ και ΜΝ συναρτήσει των β και δ Να δείξετε ότι ΔΒ = ΝΜ 3 Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ, με ΑΒ = β

Βήμα 4 ο Διανύσματα 33 4 Αν ΑΔ = ΔΒ, ΑΒ = γ και ΒΓ = α τοτε: i ΓΑ = ; α γ+ α β ( γ+ α) γ γ α ii ΔΓ = ; δ α γ α γ α ( + ) β γ α + γ α γ + α γ δ ( + ) 5 Αν λ είναι ο συντελεστής διεύθυνσης του α= ( 3,5+ ) και λ ο συντελεστής διεύθυνσης του β= (, 4), να βρεθεί ο αν ισχύει ότι: λ + λ = 3 6 Να υπολογίσετε το κέντρο του περιγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α(,), Β(6,4) και Γ(5,5)

34 Διανύσματα Βήμα 4 ο το σημείο Β έχει συντεταγμένες: α (6,4) β (8,9) γ (4,9) δ (8,) 7 Αν Α(,5) και ΑΒ = ( 6,4) 8 Έστω ότι ΟΑ = α + β και ΟΒ = α β να δείξετε ότι α β= ( β α ) 3 β = 5 να βρείτε το ημθ (όπου θ= α,β ) Αν είναι γνωστό ότι ΟΑ ΟΒ, Αν είναι επίσης γνωστό ότι α = 4 ( ) 9 Τα σημεία Α(α,β) και Β(β,γ) ισαπέχουν από την αρχή των αξόνων Αν β 0 και α γ, να βρείτε την γωνία ( ΟΑ,ΟΒ) και

Βήμα 4 ο Διανύσματα 35 0 Δίνεται το διάνυσμα α= (,3) ισχύουν α β= πάνω στο α και α γ = και τα διανύσματα β, γ για τα οποία Να βρείτε την προβολή του δ= α β+ 3γ Δίνονται τα διανύσματα α, β με α= i + j και β = και η γωνία τους ( π α,β) = Να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων u, ν με u = α+ 3β και 6 ν= α β Δίνονται τα διανύσματα α, β για τα οποία ισχύουν: α β =, α+ β = 8 π και ( α+ β,α β) = Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων α και β 3

36 Διανύσματα Βήμα 4 ο 3 Να βρείτε το λ R β= 3λ+ 9,λ 3 ( ) ώστε τα διανύσματα α= ( λ 3,4λ ) να είναι κάθετα και των σημείων Α, Β και 4 Οι διανυματικές ακτίνες ΟΑ = α, ΟB = β και ΟΓ = γ Γ είναι τέτοιες ώστε να ισχύουν: α = β = 3, γ = 7, α+ β 3γ = 0 α Δείξτε ότι τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά β Βρείτε τα εσωτερικά γινόμενα αβ, βγ, γα και την γωνία ( α,β ) β γ + α β+ γ : γ Αν για το διάνυσμα ισχύουν ( ) και ( ) ( ) i Nα δείξετε ότι: = ( β γ) ii Να βρείτε το 4 5 Δίνεται τρίγωνο ABΓ με ΑΒ = α + β β ισχύουν α = β = και α,β ( ) π, ΑΓ = 3β ενώ για τα διανύσματα α, = Βρείτε: 3

Βήμα 4 ο Διανύσματα 37 α Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i αβ ii α β και 4β+ α β Αν Μ μέσο της ΒΓ γράψτε τα AM, BΓ ως γραμμικό συνδυασμό των α, β και βρείτε το γινόμενο AM BΓ καθώς και την γωνία των AM και BΓ 6 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(0,3), Β(,) και Γ( 3, ) Βρείτε: i ΑΒ ΑΓ ii ΑΓΒ ˆ iii ΑΜ με Μ μέσο ΒΓ 7 α Δίνονται τα μη συγγραμικά διανύσματα α, β αβ δείξτε ότι προβ αβ = α α β Αναλύστε το διάνυσμα v= (,) σε δύο κάθετες συνιστώσες εκ των οποίων η μια να είναι παράλληλη με το u = ( 3,4) γ Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ύψος ΑΔ και πλευρές (ΑΒ)=γ, (ΑΓ)=β βσυνγ ΒΔ + γσυνβ ΓΔ = 0 Δείξτε ότι: ( ) ( )

38 Διανύσματα Βήμα 4 ο 8 Δίνονται τα διανύσματα α,β 0 για τα οποία ισχύουν προβ α = β, β 3 προβ αβ = α 8 3 α Δείξτε ότι: αβ = β = α 8 β 3 β Δείξτε ότι: = α 4 γ Βρείτε την γωνία φ = ( α,β) δ Αν v = λα + β και w = α β τέμνονται κάθετα βρείτε το λ R

Βήμα 5 ο Διανύσματα 39 Θέμα ο Α Αν i, j τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και y y αντίστοιχα και α= (,y) τότε γνωρίζουμε ότι ισχύει α= i + yj Να δείξετε ότι ο τρόπος γραφής του α ως γραμμικός συνδυασμός των i και j είναι μοναδικός (Μονάδες 5) α= λ, 3λ+ και i, j τα πιο πάνω μοναδιαία διανύσματα Ισχύει Έστω ( ) α ( i+ j) : α Αν λ = β Αν λ= ή λ = γ Αν λ = 3 δ Για καμία τιμή του λ (Μονάδες 8) Β Να γράψετε το γράμμα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση στις πιο κάτω προτάσεις: Τα σημεία Α,, ( ) Β,3 ( ) και Γ6,λ ( ) βρίσκονται στην ίδια ευθεία αν:

40 Διανύσματα Βήμα 5 ο α λ= β λ = 0 ή λ = γ λ = 0 ή λ = 3 δ λ = 7 (Μονάδες 7) Να απαντήσετε με την ένδειξη Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) στις πιο κάτω προτάσεις Για οποιαδήποτε διανύσματα α, β ισχύει: α α //β λα = λβ β α β= α γ β= γ γ αβ = α β α β δ α= β α = β ε αβ = α β (Μονάδες 5) Για τα διανύσματα α, β α Να δείξετε ότι α= ( 4,) Θέμα 0 ισχύουν οι σχέσεις α+ 4β= ( 3,) και 5 β =, 4 και α 4β= ( 9,4) (Μονάδες 7)

Βήμα 5 ο Διανύσματα 4 να είναι παράλ- β Να βρεθεί ο αριθμός λ ώστε τα διανύσματα λα + 8β ληλα και α+ 4β (Μονάδες 8) γ Να βρεθεί η προβολή του β στο διάνυσμα α (Μονάδες 0) Α Έστω ότι για τα διανύσματα α, β Θέμα 3 0 ισχύει α β = α Να δείξετε ότι β ( β α ) (Μονάδες 0) Β Έστω δύο σημεία Α, Β του επιπέδου για τα οποία ισχύει ( ΑΒ) = 3 και ένα τρίτο σημείο Γ διαφορετικό του Β έτσι ώστε ΑΒ ΑΓ = 9 Να δείξετε ότι ΑΒ ΒΓ

4 Διανύσματα Βήμα 5 ο (Μονάδες 5) Θέμα 4 0 Δίνονται τα διανύσματα α= ( 3, 5), β= (,) και γ= ( 3, ) Να αναλυθεί το α σε δύο συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο β και η άλλη κάθετη στο γ (Μονάδες 5)