ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΙΔΑΝΙΚΩΝ ΑΕΡΙΩΝ T 1 <T 2 A

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΙΔΑΝΙΚΩΝ ΑΕΡΙΩΝ 1. ΝΟΜΟΣ OYLE-MRIOTTE = σταθ. (όταν Τ = σταθ.) (1) Ο νόμος των oyle Mariotte εφαρμόζεται σε ισόθερμη μεταβολή (Τ = σταθ.) π.χ. στην μεταβολή Α T 1 <T 2 Σχήμα 1α. Η ισόθερμη μεταβολή Α σε άξονες - T 2 Σχήμα 1β. Η ισόθερμη μεταβολή Α σε άξονες -Τ T 2 Σχήμα 1γ. Η ισόθερμη μεταβολή Α σε άξονες -Τ 2. ΝΟΜΟΣ CHRLES T = σταθ. (όταν = σταθ.) (2) Ο νόμος του Charles εφαρμόζεται σε ισόχωρη μεταβολή ( = σταθ.) π.χ. στην μεταβολή Α T 1 <T 2 1 1 < 2 1 Σχήμα 2α. Η ισόχωρη μεταβολή Σχήμα 2β. Η ισόχωρη μεταβολή Σχήμα 2γ. Η ισόχωρη μεταβολή Α σε άξονες - Α σε άξονες -T Α σε άξονες -T ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Σελ. 1 Χ.ΦΑΝΙΔΗΣ-ΦΥΣΙΚΟΣ

3. ΝΟΜΟΣ GY-LUSSC T = σταθ. (όταν = σταθ.) (3) Ο νόμος των Gay-Lussac εφαρμόζεται σε ισοβαρή μεταβολή ( = σταθ.) π.χ. στην μεταβολή Α 1 T 1 <T 2 1 < 2 Σχήμα 3α. Ισοβαρής μεταβολή Σχήμα 3β. Ισοβαρής μεταβολή Σχήμα 3γ. Ισοβαρής μεταβολή σε άξονες - σε άξονες -T σε άξονες -T 4. ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΙΔΑΝΙΚΩΝ ΑΕΡΙΩΝ Για ένα ιδανικό αέριο που n γραμμομόρια από αυτό είναι σε δοχείο όγκου υπό πίεση και θερμοκρασία T ισχύει = nrt (4) όπου R είναι η παγκόσμια σταθερά των αερίων. ΠΡΟΣΟΧΗ! Σε ασκήσεις με την καταστατική εξίσωση των αερίων αν α) Χρησιμοποιώ μονάδες S.I. δηλ. [] = Pa = N m 2 [] = m3 [T] = K τότε R = 8,314 J mol.k (5) β) Χρησιμοποιώ πρακτικές μονάδες δηλ. [] = atm [] = L [T] = K τότε R = 0,082 L.atm mol.k Άλλοι συνδυασμοί μονάδων απαγορεύονται. (6) 5. ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΜΟΝΑΔΩΝ 1 atm =101325 Pa = 1,013.10 5 Pa 10 5 Pa 0,1 MPa 1 bar = 1.10 5 Pa = 10 N/cm 2 1 atm ή 1 mbar = 100 Pa 1 m 3 = 1000 L και 1 L = 1000 ml Κ = 273 + C ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Σελ. 2 Χ.ΦΑΝΙΔΗΣ-ΦΥΣΙΚΟΣ

6. ΣΗΜΕΙΟΛΟΓΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΟΡΙΩΝ ΓΡΑΜΜΟΜΟΡΙΩΝ, ΜΑΖΑΣ. Ν Α = 6,022.10 23 ο αριθμός του vogadro N ο αριθμός των μορίων του αερίου n ο αριθμός των γραμμομορίων του αερίου m η μάζα ενός μορίου m ολ είναι η συνολική μάζα του αερίου Μ r η μάζα ενός γραμμομορίου (η σχετική μοριακή μάζα) 7. ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΜΑΖΩΝ ΚΑΙ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ή ή ή m = m ολ Ν m = Μ r Ν Α ρ = m ολ ρ = n.μ r ρ = Ν.m (7α) (7β) (8α) (8β) (8γ) 8. ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΓΡΑΜΜΟΜΟΡΙΑ α) Ενα γραμμομόριο είναι μια ποσότητα ύλης που περιέχει Ν Α = 6,022.10 23 μόρια. β) Το γραμμομόριο ζυγίζει όσο η σχετική μοριακή μάζα (Μοριακό άρος) του χημικού στοιχείου ή της ένωσης σε g π.χ. για το Ο 2 Μ r = 32 g γ) Το γραμμομόριο αερίου σε Κ.Σ. ( = 1 atm, T=273 K) καταλαμβάνει όγκο mol = 22,4 L δ) Αν έχω μάζα m ολ από χημική ένωση ή χημικό στοιχείο (καθαρή ουσία) με σχετική μοριακή μάζα (Μοριακό βάρος) Μ r τότε ο αριθμός γραμμομορίων n που περιέχει είναι n = m ολ M ή m ολ = nm r (9) r ε) Αν έχω όγκο (!σε L) από αέρια χημική ένωση ή αέριο χημικό στοιχείο (καθαρή ουσία) τότε ο αριθμός γραμμομορίων n που περιέχει είναι n = (10) m με m γραμμομοριακό όγκο στις συνθήκες που βρίσκεται ο όγκος. Ο m μπορεί να υπολογιστεί στις συγκεκριμένες συνθήκες αν θέσω στην καταστατική n = 1 mol, δηλ. m = RT (10α) Σε Κ.Σ. (S.T.P.) έχω ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Σελ. 3 Χ.ΦΑΝΙΔΗΣ-ΦΥΣΙΚΟΣ

n = 22,4 (10β) 9. ΠΙΕΣΗ ΙΔΑΝΙΚΟΥ ΑΕΡΙΟΥ Η πίεση σε σχέση με την μέση τιμή των τετραγώνων της ταχύτητας υ 2 είναι = 1 3 ρ υ2 (11) Το σύμβολο α σημαίνει την μέση τιμή του φυσικού μεγέθους α. Εναλλακτικά λόγω της (8γ) = 1 Ν.m 3 (12) Από την τελευταία και την μορφή της πυκνότητας (8γ) που περιέχει την μάζα ενός μορίου m και αφού εισάγουμε κατόπιν την μέση μεταφορική κινητική ενέργεια ενός μορίου (κινητική ενέργεια υ2 λόγω μεταφορικής κίνησης) K μ = m υ 2 /2 έχουμε = 2 3 ή = 2 3 Ν m υ 2 2 Ν K μ (13) (14) 10. ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΤΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΤΩΝ ΑΕΡΙΩΝ Η γνωστή μορφή της καταστατικής είναι = nrt (15) Αν χρησιμοποιήσω την σταθερά του oltzmann k, που ισούται με την παγκόσμια σταθερά των αερίων ανά μόριο του αερίου k = R N (16) παίρνω = ΝκT (17) όπου εύκολα αποδεικνύεται ότι ισχύει nr = Nk (18) Η (14) γράφεται = 2 3 N K μ (14α) 11. ΜΕΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΕ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ Από την (14α) και την γνωστή μορφή της καταστατικής προκύπτει 3 K μ = 2 kt (19) ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Σελ. 4 Χ.ΦΑΝΙΔΗΣ-ΦΥΣΙΚΟΣ

12. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ υ rms ΣΕ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ Δηλ. η υ rms = υ 2 είναι από την (19) υ rms = 3 kt m = 3 RT M r (20) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΝΟΙΕΣ/ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΠΟΥ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ Σύστημα Γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα C Περιβάλλον Mονωμένο σύστημα Θερμοδυναμική ισορροπία Αντιστρεπτή μεταβολή Κυκλική μεταβολή Θερμότητα Εσωτερική ενέργεια Γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα C υπό σταθ. πίεση Γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα C υπό σταθ. όγκο 13. 1 ος ΝΟΜΟΣ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Q = ΔU + W (21) όπου α) Q η θερμότητα που εισέρχεται ή εξέρχεται από το σύστημα. Η Q εξαρτάται από τον τρόπο μετάβασης του συστήματος από την αρχική στην τελική κατάσταση. β)δu = U τελ U αρχ η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του συστήματος. Η εσωτερική ενέργεια U καθορίζεται από την θερμοκρασία του αερίου. Αν ένα αέριο επιστρέψει στην κατάσταση που ξεκίνησε, μετά από οποιαδήποτε μεταβολή, ΔU = 0. Η ΔU δεν εξαρτάται από τον τρόπο μετάβασης του συστήματος από την αρχική στην τελική κατάσταση. γ) W το έργο που παράγει ή δέχεται το σύστημα. Το W εξαρτάται από τον τρόπο μετάβασης του συστήματος από την αρχική στην τελική κατάσταση. ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Σελ. 5 Χ.ΦΑΝΙΔΗΣ-ΦΥΣΙΚΟΣ

14. ΣΥΜΑΣΗ ΓΙΑ ΤΑ ΠΡΟΣΗΜΑ ΤΩΝ Q, W Σύστημα Q >0 W >0 Σύστημα Q < 0 W < 0 15. ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΟΛΗΣ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΣ ΔΤ ΣΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗΝ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ Q ΠΟΥ ΔΕΧΕΤΑΙ ή ΑΠΟΑΛΛΕΙ ΤΟ ΣΩΜΑ. Για σώμα μάζας m ολ που δεν υφίσταται μεταβολή φάσης η μεταβολή της θερμοκρασίας του ΔΤ αν δεχθεί ή αποβάλλει θερμότητα Q είναι Q ΔΤ = m ολ.c (22α) ή Q = m ολ cδτ (22β) c είναι η ειδική θερμότητα (ή ειδική θερμοχωρητικότητα 1 ) του σώματος δηλ. η θερμότητα που χρειάζεται 1 kg του σώματος για να αυξήσει την θερμοκρασία του κατά 1 Κ. Χρησιμοποιώντας την (9) έχω Q = nmcδτ Εξ ορισμού C = M c (23) είναι η ειδική γραμμομοριακή θερμότητα ή γραμμομοριακή θερμoχωρητικότητα. Αν το σώμα δέχεται ή αποβάλλει θερμότητα υπό σταθερή πίεση τότε C = C είναι η γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα υπό σταθερή πίεση και Q = nc ΔΤ (23α) Αν το σώμα δέχεται ή αποβάλλει θερμότητα υπό σταθερό όγκο τότε C = C είναι η γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα υπό σταθερή όγκο και Q = nc ΔΤ (23β) 16. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ U Η εσωτερική ενέργεια U ενός αερίου που μελετάμε μπορεί να ορισθεί γενικά ως η ενέργεια που απομένει στο αέριο όταν αφαιρεθούν από αυτό όλες οι μακροσκοπικές μηχανικές μορφές της ενέργειας. Η εσωτερική ενέργεια είναι ουσιαστικά η δυναμική και η κινητική ενέργεια των μορίων του αερίου λόγω της κίνησης καθενός μορίου του αερίου σε σχέση με τα άλλα 2 (Από την σκοπιά της μηχανικής θα αγνοούσαμε αυτές τις μικροσκοπικές κινήσεις αν θέλαμε π.χ. να περιγράψουμε την κίνηση όλου του αερίου.) 1 Ο όρος ειδική θερμοχωρητικότητα είναι ατυχής γιατί υποδηλώνει ότι το σώμα περιέχει θερμότητα, ενώ γνωρίζουμε ότι η θερμότητα είναι ενέργεια που μεταβαίνει από ένα σώμα σε άλλο. 2 Αυτή η άποψη ότι η εσωτερική ενέργεια μπορεί να αναχθεί σε άλλες μορφές ενέργειας προέρχεται από υπόθεση των Helmholtz και Mayer και είναι γνωστή ως η «Μηχανική θεωρία της θερμότητας» (G.H.Wannier Statistical Physics, Dover 1987, σελ. 16). ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Σελ. 6 Χ.ΦΑΝΙΔΗΣ-ΦΥΣΙΚΟΣ

Η εσωτερική ενέργεια ιδανικού μονατομικού αερίου αποδεικνύεται ότι ισούται με U = 3 2 nrτ Η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας ιδανικού αερίου γενικά (μονατομικού, διατομικού κ.λ.π.) είναι ΔU = nc ΔΤ Μόνο σε περίπτωση που είναι ιδανικό μονατομικό ΔU = 3 2 nrδτ Προσοχή! Στους παρακάτω τύπους ο δείκτης σημαίνει την τελική κατάσταση δηλ = τελικό και ο δείκτης Α σημαίνει την αρχική κατάσταση 17. ΙΣΟΘΕΡΜΗ ΜΕΤΑΟΛΗ T 1 = Τ = σταθ. ή = σταθ. ΔU T 1 άρα ΔU = 0 (24) 1 ος Νόμος Q=W (25) W α τ Εργο Σχήμα 6. Ισόθερμη μεταβολή W = nrt ln τ α (26α) και το αντίστοιχο έργο ή W = ln τ = ln τ α (26β) α αν τ < α δηλ. αν το αέριο συμπιέζεται τότε W<0 Θερμότητα Q = nrt ln τ (27α) α ή Q = ln τ = ln τ α (27β) α 18. ΙΣΟΧΩΡΗ ΜΕΤΑΟΛΗ = 1 = σταθ. ή T = σταθ. ΔU ΔU = 3 2 nrδt = (γενικά) nc ΔΤ (28) 1 ος Νόμος Q=ΔU (29) T 1 <T 2 1 Εργο Σχήμα 7. Ισόχωρη μεταβολή W = 0 (30) Το αντίστοιχο έργο W=0 Θερμότητα Q = nc ΔΤ = (μονατομικό) 3 2 nrδt (31) ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Σελ. 7 Χ.ΦΑΝΙΔΗΣ-ΦΥΣΙΚΟΣ

19. ΙΣΟΑΡΗΣ ΜΕΤΑΟΛΗ = 1 = σταθ. ή T = σταθ. ΔU ΔU = 3 2 nrδt = (γενικά) nc ΔΤ (32) 1 ος Νόμος Q=ΔU+W 1 T 2 <T 1 W τ α Εργο Σχήμα 8. Ισοβαρής μεταβολή W = ( τ α ) (33α) και το αντίστοιχο έργο ή W = nrδτ (33β) Θερμότητα Q = nc ΔΤ (34) 20. ΑΔΙΑΑΤΙΚΗ ΜΕΤΑΟΛΗ Q = 0 ή γ = σταθ. (35) ΔU ΔU = 3 2 nrδt = nc ΔΤ (28) 1 ος Νόμος W= - ΔU (36) T 2 <T 1 W α τ Εργο W = τ τ - α α 1-γ = nrt 2 - nrt 1 1-γ Σχήμα 9. διαβατική μεταβολή (37) και το αντίστοιχο έργο με γ = C C (38) ή W = - nc ΔΤ (39) Θερμότητα Q = 0 21. ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ,, T ΣΤΗΝ ΑΔΙΑΑΤΙΚΗ ΜΕΤΑΟΛΗ Νόμος του Poisson γ =σταθ. ή α γ γ α = τ τ Με την βοήθεια της καταστατικής Τ γ-1 = σταθ. ή Τ α γ-1 γ-1 α = Τ τ τ (40α) (40β) (41α) (41β) ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Σελ. 8 Χ.ΦΑΝΙΔΗΣ-ΦΥΣΙΚΟΣ

Τ 1-γ γ = σταθ. 1-γ 1-γ ή Τ α α γ = Τ τ τ γ (42α) (42β) 22. ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ C ΚΑΙ C C = C + R (43) γ = C C (38) άρα γ > 1 (44) Λύνοντας τις (43) και (38) ως προς C και C παίρνουμε C = R γ-1 C = γ R γ-1 (45) (46) Εφαρμογή : Μονοατομικό ιδανικό αέριο (ή διατομικό όπου τα μόρια εκτελούν μόνο μεταφορική κίνηση) C = 3 2 R (47) C = 5 2 R (48) γ = C C = 5 3 1,67 (49) ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Σελ. 9 Χ.ΦΑΝΙΔΗΣ-ΦΥΣΙΚΟΣ

23. ΘΕΡΜΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ To έργο W που παράγει η θερμική μηχανή, που το υλικό λειτουργίας της υφίσταται κυκλική μεταβολή, είναι W = Q Θ - Q Ψ (52) όπου Q Ψ είναι η θερμότητα που αποβάλλει η θερμική μηχανή, Q Ψ < 0 και Q Θ είναι η θερμότητα που δέχεται η θερμική μηχανή, Q Θ > 0 Συντελεστής απόδοσης θερμικής μηχανής e = W Q Θ = 1 - Q Ψ Q Θ (53) 24. ΚΥΚΛΟΣ CRNOT Ο συντελεστής απόδοσης θερμικής μηχανής που λειτουργεί με τον κύκλο του Carnot είναι e = 1 - Τ Ψ Τ Θ (54) Ισχύει επίσης Q Ψ Q Θ = Τ Ψ Τ (55) Θ T 2 <T 1 Ακόμα = Γ Δ (56) Δ Γ Σχήμα 10. Κύκλος Carnot. ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Σελ. 10 Χ.ΦΑΝΙΔΗΣ-ΦΥΣΙΚΟΣ

25. Χρήσιμες σχέσεις για τους νεπέρειους λογαρίθμους. Αν y = e x τότε lny = x Αρα ln e = 1 ln1 = 0 ln (a.b) = lna + lnb ln( a b ) = lna lnb lna k = klna ln k a = lna 1/k = 1 k lna Ισχύει e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! +.. ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Σελ. 11 Χ.ΦΑΝΙΔΗΣ-ΦΥΣΙΚΟΣ